钦定四库全书
数度衍卷十一
桐城 方中通 撰
递加【少广之四】
循次顺加
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一
超二位加
一 三 五 七 九 十一 十三 此竒数超加也
二 四 六 八 十 十二 十四 此偶数超加也
超三位四位五位加
一 四 七 十 十三 十六 十九 此超三位加也
一 五 九 十三 十七 二十一 此超四位加也
一 六 十一 十六 二十一 二十六 此超五位加也
凡超位加各审其母如超二超三四五以至多位者各以所超之数为母其间少者易知多者难定大率以退位减之余数即母也
截三位较
不论超与不超凡截位较之其前后二位数必倍于中
位数如截一二三并
一三为四即倍二也
截一三五并一五为
六即倍三也截二四六并二六为八即倍四也截二五八并二八为十即倍五也截四八十二并四与十二为十六即倍八也不拘前后随意截较无不?合
截四位较
凡截四位较之则前后二位数与中二位数等如截一
二三四并一
四为五并二
三亦五也截
一三五七并
一七为八并三五亦八也截二四六八并二八为十并四六亦十也截二五八十一并二与十一为十三并五八亦十三也截四八十二十六并四与十六为二十并八与十二亦二十也
通曰截竒位者前后并必倍中位数截偶位者前后并必与中二位等葢所截之位自中向外一损一益中一位者无可并而倍矣中二位者无可倍而并矣
截四位逓加逓减较
通曰凡截四位数以中二位相加减后一位数余与前一位数等如截一二三四以二三相并得五减后之一余必前之四也截一三五七以三五相并得八减后之一余必前之七也截二四六八以四六相并得十减后之二余必前之八也截二五八十一以五八相并得十三减后之二余必前之十一也截四八十二十六以八与十二相并得二十减后之四余必前之十六也若减前数余必后数可以互较
超加求积法
凡加数不论超二超三但系逓加者用此
式自一起至十三位得三十七问总积几何曰二百四
十七术除首位一不用以次位
四与末位三十七并得四十一
自四至三十七系十二位即以
十二乘四十一得四百九十二半之得二百四十六即十二位总积再加首位一得二百四十七为十三位总积也
顺加求积法
式下行濶十五问总积几何曰一百二十术取最下二位十四十五相乘得二百一十半之得一百○五即十
四以至首位一之积也再并
末位十五得一百二十为总
积又术以末位十五与下位
十六相乘得二百四十半之得一百二十亦合
通曰相乘得其倍数者
变三角为四角也半之
则仍还三角矣如末位
系七以六七相乘则末
位七在外成甲乙丙方形折半止得六位之积以末位七与下位八相乘则末位七在内成丁戊己方形折半故得七位之积也
顺加异首求积法
首位不系一数或二或三四为首者用此
式首行四下行十四问总积几何曰九十九术以首位
四并末位十四得十八为
实以首位四减末位十四
余一十加一得十一此即位数也以位数十一乘实十八得一百九十八半之得九十九为总积
四面顺加求积法
式四面顺加毎面底濶皆十二问总积几何曰六百五十术置底濶十二另以十二加一为十三乘之得一百五十六又以十二加半为十二五乘之得一千九百五十为实以三除之得六百五十为总积
长濶顺加求积法
式长濶顺加底濶八长十三问总积几何曰三百八十四术以底长十三减底濶八余五折半得二五又加半得三并长十三为十六以濶八乘之得一百二十八另以濶八加一为九乘之得一千一百五十二为实以三除之得三百八十四为总积
通曰四面顺加自一面视之则为顺加以四面合视之则非顺加也其加有二一曰竒数之加一曰自乘之加如顶一加三得四为第二层之积四加五得九为第三层之积九加七得十六为第四层之积总以竒数逐渐加于毎层积上故至十一层应加二十三得一百四十四为第十二层之积此竒数之加也又如一至十二层毎层以自乘数推之首层一自乘仍是一二层二自乘得四三层三自乘得九四层四自乘得十六至十二层十二自乘得一百四十四亦合各层之积此自乘之加也长濶顺加自濶面视之则为顺加自长面视之则为顺加异首而四面合视之其加亦有二一曰逓四加周一曰竒偶加积如异首之首层为五此层加法稍不同先倍五为十又加二得十二为第二层之周此后毎层加四以十二加四得十六为第三层之周十六加四得二十为第四层之周二十加四得二十四为第五层之周如法加至第八层濶八长十二得周三十六此逓四加周也又如首层五加七得十二为第二层之积十二加九得二十一为第三层之积二十一加十一得三十二为第四层之积总以竒数渐加于毎层积上加至第八层得积九十六此竒数加积也若前式濶八长十三首层系六者则偶数加积矣
竒偶超加求积法
竒数超加求积式末位十九问总积几何曰一百术取末位十九外加一得二十半之得十即一至十九之位
数也以位数十自乘得一百
为总积
偶数超加求积式末位二十四问总积几何曰一百五
十六术取末位二十四
减半得十二即位数也
以位数加一为十三以乘位数十二得一百五十六为总积
通曰用前超加求积法亦可
超加求首尾数法
若多中起数超位逓加但知位数及所超母数或知首而不知尾或知尾而不知首者用此
超加求尾数式超八逓加至十二位首位三问尾位数
几何曰尾位数九十一
术于位数十二内减一
存十一与超母八相乘得八十八加首位三得九十一即尾位数
超加求首数式超八逓加至十二位尾位九十一问首位数几何曰首位数三术于位数十二内减一存十一与超母八相乘得八十八以减尾位九十一余三即首位数
积和求位数及首尾二位数法
若但举总数及超数及首尾和数而不知系几位不知首尾二位数者用此
式超六逓加总积三百二十首尾和一百六十问位数
及首尾各几何曰四位首位七十
一尾位八十九术以总积三百二
十为实以首尾和一百六十减半得八十除实得四为位数又以位数减一余三乘超母六得十八为位母率以位母率并首尾和一百六十得一百七十八半之得八十九为尾位数以位母率减首尾和余一百四十二半之得七十一为首位数
积较求首尾二位数法
若但举总数及位数及首尾较数而不知首尾二位数者用此
式超六逓加计六位总积四百九十八首尾之较三十问首尾各几何曰首位六十八尾位九十八术倍总积得九百九十六为实以位数六除之得一百六十六以较三十减之余一百三
十六折半得六十八为首位数以首位数加较三十得九十八为尾位数
超加求逐位细数法
若但知位数总数及超母数而不知毎位细数者用此式超三逓加计六位总积八十七问逐位细数几何曰首位七二位十三位十三四位十六五位十九末位二十一术取位数六除去第六数自一二三四至五并得十五以乘超母三得四十五以减总积八十七余四十二为实以位数六除之
得七为首位数加超母三得十为二位数逓加超母得逐位数
通曰以位数减一位如六位者止用五位以超母三逓加之一位应三二位应六三位应九四位应十二五位应十五乃并此五位应得之数为四十五以减总积余为实亦可
又式兄弟九人逓差三嵗共二百○七嵗问毎人嵗几何曰最小一人十一嵗逐位加三得毎人嵗数术将九人除去一位止作八人自一至八并得三十六乘逓差三得一百○八以减共二百○七余九十九为实以九人除之得一十一为最小一人之嵗数又术通曰以共二百○七嵗为实以九人除之得二十三为居中第五人之嵗数凡竒数如九人者可以用此若系偶数如前式六位者则以总积八十七为实以六位除之得十四五为居中二位率又以超母三折半得一五为母率以母率减中率余十三为第三位之数以母率并中率得十六为第四位之数也
又式银九百九十六两给八人毎人逓差十七两问毎人几何曰最少一人六十五两术将八人除去一人止作七人自一至七并得二十八乘逓差十七得四百七十六以减银九百九十六余五百二十为实以八人除之得六十五为最少一人之银数
通曰九人八人皆位数也差三差十七皆超母也二百○七嵗九百九十六两皆总积也
超加求超母及逐位细数法
若超位逓加但知系几位及前几位共数后几位共数而不知超母及逐位细数者用此
式甲乙丙丁戊己庚辛八位超加甲乙二位共数七十
七己庚辛三位共数六
十六问超母几何逐位
细数几何曰超母三甲位四十辛位十九术以甲乙二位二乘己庚辛共数六十六得一百三十二以己庚辛三位三乘甲乙共数七十七得二百三十一相减余九十九为实又并甲乙位二己庚辛位三为五减半得二五以减总位八余五五以甲乙位二己庚辛位三相乘得六乘之得三十三为法以法除实得三为超母并入甲乙共数七十七得八十减半得四十为甲位数若求己庚辛则三分其己庚辛共数六十六得二十二为居中庚位数减超母三余十九为辛位数自甲向乙推之则逓减超母自辛向庚推之则逓加超母八位细数尽得也 如戊己庚辛四位共数九十四以二分之得四十七即己庚共数并入超母三得五十减半得二十五为己位数也
外包【少广之五】
通曰方者以八包一每层加八即超八逓加也圆者以六包一毎层加六即超六逓加也三角以九包一毎层加九即超九逓加也然其形不同而法又异故専衍之
包方法
外周求积式外周三十二问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八与外周三十二相并得四十又以四十与外周三十二相乘得一千二百八十为实以三层十六为法除之得八十加中心一得八十一为总
积
通曰方径一周四今八包一径三
周八者何也葢四隅之甲乙丙丁
各以两面为一数也若以两面俱作二数则仍是径三周十二矣
积求外周式总积八十一问外周几何曰三十二术去中心一在外余八十以三层十六乘之得一千二百八十为实以二层八【即超母】为纵用带纵开平方除之【详十二卷】得三十二为外周
外周求层式外周三十二问层几何曰除心四层连心五层术以超母八除外周三十二得四即除心之层数也加心一层共五层
外周及层数求积式外周三十二除心四层问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八并外周三十二得四十以四层乘之得一百六十减半得八十加中心一得八十一为总积
包圆法
外周求积式外周三十六问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六与外周三十六相并得四十二又以四十二与外周三十六相乘得一千五百一十二为实以三
层十二为法除之得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
通曰圆径一周三今六包一径三周六者何也葢其数隐而不见须从径三之外作一大圜切各小圜之边而于大圜之上作
甲乙丙丁戊己六段毎段截大圜周与小圜径等是己得周六矣又测子丑寅卯辰午六空处每一空处得小圜半径应折为三段合甲乙丙丁戊己六段而为九则仍是径三周九也但六包一六角而非圆以此为率亦得其成数也
积求外周式总积一百二十七问外周几何曰三十六术去中心一在外余一百二十六以三层十二乘之得一千五百一十三为实以超母六【即二层】为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
外周求层式外周三十六问层几何曰除心六层连心七层术以超母六除外周三十六得六即除心之层数也加心一层共七层
外周及层数求积式外周三十六除心六层问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六并外周三十六得四十二以六层乘之得二百五十二减半得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
包三角法
外周求积式外周三十六问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九与外周三十六相并得四十五又以四十五与外周三十六相乘得一千六百二十为实以三层十八为法除之得九十加中心一得九十一为总积
积求外周式总积九十一问外周几何曰三十六术除中心一在外余九十以三层十八乘之得一千六百二十为实以超母九为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
外周求层式外周三十六问层几何曰除心四层连心五层术以超母九除外周三十六得四即除心之层数也加心一层共五层
外周及层数求积式外周三十六除心四层问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九并外周三十六得四十五以四层乘之得一百八十减半得九十加中心一得九十一为总积
通曰方圆三角皆一法也但超母不同耳用前超加求积法亦可
包立方立圆立三角法
通曰立方圆三角之外包非逓加也立方以二十六包一三层则九十八四层则二百一十八立圆以十四包一三层则五十四层则一百一十立三角以三十四包一三层则一百三十四层则三百八十一数不相等故不可以超加论也
立方面求层式立方面九问层几何曰除心四层连心五层术通曰以面九去中心一存八折半得四即除心之层数也加心一为五层毎层一面加二故二数为一层也
立方层求面式立方除心四层问面几何曰九术通曰以四层倍之为八如中心一得九即方面
立方面求外包式立方面九问外包几何曰三百八十
六术通曰用六方算之先推前后以
面九自乘得八十一倍之得一百六
十二为前后包数次推左右以面九
减二【近前之边去一近后之边去一】余七与面九相
乘得六十三倍之得一百二十六为左右包数再推上下以面九减二余七自乘得四十九【左右止去前后之边一故七九相乘上下则左右前后之边各去一故七自乘】倍之得九十八为上下包数并三包数得三百八十六为外包数又术通曰以面九自乘得八十一再乘得七百二十九为全积以面九减二余七自乘得四十九再乘得三百四十三以减全积余三百八十六为外包又术通曰以面九减一余八与面九相乘得七十二四倍之得二百八十八又以面九减二余七自乘得四十九倍之得九十八相并得三百八十六亦合
立圆径层相求式通曰与立方同术毎层一面亦加二故也中心亦作一层
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷十一>
三余六为第三重之周包数减三余三为第二重之周包数顶重止一数并诸包数得三百六十一为总腰包数再并底包数得五百一十四为外包数若用前超加求积法以第十六重之四十五为末位求得积三百六十一即总腰包数也又术通曰立三角凡四面一面为底其三面皆腰今分为左腰右腰后腰以推之如前术既得底包数一百五十三之后即以底十七减一余十六用顺加求积法得积一百三十六为左腰包数又以底十七减二余十五用顺加求积法得积一百二十为右腰包数又以底十七减三余十四用顺加求积法得积一百○五为后腰包数并三腰包数得三百六十一合总腰包数再并底包数得五百一十四亦合外包数也
倍加【少广之六】
二因加
一 二 四 八 十六 三十二 六十四 一百二十八
三因加
一 三 九 二十七 八十一 二百四十三
求倍
倍即母也欲求其母者则取挨身小数于本数中减之以二减尽者倍一也以三减尽者倍二也如三十二挨身小数为十六以十六于三十二中减之两回十六减尽矣知是加一倍数又如八十一挨身小数为二十七以二十七于八十一中减之三回二十七减尽矣知是加二倍数
截三位较
凡截取三位以首尾二位相乘其所得数与中一位之
自乘数等如截二四八以二与
八相乘得十六四自乘亦十六
也如截三九二十七以三与二十七相乘得八十一九自乘亦八十一也
截四位较
以首尾二位相乘其所得数与中二位相乘之数等如截二四八十六以二与十六相乘得三十二四与八相乘亦三十二也如截三九二十七八十一以三与八十
一相乘得二百四十三九
与二十七相乘亦二百四
十三也
位数多者凡偶位歩歩首尾相乘与挨身之中二位相乘等凡竒位歩歩首尾相乘与中一位自乘等
一倍加求积法【一倍者二因也】
式自一起加一倍至末位得六十四问总积几何曰一
百二十七术取尾
六十四倍之得一
百二十八于内减首一余一百二十七即七位总积也用后式之术亦可
二倍加求积法【二倍者三因】也
式自一起加二倍至末位得八十一问总积几何曰一
百二十一术取尾八十一于
内减首一余八十以倍母二
【二倍以二为倍母三倍以三为倍母】除之得四十再并尾八十一得一百二十一为总积
通曰倍母必减其因一数故三因以二为倍母也三倍四倍以至多倍皆同此法惟各用其倍母耳
半倍加求积法
加一倍又二之一者即半倍加即四六衰分也如首位四次位加首位四之半为六也
式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九问总积几何曰一百二十八又十六分之十一术取尾四十
五又十六之九内
减首四余四十一
又十六之九以倍
母半数除之【用竒零除法详笔算】得八十三又八之三再并尾数得一百二十八又十六之十一【用竒零加法】为总积
倍加隔位合数法
抽中一位前与后合式凡倍加数不论共有几位但就
中抽取
一位之
数自乘视所抽之位至首几位则自乘之数必与此后几位相同也如抽第五位以十六自乘得二百五十六自首至十六得五位除第五本位则前有四位也其后四位之数必二百五十六矣
通曰以前得四位倍之得八加所抽一位得九则所抽之位数自乘与第九位数同矣
抽中二位前与后合式于多位之中前抽一位后抽一
位相乘则视前抽之位去首
几位后抽之位再去几位其
数必与此相乘之数合也如前抽第二位其数二后抽第四位其数八相乘得十六前抽之位去首一位则后抽之位再去一位其数亦必十六也
倍抽减一前合后式不必算其前后之位但视所抽为
第几位倍其位数减一得后
应合之位则所抽位数自乘
必与后位数合也如抽第三位倍为六减一得五则第三位之四自乗得十六必与第五位之数合也
减位倍抽前合后式先排倍数于右次排位数于左须
除首位不算自次位作一
位排之抽第几位倍之不
必减一即得应合之位则所抽位之自乘必与后位数合也如抽第二位倍为四则第二位之四自乘得十六必与第四位之数合也
减位并抽前合后式抽两位之互乘则并所抽之两位
共为几位即知互乘之数
必与其位数合也如抽第
一位第三位二与八互乘得十六以一位与三位并为四位则第四位之数必十六也【互乘即相乘】以上皆首位起一者
异首减位倍抽及并抽式若首位不自一起或二或三四起者则抽一位抽二位其自乘互乘之数皆先取首位之数除之而后倍位并位以求合数之位也如抽第
二位其数二十自乘得四
百为实以首数五为法除
之得八十再倍第二位为四则第四位之数必八十也
又如抽第一位第三位其
数十与四十互乘得四百
为实以首数五为法除之得八十再并第一位第三位为四则第四位之数必八十也
截位合前积式凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位
以其所截位之数
减一即合所截位
以前各位之总积凡自一起者用之如截第七位其数六十四减一得六十三即首位至六位之总积也截位合前后积式如右式六十三为首至六位之总积
若以此六位为主加一得六十四自乘得四千○九十六减一得四千○九十五即首至十二位之总积矣葢以六位为主以前管六位以后亦管六位也即以六加一倍亦得十二位
通曰凡倍一加者随抽一位于其数内减一余必为以前诸位之总积也如抽第三位四减一余三必为以前一位二位之积三也又如抽第四位八减一余七必为以前一位二位三位之积七也故抽第十三位四千○九十六减一余四千○九十五必为以前首至十二位之总积也
又式借银一两毎日加息一倍至第六十四日问共银几何曰一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十五两术试截四位曰一曰二曰四曰八共积十五加一为十六自乘得二百五十六内减一余二百五十五即系第八位之积再加一自乘得六万五千五百三十六内减一余六万五千五百三十五即系第十六位之积再加一自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六减一余四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五即系第三十二位之积再加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十六减一即系第六十四位之积也六十四位即六十四日也
通曰不必加减以第五日之数自乘得第九日之数又自乘得第十七日之数又自乘得第三十三日之数又自乘得第六十五日之数减半为第六十四日之积也葢五日加四而为九日倍四为八故九日加八日而为十七日倍八为十六故十七日加十六日而为三十三日倍十六为三十二故三十三日加三十二日而为六十五日也仿此推之可至无穷均输章有三术更觉简易
数度衍卷十一
