西洋利玛窦撰
第一题
有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线法曰甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线【径为圜内之最大线更大不可合见三卷十五】先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与
丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等
第二题
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲【三卷十七】次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角论曰甲丙乙与庚甲乙两角等甲乙丙与
辛甲丙两角亦等【三卷卅二】而庚甲乙辛甲丙两角既与所设己戊两角各等即甲丙乙甲乙丙亦与己戊各等而乙甲丙必与丁等【一卷卅二】则三角俱等
第三题
有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己一邉引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作
癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙【三卷十六之系】而相遇于子于丑于癸【若作甲丙线郎癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而子癸丑癸两线必相遇余二仿此】此癸子丑三角与所设丁戊己三角各等
论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一卷卅二题内】而壬甲子壬乙子两为直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊
庚丁戊己两角并亦等两直角【一卷十三】此二等率者每减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙等依显丑角与丁己戊等则癸与丁亦等【一卷卅二】而癸子丑与丁戊己两形之各三角俱等
第四题
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之【一卷九】作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形
之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙丁同邉即丁戊丁己两邉亦等【一卷廿六】依显丁丙己角形与丁庚丙角形之丁己丁庚两邉亦等即丁戊丁己丁庚三线俱等末作圜以丁为心戊为界即过庚己为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚【三卷十六之系】此为形内切圜
第五题
三角形求作形外切圜
法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邉【若形是直角钝角则分直角钝角之两旁邉】于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己【若自丁至戊作直线即己丁戊角形之己丁戊己戊丁两角小于两直角故丁己戊己两线必相遇】其己防或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙邉上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己角形之乙丁两腰等丁己同腰而丁之两旁角俱直角即甲己己乙两底必等【一卷四】依显甲己戊丙己戊两形之甲己己丙两底亦等则己甲己乙己丙三线俱等末作圜以己为心甲
为界必切丙乙而为角形之形外切圜
一系若圜心在三角形内即三角形为锐角形何者每角在圜大分之上故若在一邉之上即为直角形若在形外即为钝角形
二系若三角形为锐角形即圜心必在形内若直角形必在一邉之上若钝角形必在形外
増从此推得一法任设三防不在一直线可作一过三防之圜其法先以三防作三直线相联成三角形次依前作
其同法甲乙丙三防先以甲乙两防
各自为心相向各任作圜分令两圜
分相交于丁于戊次甲丙两防亦如
之令两圜分相交于己于庚末作丁
戊己庚两线各引长之令相交于辛即辛为圜之心 论见三卷二十五增
第六题
有圜求作内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于
戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形
论曰甲乙戊角形之甲戊与乙戊丙角形之戊丙两腰等乙戊同腰而腰间角两为直角即其底甲乙乙丙等【一卷四】依显乙丙丙丁亦等则四邉形之四邉俱等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角【三卷卅一】是为内切圜直角方形
第七题
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两
径之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛为外切圜直角方形
论曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行【一卷廿八】依显甲丙庚壬亦平行则己庚辛壬亦平行【一卷三十】又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等【一卷卅四】而甲丙辛甲己辛两角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦直角依显庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邉俱等于甲丙乙丁两径既四邉俱等于两径则己庚壬辛为直角方形而四邉各切圜【三卷十六之系】
第八题
直角方形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各两平分于戊于己于庚于辛而作
辛己戊庚两线交于壬其甲丁与乙丙既平行相等即半减线之甲辛乙己亦平行相等而甲乙与辛己亦平行相等【一卷卅三】依显丁丙与辛己亦平行相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙
壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四线与甲辛戊乙丁辛甲戊四线各等夫甲辛戊乙丁辛甲戊各为等线之半即与之等者壬戊壬己壬庚壬辛亦自相等次作圜以壬为心戊为界必过己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉【三卷十六】是为形内切圜第九题
直角方形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角两线为甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁
角形之甲乙甲丁两腰等即甲乙丁甲丁乙两角亦等【一卷五】而乙甲丁为直角即甲乙丁甲丁乙俱半直角【一卷卅二】依显丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱等又戊甲丁戊丁甲两角等即戊甲戊丁两邉亦等【一卷六】依显戊甲戊乙两邉亦等而戊乙戊丙两邉戊丙戊丁两邉各等次作圜以戊为心甲为界必乙丙丁而为形外切圜
第十题
求作两邉等三角形而底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分之于丙其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等【二卷十一】次以甲为心乙为界作乙
丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等【本篇一】末作甲丁线相联其甲乙甲丁等即甲乙丁为两邉等角形而甲乙丁甲丁乙两角各倍大于甲角
论曰试作丙丁线而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本篇五】其甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等即亦与至规外之乙丁上直角方形等而乙丁线切甲丙丁圜于丁【三卷卅七】即乙丁切线偕丁丙割线所作乙丁丙角与负丁甲丙圜分之甲角交互相等【三卷卅二】此二率者毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等夫乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲相对之两内角等【一卷卅二】即乙丙丁角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁两线亦等【一卷六】夫乙丁元与甲丙等即丙丁与甲丙亦等丙甲丁丙丁甲两角亦等而甲角既与乙丁丙角等即乙丁丙与丙丁甲两角亦等是甲丁乙倍大于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙丁亦倍大于甲也
第十一题
有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角各倍大于己角【本篇十】次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角【本篇二】
次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分【一卷九】作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相联即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形而五邉五角俱自相等
论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角而两角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五圜分亦等【三卷廿六】即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线亦等【三卷廿九】是五邉形之五邉等又甲乙戊丁两圜分等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁与戊丁丙乙两圜分等乘两圜分之甲戊丁乙甲戊两角亦等依显余三角与两角俱等是五邉形之五角等
第十二题
有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形【本篇十一】次从己心作己甲己乙
己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五埀线相遇于庚于辛于壬于癸于子【庚戊甲庚甲戊两角小于两直角故甲庚戊庚线必相遇余四仿此】五埀线既切圜【三卷十六】即成外切圜五邉形而等邉等角
论曰试从己心作己庚己辛己壬己癸己子五线其己甲甲辛上两直角方形己乙乙辛上两直角方形之两并各与己辛上直角方形等【一卷四七】即两并自相等此两并率者每减一相等之甲己己乙上直角方形即所存甲辛辛乙上两直角方形等则甲辛辛乙两线等也又甲己辛角形之甲己与乙己辛角形之乙己两腰等己辛同腰而甲辛辛乙两底又等即甲己辛辛己乙两角等【一卷八】而甲辛己乙辛己两角亦等【一卷四】则甲己乙角倍大于辛己乙角也依显乙己丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬己角也又甲己乙乙己丙两角乘甲乙乙丙相等之两圜分【线等故圜分等见三卷廿八】即两角自相等【三卷廿七】半减之辛己乙乙己壬两角亦等 乙己辛角形之乙己辛辛乙己两角与乙己壬角形之乙己壬壬乙己两角各等而乙己同邉是辛乙乙壬两邉亦等也【一卷廿六】乙辛己乙壬己两角亦等也则辛壬线倍大于辛乙线也依显庚辛线亦倍大于辛甲线也前己显甲辛辛乙两线等则倍大之庚辛辛壬两线亦等也依显壬癸癸子子庚与庚辛
辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五邉等又依前所显乙辛己与乙壬己两角等是乙辛甲之减半角与乙壬丙之减半角等即倍大之乙辛甲与乙壬丙亦等也依显辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛与庚辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五角等
第十三题
五邉等邉等角形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分【一卷九】其线为己甲己乙而相遇于己【己甲乙己乙甲两角小于两直角故己甲己乙两线必相遇】自己作己丙己丁己戊三线其甲己乙角形之甲乙腰与乙己丙角形之乙
丙腰等乙己同腰而两腰间之甲乙己丙乙己两角等即甲己己丙两底亦等乙甲己乙丙己两角亦等【一卷四】又乙甲戊与乙丙丁两角等而乙甲己为乙甲戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半则乙丙丁角亦两平分于己丙线矣依显丙丁戊丁戊甲两角亦两平分于己丁己戊两线矣次从己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五埀线其甲己庚角形之己甲庚己庚甲两角与甲己子
角形之己甲子己子甲两角各等甲己同邉即两形必等【一卷廿六】己子与己庚两线亦等依显己辛己壬己癸三埀线与己庚己子两埀线俱等末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜【三卷十六】
第十四题
五邉等邉等角形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己【说见前】次从己作己丙己丁己戊三线依前题论推显乙丙丁
丙丁戊丁戊甲三角各两平分于己丙己丁己戊三线夫五角既等即其半减之角亦等而甲乙己角形之己甲乙己乙甲两角等即甲己与己乙两线亦等【一卷六】依显己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末作圜以己为心甲为界必过乙丙丁戊而为甲乙丙丁戊五邉形之外切圜
第十五题
有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六边内切圜形等边等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相
聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邉形而等邉等角论曰庚丙庚丁两线等而丁丙与丁庚亦等【依圜界说】三邉俱等即庚丙丁为平邉角形而庚丁丙丁丙庚丙庚丁三角俱等【一卷五】此三角元与两直角等【一卷卅二】即每角为两直角三分之一而丙庚丁角为两直角三分之一也依显丁庚戊角亦两直角三分之一而丙庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于两直角【一卷十三】即戊庚己角亦两直角三分之一矣则丙庚丁丁庚戊戊庚己三角亦自相等而此三角与己庚甲甲庚乙乙庚丙三角亦等【一卷十五】是辏庚心之六角俱自相等而所乗之六圜分【三卷廿六】及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线俱自相等【三卷廿九】则甲乙丙丁戊己形之六邉等乂乙丙与甲己两圜分等而各加一丙丁戊己圜分即乙丙丁戊己与甲己戊丁丙两圜分等而所乗之乙甲己与甲乙丙两角等【三卷廿七】依显乙丙丁丙丁戊丁戊己戊己甲四角与乙甲己甲乙丙两角俱等则甲乙丙丁戊己形之六角等
一系凡圜之半径为六分圜之一之分何者庚丁与丁丙等故故一开规为圜不动而可六平分之二系依前十二十三十四题可作六邉等邉等角形在圜之外又六邉等邉等角形内可作切圜又六邉等邉等角形外可作切圜
第十六题
有圜求作圜内十五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形与丁等角【本篇二】即三邉等而甲乙乙丙丙甲三圜分亦等【三卷廿八】夫甲乙丙圜十正分之则甲乙三分圜之一当为十五分之五
次从甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角【本篇十一】即甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等【三卷廿八】夫甲乙丙圜十五分之则甲戊五分圜之一当为十五分之三而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分两平分于壬【三卷卅】则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合圜线【本篇一】则成十五邉等邉形而十五角所乗之圜分等即各角亦等【三卷廿七】
一系依前十二十三十四题可作外切圜十五邉
形又十五边形内可作切圜又十五邉
形外可作切圜
注曰依此法可设一法作无量数形
如本题圗甲乙圜分为三分圜之一
即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三与五相乗得十五即知此两分法可作十五邉形又如甲乙命三甲戊命五三与五较得二即知戊乙得十五分之二因分戊乙为两平分得壬乙线为十五分之一可作内切圜十五边形也以此法爲例作后题
增题若圜内从一防设切圜两不等等边等角形之各一边此两边一爲若干分圜之一一爲若干分圜之一此两若干分相乗之数卽后作形之边数此两若干分之较数卽两边相距之圜分所得后作形边数内之分数
法曰甲乙丙丁戊圜内从甲防作数形之各一边如甲乙爲六边形之一边甲丙爲五边形之一边甲丁爲四边形之一边甲戊爲三边形之一边甲乙命六甲丙命五较数一卽乙丙圜分爲所作三十边等边等角形之一边何者五六相乗爲三十故当作三十边也较数一故当爲一边也
论曰甲乙圜分爲六分圜之一卽得三
十分圜之五而甲丙爲五分圜之一卽得三十分圜之六则乙丙得三十分圜之一也依显乙丁为二十四邉形之二邉也何者甲乙命六甲丁命四六乗四得二十四也又较数二也依显乙戊为十八邉形之三邉也丙丁为二十邉形之一邉也丙戊为十五邉形之二邉也丁戊为十二邉形之一邉也
二系凡作形于圜之内等邉则等角何者形之角所乗之圜分皆等故【三卷廿七】凡作形于圜之外即从圜心作直线抵各角依本篇十二题可推显各角等三系凡等邉形既可作在圜内即依圜内形可作在圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十二十三十四题
四系凡圜内有一形欲作他形其形邉倍于此形邉即分此形一邉所合之圜分为两平分而每分各作一合线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷
又补题圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等
法曰甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜内作多邉切形不至丁戊小圜其多邉为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作
庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也【三卷十六之系】夫甲庚丙圜分虽大于丙庚若于甲庚丙减其半甲乙存乙丙又减其半乙壬存壬丙又减其半壬癸如是逓减至其减余丙癸必小于丙庚【如下补论】既得丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之一邉也次分乙壬圜分其分数与丙壬之分数等次分甲乙与乙丙分数等分丙甲与甲乙丙分数等则得所求形【三卷廿九】而不至丁戊小圜论曰试从癸作癸子为甲丙之垂线遇甲丙于丑其庚戊丑癸丑戊两皆直角即庚辛癸子为平行线【一卷廿八】庚辛线之切丁戊圜既止一防即癸子线更在其外必不至丁戊矣何况丙癸更逺于丑癸乎依显其余与丙癸等邉同度距心者【三卷十四】俱不至丁戊圜也【此系十二卷第十六题因六卷今増题宜借此论故先类附于此】
补论其题曰两几何不等若于大率逓减其大半必可使其减余小于元设小率
解曰甲乙大率丙小率题言于甲乙逓减其大半至可使其减余小于丙
论曰试以丙倍之又倍之至仅大于甲乙而止为丁戊丁戊之分为丁己己庚庚戊各与丙等也次于甲乙减其大半甲辛存辛乙又减
其大半辛壬存壬乙如是逓减至甲乙与丁戊之分数等夫甲辛辛壬壬乙与丁己己庚庚戊分数既等丁戊又大于甲乙若两率各为两分而大丁戊之减丁己止于半小甲乙之减甲辛为大半即丁戊之减余必大于甲乙之减余也若各为多分而己戊尚多于丙者即又于己戊减己庚于辛乙减其大半辛壬如是逓减卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分壬乙也而庚戊元与丙等是壬乙小于丙也
又论曰若于甲乙逓减其半亦同前论何者大丁戊所减不大于半则丁戊之减余每大于甲乙之减余以至末分亦大于末分【此系十卷第一题借用于此以足上论】
几何原本卷四
钦定四库全书
