钦定四库全书
九章算术卷八 晋 刘 徽 注
唐 李淳风 注释
方程以御错糅正负
今有上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十九斗上禾二秉中禾三秉下禾一秉实三十四斗上禾一秉中禾二秉下禾三秉实二十六斗问上中下禾实一秉各几何答曰上禾一秉九斗四分斗之一中禾一秉四斗四分斗之一下禾一秉二斗四分斗之三【案三原本讹作一今改正】程课程也羣物总杂各列有数总言其实令每行为率二物者再程三物者三程皆如物数程之并列为行故谓之方程行之左右无所同存且为有所据而言耳此都术也以空言难晓故特系之禾以决之又列中行如右行也
术曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十九斗于右方中左禾列如右方以右行上禾徧乘中行而以直除【案古字直值通用直除犹言对减也以右行上禾徧乘中行复以中行上禾徧乘右行然後可相对减古人文省故但举一以该之】
为术之意令少行减多行反覆相减则头位必先尽上无一位则此行亦阙一物矣然而举率以相减不害余数之课也若消去头位则下去一物之实如是叠令左右行相减审其正负则可得而知先令右行上禾乘中行为齐同之意为齐同者谓中行直减右行也【案此句舛误当云谓中行上禾亦乘右行也】从简易虽不言齐同以齐同之意观之其义然矣
又乘其次亦以直除【案此谓右行上禾徧乘左行复以左行上禾徧乘右行亦相对减古人文多省畧】
复去左行首
然以中行中禾不尽者【案古人单用然字不曰然後者然犹乃也非脱後字】徧乘左行【案此以中行左行所减之余如前徧乘文亦从省】而以直除
亦令两行相乘去行之中禾也
左方下禾不尽者【案下原本讹作上今改正】上为法下为实实即下禾之实
上中禾皆去故余数是下禾实非但一秉欲约衆秉之实当以禾秉数为法列此下禾之秉实【案下禾上原本衍以字今删】乘两行以直除则下禾之位自决矣若以其余一位之秉除其下实即斗数矣【案斗原本讹作计今改正】用算繁而不省所以别为法约也然犹不如自用其旧广异法也【案用算繁而不省以下亦讹舛衍文】
求中禾以法乘中行下实而除下禾之实
此谓中下两禾实【案原本脱下字今补】下禾一秉实数先见将中秉求中禾其列实以减下实而左方下禾虽去一秉以法为母于率不通【案此三句有脱误当云而左方下禾不惟一秉下禾实既以法为母则中行下实不以法为母于率不通】故先以法乘其实而同之【案实原本讹作通今改正】俱令法为母而除下禾实以下禾先见之实令乘下禾秉数即得下禾一位之列实减于下实【案原本脱减字今补】则其数是中禾之实也
余如中禾秉数而一即中禾之实
余中禾一位之实也故以一位秉数约之乃得一秉之实也
求上禾亦以法乘右行下实而除下禾中禾之实此右行三禾共实合三位之实【案合原本讹作令今改正】故以二位秉数约之【案二原本讹作一今改正】乃得上禾一秉之实【案原本脱上禾二字今补】此右行三禾共实合中下禾之实其数竝见右行之禾秉以减之【案此句有脱误当云以中下禾先见之实令乘右行中下禾秉数以减之】故亦如前各求列实以减下实也
余如上禾秉数而一即上禾之实实皆如法各得一【案此下原本衍斗字系後人妄加今删正】
三实同用不满法去以法命之母实皆当除之【案此六字亦讹舛衍文】
今有上禾七秉损实一斗益之下禾二秉而实一十斗下禾八秉益实一斗与上禾二秉而实一十斗问上下禾实一秉各几何答曰上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八下禾一秉实五十二分斗之四十一
术曰如方程损之曰益益之曰损
问者之辞虽【案此字下有脱文当云虽以损益为说】今按实云上禾七秉下禾二秉实一十一斗上禾二秉下禾八秉实九斗也损之曰益言损一斗余当一十斗今欲全其实当加所损也益之曰损言益实以一斗乃满一十斗今欲加本实当减所加即得也
损实一斗者其实过一十斗也益实一斗者其实不满一十斗也
重谕损益数者各以损益之数损益之也
今有上禾二秉中禾三秉下禾四秉实皆不满斗上取中中取下下取上各一秉而实满斗问上中下禾实一秉各几何答曰上禾一秉实二十五分斗之九中禾一秉实二十五分斗之七下禾一秉实二十五分斗之四术曰如方程各置所取
置上禾二秉为右行之上中禾三秉为中行之中下禾四秉为左行之下所取一秉及实一斗各从其位诸行相借取之物皆依此例
以正负术入之正负术曰
今两算得失相反要令正负以名之正算赤负算黑否则以邪正为异方程自有赤黑相取左右数相推求之术而其并减之势不得交通故使赤黑相消夺之于算或减或益同行异位殊为二品各有并减之差见于下焉着此二条特系之禾以成此二条之意故赤黑相杂足以定上下之程减益虽殊足以通左右之数差实虽分足以应同异之率然则其正无人以负之【案此句有脱误当云然则其正无入负之负无入正之】其率不妄也
同名相除
此为以赤除赤以黑除黑行求相减者为法头位也然则头位同名当用此条头位异名者当用下条
异名相益
益行减行当各以其类矣其异名者非其类也非其类者犹无对也非所得减也故赤用黑对则除黑无对则除赤赤黑并于本数此为相益之皆所以为消夺消夺之与减益成一实也【案此注多讹舛据方程术无论物有几品递减至一物乃止又以赤黑别正负首位赤减赤黑减黑者同名相除也次位以下遇赤用黑对则相益此条是也首位赤减黑黑减赤者异名相除也次位以下遇皆赤皆黑则相益後条是中由此言之注之谬显然盖传写失真後人复妄加改窜遂不可通】术本取要必除行首至于他位不嫌多少故或令相减或令相并理无同异一也【案一上原本衍而字今删正】
正无入负之【案入原本讹诈人下文及注竝同据注云无人为无对也无对之说亦未分晓释方程者专为遇空位起例而左右两行相对减或正宜变为负或负宜变为正往往不得其义例今考同名相除异名相益者如下实左右俱正所减之余属左行则去右行属右行则去左行其物品以正减正余在所去之行为正无入以负减负余在所去之行为负无入以正从负为正无入以负从正为负无入负对空位而负数在所去之行与以负减负同例正对空位而正数在所去之行与以正从负同例此皆所谓正无入负之负无入正之也异名相除同名相益者如下实左右俱正并为一数则无分于左右其物品以负减正余或左或右为正无入以正减负余或左或右为负无入以正从正为正无入以负从负为负无入正对空位与以负减正同例负对空位与以负从负同例此皆所谓正无入正之负无入负之也由是言之在所去之行则其数无入而或左或右以与无分于左右合为一行因亦谓之无入又字乃传写之误明矣今悉改正】负无入正之
无入为无对也无所得减则使消夺者居位也其当以列实或减下实【案此句讹舛据後注内方程新术以列衰乘下实又以列衰乘羣物之数并为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名相消似即此所举】而行中正负杂者亦用此条此条者同名减实异名益实正无入负之负无入正之也
其异名相除同名相益正无入正之负无入负之此条异名相除为例故亦与上条互取凡正负所以记其同异使二品互相取而已矣言负者未必负于少言正者未必正于多故每一行之中虽复赤黑异算无伤然则可得使头位常相与异名此条之实兼通矣遂以二条反覆一率观其每与上下互相取位则随算而言耳犹一术也又本设诸行欲因成数以相去耳【案成字误当作减】故其多少无限令上下相命而已若以正负相减如数有旧增法者每行可均之不但数物左右之也
今有上禾五秉损实一斗一升当下禾七秉上禾七秉损实二斗五升当下禾五秉问上下禾实一秉各几何答曰上禾一秉五升下禾一秉二升
术曰如方程置上禾五禾正下禾七秉负损实一斗一升正
言上禾五秉之实多减其一斗一升余是与下禾七秉相当数也故互其算令相折除以一斗一升为差为差者上禾之余实也
次置上禾七秉正下禾五秉负损实二斗五升正以正负术入之
按正负之术本设列行物程之数不限多少必令与实上下相次而以每行各自为率【案此下原本衍多少二字乃上文不限多少句重出今删正】然而或减或益同行异位殊为二品【案此下原本衍各自二字乃上文各自为率句重出今删正】并减之差见于下也
今有上禾六秉损实一斗八升当下禾一十秉下禾一十五秉损实五升当上禾五秉问上下禾实一秉各几何答曰上禾一秉实八升下禾一秉实三升
术曰如方程置上禾六秉正下禾一十秉负损实一斗八升正次置上禾五秉负【案原本脱置字今据前後文补入】下禾一十五秉正损实五升正以正负术入之
言上禾六秉之实多减损其一斗八升余是与下禾十秉相当之数故亦互其算而以一斗八升为差实差实者下禾之余实
今有上禾三秉益实六斗当下禾一十秉下禾五秉益实一斗当之禾二秉问上下禾实一秉各几何答曰上禾一秉实八斗下禾一秉实三斗
术曰如方程置上禾三秉正下禾一十秉负益实六斗正次置上禾二秉负下禾五秉正益实一斗正以正负术入之
言上禾三秉之实少益其六斗然後于下禾十秉相当也故亦互其算而以六斗为差实差实者下禾之余实
今有牛五羊二直金十两牛二羊五直金八两问牛羊各直金几何答曰牛一直金一两二十一分两之一十三羊一直金二十一分两之二十
术曰如方程
假令为同齐头位为牛当相乘右行定【案此句舛误应作左右行相乘定】更置牛十羊四直金二十两左行牛十羊二十五直金四十两牛数等同金多二十两左行牛二十一使之然也以少行减多行则牛数尽惟羊与直金之数见可得而知也以小推大虽四五行不异也
今有卖牛二羊五以买一十三豕有余钱一千卖牛三豕三以买九羊钱适足卖六羊八豕以买五牛钱不足六百问牛羊豕价各几何答曰牛价一千二百羊价五百豕价三百
术曰如方程置牛二羊五正豕一十三负余钱数正次牛三正羊九负豕三正次五牛负六羊正八豕正不足钱负以正负求术入之
此中行买卖相折钱适足故但互买卖算而已故下无钱直也设欲以此行如方程法先令二牛徧乘左行而以右行直除之是故终于下实虚缺矣故注曰正无实负负无实正方为类也方将以别实加不足之数与实物作实【案此注讹脱不分晓据术意应列三行先令右行牛二徧乘中行复令中行牛三徧乘右行而以直除得羊三十三正豕四十五负余钱三千正此同名相除异名相益正无入负之负无入正也也次令右牛二徧乘乘左行复令左行牛五徧乘右行而以直除得羊三十七正豕四十九负余钱三千八百正此异名相除同名相益正无入正之负无入负之也重列为左右两行先令左行羊三十三徧乘左行复令左行羊三十七徧乘右行而以直除得豕四十八正以为法钱一万四千四百正为实实如法而一得豕价三百转减而上得羊价五百牛价一千二百此亦同名相除异名相益正无入负之负无入正之也中行下实虚缺本无庸论盖注文传写失真後人又妄加改窜遂不可通】盈不足章黄金白银与此相当假令黄金九白银一十一称之重适等交易其一金轻十三两问金银一枚各重几何与此同
今有五雀六燕集称之衡雀俱重燕俱轻一雀一燕交而处衡适平并雀燕重一斤问雀燕一枚各重几何答曰雀重一两一十九分两之一十三燕重一两一十九分两之五
术曰如方程交易质之各重八两
此四雀一燕与一雀五燕衡适平并重一斤故各八两列两行程数左行头位其数有一者今右行徧除亦可令于左行【案此十六字讹舛不可通当云其数是一可省乘令右徧乘乘左行】而取其法实于左左行数多以右行取其数左头位减尽中下行算当燕与实右行不动左上空【案此十五字系讹舛术文】中法下实即每枚当重宜可知也按此四雀一燕与一雀五燕其重等是三雀四燕重相当【案四原本讹作一今改正】雀率重四燕率重三也诸再程之率皆可异术求也即其数也【案此即末条所言新术以下实俱重八两徧乘上雀燕以左雀八减右雀三十二余二十四以右燕八减左燕四十余三十二是为二物正负相借因而约之雀得三燕得四乃三雀当四燕也对易其数即雀率重四而燕率重三注于此突入异术几不解其所谓姑附论之】
今有甲乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十乙得甲太半而亦钱五十问甲乙持钱各几何答曰甲持三十七钱半乙持二十五钱
术曰如方程损益之
此问者言一甲半乙而五十太半甲一乙亦五十也各以分母乘其全内子行定二甲一乙而钱一百二甲三乙而钱一百五十于是乃如方方诸物有分者放此
今有二马一牛价过一万如半马之价一马二牛价不满一万如半牛之价问牛马价各几何答曰马价五千四百五十四钱一十一分钱之六牛价一千八百一十八钱一十一分钱之二
术曰如方程损益之
此一马半与一牛价直一万也二牛半与一马亦直一万也一马半与一牛通分内子右行为三马二牛直钱二万二牛半与一马直钱一万通分内子左行为二马五牛直钱二万也
今有武马一匹中马二匹下马三匹皆载四十石至阪皆不能上武马借中马一匹中马借下马一匹下马借武马一匹乃皆上问武中下马一匹各力引几何答曰武马一匹力引二十二石七分石之六中马一匹力引一十七石七分石之一下马一匹力引五石七分石之五
术曰如方程各置所借以正负术入之
今有五家共井甲二绠不足如乙一绠乙三绠不足如丙一绠【案此句如字及下三如字原本竝讹作以惟上如字不悞今据上文改正】丙四绠不足如丁一绠丁五绠不足如戊一绠戊六绠不足如甲一绠【案此下原本衍一如字今删】各得所不足一绠皆逮问井深绠长各几何答曰井深七丈二尺一寸甲绠长二丈六尺五寸乙绠长一丈九尺一寸丙绠长一丈四尺八寸丅绠长一丈二尺九寸戊绠长七尺六寸【案此问不言丈尺无由知井深绠长于丈尺几何使井深半之为三丈六尺有半寸则甲绠一丈三尺二寸半乙绠九尺五寸半丙绠七尺四寸丅绠六尺四寸半戊绠三尺八寸使井深倍之为十四丈四尺二寸则甲绠五丈三尺乙绠三丈八尺二寸丙绠二丈九尺六寸丅绠二丈五尺八寸戊绠一丈五尺二十皆合所问由是言之问既不定以丈尺依术推求先得七百二十一无以定百为丈十为尺也问井深绠长之率各几何答以井深之率七百二十一甲绠长率二百六十五乙绠长率一百九十一丙绠长车一百四十八丅绠长率一百二十九戊绠长率七十六于义乃通】
术曰如方程以正负术入之
此率初如方程为之名各一逮井其後法得七百二十一实七十六【案此上讹舛不可通据术先得七百二十一为所列五行之通车即井深率也以此率列各行下为各行之下实重求之法得七百二十一实得五万四千七百九十六以法除实得用逮之数七十六】是为七百二十一 而七十六逮井用逮之数以法除实者【案此九字乃讹舛衍文】而戊一绠逮之数定逮七百二十一分之七十六是故七百二十一为井深七十六为戊绠之长举率以言之
今有白禾二步青禾三步黄禾四步黑禾五步实各不满斗白取青黄青取黄黑黄取黑白黑取白青各一步而实满斗问白青黄黑禾实一步各几何答曰白禾一步实一百一十一分斗之三十三青禾一步实一百一十一分斗之二十八黄禾一步实一百一十一分斗之一十七黑禾一步实一百一十一分斗之一十
术曰如方程各置所取以正负术入之
今有甲禾二秉乙禾三秉丙禾四秉重皆过于石甲二重如乙一乙三重如丙一丙四重如甲一问甲乙丙禾一秉各重几何答曰甲禾一秉重二十三分石之一十七乙禾一秉重二十三分石之一十一丙禾一秉重二十三分石之一十
术曰如方程置重过于石之物为负
此问者言甲禾二秉之重过于一石也其过者何云【案何云当作几何】如乙一秉重矣互其算令相折除【案原本讹作互言其算令相折除而一衍言字及而一二字今删正】以石为之差实差实者如甲禾余实故置算相与同也
以正负术入之
此入头位异名相除者正无入正之负无入负之也
今有令一人吏五人从者一十人食鷄一十令一十人吏一人从者五人食鷄八令五人吏一十人从者一人食鷄六问令吏从者食鷄各几何答曰令一人食一百二十二分鷄之四十五吏一人食一百二十二分鷄之四十一从者一人食一百二十二分鷄之九十七术曰如方程以正负术入之
今有五羊四犬三鷄二兎直钱一千四百九十六四羊二犬六鷄三兎直钱一千一百七十五三羊一犬七鷄五兎直钱九百五十八二羊三犬五鷄一兎直钱八百六十一问羊犬鷄兎价各几何答曰羊价一百七十七犬价一百二十一鷄价二十三兎价二十九
术曰如方程以正负术入之
今有麻九斗麦七斗菽三斗荅二斗黍五斗直钱一百四十麻七斗麦六斗菽四斗荅五斗黍三斗直钱一百二十八麻三斗麦五斗菽七斗荅六斗黍四斗直钱一百一十六麻二斗麦五斗菽三斗荅九斗黍四斗直钱一百一十二麻一斗麦三斗菽二斗荅八斗黍五斗直钱九十五问一斗直几何答曰麻一斗七钱麦一斗四钱菽一斗三钱荅一斗五钱黍一斗六钱
术曰如方程以正负术入之
此麻麦与均输少广之章重衰积分皆为大事其拙于精理从按本术者或用算而布氊方好烦而喜误曾不知其非反欲以多为贵故其算也莫不同于设通而专于一端至于此类苟务其成然或失之不可谓要约更有异术者庖丁解牛游刃理间故能 久其刃如新夫数犹刃也易简用之则动中庖丅之理故能和神爱刃速而寡尤凡九章为大事按法皆不尽一百算也虽布算不多然足以算多世人多以方程为难或尽布算之象在缀正负而已未暇以论其设动无方斯胶柱调瑟之类聊复恢演为作新术着之于此将亦启导疑意纲罗道精岂传之空言记其施用之例着策之数每举一隅焉【案以上字句多讹误又皆属虚辞非有贸义可考无从订正姑仍之】
方程新术曰以正负术入之令左右相减先去下实又转去物位则其求一行二物正负相借者【案此句则其求三字舛误当云求其一行二物正负相借者据所立新术推算至一行二物若非遇一正一负彼此相借者则不得其率须另推算往往辄穷】易其相当之率又令二物与他行互相去取转其二物相借之数即皆相当之率也各据二物相当之率对易其数即各当之率也更置成行及其下实【案成行不可通後称减行指所减之余也疑成乃减之讹】各以其物本率今有之求其所同并以为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名相消余以为法以下实为实【案下实原本讹作下置今据上下文谓价直为下实改正】实如法即合所问也一物各以本率今有之即皆合所问也率不通者齐之
其一术曰置羣物通率为列衰更置成行羣物之数【案成行亦减行之讹】各以其率乘之【案率原本讹作数今改正】并以为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名相消余为法以成行下实【案成行亦减行之讹】乘列衰各自为实实如法而一即得以旧术为之凡应置五行今欲要约先置第三行以减第四行及减第三行次置第二行以第二行减第三行去其头位次置右行去其头位次以第四行减左行头位次以左行去第四行及第二行头位次以第五行减第二行头位余可半次以第二行去第四行头位余约之为法实如法而一得空即有黍价以法治第二行得荅价左行得麦价第三行麻价右行得菽价如此凡用七十七算【案以上所言旧术讹舛不可通据方程术凡五物及总价求其各物之价者应列五行行五位及价直以上一位互乘因徧乘次位以下及价直两两相对减去其头位所减之余重列之减至一物一价乃止物为法价为实实如法而一得一物之价转减而止以知各价先化五为四次化四为三次化三为二次化二为一凡用十算兼乘减除言之则一百四十五算凡上一位互乘其数必同可省乘若遇上一位数同则省徧乘或上一位遇一则省其与对行徧乘考问意左行上一位是一先以左行减右行次减第二行次减第三行次减第四行所减之余重列为四行其左行上一位又是一以左行减右行次减第二行次减第三行所减之余重列为三行其上一位数皆同即以本数减之余列为两行依术得荅价转而上求得菽价及麦价麻价凡用九十九算】以新术为此先以第四行减第三行次以第三行去右行及第二行第四行下位又以减右行下位不足减乃止次以左行减第三行下位次以第三行去左行下位讫废去第三行次以第四行去左行下位右行当左行下位次以右行去第二行及第四行下位次以第二行减第四行及左行头位次以第四行减右行菽位不足减乃止次以左行减第二行头位余可再半次以第四行去右行及第二行头位次以第二行去右行头位余约之上得五下得三是菽五当荅三次以左行去第三行菽位又以减第四行及右行菽位不足减乃止次以右行减第二行头位不足减乃止次以第三行去左行头位次以左行去右行头位余上得六下得五是为荅六当黍五次以右行去左行荅位余约之上为二下为三次以左行去第二行下位以第二行去第四行下位又以减左行下位次右行去第二行下位余上得三下得四是为麦三当菽四次以第二行减第四行下位次以第四行去第二行下位余上得四下得七是为麻四当麦七是为相当之率举矣【案以上所言新术亦讹舛不可通据其术求之先以左行减第三行去其次位次并右行亦并亦并第三行第四行以减之去其次位次倍左行以第二行减之去其次位所减之余重列之为三行次以第四行减第二行去次位及下位次以重列之中行减右行去其下位次以重列之左行减右行去其下位所减之余又重列之为三行次以此右行减中行去其头位次以此右行减左行去其头位所减之余两行两物减去下实余约之上得五下得三是菽五当荅三前云令左右相减先去下实又转去物位求其一行二物正负相借者易其相当之率谓菽五当荅三即菽价率三荅价率五也或先减下实乃减物位或先减物位乃减下实各从省便本无一定之先後其先求菽与荅相当之率次求荅与黍相当之率次求麦与菽相当之率次求麻与麦相当之率亦无一定之先後然非遇正负相借者则二物相当之率不可得往往穷而复推辗转滋繁远不若旧术之究归易简也】据麻四当麦七即麻价率【案此四字有脱误当云即为麻价率七而麦价率四】又麦三当菽四即为麦价率四而菽价率三【案此下原本有而荅价率五凡五字今删正】又荅六当黍五即为荅价率五而黍价率六【案此下原本有荅价率五又荅六当黍五即荅价率五也凡十六字乃重出衍文今删正】而率通矣更置第三行以第四行减之余有麻一斗菽四斗荅三斗负黍四斗正【案第三行黍四以第四行黍四减之适尽惟下实一百一十六以第四行一百一十二减之余四当云下实四正此作黍四斗正乃後人所妄改】求其同为麻之数以菽率四黍率四【案黍率四三字亦後人所妄改又有脱文当云以菽率三荅率五各乘菽荅斗数】如麻率七而一得一斗七分斗之一负【案此句亦脱误当云菽得一斗七分斗之五正荅得二斗七分斗之一负】则菽荅化为麻以并之令同名相从异名相消余得定麻七分斗之四以为法置四为实【案此句有脱文当云置下实四为实】以分母乘之【案以原本讹作而今改正】实得二十八而分子化为法矣【案实字法字之上原本竝衍荅字今删正】以法除得七即麻一斗之价【案麻字原本讹作麦今改正】置麦率四菽率三荅率五黍率六皆以麻乘之【案此句误当云皆以其斗数乘之】各自为实以麻率七为法【案麻字原本讹作实今改正】所得即各为实【案此句误当云所得即同为麻之数】亦可使置本行实与物同通之各以本率今有之求其本率所得并以为法如此即无正负之异矣择异同而已又可以一术为之置五行通率为麻七麦四菽三荅五黍六以为列衰减行麻一斗菽四斗正荅三斗负各以其率乘之讫令同名相从异名相消余为法【案法原本讹作减今改正】或置余乘列衰为实所得各为实【案此二句舛误当云又置下实乘列衰所得各为实】此可以实约法【案实字原本讹作置今改正此所谓法乃各物之率总数实乃各物之价总数价于率或适相等或几倍也】则不复乘列衰各以列衰为实 【此句亦脱误当云各以列衰如所约知其价】如此则凡用一百二十四算也
九章算术卷八
