<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷五
算法原本一
算法原本二
算法原本一
第一
一者数之原也众一相合而数繁焉不能无大小多寡之不齐而欲知其所以分合之故必有一定之法始可以得其准若夫累积小数与大数等者此小数即度尽大数之准也【如大数有八小数有二四倍其二与八必等则二即为度尽八之准】苟累积小数不能与大数等者此小数即非度尽大数之准也【如大数有八小数有三二倍其三为六小于八矣二倍其三为九又大于八矣若此者即为非度尽大数之准】要之小数为大数之平分者即能度尽大数而小数非大数之平分者即不能度尽大数是故以小度大以寡御多求其恰符而毫无舛者惟在得其平分之法而已
第二
数之目虽广总不出奇偶二端何谓偶两整平分数是也何谓奇不能两整平分数是也如二四六八十之类平分之俱为整数斯谓之偶数矣若三五七九十一之类平分之俱不能为整数斯谓之奇数矣又如小偶数分大偶数得偶分则谓之偶分之偶数【如小偶数四分大偶数三十二得八平分是为偶分其三十二即为偶分之偶数】小偶数分大偶数得奇分则谓之奇分之偶数【如小偶数六分大偶数三十得五平分是为奇分其三十即为奇分之偶数】又如小奇数分大奇数得奇分则谓之奇分之奇数矣【如小奇数五分大奇数十五得三平分是为奇分其十五即为奇分之奇数】
第三
乘者两数相因而成也葢有两数视此一数有几何彼一数有几何将此一数照彼一数加几倍则两数积而复成一数故谓之相因而成然不用加而用乘者何也葢加湏层累而得乘则一因即得此立法之精而理则实相通也如有六与十两数以十为主而加六次得六十以六为主而加十次亦得六十今以十为主而以六乘之或以六为主而以十乘之皆得六十其数无异而比加捷矣
第四
凡两数相乘为平方数如四与六相乘得二十四是也试将四六两数作防排之纵立四防为甲乙横列六防为甲丁将此六防累四次即成甲乙丙丁平方数矣又若相等两数相乘得数则为正方数如五与五乘得二十五是也苟将五数纵横各列五防或依纵数或依横数累五次即成戊已庚辛正方数矣第五
凡数之相乘可用线以表之然线虽无广分如依一线之长分广为小方面看此线所有方面若干将彼线所有方面加作几倍或看彼线所有方面若干将此线所有方面加作几倍则二线相积而成面矣设如有甲乙二线甲线之分为三乙线之分为四将此二线相乘则依甲线三分之一分作广分为甲丙依乙线四分之一分作广分为乙丁其甲丙有三小方形乙丁有四小方形若依甲丙所有之数将乙丁加为三倍或依乙丁所有之数将甲丙加为四倍俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣葢面为线之积以一线为横一线为纵纵横相因而成故测面者必于线知线即可以知面也
第六
凡二线彼此各分不均而有零分者其相乘所成方面亦有零分也设有甲乙二线甲线为三分今将甲线依三分之一分作广分为三小方形并无余积而乙线照甲线分则为四分有零亦将乙线依甲线一分作广分则为四小方形而余戊一小形以所作甲丙为横乙丁为纵则成一丁甲四方形而此形之内必有十二小方形仍有三小戊形附于十二方形乃为二线相乘之总积也又如此类一线有零分者其余分在一边若二线俱有零分者则其余分亦在二边矣
第七
凡三数递乘为立方数如二与三相乘得六又以四乘之得二十四是也试将二三四之三数作防排之纵列二防为甲丁横列三防为甲乙将此三防累二次成丁乙平方数又直立四防为丙丁依丙丁数将丁乙平方数累四次即成丙乙立方数矣又若相等三数递乘得数则为正立方数如三与三乘得九再以三乘得二十七是也试将三数纵横各排三防平列三次成庚已平方数又直立三防将庚己平方数累三次即成戊已正立方数矣
第八
凡数之递乘为体可用面以表之葢面虽无厚分如依一面之积分广爲小方体看面所有积分得线之长分若干将面所有小方体加作几倍则线面因之而成体矣设如有甲乙面之分为四丙丁线之分为三将此面线相乘则依甲乙面四分之一作厚分为四小方体乃依丙丁线分数将甲乙加为三倍即成函十二小方体之丙乙直角立方体矣葢体为面之积而面为线之积故线可以测面并可以测体也
第九
除者两数相较而分也葢视大数内有小数之几倍将大数照小数减几次则大数分而复为一小数故谓之相较而分然不用减而用除者何也葢减必递消其分除则一归而即得除之与减即犹乘之与加正相对待者也如有大数十二小数四若用十二以四减之三次而尽即知十二为四之三倍若用除法则三倍其四与十二较其数适等即知十二为四之三倍矣此除之与减理相通而用较捷也
第十
凡两数相乗之平方数以一数除之必得其又一数也设如甲乙五乙丙六两数相乘之甲乙丙丁平方数三十若以甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六除之即得甲乙五葢此三十中有五之六倍六之五倍如作防排之五防为横则纵排六次六防为横则纵排五次皆成方数故两数不等平方面知其一数或知两数相差之较始能得其两边线也又若正方数则其纵横皆同如戊己庚辛之正方数二十五其纵横皆五是巳故凡正方面有积数即可得其每边者葢因其纵横两边皆等故也
第十一
凡以线乘线即成面而以线除面亦复得线故数之乘者可用线以表之而除者亦可用线以表之也设如有甲乙丙丁一方面积一十二以甲乙线四分除之得乙丙线之三分或以乙丙线三分除之亦得甲乙线之四分试将甲乙乙丙二线作广分则甲乙线成四小方形乙丙线成三小方形若依甲乙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得三小方形如乙丙线依乙丙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙线葢除之与乘犹分合之相对以线合者仍以线而分返本还原之义有不爽矣
第十二
凡有零分不均二线相乘之方面以整分线除之必得零分线以零分线除之必得整分线也设如甲线三分乙线四分有零相乘成丁甲面若以甲线三分除之即得乙线四分有零或以乙线四分有零除之亦得甲线三分试将甲线作广分成三小方形为甲丙乙线作广分则成四小方形为乙丁余戊一小形若依甲丙线所有数以分丁甲面即每分得四小方形一戊小形如乙丁线或依乙丁线所有数以分丁甲面即每分得三小方形如甲丙线矣此为二线一整一零相乘之总积故以整线除之得零以零线除之得整若二线俱有零分者彼此除之必俱得零分也
第十三
凡三数递乘之立方数以两数递除之始得其又一数也设如甲乙四乙丙二丙丁三递乘得甲丁立方数二十四若以甲乙四除之得乙丁平方数六再以乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方中有三之二倍而甲丁立方中有六之四倍如作防排之二防为纵横排三次直累四次即成方体故三数不等立方体知其两数或知其三数相差之较始能得各边也又若正立方体其纵横厚度皆为一数即以一数递除二次则其原数自得如戊己正立方数二十七其纵横厚皆三是巳故凡正立方体有积数即可得其每边者正为其纵横厚度皆等故也
第十四
凡以线除体即得面而以面除体亦复得线故线可以除面而面亦可以除体也设如有丙乙体积一十二以丙丁线三分除之得甲乙面之四分或以甲乙面四分除之亦得丙丁线之三分试将甲乙面作厚分则成四小方体若依丙丁线所有数以分丙乙体即每分得四小方体如甲乙面依甲乙面所有数以分丙乙体即每分得三分如丙丁线葢体本以线面相乗而得故可以线面相除也
第十五
凡大数用小数可以度尽者此大数必为此小数之所积也然所谓小数可以度尽大数者复有几种有大数惟一数可以度尽者如四九二十五四十九之类惟用二可以度四三可以度九五可以度二十五七可以度四十九是也有大数用两数三数俱可以度尽者如八与十二之两数用二用四俱可以度尽八用二用三用四俱可以度尽十二是也有两大数或三大数用一小数俱可以度尽者如十二十六之两数或一十十五二十之三数用四可以度尽十二十六之两数用五可以度尽一十十五二十之三数是也又有一小数可以度尽几大数将此几大数相加为一总数此小数亦可以度尽此总数如四可以度尽十二十六两数若将十二十六相加为二十八则此四亦可以度尽此二十八也又或一小数可以度尽几大数将此大数不拘几分分之此小数可以度尽一分亦必可以度尽其余几分也如三可以度尽十五将十五分为六九两数此三可以度尽六亦必可以度尽九也又如六与九两数用三俱可以度尽若将六与九相乘得五十四此小数三仍可以度尽此五十四也凡此类者皆为彼此有度尽之数也
第十六
凡大数用小数不可以度尽者此大数必非此小数之所积也然用一以度之无不可以度尽者葢一为数之根诸数皆自一而积之故也所谓度不尽者亦复有几种有大数无小数可以度尽者如五七十一十三之类任用二用三用四俱不能度尽也有两大数或三大数用小数彼此不可以度尽者如十五与八之两数用二用四可以度尽八而不能度尽十五用三用五可以度尽十五而不能度尽八又如四六九之三数用二可以度尽四六而不能度尽九用三可以度尽六九而不能度尽四也又有彼此不能度尽之数或将一数自乘或将两数俱自乘彼此仍俱不可以度尽也如五与六之两数彼此不能度尽亦无一小数可以度尽此两数即将五自乘为二十五或将六自乘为三十六则六仍不能度尽二十五而五仍不能度尽三十六即二十五亦不能度尽三十六也又如三七两数与二五两数俱为彼此不能度尽之数或将三与七相乘得二十一将二与五相乘得一十此一十与二十一之两数仍为彼此不能度尽之数也凡此类者皆为彼此无度尽之数也
第十七
凡两数互转相减未至于一而即可以减尽者此减尽之最小数即可以度尽此两数也设如有甲乙十六丙丁六之两数将丙丁六与甲乙十六减二次余戊乙四将此戊乙四转与丙丁六相减余己丁二又将此已丁二转与戊乙四相减二次即无余则此已丁二即可以度尽甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二与十六等三倍其二与六等也又如十六与十二与八此三数亦为彼此有度尽之数何也葢十六与十二相减余四以四转与十二相减三次而尽则四可以度尽十六与十二矣又二倍其四即与八等则四又可以度尽八然则十六十二与八之三数为彼此有度尽之数可知矣
第十八
凡两数互转相减至于一始可以减尽者一之外别无他小数可以度尽此两数也设如有甲乙十二丙丁七之两数将丙丁七与甲乙十二相减余戊乙五将此戊乙五转与丙丁七相减余已丁二将此已丁二又转与戊乙五相减余庚乙三又将庚乙三转与己丁二相减余辛乙一既至于一始可以度尽甲乙丙丁两数而一之外如二三四虽可以度尽十二而不能度尽七也又如九与十三及二十之三数亦为彼此无度尽之数何也葢将九与十三互转相减必至于一即用十三与二十转减或用九与二十转减亦皆至于一则除此一之外皆无可以彼此度尽此三数之小数矣
第十九
凡有大数约为相当比例之最小数以从简易则为约分法也然数有可约不可约之分可约者度尽之数不可约者度不尽之数也设如有九与十二之两数欲约为相当比例之最小数乃用求小数度尽大数法以九与十二互转相减得减尽之数为三则三为度尽九与十二之数矣以三除九得三以三除十二得四此三四两数即为九与十二相当比例之最小数也又如有六四八之三数欲约为相当比例之最小数乃以六与四互转相减得减尽之数为二又以二与八相减四次而尽则二为度尽六四八之小数矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三数即六四八相当比例之最小数也此皆数之可约者也若夫数之不可约者互转相减必至于一而不可以度尽也如有五七两数以五减七余二复以二减五二次余一既余一则自一之外必无可以度尽之数而不可约矣
第二十
凡有大分以分母乘之通为小分则为通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘则积少成多其得数溢于原数之外通则变大为小其得数仍函于原数之中也如有大分十二其分母为四欲得其小分则以分母四乘大分十二得小分四十八是已试作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若将中函之方形每分俱分为四小方则十二方形共分为四十八小方形矣其数虽比原大数加四倍然其每分之分只得原数之四分之一故仍函于甲乙方形之内而未尝溢出原数之外也又如有大分九其分母为九欲得其小分则以分母九乘大分九得小分八十一是已试作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若将其中函之方形每分俱分为九小方则九方形共分为八十一小方形矣其数虽比原大数加九倍而仍函于丙丁方形之内者以其每分之分只得原数之九分之一也由此推之其每分之母或为八或为十二或为数十亦皆仿此通之其所通之数虽至千万而要皆未有溢于所通原分之外者矣
第二十一
凡有几小数欲求俱可以度尽之大数则以此几小数连乘之得数始为此几小数度尽之一大数也设如有四五两小数欲求用四用五俱可以度尽之一数则以四与五相乘得二十即为四五两数俱可度尽之一大数矣又如有三四五之三小数欲求用三用四用五俱可以度尽之一数则以三与四相乘得十二又以五乘十二得六十即为三四五俱可度尽之一大数矣葢小数为大数之根始能度尽大数如四五可以度尽二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度尽六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二
凡有两数彼此互乘所得之数与原数比例必同也葢数有多寡而分又有大小则纷纭难御故必依此数之分将彼数加为几倍又依彼数之分将此数加为几倍则两分数既同而比例亦同矣如甲乙二数甲为三分之二乙为四分之三欲辨其孰大则依甲数将乙数加三倍为十二分之九依乙数将甲数加四倍为十二分之八如是则所加之两大分同为十二而所生之两小分相比即同于原甲数与乙数之相比矣何也甲数本三分之二而为十二分之八者乃加四倍之比例【十二为三之四倍八为二之四倍】而十二分之八之比例仍同于三分之二之比例也乙数本四分之三而为十二分之九者乃加三倍之比例【十二为四之三倍九为三之三倍】而十二分之九之比例仍同于四分之三之比例也【此即互乘同母之法如甲为三分之二者三即母数二即子数也乙为四分之三者四即母数三即子数也因两母数不同故用互乘以同之】
第二十三
凡子母分有几数而子数同为一者先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之则爲各子数也如甲乙丙三数甲为二分之一乙为三分之一丙为四分之一则先以三母数连乘得二十四为甲乙丙之共母数又以二除共母数得十二为甲之子数以三除共母数得八为乙之子数以四除共母数得六为丙之子数葢甲本二分之一子母各加十二倍即为二十四分之十二而二十四与十二之比例仍同于二与一之比例也乙本三分之一子母各加八倍即为二十四分之八而二十四与八之比例仍同于三与一之比例也丙本四分之一子母各加六倍即为二十四分之六而二十四与六之比例仍同于四与一之比例也
第二十四
凡子母分有几数而子母数俱不等者亦先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之得数复以各子数乘之即为各子数也如有甲乙丙三数甲为三分之二乙为四分之三丙为五分之四则先以三母数连乘得六十为甲乙丙之共母数次以三除共母数得二十以乘子数二得四十为甲之子数又以四除共母数得十五以乘子数三得四十五为乙之子数又以五除共母数得十二以乘子数四得四十八为丙之子数葢甲本三分之二子母各加二十倍即为六十分之四十而六十与四十之比例仍同于三与二之比例也乙本四分之三子母各加十五倍即为六十分之四十五而六十与四十五之比例仍同于四与三之比例也丙本五分之四子母各加十二倍即为六十分之四十八而六十与四十八之比例仍同于五与四之比例也
算法原本二
第一
凡有几小数与几大数相比其比例若同则小数相加所得之总数与大数相加所得之总数相比仍同于原数之比例也设如有一小数六一小数四一大数十八一大数十二其小数六为大数十八之三分之一而小数四亦为大数十二之三分之一将两小数六四相加得一十将两大数十八十二相加得三十此一十与三十之比即如六与十八四与十二之比皆为三分之一之比例也又如三小数二三四与三大数六九十二相比皆为三分之一将二三四相加得九将六九十二相加得二十七其比例亦为三分之一也又或四小数四大数相加其总数之比例亦皆同如三与十二四与十六五与二十六与二十四俱为四分之一将三四五六四小数相加得十八将十二十六二十二十四四大数相加得七十二其比例仍为四分之一矣
第二
凡有几小数与几大数之比例若同则小数相减所得之余数与大数相减所得之余数相比仍同于原数之比例也设如有一小数十一小数六一大数三十一大数十八其小数十为大数三十之三分之一而小数六亦为大数十八之三分之一将两小数十与六相减余四将两大数三十与十八相减余十二此四与十二之比即如十与三十六与十八之比皆为三分之一之比例也又如三小数八四三与三大数二十四十二九相比皆为三分之一将四三与八递相减余一将十二九与二十四递相减余三其比例亦为三分之一也又或四小数四大数相减其余数之比例亦皆同如十八与七十二为四分之一而三与十二四与十六五与二十俱为四分之一将小数三四五与十八递相减余六将大数十二十六二十与七十二递相减余二十四其比例仍为四分之一矣
第三
凡有一数乘两数其所得两数相比仍同于原两数之相比也设如一数六与八与一十两数相乘以六乘八得四十八以六乘一十得六十此四十八与六十相比即同于原数八与一十之相比矣夫八与四十八一十与六十皆为六分之一故一与六之比同于八与四十八之比而一与六之比亦同于十与六十之比也然则八与四十八之比例必同于十与六十之比例而四十八与六十之比例亦必同于八与一十之比例可知矣
第四
凡有一数除两数其所得两数相比仍同于原两数之相比也设如一数三除十二与十五之两数以三除十二得四以三除十五得五则此四与五相比即同于原数十二与十五之相比矣夫十二与四十五与五皆为三分之一故一与三之比同于四与十二之比而一与三之比亦同于五与十五之比也然则四与十二之比例必同于五与十五之比例而四与五之比例亦必同于十二与十五之比例可知矣
第五
凡相当比例四数其第一数与第四数相乘第二数与第三数相乘所得之数等者何也葢两方面以其纵横界互相为比之比例若等则两方积必等【见几何原本七卷第三节】今以第一数与第四数相乘即如以第一数为纵第四数为横成一方数而第二数与第二数相乘即如以第二数为纵第三数为横成一方数其积必相等也设如有二与六三与九相当比例四数将第一数二为纵第四数九为横相乘得十八为甲丙一方数将第二数六为纵第三数三为横相乘亦得十八为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之二而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之二其比例相等故两方数亦等此两方数既等则相当比例四数其第一数与第四数相乘第二数与第三数相乘所得之数相等无疑矣
第六
凡相连比例三数其首数与末数相乘与中一数自乘所得之数等者何也葢两方面相等者其纵横界之互相比例必等【见几何原本七卷第三节】今将首数与末数相乘即如以首数为纵末数为横成一方数而中数自乘即是以中数为纵复以中数为横成一方数其积必相等也设如有四六九相连比例三数将首数四为纵末数九为横相乘得三十六为甲丙一方数将中数六为纵仍复为横相乘即是自乘亦得三十六为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之一其比例相等故两方数亦等此两方数既等则相连比例三数其首末两数相乘与中数自乘所得之数相等无疑矣
第七
凡有两数除一数其所得两数之比例即同于原两数之转相比例也设如有一数十八以二三两数除之二除十八得九三除十八得六以此九与六两数相比即同于原两数三与二之相比也葢二与三六与九为相当比例之四数以第一数二与第四数九相乘第二数三与第三数六相乘皆得十八故二除十八得九即如以第一数除第二数与第三数相乘之数而得第四数也以三除十八得六即如以第二数除第一数与第四数相乘之数而得第三数也夫相当比例数其第二数与第四数之比原同于第一数与第三数之比故第一数二除十八所得之九与第二数三除十八所得之六相比即同于第二数三与第一数二之相比也
第八
凡有两数除一数其所得之两数内有一数与原两数内一数相等者则所得之两数与原两数互转相比即成相连比例之数也设如有一数三十六以四六两数除之四除三十六得九六除三十六仍得六与原数六相等则此九与六两数之比即同于原数六与四之比也葢四与六六与九为相连比例之四数以四为首数九为末数相乗以六为中数自乘皆得三十六今以四除三十六得九即如以首数除中数自乘之数而得末数也以六除三十六复得六即如以中数除首末两数相乘之数而仍得中数也夫相连比例数其末数与中数之比原同于中数与首数之比则首数四除三十六所得九与中数六除三十六所得六相比即同于中数六与首数四之相比也
第九
凡相当比例四数其第一数度尽第二数则第三数亦必度尽第四数也如有二六三九相当比例四数其第一数二可以度尽第二数六则第三数三亦可以度尽第四数九矣夫相当比例四数第一与第二之比必同于第三与第四之比今第一为二第二为六乃加三倍之比例则第四与第三亦必为加三倍之比例故三倍其二可以度尽六者三倍其三即可以度尽九也
第十
凡相连比例三数其第一数度尽第二数亦必度尽第三数也如有二四八相连比例三数其第一数二可以度尽第二数四亦必可以度尽第三数八矣夫相连比例三数第一与第二之比同于第二与第三之比今第一数为二第二数为四乃加倍之比例则第二与第三亦必为加倍之比例而第一与第三则为再加一倍之比例故一倍其二可以度尽四者再倍其二即可以度尽八也第十一
凡依次递加取四数其第一第四两数相加与第二第三两数相加之数等也如一二三四递加之四数将第一数一与第四数四相加得五以第二数二与第三数三相加亦得五又如一三五七递加之四数【一三五七为隔一数以递加者也】将第一数一与第四数七相加得八以第二数三与第三数五相加亦得八也又如二五八十一递加之四数【二五八十一为隔二数以递加者也】将第一数一与第四数十一相加得十三以第二数五与第三数八相加亦得十三由此推之或隔三数或隔四数或隔五六数以至极多数但依次递加取四数无有不如此也
第十二
凡依次递加取三数其首末两数相加与中数加倍之数等也如二三四递加之三数将首末二四相加得六以中数三倍之亦得六又如二四六递加之三数【二四六隔一数以递加者也】将首末二六相加得八以中数四倍之亦得八也又如三六九递加之三数【三六九隔二数以递加者也】将首末三九相加得十二以中数六倍之亦得十二由此推之或隔三数或隔四数或隔五六数以至极多数但依次递加取三数无有不合者也
第十三
凡依次递加三数以第二第三两数相加减去第一数即得挨次之第四数也如二三四之三数以第二数三第三数四相加得七内减去第一数二得五即是第四数又如二四六隔一数递加之三数以第二数四第三数六相加得一十内减去第一数二得八即是第四数亦为隔一数又如三六九隔二数递加之三数以第二数六第三数九相加得十五内减去第一数三得十二即是第四数亦为隔二数矣葢此即四率相当比例之理四率中两率相乘与首末两率相乘之数等故中两率相乘以首率除之即得末率而此则中两数相加与首末两数相加之数等故以首一数减之即得末一数其义一也
第十四
凡依次递加两数以第二数倍之减去第一数即得挨次之第三数也如二三两数将第二数三倍之得六内减去第一数二余四即是第三数又如二四隔一数之两数将第二数四倍之得八内减去第一数二余六即是第三数四与六亦为隔一数也又如三六隔二数之两数将第二数六倍之得十二内减去第一数三余九即是第三数九与六亦为隔二数也葢此即三率相连比例之理三率以中率自乘与首末两率相乘之数等故中率自乘以首率除之即得末率而此则中数倍之与首末两数相加之数等故以首数减之即得末数于此见加减乘除之相对待而加减可以代乘除之理亦可从此推矣
第十五
凡有彼此可以度尽两数欲求相连比例之数则以一数自乘以一数除之即得相连比例之第三数也如有四八两数欲求第三数如四与八之相连比例乃以八自乘得六十四以四除之得十六此十六即为四与八相连比例之第三数葢八者四之二倍而十六又为八之二倍则八与十六之比例必同于四与八之比例矣如有三数求第四数仍如四与八之比例则以第三数十六自乗得二百五十六以第二数八除之得三十二即为四八十六相连比例之第四数葢十六者四之四倍而三十二者八之四倍则十六与三十二之比例必同于四与八八与十六之比例矣如欲求连比例之第五数或第六数即以相近两数依前法算之由此递生可至于无穷焉然此皆四与八之比例或四与十六或三与六五与十之类凡有彼此度尽之数欲求相连比例几数者亦皆如此求之无不可得矣
第十六
凡有彼此不可以度尽之两数欲依此两数比例求相连比例之数则以一数自乘为第一率而以又一数自乘为第三率以两数互乘为第二率即为相连比例之三数也如有三五两数欲求相连比例三数皆如三与五之比例乃以三自乘得九以五自乘得二十五以三与五相乘得十五此九与十五十五与二十五之三数即如三与五之相连比例三数葢九为三之三倍而十五为五之三倍则九与十五为三与五之比例矣而十五为三之五倍二十五为五之五倍则十五与二十五亦为三与五之比例矣又或已有三数欲求第四数皆如三与五之连比例则以三乘九得二十七以三乘十五得四十五以三乘二十五得七十五复以五乘九得四十五五乘十五得七十五五乘二十五得一百二十五此所得六数内四十五七十五各得二今止用其一故二十七四十五七十五一百二十五之四数即如三与五之相连比例数也葢二十七者三之九倍而四十五者五之九倍则二十七与四十五之比例同于三与五之比例矣又四十五者三之十五倍而七十五者五之十五倍则四十五与七十五之比例同于三与五之比例矣又七十五者三之二十五倍而一百二十五者五之二十五倍则七十五与一百二十五之比例亦同于三与五之比例矣如欲求连比例之第五数或第六数以原一数递乘先得之几数复以又一数递乘先得之几数去其相同者所余即成相连比例之数由此求之亦可至于无穷也然此皆三与五之比例或三与七四与九五与八之类凡彼此不可以度尽之数欲求相连比例几数者亦皆仿此求之而即得矣
第十七
凡相当比例四数其前两数之间有相连比例二数其后两数之间亦必有相连比例二数也设如有甲二十四乙八十一丙三十二丁一百零八相当比例之四数甲数二十四与乙数八十一之间有戊三十六己五十四之相连比例两数则丙数三十二与丁数一百零八之间亦必有庚四十八辛七十二之相连比例两数也试将甲戊己乙四数求其相当比例之至小数则得壬八癸十二子十八丑二十七之四数其甲与乙之比即同于壬与丑之比而丙与丁之比原同于甲与乙之比则丙与丁之比亦必同于壬与丑之比矣其比例既同则壬可以度尽丙丑亦可以度尽丁而癸与子亦必可以度尽庚与辛【壬癸子丑各四倍之即与丙庚辛丁等是四次可以度尽也】是丙庚辛丁四数之比皆与壬癸子丑四数之比相同也夫壬癸子丑原为甲戊己乙连比例相当之小数今丙庚辛丁之比既与之相同则丙庚辛丁亦为相连比例之四数矣既俱为相连比例数则戊己为甲乙两数间之连比例数庚辛为丙丁两数间之连比例数无疑矣
第十八
凡相连比例三数其第一数与第二数之间有相连比例一数则第二数与第三数之间亦必有相连比例一数也设如有甲二乙十八丙一百六十二相连比例之三数其甲数二与乙数十八之间有相连比例之丁数六则乙数十八与丙数一百六十二之间亦必有相连比例之戊数五十四也葢甲与乙之比同于乙与丙之比今丁六为甲二之三倍戊五十四亦为乙十八之三倍则甲与丁之比同于乙与戊之比而丁六为乙十八之三分之一戊五十四亦为丙一百六十二之三分之一则丁与乙之比亦同于戊与丙之比因其比例皆同故甲丁乙戊丙为相连比例之五数而丁戊两数为甲与乙乙与丙三数间之相连比例数可知矣
第十九
凡相连比例三数其首数与末数有用一数可以度尽者有用一数不可以度尽者如四八十六相连比例之三数其首数四与末数十六为彼此有一数可以度尽之数也如四六九相连比例之三数其首数四与末数九为彼此无一数可以度尽之数也然此两种相连比例虽有度尽度不尽之分因其首数与中数之比同于中数与末数之比故总谓之相连比例之数焉葢末数可用首数平分即为有度尽之连比例数末数不可用首数平分即为无度尽之连比例数也且首末两数彼此有一数可以度尽者此三数非相当比例之至小数若首末两数彼此无一数可以度尽者此三数即为相当比例之至小数也如四八十六之三数其首末两数为彼此有一数可以度尽之数而中数亦必为此一数可以度尽之数试用二以度之则得二四八之连比例三数或用四以度之则得一二四之连比例三数皆与四八十六之比例相同而比四八十六之数为小故四八十六非相当比例之至小数也如四六九之三数其首末两数为彼此无一数可以度尽之数故中数亦为无一数可以度尽之数既无一数可以彼此度尽则为相当比例数内之至小数也明矣
第二十
凡同式两平方数其间必有相连比例一数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四同式两平方数此两数之间必有壬十二为相连比例之一数焉葢甲乙丙丁戊己庚辛既为同式平方数则其每边皆可为比例如甲乙二与甲丁三之比同于戊己四与戊辛六之比而甲乙二与戊己四之比亦同于甲丁三与戊辛六之比也今以甲丁三与甲乙二相因得六甲丁三与戊己四相因得十二则六与十二之比同于甲乙二与戊己四之比矣又戊己四与甲丁三相因得十二戊辛六与戊己四相因得二十四则十二与二十四之比同于甲丁三与戊辛六之比矣夫甲丁三与戊辛六之比原同于甲乙二与戊己四之比则六与十二之比亦必同于十二与二十四之比矣又若两正方数之间亦必有相连比例之一数也如有甲四丙九两正方数此四与九两数之间必有乙六为相连比例之一数焉葢两正方数其式既同故必有相连比例一数且两正方数之比例同于其两边所作连比例隔一位之比例【见几何原本七卷第五节】今甲方边为二丙方边为三求其与二三相当连比例之第三数则以二自乘得四以三自乘得九以二乘三得六此四与六六与九之三数即为与二三相当之连比例数而其首数四与末数九既与甲丙两方数等则中数六亦必为甲丙两方数间之连比例数矣
第二十一
凡同式两平方数相乘得数为正方数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四为同式两平方数相乘得一百四十四即为正方数矣葢同式两平方数之间原有相连比例一数今此六与二十四之间必有十二之一数且连比例三率以首末两率相乘与中率自乘之数等则此六与二十四两平方数相乘所得之一百四十四即为中率十二自乘之数矣又若两正方数相乘得数亦仍为正方数其方根即原两方根相乘之数也如有甲四丙九两正方数此两数相乘得三十六仍为正方数其方根为六亦即甲方根二与丙方根三相乘之数也葢此两方数俱为正方即为同式两平方数矣因其式同故相乘亦仍得正方数也凡数有先各自乘而后相乘者有先相乘而后自乘者其理无异故其得数皆等今以二自乘得四以三自乘得九复以四九相乘得三十六此先各自乘而后相乘也以二与三相乘得六复以六自乘得三十六此先相乘而后自乘也且四与九积也积与积乘仍得积二与三根也根与根乘仍得根此亦理之必然者也
第二十二
凡两正立方数之间必有相连比例之两数也如有甲八丁二十七两正立方数此八与二十七之间必有乙十二丙十八为相连比例之两数焉葢两正立方之比例同于其两边所作连比例隔二位之比例【见几何原本十卷第四节】今甲方边为二丁方边为三求其与二三相当连比例之第三第四数则以二自乘得四以三自乘得九以二与三相乘得六此四六九为连比例三数又以二递乘此四六九三数得八十二十八之三连比例数复以三递乘四六九三数得十二十八二十七之三连比例数除相同者不计其二十七即连比例之第四数则八与十二十二与十八十八与二十七皆为与二三相当之连比例数而其首数八与末数二十七既与甲丁两立方数等则其中数之十二十八为甲丁两立方数间连比例之两数可知矣
第二十三
凡两正立方数相乘得数仍为正方数而其方根即原两立方根相乘之数也如有甲八丁二十七两正立方数此两数相乘得二百一十六仍为正立方数而其方根为六亦即甲立方根二与丁立方根三相乘之数也葢此两立方数俱为正方即为同式两立方数矣因其式同故相乘亦仍得正立方也凡数有先自乘再乘而后以所得之数相乘者有先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘者其得数皆等故二自乘再乘得八三自乘再乘得二十七复以八与二十七相乘得二百一十六此先各自乘再乘而后以所得之数相乘也以二与三相乘得六复以六自乘再乘亦得二百一十六此先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘也且八与二十七积也以积乘积仍得积二与三根也以根乘根仍得根此又理之自然者也第二十四
凡两平方数若一边相等则此两平方之比例同于其不等边之比例也如有甲丙戊庚两平方数其甲丙平方之甲乙边为四而戊庚平方之戊已边亦为四甲丙平方之乙丙边为六而戊庚平方之己庚边为八则此两平方数二十四与三十二之比即同于其不等边六与八之比也葢甲乙平方数二十四者四之六倍而戊庚平方数三十二者四之八倍也然则二十四与三十二之比即同于六与八之比矣二十四与三十二之比既同于六与八之比则两平方数之比例同于其不等边之比例可知矣
第二十五
凡两立方数其底积相等则此两立方之比例同于其髙之比例也如有甲乙丙丁两立方数其甲乙立方之戊乙底为六而丙丁立方之己丁底亦为六甲乙立方之甲戊髙为四而丙丁立方之丙己髙为五则此两立方数二十四与三十之比即同于其两立方之高四与五之比也葢甲乙立方数二十四者六之四倍而丙丁立方数三十者六之五倍也然则二十四与三十之比即同于四与五之比矣二十四与三十之比既同于四与五之比则两立方数之比例同于其髙之比例可知矣
第二十六
凡两线两面两体用一度【如尺寸之属】可以度尽者此类之线面体皆为有整分可以度尽者也设如有甲乙两线甲线分为五分乙线如甲线度分之得七分无余则此二线即为一度彼此可以度尽者矣若将此二线各为正方面各为正方体则其两面两体亦皆为整分彼此可以度尽者也至如两线两面两体不可以一度度尽者此类之线面体皆为无整分可以度尽者也如丙丁戊己方面其丙丁边线为五分而丙戊对角线则为七分有余乃为彼此无度尽之数矣葢以丙丁边之五分为度则丙戊线得七分有余或将丙戊线为七分整而以其分为度则丙丁线得五分不足凡此类之线面体皆为无整分彼此可以度尽之数也
第二十七
凡正方一边线与对角线无一度可以彼此度尽者葢以本方积与对角线所成方积比之必有一数非正方数也夫对角线自乘所作之方数为本方积之二倍如本方积一则对角线所作之方为二本方积四则对角线所作之方为八此一与二四与八之间无相连比例之整数故一为正方数则二非正方数四为正方数而八亦非正方数二与八既非正方数则边必有零余而不能尽矣或对角线所作方积为四则本方积为二对角线所作方积为十六则本方积为八此四与二十六与八之间亦无相连比例之整数故四为正方数而二非正方数十六为正方数而八又非正方数然则对角线所作方积固为正方数而本方积复不能成正方数其边必有零余而不能尽矣故凡正方边线与对角线断无一度可以彼此度尽之理也
第二十八
凡正方面与平圆面同径者其积之比例同于其周围边线之比例也如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平圆面其戊壬庚之径相等则此方积与圆积之比例同于方周于圆周之比例也何以见之以正方面之壬庚半径为髙甲乙乙丙丙丁丁甲之全周为底作一子甲直角长形方则此长方形之积比正方形之积必大一倍又以壬庚半径为髙庚己己戊戊辛辛庚全周为底作一壬庚直角长方形则此长方形之积比平圆形之积亦必大一倍凡直角三角形之小边与圆形之半径等而三角形之大边与圆形之全周等者三角形之积与圆形之积等也今此长方形与三角形同底同髙其积比三角形必大一倍然则壬庚长方形比圆形大一倍可知也夫壬庚子甲两长方形既同以壬庚为髙则一边数等一边相等则其积之比例必同于其不等边之比例而全与全之比例原同于半与半之比例故两长方形之比例必同于庚庚与甲甲之比例而方与圆之比例亦必同于庚庚与甲甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圆周然则方周与圆周之比例岂非方积与圆积之比例乎
第二十九
凡有不知之一大数用两小数度之不尽而一有余一不足者其一多一少之数相并以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数五度之多一数用小数六度之又少四数则以多一与少四相加得五以六与五两小数相减余一为较数除之仍得五即知两小数各度五次也试排防以明之其甲乙五即小数五丙丁六即小数六以甲乙五累五次则为甲乙己丙正方二十五多一为丁以丙丁六累五次则为甲戊丁丙长方三十少四为戊庚于甲戊丁丙长方三十内减去少数戊庚四为二十六于甲乙己丙正方二十五加入多数丁一亦为二十六是知大数有二十六用此五六两小数各度五次之分也以丁一与戊庚四相加为丁戊五以小数甲乙五与丙丁六相减余一以一除丁戊五仍得五与甲丙相等故甲丙为庚大数二十六之五次数也若以比例言之其小数五与六相减所余一者乃度一次之较而一多一少相并之戊丁五者又为度五次之较故以所余一与度一次之比即同于戊丁五与度五次之比其比例既同故其数亦相等也
第三十
凡有不知之一大数用两小数度之不尽而俱有余或俱不足者其两有余或两不足之数俱相减以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数六度之多五数用小数七度之仍多一数则以两多数相减余四以六与七两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也试排防以明之其甲乙六即小数六丙丁七即小数七以甲乙六累四次则为甲乙庚丙方二十四多五为戊丁己以丙丁七累四次则为甲戊丁丙方二十八多一为己于甲乙庚丙方二十四加入多数戊丁己五得二十九于甲戊丁丙方二十八加入多数己一亦得二十九是知大数有二十九用此六七两小数各度四次之分也以己一与戊丁己五相减余戊丁四以小数甲乙六与丙丁七相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙相等故甲丙为度大数二十九之四次数也若以比例言之其两小数相减所余之一乃度一次之较两多数相减所余之戊丁四乃度四次之较故以一与度一次之比即同于戊丁四与度四次之比也又如有不知之一大数用小数八度之少二数用小数九度之少六数则以两少数相减余四以八与九两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也今作防排之其甲乙八即小数八丙丁九即小数九以甲乙八累四次则为甲乙己丙方三十二内少二数为乙庚以丙丁九累四次为甲戊丁丙方三十六丙少六数为乙庚丁戊于甲乙己丙方三十二内减去少数乙庚二为三十于甲戊丁丙方三十六内减去少数乙庚丁戊六亦为三十是知大数有三十用此八九两小数各度四次之分也以乙庚二与乙庚丁戊六相减余戊丁四以小数甲乙八与丙丁九相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙为相等故甲丙为度大数三十之四次数也其比例亦以两小数相减所余之较比度一次之分即同于两少数相减所余之较比度几次之分也复有不知之一大数用两小数度之一小数度之而尽一小数度之而不尽【或有余或不足】即以不尽之数【或有余之数或不足之数】用两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何其理皆相同也
第三十一
凡数自少至多递加之而各有定率者谓之平加比例数也夫平加之数有毎次递加一者为挨次递加之数如一二三四之类是也有每次递加二者为超位平加之数如一三五七之类是也【或递加三或递加四或递加五六皆是一理】有每次増一加者为按位相加之数如一三六十之类其第二次加二第三次加三第四次加四是也有每次増二加者为按位自乘之数如一四九十六之类其第二次加三第三次加五第四次加七是也复有一种倍加者为挨次倍加之数如一二四八之类每次皆加二倍又如一三九二十七之类每次皆加三倍是也递加之数虽多按其条理求之大抵不出此数端今各列数分析于后
第三十二
凡挨次递加之数将首数与末数相加以位数乘之所得之数折半即为总数也如一二三四五六七八九之九数其毎次所加之数为一将首数一与末数九相加得十以位数九乘之得九十折半得四十五即是此九数之总数也何也夫挨次递加之数为等边三角平面形而两数相乘即成四方形今以位数九为髙末数九为底相乘所得之正方形其数八十一较之总数则多较之总数加倍之数又少此所少即一行之数爰知位数与底数相乘所得之数比总数加倍之数少一行之数矣既知挨次递加之数为三角形而位数与底数相乘之数为正方形又知位数与底数相乘之数几等于总积加一倍之数则合两三角形之数适当总积加一倍之方数矣两三角形所合其底数必比高数大一数故末数九为底数者加首数一与髙相乘始成两三角形所合之一方形焉试将此九数作防排之自上而下上一下九作为直角三角形复将此九数另作一直角三角形合于原三角形之侧则成一长方形其高即位数其底即末数与首数相加之数其积即为总数加一倍之数也然则首数末数相加与位数相乘为总数之倍数可知矣又如四五六七八九之六数欲知其总数亦以首数四与末数九相加得十三为底以位数六乘之得七十八为长方形折半得三十九为总数其理与前同若但知首数为四末数为九不知位数则视首数四以上至一虚几位今虚三位故以三与末数九相减余六即位数也何也凡自一递加之数其末数即位数今首数为四计自一是少三位矣故用三即为所少之位数于末数内减去所少之位即为今之所有之位数也第三十三
凡超位平加之数亦将首数与末数相加以位数乘之得数折半为总数也如一三五七九十一之六数【每次皆加二数】将首数一与末数十一相加得十二以位数六乘之得七十二折半得三十六为此六位之总数也葢此超位平加之数与挨次平加之理无异其以首末两数相加与位数相乘者总欲得此总数之倍数以便折半取之也试将此六位之数作六层排之上一下十一以首末数相加得十二而以位数乘之则六层皆为十二矣上层本首数一加末数十一而成十二下层本末数十一加首数一而成十二是首数末数俱加倍矣二层本第二数三加第五数九而成十二五层本第五数九加第二数三而成十二是第二数第五数俱加倍矣三层本第三数五加第四数七而成十二四层本第四数七加第三数五而成十二是第三数第四数亦俱加倍矣其每位之数皆倍则相乘所得之数岂非此总数之倍数乎由此推之毎次加三加四或加五加六以至加七加八加九之类凡系超位平加之数其理无不相同也
第三十四
凡毎次按位相加之数将位数加二与末数相乘取其三分之一即为总数也如一三六一十十五之五数其每次皆按位加之【如第二位于第一位一上加二为三第三位于第二位三上加三为六是也】将位数五加二与末数十五相乘得一百零五以三除之得三十五即是此五数之总数也如或止有位数或止有每一边数求总数则以位数加一与位数相乘得数复以位数加二乘之取其六分之一即得总数也【若止有每一边数即以每一边数加一与每边数相乘得数复以边数加二乘之取其六分之一得数亦同】葢毎次按位相加之数层叠排之其式成等边三角体其末一数即三角体底面数而位数即毎一边之数今以位数加二为髙末数为底相乘即成平行面之三棱体凡同底同髙之平行面体为尖体之三倍则此平行面三棱体内必有等边三角体之三倍故以三除之即得也然必以位数加二为髙者何也以三三角体相凑乃成上下相等之平行面体其髙必比原有之位数多二层【两三角面相合比原位数多一层今三三角体相合故必比原位数多二层也】如止以位数为高即少二层之数而不足三三角体之分故必以位数加二乘之也其止有位数或每一边数求总数以位数加一与位数相乘复以位数加二乘之而用六除者何也葢位数即底面之每边数而底面又为等边之三角面今以边数加一与边数相乘成长方面为三角体底面之倍数即如前挨次递加数之两三角面相合所成之长方形也凡等髙之体底数倍者积数亦倍彼以位数加二乘三角体之底所成之平行面三棱体既为等边三角体之三倍矣今以位数加二乘三角体之倍底所成之平行面长方体又必为等边三角体之六倍矣【以两三棱体相合即成长方体一三棱体为三角体之三倍则两三棱体必为三角体之六倍矣】故以六除平行面长方体之数而得等边三角体之数也又或但知首数末数而不知位数则以末数倍之用一为较数开?纵平方即得位数焉葢末数倍之者即两三角面所合之长方也其阔即三角每边数其长比阔多一数故用一为较开带纵平方则得三角毎边之数既得每边数即得位数矣
第三十五
凡每次按位自乘相加之数将位数折半与末数相加复以位数加一乘之取其三分之一即为总数也如一四九十六二十五之五数其每位之数皆按位自乘之数【如第二位之四即二自乘数第三位之九即三自乘数也】将位数五折半为两个半与末数二十五相加得二十七个半复以位数五加一为六乘之得一百六十五以三除之得五十五即为此五数之总数也如止有位数或止有每一边数求总数则以位数加半个与位数相乘得数复以位数加一乘之取其三分之一即得总数也【若只有每一边数即以每一边数加半个与每一边数相乘得数复以每边数加一乘之取其三分之一得数亦同】葢按位自乘相加之数层叠排之其式成方底四角尖体其末一数即四角尖体底面数而位数即毎一边之数今以位数折半与末数相加则成长方面为底再以位数加一为髙乘之即成平行面之长方体凡同底同髙之平行靣体为尖体之三倍则此平行面长方体内必有四角尖体之三倍故以三除之即得也然必以位数折半与末数相加为底复以位数加一为髙者何也葢三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底比正方面必多半行其髙必比原有之位数多一层【三等边三角体相合比三角体原位数多二层今三方底四角尖体相合比原位数止多一层葢因方底比三角底式大一倍故四角体髙比三角体髙所加之数减一半也】如止以末数为底则底必少半行之数止以位数为髙则髙复少一层之数必不足三四角尖体之分故以末数加位数之半而以位数加一乘之适足三四角尖体之分也其止有位数或每一边求总数以位数加半个与位数相乘复以位数加一乘之而用三除之者何也葢位数即底靣之毎边数而底面又为正方面今以边数加半个与边数相乘成长方面比正方止多半行之分其理即如求三角体总数以边数加一与边数相乘为三角体底之倍数也以位数加一与底面相乘成长方体比方底四角尖体大三倍即如求三角体总数以位数加二与倍底相乘为三角体之六倍也彼三角体底倍之为长方此四角体底数加半行即为长方彼三角体总数六倍爲同边长方体此四角体总数三倍为同边长方体故三角体以边数加一与边数相乘者今四角体以边数加半与边数相乘而三角体以位数加二为髙与倍底相乘者今四角体以位数加一与本底加半行相乘总之四角体底式比三角体底式大一倍故立法时三角体加数几何而此四角体皆用其半也又或但知首数末数而不知位数则以末数开平方即得位数焉葢末数本为正方数故开方即得毎边数既得毎边数则得位数矣
第三十六
凡每次倍加之数将末数与加倍之数相乘减去首数复以所加之分数除之即得总数也如二四八十六四数为毎次以二倍之之数欲求其总数则以末数十六用二乘之【因以二倍之故用二乘】得三十二减去首数二为三十复以其所加分数一除之仍得三十即此四数之总数也葢以二加倍之数其末一数比前几位之总数止多一首数故二乘末数则比末数多一分仍多一首数故减去首数二而以一除之即得总数也又如三九二十七八十一四数为毎次以三倍之之数欲求其总数则以末数八十一用三乘之【以三倍之故用三】得二百四十二减去首数三为二百四十复以其所加分数二除之得一百二十即为此四数之总数也葢以三加倍之数其末一数为前几数之倍数而仍多一首数今三乘末数则比末数多二分仍多一首数【三乘末数八十一则为八十一者有三除本数八十一仍为多二分也】故必减去首数三而以二除之即得总数也又如四十六六十四二百五十六四数为毎次以四倍之之数欲求总数则以末数二百五十六用四乘之【以四倍之故用四】得一千零二十四减去首数四为一千零二十复以其所加分数三除之得三百四十为此四数之总数也葢以四加倍之数其末一数为前几数之三倍而仍多一首数今四乘末数则比末数多三分仍多一首数【四乘末数二百五十六则为二百五十六者有四除本数二百五十六仍为多三分也】故必减去首数四而以三除之即得总数也凡此倍加之数不论加倍几何皆为相连比例之数故其比例皆同如递加二倍之数其四与八之比同于二与四之比即八与十六之比亦皆同于二与四之比也又如递加三倍之数其九与二十七之比同于三与九之比即二十七与八十一之比亦皆同于三与九之比也即递加四倍之数其十六与六十四之比同于四与十六之比即六十四与二百五十六之比亦皆同于一与四之比也总之以二倍加者皆一与二之连比例以三倍加者皆一与三之连比例以四倍加
者皆一与四之连比例即推之以五倍
加六倍加者其理亦无不相同也
御制数理精蕴上编卷五
