钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十三

体部一

立方

立方

立方者等边六面之体积也以形而言虽为六面十二边之所合以积而言则为自乗再乗之数因其纵横与髙俱相等故十二边皆如一线得其一边而十二边莫不相同其积之也自线而面自面而体次第相乗而后得其全积其?之也必次第析之而后得其一边是故古人立为方廉长廉之制每积三位而得边之一位所谓一千商十定无疑三万才为三十余九十九万不离十百万方为一百推是也其法先从一角而剖其体以自一至九自乗再乗之数为方根与实相审量其足减者而定之是为初商初商减尽无余则方根止一位若有余实即初商方积外别成一缺角三面磬折体其附初商之三面者谓之方廉其附初商之三边者谓之长廉其附初商之角者谓之隅廉有三故以三为廉法隅惟一而隅之三面即符于三长廉之端合三方廉三长廉一隅始合次商之数故商除之法以初商自乗三因为三方廉面积视初商余实足方廉面积几倍即定为次商乃以次商乗三长廉为三长廉面积又以次商自乗为小隅面积共合三方廉三长廉及一小隅面积以次商数乗之为次商廉隅之共积所谓初商方积外别成一缺角三面磬折体者是也如次商外尚有不尽之实则初商次商方积外仍为三方廉三长廉一小隅又成一三面磬折体但较前方廉愈大长廉愈长而隅愈小耳凡有几层廉隅俱照次商之例逓析之实尽而止如开至多位实仍不尽者必非自乗再乗之正数此开立方之定法也体形不一而容积皆以立方为准故立方为算诸体之本诸体必通之立方而法乃可施也

设如正方体积一百二十五尺开立方问毎一边数几何

法列正方体积一百二十五尺自末位起算每方积三位定方边一位今积止有三位则于五尺上作记定单位以自一至九自乗再乗之方根数与之相审知与五尺自乗再乗之数恰合乃以五尺书于方积五尺之上而以五尺自乗再乗之一百二十五尺书于方积原数之下相减恰尽即得开方之数为五尺也如图甲乙丙丁戊己正方体形毎边皆五尺其中函一尺小方体一百二十五自边计之为五尺自面计之则为五尺自乗之二十五尺自通体计之则为五尺自乗再乗之一百二十五尺以积开之则与五尺自乗再乗之数相准故商除之恰尽也盖方积为三位是以方边止一位方积即五尺自乗再乗之数别无廉隅故不用次商如有余实则自成廉隅而用次商矣

设如正方体积一丈七百二十八尺开立方问每一边数几何

法列正方体积一丈七百二十八尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记即于八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边末位余积七百二十八尺续书于下【大凡以余积续书于下者每取方积之三位以当方边之一位也】为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除方积七百二十八尺足二尺即定次商为二尺书于方积八尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉面积复以次商二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与余积相减恰尽是开得一丈二尺为正方体积每一边之数也如图甲乙丙丁正方体形毎边皆一丈二尺其中函积一丈七百二十八尺是为共积其先从一角所分戊乙庚己方体每边一丈即初商数其中函积亦一丈即初商自乗再乗之数所余辛形壬形癸形三方体为三方廉其每边一丈即初商数其厚二尺即次商数而子形丑形寅形三长方体为三长廉其每边一丈亦即初商数其阔其厚皆二尺亦即次商数方廉有三故三倍初商之自乗为廉法以定次商其卯形一小正方体为隅其长与阔与厚皆同为二尺亦即次商数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三长廉夘一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积此立方廉隅之法所由生也三商以后皆仿此逓析开之

又法列积一丈七百二十八尺自末位起算作记定位同前乃截一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合则定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽乃以方边末位余积七百二十八尺续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积即以三方廉面积三百尺除方积七百二十八尺足二尺则定次商为二尺书于方积八尺之上合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺与原积符合相减恰尽即定立方边为一丈二尺也此法止用三方廉面积除立方体积得次商数即并初商数自乗再乗得数与原积相减虽为省去长廉小隅一层然方边位数少者还为简易至于方边位数过四位以上则累次自乗再乗反比逓析之理为烦矣

设如正方体积一十四万八千八百七十七尺开立方问每一边数几何【此题正方体积之六位皆以尺命位似与前题分丈尺者不同然其取方积三位续书于下其末位即命为单位立算则与丈尺同也】

法列正方体积一十四万八千八百七十七尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记乃于七尺上定单位八千尺上定十位其一十四万八千尺为初商积以初商本位计之则八千尺为初商积之单位而一十四万八千尺为一百四十八止与五自乗再乗之数相准即定初商为五书于方积八千尺之上而以五自乗再乗之一百二十五书于初商积之下相减余二万三千尺爰以方边第二位余积八百七十七尺续书于下共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积乃以初商之五作五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺为次商三方廉面积以除方积二万三千八百七十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上而以初商之五十尺与次商之三尺相乗得一百五十尺三因之得四百五十尺为次商三长廉面积复以次商三尺自乗得九尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得七千九百五十九尺为廉隅共法书于余积之左以次商之三尺乗之得二万三千八百七十七尺与余积相减恰尽是开得五十三尺为正方体积每一边之数也如图甲乙丙丁正方体形每边五十三尺其中函积一十四万八千八百七十七尺是为共积其从一角所分戊乙庚己方体每边五十尺即初商边数其中函积一十二万五千尺即初商自乗再乗之数所余辛形壬形癸形三方体为三方廉其每边五十尺即初商数其厚三尺即次商数而子形丑形寅形三长方体为三长廉其每边五十尺亦即初商数其阔其厚皆三尺亦即次商数方廉有三故三倍初商之自乗为廉法以定次商其邜形一小正方体为隅其长与阔与厚皆同为三尺亦即次商数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三长廉卯一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积也又法列积一十四万八千八百七十七尺自末位起算作记定位同前乃截一十四万八千尺为初商积与五十自乗再乗之数相准则定初商五十尺书于方积八千尺之上而以五十自乗再乗之一十二万五千尺书于原积一十四万八千之下相减余二万三千尺乃合第二位积八百七十七尺共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积而以初商五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺为次商三方廉面积即以三方廉面积除方积二万三千八百七十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上合初商共得五十三尺自乗再乗得一十四万八千八百七十七尺与原积符合相减恰尽即定立方边为五十三尺也此法亦止用三方廉面积除立方体积得次商数即并初商数自乗再乗以减原积也

设如正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸开立方问每一边数几何

法列正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记即于七寸上定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积八百六十尺续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除八百六十尺足二尺即定次商为二尺书于方积空尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉面积复以次商之二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与次商廉隅共积相减余一百三十二尺即一十三万二千寸复以方边第三位余积八百六十七寸续书于下共一十三万二千八百六十七寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一万四千四百寸三因之得四万三千二百寸为三商三方廉面积以除一十三万二千八百六十七寸足三寸即定三商为三寸书于方积七寸之上而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万四千二百八十九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得一丈二尺三寸为正方体积每一边之数也

设如正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺?立方问每一边数几何

法列正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记乃于六尺上定单位八千尺上定十位四百万尺上定百位其九千四百万尺为初商积以初商本位计之则四百万尺为初商积之单位而九千四百万尺为九十四止与四自乗再乗之数相准即定初商为四书于方积四百万尺之上而以四自乗再乗之六十四书于初商积之下相减余三千万尺爰以方边第二位余积八十一万八千尺续书于下共三十零八十一万八千尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则八千尺为次商积之单位而三千零八十一万八千尺为三万零八百一十八而初商之四即为四十乃以初商之四十自乗得一千六百三因之得四千八百为次商三方廉面积以除三万零八百一十八足五倍即定次商为五书于方积八千尺之上而以初商之四十与次商之五相乗得二百三因之得六百为次商三长廉面积复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五千四百二十五为次商廉隅共法书于余积之左以次商之五乗之得二万七千一百二十五与次商廉隅共积相减余三百六十九万三千尺复以方边末位余积八百一十六尺续书于下共三百六十九万三千八百一十六尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十万零二千五百三因之得六十万零七千五百为三商三方廉面积以除三百六十九万三千八百一十六尺足六倍即定三商为六书于方积六尺之上而以初商次商之四百五十与三商之六相乗得二千七百三因之得八千一百为三商三长廉面积复以三商之六自乗得三十六为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六十一万五千六百三十六为三商廉隅共法书于余积之左以三商之六乗之得三百六十九万三千八百一十六与三商廉隅共积相减恰尽是?得四百五十六尺为正方体积毎一边之数也

设如正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸开立方问每一边数几何

法列正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸自末位起算毎隔二位作记即于七寸上定寸位八尺上定尺位七丈上定丈位其三百四十七丈为初商积与七丈自乗再乗之数相准即定初商为七丈书于方积七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四十三丈书于初商积之下相减余四丈即四千尺爰以方边第二位余积四百二十八尺续书于下共四千四百二十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺三因之得一万四千七百尺为次商三方廉面积以除方积四千四百二十八尺其数不足是次商为空位也乃书一空于方积八尺之上以存次商之位复以方边末位余积九百二十七寸续书于下共四千四百二十八尺九百二十七寸即四百四十二万八千九百二十七寸为三商廉隅之共积仍以次商三方廉面积一万四千七百尺作一百四十七万寸为廉法以除四百四十二万八千九百二十七寸足三寸即定三商为三寸书于方积七寸之上又以初商之七丈为七百寸与三商之三寸相乗得二千一百寸三因之得六千三百寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一百四十七万六千三百零九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得四百四十二万八千九百二十七寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得七丈零三寸为正方体积毎一边之数也此法商出之方边有空位凡廉法除余积而数不足者皆依此例推之

设如正方体积三千九百三十万四千尺开立方问每一边数几何

法列正方体积三千九百三十万四千尺补三空位以足其分自末空位起算每隔二位作记乃于空尺上定单位四千尺上定十位九百万尺上定百位其三千九百万尺为初商积以初商本位计之则九百万尺为初商积之单位而三千九百为三十九止与三自乗再乗之数相准即定初商为三书于方积九百万尺之上而以三自乗再乗之二十七书于初商积之下相减余一千二百万尺爰以方边第二位余积三十万四千尺续书于下共一千二百三十万四千尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则四千尺为次商积之单位而一千二百三十万四千尺为一万二千三百零四而初商之三即为三十乃以初商之三十自乗得九百三因之得二千七百为次商三方廉面积以除余积一万二千三百零四足四倍即定次商为四书于方积四千尺之上又以初商之三十与次商之四相乗得一百二十三因之得三百六十为次商三长廉面积复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千零七十六为次商廉隅共法书于余积之左以次商之四乗之得一万二千三百零四与余积相减恰尽是开得三百四十尺为正方体积每一边之数也此法方积之末有三空位故所得方边之末亦补一空位凡设数未至单位者皆依此例补足位分然后开之

设如正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分开立方问每一边数几何

法列正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分自末位起算毎隔二位作记于四分上定分位空寸上定寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积八百七十九尺续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除八百七十九尺足二尺即定次商为二尺书于方积九尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉而积复以次商之二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与余积相减仍余一百五十一尺即一十五万一千寸又以方边第三位余积八十寸续书于下共一十五万一千零八十寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一万四千四百寸三因之得四万三千二百寸为三商三方廉面积以除一十五万一千零八十寸足三寸即定三商为三寸书于方积空寸之上而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万四千二百八十九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸与余积相减仍余一万八千二百一十三寸即一千八百二十一万三千分又以方边第四位余积九百零四分续书于下共一千八百二十一万三千九百零四分为四商廉隅之共积乃以初商次商三商之一百二十三寸作一千二百三十分自乗得一百五十一万二千九百分三因之得四百五十三万八千七百分为四商三方廉面积以除一千八百二十一万三千九百零四分足四分即定四商为四分书于方积四分之上而以初商次商三商之一千二百三十分与四商之四分相乗得四千九百二十分三因之得一万四千七百六十分为四商三长廉面积复以四商之四分自乗得一十六分为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百五十五万三千四百七十六分为四商廉隅共法书于余积之左以四商之四分乗之得一千八百二十一万三千九百零四分与余积相减恰尽是开得一丈二尺三寸四分为正方体积每一边之数也

设如正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺开立方问毎一边数几何

法列正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺自末位起算每隔二位作记于五尺上定单位空千尺上定十位空百万尺上定百位八十亿尺上定千位其八十亿尺为初商积以初商本位计之则八十亿尺为初商积之单位而八十亿尺为八止与二自乗再乗之数相合即定初商为二书于方积八十亿尺之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积六千万尺续书于下为次商廉隅之共积以次商本位计之则空百万尺为次商之单位而六千万尺为六十而初商之二即为二十故以初商之二十自乗得四百三因之得一千二百为次商三方廉面积以除六十其数不足是次商为空位乃书一空于方积空百万尺之上以存次商之位复以方边第三位余积一十五万尺续书于下共六千零一十五万尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则空千尺为三商之单位而六千零一十五万尺为六万零一百五十而初商之二即为二百次商之空即为空十故以初商次商之二空作二百自乗得四万三因之得十二万为三商三方廉面积以除六万零一百五十其数仍不足是三商亦为空位乃再书一空于方积空千尺之上以存三商之位复以方边末位余积一百二十五尺续书于下共六千零一十五万零一百二十五尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之二千空百空十自乗得四百万尺三因之得一千二百万尺为四商三方廉面积以除六千零一十五万零一百二十五尺足五尺即定四商为五尺书于方积五尺之上而以初商之二千尺与四商之五尺相乗得一万尺三因之得三万尺为四商三长廉面积复以四商之五尺自乗得二十五尺为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千二百零三万零二十五尺为四商廉隅共法书于余积之左以四商之五尺乗之得六千零一十五万零一百二十五尺与余积相减恰尽是开得二千零五尺为正方体积每一边之数也此法商出之方边有二空位凡开立方遇此类者皆依此例推之

设如正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺开立方问每一边数几何

法列正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺自末位起算每隔二位作记于二尺上定单位六千尺上定十位四百万尺上定百位三十亿尺上定千位其三十亿尺为初商积以初商本位计之则三十亿尺为初商积之单位而三十亿尺为三止与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于方积三十亿尺之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减余二十亿尺爰以方边第二位余积二亿九千四百万尺续书于下共二十二亿九千四百万尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则四百万尺为次商积之单位而二十二亿九千四百万尺为二千二百九十四而初商之一即为一十乃以初商之一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除二千二百九十四足七倍因定次商为七而以初商之一十与次商之七相乗得七十三因之得二百一十为次商三长廉面积复以次商之七自乗得四十九为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百五十九为次商廉隅共法以次商之七乗之得三千九百一十三大于次商廉隅之共积是次商不可商七也乃改商六而以初商之一十与次商之六相乗得六十三因之得一百八十为次商三长廉面积复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百一十六为次商廉隅共法以次商之六乗之得三千零九十六仍大于次商廉隅之共积是次商不可商六也又改商五而以初商之一十与次商之五相乗得五十三因之得一百五十为次商三长廉面积复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百七十五为次商廉隅共法以次商之五乗之得二千三百七十五仍大于次商廉隅之共积是次商又不可商五也乃改商四而以初商之一十与次商之四相乗得四十三因之得一百二十为次商三长廉面积复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百三十六为次商廉隅共法以次商之四乗之得一千七百四十四是小于次商廉隅之共积可减也乃以次商之四书于方积四百万尺之上而以次商乗廉隅共法之一千七百四十四与次商廉隅之共积相减余五亿五千万尺复以方边第三位余积六十四万六千尺续书于下共五亿五千零六十四万六千尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则六千尺为三商积之单位而五亿五千零六十四万六千尺为五十五万零六百四十六而初商次商之一十四即为一百四十乃以初商之一百四十自乗得一万九千六百三因之得五万八千八百为三商三方廉面积以除五十五万零六百四十六足九倍因定三商为九而以初商次商之一百四十与三商之九相乗得一千二百六十三因之得三千七百八十为三商三长廉面积复以三商之九自乗得八十一为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六万二千六百六十一为三商廉隅共法以三商之九乗之得五十六万三千九百四十九大于三商廉隅之共积是三商不可商九也乃改商八而以初商次商之一百四十与三商之八相乗得一千一百二十三因之得三千三百六十为三商三长廉面积复以三商之八自乗得六十四为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六万二千二百二十四为三商廉隅共法以三商之八乗之得四十九万七千七百九十二是小于三商廉隅之共积可减也乃以三商之八书于方积六千尺之上而以三商乗廉隅共法之四十九万七千七百九十二与三商廉隅之共积相减余五千二百八十五万四千尺复以方边末位余积二百七十二尺续书于下共五千二百八十五万四千二百七十二尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之一千四百八十尺自乗得二百一十九万零四百三因之得六百五十七万一千二百为四商三方廉面积以除五千二百八十五万四千二百七十二足八倍即定四商为八书于方积二尺之上而以初商次商三商之一千四百八十与四商之八相乗得一万一千八百四十三因之得三万五千五百二十为四商三长廉面积复以四商之八自乗得六十四为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六百六十万六千七百八十四为四商廉隅共法以四商之八乗之得五千二百八十五万四千二百七十二与余积相减恰尽是开得一千四百八十八尺为正方体积毎一边之数也此法盖因方边之第三位第四位二数太大故次商廉隅之共积以次商之三方廉除得次商之边继而以次商之边与次商廉隅共法相乗大于原积甚多改商三次所乗之数始与次商廉隅之共积相准而后次商之数可定凡开立方遇此类者皆依此例推之如或廉隅共法与商出之数相乗得数大于廉隅共积几一倍者则改商必审其与廉隅共积相近小数始可为准也

设如有积一万四千七百三十四尺开立方问每一边数几何

法列积一万四千七百三十四尺自末位起算隔二位作记于四尺上定单位四千尺上定十位其一万四千尺为初商积以初商本位计之则四千尺为初商积之单位而一万四千为一十四止与二自乗再乗之数相准即定初商为二书于方积四千尺之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减余六千尺爰以方边第二位余积七百三十四尺续书于下共六千七百三十四尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则边与积皆仍为本位而初商之二则为二十尺乃以初商之二十尺自乗得四百尺三因之得一千二百尺为次商三方廉面积以除方积六千七百三十四尺足五尺乃以初商之二十尺与次商之五尺相乗得一百尺三因之得三百尺为次商三长廉面积复以次商之五尺自乗得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共一千五百二十五尺为次商廉隅共法以次商之五尺乗之得七千六百二十五尺大于次商廉隅之共积是次商不可商五尺也乃改商四尺书于方积四尺之上而以初商之二十尺与次商之四尺相乗得八十尺三因之得二百四十尺为次商三长廉面积复以次商之四尺自乗得一十六尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千四百五十六尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之四尺乗之得五千八百二十四尺与余积相减仍余九百一十尺是开得二十四尺为方体每一边之数仍余九百一十尺不尽也如欲以余数再开则得方边之寸数乃増三空于总积之后复续书三空于九百一十尺之后为几百几十几寸之位是则九百一十尺作九十一万寸为三商廉隅之共积爰以初商次商之二十四尺作二百四十寸自乗得五万七千六百寸三因之得一十七万二千八百寸为三商三方廉面积以除余积九十一万寸足五寸即定三商为五寸书于余积空寸之上而以初商次商之二百四十寸与三商之五寸相乗得一千二百寸三因之得三千六百寸为三商三长廉面积复以三商之五寸自乗得二十五寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十七万六千四百二十五寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之五寸乗之得八十八万二千一百二十五寸与余积相减仍余二万七千八百七十五寸不尽如再以余数开之则得方边之分数乃又续书三空于原积空寸之后复续书三空于二万七千八百七十五寸之后为几百几十几分之位是则二万七千八百七十五寸作二千七百八十七万五千分为四商廉隅之共积爰以初商次商三商之二十四尺五寸作二千四百五十分自乗得六百万零二千五百分三因之得一千八百万零七千五百分为四商三方廉面积以除余积二千七百八十七万五千分足一分即定四商为一分书于余积空分之上而以初商次商三商之二千四百五十分与四商之一分相乗仍得二千四百五十分三因之得七千三百五十分为四商三长廉面积复以四商之一分自乗仍得一分为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千八百零一万四千八百五十一分为四商廉隅共法书于余积之左以四商之一分乗之仍得一千八百零一万四千八百五十一分与余积相减仍余九百八十六万零一百四十九分不尽是开得二十四尺五寸一分为方体每一边之数也此法原积本非自乗再乗所得之数虽逓析之终不能尽凡开立方遇此类者皆以此例推之

设如有方亭几座用方甎铺地共用一千七百二十八块其所铺之座数与毎座毎行之甎数相等问亭之座数几何

法列方甎一千七百二十八块为立方积用开立方法开之于八块上定单位一千块上定十位其一千块为初商积以初商本位计之则一千为初商积之单位与一自乗再乗之数相合即定初商为一书于方积一千之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减恰尽爰以第二位余积七百二十八块续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除七百二十八足二倍即定次商为二书于方积八块之上而以初商之一十与次商之二相乗得二十三因之得六十为次商三长廉面积复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四书于余积之左以次商之二乗之得七百二十八与余积相减恰尽是得所铺亭数为一十二座也此法因所铺之亭数与每行甎数相等是每行甎一十二块其亭亦一十二座虽非立方形而法则立方法也故用立方开之

设如有方仓一座共盛粮八百七十八石八斗问仓髙几何

法以每石定法二尺五百寸乗八百七十八石八斗得二千一百九十七尺为立方积用开立方法开之其二千尺为初商积以初商本位计之则二千尺为初商积之单位止与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于方积二千之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减余一千尺爰以第二位余积一百九十七尺续书于下共一千一百九十七尺为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除一千一百九十七尺足三倍即定次商为三书于方积七尺之上而以初商之一十与次商之三相乗得三十三因之得九十为次商三长廉面积复以次商之三自乗得九为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百九十九为次商廉隅共法书于余积之左以次商之三乗之得一千一百九十七尺与余积相减恰尽是开得方仓之高为一十三尺也此法因粮是石法所问乃仓之尺数故先将石变为尺而开立方即得仓之髙也

设如有方石一块重一二万六千六百二十两问每边尺寸几何

法以石之定率每寸重二两五钱除二万六千六百二十两得一万零六百四十八寸为立方积用开立方法开之其一万寸为初商积以初商本位计之则空千位为初商积之单位而一万尺为一十与二自乗再乗之数相准即定初商为二书于空千寸之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减余二千寸爰以第二位余积六百四十八寸续书于下共二千六百四十八寸为次商廉隅之共积而以初商之二作二十自乗得四百三因之得一千二百为次商三方廉面积以除二千六百四十八寸足二倍即定次商为二书于方积八寸之上而以初商之二十与次商之二相乗得四十三因之得一百二十为次商三长廉面积复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千三百二十四为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二乗之得二千六百四十八寸与余积相减恰尽是开得二十二寸为正方石毎一边之数也此法因石是两数所问乃石之寸数故先将石之两数变为寸而开立方即得石之寸数也

设如有水银一万六千三百四十四两六钱八分欲作一方匣盛之问匣高几何

法先以水银定率毎寸重一十二两二钱八分除一万六千三百四十四两六钱八分得一千三百三十一寸为立方积用开立方法开之其一千寸为初商积以初商本位计之则一千为初商积之单位与一自乗再乗之数相合即定初商为一书于一千寸之上而以一自乗再乗之一书于方积一千寸之下相减恰尽爰以第二位余积三百三十一寸续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除三百三十一寸足一倍即定次商为一书于方积一寸之上而以初商之一十与次商之一相乗得一十三因之得三十为次商三长廉面积复以次商之一自乗仍得一为一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百三十一为次商廉隅共法书于余积之左以次商之一乗之仍得三百三十一与余积相减恰尽是开得一十一寸为方匣之高也

设如有方池一区其深与方相等容水四千零九十六尺问深几何

法列四千零九十六尺为立方积用开立方法开之其四千尺为初商积以初商本位计之则四千为初商积之单位与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于四千尺之上而以一自乗再乗之一书于方积四千尺之下相减余三千尺爰以第二位余积九十六尺续书于下共三千零九十六尺为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除三千零九十六尺可得十尺若商十尺则合于初商之数再合方廉长廉小隅面积必大于次商廉隅之共积可知故商九尺八尺七尺皆仍大于次商廉隅之共积乃改商六尺书于方积六尺之上而以初商之一十与次商之六相乗得六十三因之得一百八十为次商三长廉面积复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积合三方

廉三长廉一小隅面积共得五百一十

六为次商廉隅共法书于余积之左以

次商之六乗之得三千零九十六与余

积相减恰尽是开得一十六尺为池之

深也此法因池之深与方相等其所容

水数即正方体积故立方开之得一边

之数即池之深也

御制数理精蕴下编卷二十三