<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>

钦定四库全书

数度衍卷二十一

桐城　方中通　撰

方程

杂和较乘法

通曰数之不齐者以乗齐之数之不齐者以较齐之徧用者方程也

二色方程

式鼎三彞二共重一百四十五两又鼎四彞五共重二百七十五两问二色各重若干曰鼎二十五两彞三十五两术分三段徧乗之鼎四列左上彛五列左中共重

二百七十五列左下鼎三列右上彛二列右中共重一百四十五列右下以右上鼎三乗左上得十二乗左中得十五乗左下得八百二十五注左以左上鼎四乗右上得十二乗右中得八乗右下得五百八十注右又以乗数各相对减两鼎减尽不用两彛减余七两共重减余二百四十五乃以少除多当以二百四十五为实以七为法除得三十五两为一彛之重以右中彛二乗得七十以减右下共重一百四十五余七十五以右上鼎三除得二十五两为一鼎之重若以彞徧乗以七为法亦同所得减余之实乃一百七十五以法除得毎鼎二十五两以左上鼎四乗得一百以减左下共重余一百七十五两为五彛重数葢鼎乗反得彛彛乗反得鼎也通曰既得毎彛或每鼎之后左右皆可求也

式二纱三疋绢四疋共价四两八钱又纱七疋绢二疋共价六两八钱问二色各价若干曰纱每疋价八钱绢每疋价六钱术与右同

式三七钏九钗共重九两四钱钏重钗轻于中互换其一轻重适等问各重若干曰每钏重七钱每钗重五钱

术此依互换

者列位一系

六钏一钗一

系一钏八钗而中分其共重之数左右列下以右钏六徧乗左行钗得四十八重得二十八两二钱以左钏一徧乗右行钗得一重得四两七钱对减中段减余四十七为法下段减余二十三两五钱为实【作二百三十五】以法除得五钱为一钗数以减右重余四两二钱为六钏共数以六除得每钏七钱若以钗徧乗者得减余之实三十二两九钱以法四十七除得七钱为一钏数

通曰上段互乗相减必尽可以不乗矣

式四钱一万文买二马一牛则不足半马之价买一马二牛则余半牛之价牛马价各若干曰牛价一千八百

一十八

文又十

一之二

马价五千四百五十四文又十一之六术此当以不足半马者损为一马又二分马之一及一牛也以余半牛者益为一马及二牛又二分牛之一也依法列段用整带零乗除之【见奇零】以右马徧乗左行左中得三头四之三左下得一万五千以左马徧乗右行右中得一头右下得一万对减中段减余二头又四之三为法下段减余五千文为实以法除得牛价以减右总价余八千一百八十一文又十一之九以右上马一匹又二之一除之得马价

式五甲乙二窖积粟云取乙三之一与甲及取甲二之一与乙各满二千石其各原窖几何曰甲一千六百石

乙一千二百石术

此零法列位互乗

甲得六千乙得四千减余二千为实两母并五为法除得四百以乙母三乗得乙以减二千余八百以甲母二乘得甲其各以母乗者葢前所除为子数必归母见整故也

式六每工种麦三畦菽四畦共种三百○一畦其菽麦畦及工各若干曰麦一百二十九畦菽一百七十二畦工四十三术此为双头单脚互乗取三四左右列之并七为法下列总畦若求麦数者左三乗总畦得九百○

三以法除得麦

畦又以四乗得

五百一十六以左三除得菽畦若求菽数者右四乗总畦得一千二百○四以法除得菽畦又以三乗得五百一十六以右四除得麦畦又术通曰以三四并七为法除总畦得四十三为工数以麦三乘工数得麦畦以菽四乗工数得菽畦

式七银二百六十四两买牛羊共百牵每牛三头价二十两每羊四羫价一两五钱牛羊及价各若干曰牛三十六头价二百四十两羊六十四羫价二十四两术左

右列定牛乗羊价羊乗牛价得数减余七十五两五钱为法总牵总价列下如求牛数者以羊四乗总价得一千○五十六以羊价一两五钱乗总牵得一百五十相减余九百○六为实以法除得十二为牛裒以牛三乗得三十六头以二十两乗牛裒得牛共价总内减牛余羊如求羊数者以牛三乗总价得七百九十二以牛价二十两乗总牵得二千相减余一千二百○八为实以法除得十六为羊裒以羊四乗得六十四羫以一两五钱乗羊裒得羊共价总内减羊余牛

式八用匠五千名包砖板二隄共四千九百九十五方限每日匠九名包板隄十一方匠七名包砖隄四方问隄匠各若干曰板隄四千○一十五方匠三千二百八十五名砖隄九百八十方匠一千七百一十五名术通

曰与右同总匠即总价共方即总牵砖板即牛羊也式九百饼饭大小百僧一大僧食三饼三小僧食一饼其大小僧各若干曰大僧二十五食饼七十五小僧七十五食饼二十五术通曰此两总同数其裒必同也左右列定互乗相减余八为法总僧总饼列下如求大僧

者以小三

乗总饼得

三百小食一乗总僧得一百相减余二百为实以法除得二十五为裒大一乗裒得大僧数以食三乗裒得饼如求小僧者以小三乗裒得小僧数以食一乗裒得饼又术通曰两总相同即以一百为实大小僧并大小食并又同即以四为法除得大僧数推知各数

三色方程

式四雀六燕七鹪共重八钱九分又三雀五燕九鹪共重八钱一分又五雀七燕八鹪共重一两○六分三色各重若干曰每雀重八分每燕重六分每鹪重三分术

置左右中三行作四段列之以右五雀徧乗中行雀得十五燕得二十五鹪得四十五重得四两○五分注中以中三雀徧乗右行雀得十五燕得二十一鹪得二十四重得三两一钱八分注右中右对减雀无余燕余四鹪余二十一重余八钱七分另列后图之右以右五雀徧乗左行雀得二十燕得三十鹪得三十五重得四两四钱五分注左以左四雀徧乗右行雀得二十燕得二十八鹪得三十二重得四两二钱四分注右左右对减雀无余燕余二鹪余三重余二钱一分另列后图之左除雀无余不用后图止三段以右行燕四徧乗左行燕得八鹪得十二重得八钱四分注左以左行燕二徧乗

右行燕得八鹪得四十二重得一两七钱四分注右对减燕无余鹪余三十为法重余九钱为实以法除得二分为一鹪之重乗左三鹪得九分以减左重余一钱二分为左二燕之重每燕六分乃于前图左重八钱九分内去原鹪七重二钱一分原燕六重三钱六分尚存三钱二分为原四雀之重每雀八分或于前图右行中行原数内推之皆得

式二犒夫二人共饭一分三人共酒一分四人共肉一分总用饭酒肉六十五分计夫若干曰夫六十饭三十分酒二十分肉十五分术以二人乗三人得六三人乗四人得十二四人乗二人得八并得二十六为法以二乗三得六乗四得二十四乗总分六十五得一千五百六十为实以法除得夫数推知各数

附式七人醵金甲乙共二十三两七钱戊己庚共二十六两一钱丙丁不知问各若干曰甲十二两二钱乙十一两五钱丙十两○八钱丁十两○一钱戊九两四钱己八两七钱庚八两术先求隔母左列甲乙二右列戊己庚三取右三増一为四又乗三得十二减半得六又减三余三为右中率取左二乗七人得十四减右三余十一为左中率下列各共银乃以左二徧乗右行中得

六下得五十二

两二钱以右三

徧乗左行中得三十三下得七十一两一钱对减中余二十七为法下余十八两九钱为实以法除得隔母七钱再取甲乙共数并入七钱减半得甲十二两二钱?减七钱得各数

通曰隔母即递减数也用带分子母差分法亦可附式竹筩九节下三节共乗粟三升九合上四节共盛粟三升中二节不知问各节盛若干曰一节六合二节七合三节八合四节九合五节一升六节一升一合七节一升二合八节一升三合九节一升四合术左列下

三右列上四用右

法求得右中率六

左中率二十一下列各共盛乃以左三徧乗右行中得十八下得九分以右四徧乗左行中得八十四下得十五分六厘对减中余六十六为法下余六分六厘为隔母率却以法乗左三升九合得二百五十七分四厘以左三除得八十五分八厘为第八节数加母率得九节九十二分四厘若递减母率七节得七十九分二厘六节得七十二分六厘五节得六十六分四节得五十九分四厘三节得五十二分八厘二节得四十六分二厘一节得三十九分六厘各以法六十六除得各粟数又术以中余六十六为法下余六十六为实以法除得一合为隔母率以左三除左三升九合得一升三合为八节

通曰前式甲乙二人共数故加隔母折半而得甲此式下三节共数故所求即第八节乃下三节之中节也

立正负法

立正负以别同异初以同名减其下同减而异并初以异名减其下异减而同并

二色方程

式笔三管换砚七方贴砚价四百八十文又砚三方换笔九管贴笔价一百八十文问各价几何曰一笔价五十文一砚价九十文术砚为正笔为负左右三段列之

以右砚

七乗左

行中得六十三下得一千二百六十注左以左砚三乗右行中得九下得一千四百四十注右两笔负同名减余五十四为法两价正负异名并得二千七百为实以法除得五十文为一笔之价取右笔三乗得一百五十加入价正四百八十共六百三十即右七砚之价以七除得每砚九十文若取左笔九乗五十得四百五十内减价负一百八十余二百七十即左三砚之价如以笔徧乗者得异并之实四千八百六十以法除得砚价通曰旧法上段亦乗今不用其下段分正负者砚为正故贴砚价亦正笔为负故贴笔价亦负

三色方程

式硃二斤黄三斤价二千○四十文又黄五斤碌六斤价六百四十文又碌七斤硃三斤价二千九百八十文问各价若干曰硃每斤九百文黄毎斤八十文碌每斤四十文术分三色及价作四段于右中左列之以右硃

二乗左行碌得十四价得五千九百六十以左硃三乗右行黄得九价得六千一百二十左右黄碌两段俱无减并止两价作同减余一百六十除硃一段乃于左○位照黄乗得之数为立负九另以中行黄五碌六价六百四十列右左行○负九碌乗十四价余一百六十列左于后以右黄五乗左行碌得七十价得八百以左负

九乗右

行碌得

五十四价得五千七百六十碌系正负异名并得一百二十四为法两价作同减余四千九百六十为实以法除得四十文为碌一斤价乃于前图中行原价减中碌六斤价二百四十余四百为中黄五斤价每斤八十文又于右行原价减右黄三斤价二百四十余一千八百为右硃二斤价每斤九百文

式二牛一头马二匹驴三匹皆载物七百斤不能行一牛借马一匹二马借驴一匹三驴借牛一头方行三等力各若干曰一牛力四百一马力三百一驴力一百术

列定以

右正牛

一乗左行各如故以左借牛一乗右行各如故左右不用减并左马空仿右马乗得数立负一乃除却牛段以中正马乗左行负得二驴得六下得一千四百以左负一乗中行马得二驴得一下得七百中左马同名减尽正借驴异名并得七为法下物作同减余七百为实以法除得驴力一百斤于中行七百内减中一驴力余六百为中二马力每马力三百斤又于右行七百内减右

一马力余四百即右一牛力或用后图求马力以右借驴一乗左行牛得一下得七百以左正驴三乗右行马得六下得二千一百左右马牛无减并下减余一千四百除却驴段又左马空仿右马乗数立负六以中借马一乗左行牛得一下得七百以左负六乗中行牛得六下得四千二百中左正借牛异名并得七为法下物作同减余三千五百又以右下余一千四百减之余二千一百为实以法除得三百斤为一马力

通曰此以正借分同异不分正负也

式三鴈二雉三换谷五斗七升雉三二换?五斗三升四鴈五换?一石问各若干曰每鴈一斗二升毎雉一斗一升每一斗术列定以右鴈二乗左行八?二石以左鴈五乗右行雉十五糓二石八斗五升左

右雉无减并糓作同减余八斗五升除却鴈段于雉左○照右乗立负十五以中雉三乗左行二十四糓二石五斗五升以左负十五乗中行三十糓七石九斗五升中左正负异名并得五十四为法糓作同减

余五石四斗为实以法除得一斗为一价于中行糓内减二价余三斗三升为中三雉价每雉一斗一升又于右行糓内减三雉价余二斗四升为右二鴈价每鴈一斗二升

通曰左右互乗既不乗鴈一段则左中互乗亦可不乗雉一段不然则雉系正负异名安得减尽乎故皆省之式四卖二牛五羊买十三豕余五两卖一牛一豕买三羊适足卖六羊八豕买五牛不足三两问各价若干曰牛六两羊二两五钱豕一两五钱术此以卖为正买为负余为正不足为负也正为主则同减异并负为主则同并异减列定以右牛二乗中行羊六豕二以中牛一

乗右行羊五豕十三价五中右以正为主羊异名并十一豕异名并十五价无减并以右牛二乗左行羊十二豕十六价六以左牛五乗右行羊二十五豕六十五价二十五左右以负为主羊同名并三十七豕异名减余四十九价异名减余十九除牛一段再列减并数于后以羊十一乗左行豕五百三十九价二十两○九钱以

羊三十七乘右行豕五百五十五价十八两五钱左右豕异名减余十六为法价异名减余二两四钱作二十四为实以法除得一五即一豕价一两五钱以右豕十五乗得二十二两五钱加右价五两共二十七两五钱俱羊价以右羊十一除得每羊二两五钱再以前图右豕十三乗一豕价得十九两五钱加入右价五两共二十四两五钱为牛羊总价内减右五羊价十二两五钱余十二两为右二牛价每牛六两

四色方程

式柰二梨四共钱四十文梨二桃七共钱四十文桃四

榴七共钱三十文榴八柰一共钱二十四文问各价若干曰每柰八文每梨六文每桃四文每榴二文术分甲乙丙丁四行作五段列之先甲丁互乗以甲柰二乗丁行梨空桃空榴得十六价得四十八以丁柰一乗甲行梨仍四无对桃榴俱空钱仍四十与四十八相减余八丁梨空照甲立负四次乙丁互乗乙无柰取梨二乗丁行桃空榴巳乗出十六得三十二钱余八得十六以丁负梨四乗乙行桃得二十八无对榴空钱得一百六十并十六得一百七十六丁桃空照乙立负二十八次丙丁互乗丙无柰梨取桃四乗丁行榴巳乗出三十二得一百二十八钱巳乗并一百七十六得七百○四以丁桃负二十八乗丙行榴得一百九十六与一百二十八相减余六十八为法钱得八百四十减去七百○四余一百三十六为实其甲丁乙丁互乗惟求应立负数以为乗母既得法实其诸数皆不用也以法除实得二文为一榴之价于丙价三十减丙七榴价十四余十六为丙四桃价每桃四文又于乙价四十减乙七桃价二十八余十二为乙二梨价每梨六文又于甲价四十减甲四梨价二十四余十六为甲二柰价每柰八文

五色方程

式井不知深用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六则借甲一始俱及泉其各绳及井深若干曰甲绳二丈六尺五寸乙绳一丈九尺一寸丙绳一丈四尺八寸丁绳一丈二尺九寸戊绳七尺六寸井深七丈二尺一寸术列作五行以五绳之率为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六又乗丙四得二十四又乗丁五得一百二十又乗戊六得七百二十并入子一得七百二十一为井深七丈二尺一寸也乃取甲乙丙丁戊及井深列作六段而以第五行为主一二三四行俱

与五行互乗也先以一行甲二乗五行戊六得十二下

得一千四百四十二以五行甲一乗一行乙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乗之一千四百四十二相减余七百二十一次以二行乙三乗五行戊十二得三十六下之减余七百二十一乗得二千一百六十三以五行乙负一乗二行丙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一并前所乗之二千一百六十三得二千八百八十四再以三行丙四乗五行戊三十六得一百四十四下之所并二千八百八十四乗得一万一千五百三十六以五行丙负一乗三行丁仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乗之一万一千五百三十六相减余一万○八百一十五末以四行丁五乗五行戊一百四十四得七百二十下之减余一万○八百一十五乗得五万四千○七十五以五行丁负一乗四行戊仍得一并五行所乗之七百二十得七百二十一为法下仍得七百二十一并前所乘之五万四千○七十五得五万四千七百九十六为实以法除实得戊绳七尺六寸以减四行之七百二十一余六百四十五以丁五除得丁绳一丈二尺九寸【丈为百尺为十】以减三行之七百二十一余五百九十二以丙四除得丙绳一丈四尺八寸以减二行之七百二十一余五百七十三以乙三除得乙绳一丈九尺一寸以减一行之七百二十一余五百三十以甲二除得甲绳二丈六尺五寸

通曰自四色以上凡下段互乗相对皆系一减一并而积之不分正负同异矣其四色之丙丁两行互乘榴段皆正同名则用减五色之四五两行互乗戊段正借异名则用并也

止推下二段法

通曰如右式推出井深列定之后先以五行甲一乗各行乗乙一立负一乗丙一立负一乗丁一立负一乃止求下法实二段如求实段以一行甲二乗五行下得一十四百四十二以五行甲一乗一行下仍得七百二十一相减余七百二十一又以二行乙三乗之得二千一百六十三以五行乙负一乗二行下仍得七百二十一并得二千八百八十四又以三行丙四乗之得一万一千五百三十六以五行丙负一乗三行下仍得七百二十一相减余一万○八百一十五又以四行丁五乗之得五万四千○七十五以五行丁负一乗四行下仍得七百二十一并得五万四千七百九十六为实也如求法段以一行甲二乗五行戊六得十二又以二行乙三乗之得三十六又以三行丙四乗之得一百四十四又以四行丁五乗之得七百二十乃以五行丁负一乗四行戊一仍得一并得七百二十一为法也

数度衍巻二十一