元　李　冶　撰

明　顾应祥　释术

通勾与别股测望一【凡三条】

圆城不知周径乙从城外西南坤隅南行三百六十步而立甲从城外西北干隅东行三百二十步见之问城径

释曰乙从坤南行大差股也甲从干东行通勾也此以通勾大差股测望通勾为城北大勾大差股为城西南之虚股

术曰二行相乘得一十一万五千二百为实　倍乙行得七百二十为从作减从开平方法除之得全径减从开平方法见二卷

又曰二行相并得六百八十为通以通勾求容圆法求之即得

南门外一百三十五步有树甲从城外西北干隅东行三百二十步见之问城径

释曰此以通勾明股立法树距南门明股也甲之东行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南余股术曰东行自之又以树距南门步乘之得一千三百八十二万四千为立实　倍树距南门步以乘东行步得八万六千四百为从方二为隅算作带从负隅开立方法除之得半径

带从负隅开立方曰布实于左从尾数至首常超二位又以从方约之定首位得一百　置一于左上为法　置一自之隅因得二万为隅法并从方得一十○万六千四百为下法与上法相乘除实一千○六十四万余实三百一十八万四千　三因隅法得六万为方法　三因初商得三百又以隅筭因之得六百为廉法　约次商得二十　置一于左次为上法　置一乘廉法得一万二千置一自之隅因得八百为隅法并方法从方廉隅共一十五万九千二百为下法与上法相乘除实尽

后凡言带从负隅开立方法者俱仿此

乙出东门南行三十步甲从干隅东行三百二十步望乙与城叅直问城径

释曰此以通勾□股测望甲东行通勾也乙出东门南行三十步□股也

术曰二行相乘得九千六百为实　以东行三百二十为从方二为隅算作减从负隅翻法开平方除之得半径

减从负隅翻法开平方曰初商一百　置一于左上为法　置一隅因得二百为隅法以减从方余一百二十为下法与上法相乘除实一万二千实不满法反减实九千六百余二千四百为负积倍余法得四百为廉法次商二十　置一于左次为上法　置一隅因得四十为隅法并廉隅共四百四十减从不足反减从方三百二十余一百二十为下法与上次法相乘除实尽

后凡言带从负隅翻法开平方者俱仿此

底勾与别股测望二

城西门南四百八十步有树出北门东行二百步见之问城径

释曰此底勾边股立法测望西门南四百八十步边股也出北门东行二百步底勾也底勾居城北勾之半边股居城西股之半

术曰二行相乘得九万六千为实　相并得六百八十为从二为隅筭　作负隅减从开平方法除之得半径

负隅减从开平方法见二卷【通勾□勾条】

圆城出北门北行一十五步折而东行二百○八步有树出西门西行八步折而南行四百九十五步见之问城径

释曰此以底勾过步带短股边股过步带短勾立法测望出北门北行为短股折而东为长勾过于底勾出西门西行为短勾折而南为长股过于边股术曰西行为短勾东行为长勾北行为短股南行为长股短勾并长勾以长股乘之得一十○万六千九百二十　短股并长股以短勾乘之得四千○八十相减余一十○万二千八百四十为勾股维乘差

又自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百为三乘方实　长股内减二短勾余与长勾相减余二百七十一为股减勾差　长勾内减二短股余与长股相减余三百一十七为勾减股差　股减勾差与勾减股差复相减余四十六以乘勾股维乘差得四百七十三万○六百四十为从方　股减勾差与勾减股相乘得八万五千九百○七　长短勾并与长短股并相乘又倍之得二十二万○三百二十倍勾股维乘差得二十○万五千八百六十　三数相并得五十一万一千九百○七为从一廉长短勾并得二百一十六又四之得八百六十四　倍股减勾差得五百四十二　二数相并得一千四百　六为从二廉作带从方廉开三乘方法除之得半径带从方廉开三乘方曰置所得三乘方积为实以从方廉约之初商得一百　置一于左上为法置一乘从一廉得五千一百一十九万○七百置一自之以乘从二廉得一千四百○六万置一自乘再乘得一百万为隅法　并从方廉

隅共七千○九十八万一千三百四十为下法与上法相乘除实七十○亿九千八百一十三万四千余积三十四亿七千七百九十三万一千六百为次商之实

倍从一廉得一亿○二百三十八万一千四百三因从二廉得四千二百一十八万　四因隅法得四百万　初商自之　六因得六万　初商三之以乘下廉得四十二万一千八百相并加入从一廉得九十九万三千七百○七为上廉　初商四之带从二廉得一千八百○六为下廉次商二十　置一为法　置一乘上廉得一千九百八十七万四千一百四十　置一自之以乘下廉得七十二万二千四百并方廉隅共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法与上法相乘除实尽

或作初商一百　置一为法　置一乘从一廉置一自之以乘从二廉　置一自乘再乘为隅法并从方廉隅共七千○九十八万一千三百四

十为下法与上法相乘除实七十○亿九千八百一十三万四千余实三十四亿七千七百九十三万一千六百为次实　四因隅法得四百万为方法　初商自之　六因得六万为上廉　　初商四之得四百为下廉　次商二十　置一于左次为上法　倍初商加次商得二百二十以乘从一廉得一亿一千二百六十一万九千五百四十初商三之并初次商因之得三万六千　次商自之得四百共三万六千四百以乘从二廉得五千一百一十七万八千四百　以两从廉并入从方共一亿六千八百五十二万八千五百八十为从置一乘上廉得一百二十万　置一自之以乘

下廉得一十六万　置一自乘再乘得八千为隅法并方廉隅共五百三十六万八千带从共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法与上法相乘除实尽

此法分别从方从廉明白故重録附之

出西门南行二百二十五步有塔出北门东行六十四步望塔正居城之半问城径

释曰此以不及底勾与不及边股测望南行二百二十五步与高股同即半径为勾之股东行六十四步与平勾同即半径为股之勾也当以平勾高股立法为是但其望塔当城之半故附底勾边股条下术曰二行相乘即半径筭

乙从城外西南坤隅南行三百六十步甲出北门东行二百步见之问城径

释曰此以底勾大差股立法测望乙从坤隅南行大差股也甲东行底勾也底勾为城北东半勾大差股为城西南虚股

术曰二行相乘得七万二千倍之得一十四万四千为实以南行三百六十为从方作带从开平方法除之得全径

带从开平方法见一卷

乙出南门直行一百三十五步甲出北门东行二百步见之问城径

释曰此底勾明股立法测望乙出南门直行明股也甲出北门东行底勾也底勾为城北半勾明股为城南余股

术曰东行自之以南行乘之得五百四十万又四之得二千一百六十万为立方实　以南门余股一百三十五为从廉作带从廉开立方法除之得全径带从廉开立方曰置所得立积为实　以从廉约之初商二百　置一于左上为法　置一乘从廉得二万七千置一自之得四万为隅法　并从廉共六万七千为下法与上法相乘除实一千三百四十万余实八百二十万　倍从廉得五万四千三因隅法得一十二万相并得一十七万四千为方法　三因初商带从廉得七百三十五为廉法约次商得四十　置一于左次为上法置一乘

廉法得二万九千四百置一自之得一千六百为隅法　并方廉隅共二十　万五千为下法与上法相乘除实尽

后凡言带从廉开立方法者俱仿此

乙出南门南行一百三十五步而立甲出北门北行一十五步折而东行二百○八步见之问城径

释曰此底勾带短股与明股立法测望乙出南门南行明股也甲出北门北行北门外短股也折而东行类底勾而过之

术曰以东行乗南行得二万八千○八十自之得七亿八千八百四十八万六千四百为三乘方实　东行自之得四万三千二百六十四以乘南行得五百八十四万○六百四十倍之得一千一百六十八万一千二百八十为从方　北行自之于上　并南北二行以减东行余自之减上位余数减上寄位　并南北二行　以东行乘之倍之以减寄位　余五万六千九百八十八为从一廉　四之东行得八百三十二于上　并南北二行减东行余五十八四之得二百三十二以减上位余六百为从二廉　四为虚隅作带从二廉减从翻法开三乘方开之得半径带一廉以从二廉益从减从为法翻法开三乘方曰列所得三乘方实从一廉从二廉隅法约之初商一百　置一于左上为法　置一乘从一廉得五百六十九万八千八百为益隅之廉　置一自之以乘从二廉得六百万为益从之廉并入从方共一千七百六十八万一千二百八十为通法置一自乘再乘以隅因之得四百万为隅法并

益隅之廉共九百六十九万八千八百为减实以减通法余七百九十八万二千四百八十为下法与上法相乘除实七亿九千八百二十四万八千实不满法翻减实七亿八千八百四十八万六千四百余九百七十六万一千六百为负积二因乘出从一廉得一千一百三十九万七千

六百为益隅之廉　三因乘出从二廉得一千八百万为益从之廉　又三之初商乘从二廉得一十八万为益从次廉　四因隅法得一千六百万为方法　初商自之六因又以隅因得二十四万为上廉　初商四之隅因得一千六百为下廉次商二十　置一于左上为法　置一乘从一廉得一百一十三万九千七百六十并益隅之廉共一千二百五十三万七千三百六十共为益隅置一乘益从次廉得三百六十万　置一自之以乘从二廉得二十四万并二数加入益从之廉共二千一百八十四万为益从　并入从方共三千三百五十二万一千二百八十为通法　置一乘上廉得四百八十万　置一自之以乘下廉得六十四万　置一自乘再乘隅因得三万六千为隅法　并方法上下廉隅法得二千一百四十七万二千　并益隅共三千四百○○万九千三百六十为减实　以减通法不及减反减通法三千三百五十二万一千二百八十余四十八万八千○八十为负法与上法相乘除负积尽

后凡言带一廉以二廉益从减从翻法开三乘方法者俱仿此

甲乙二人同出北门行至东北隅艮地分路乙往南行一百五十步而立甲又东行连前共二百步望乙与城相叅直问城径

释曰此底勾小差股立法测望甲前后共东行底勾也乙往南行小差股也

术曰二行相乘又以乙南行乘之得四百五十万为实二行相减以乘乙南行得七千五百二行相乘得三万　二数相并得三万七千五百为法实如法而一得半径

又曰二行相乘得三万为实　倍底勾减小差股余二百五十为法

乙出东门南行三十步而立甲出北门东行二百步望乙与城相叅直问城径

释曰此底勾□股立法测望乙出东门南行□股也甲出北门东行底勾也

术曰二行相乘得六千为平实　相减得一百七十为从方作减从翻法开平方法除之得半径

减从翻法开平方法见二卷

又曰乙南行自之得九百为□股筭以乘东行得一十八万为立实　□股筭为从方　东行内减二之乙南行余一百四十为益廉作带从减益廉翻法开立方法除之得半径

带从减益廉翻法开立方曰置所得积一十八万以从方廉约之　初商一百　置一于左上为法置一乘从廉得一万四千置一自之得一万为

隅法带从方共一万　九百以减益廉余三千一百为下法与上法相乘除实二十一万实不满法反减实一十八万余一十三万为负积　倍益廉得二万八千三因隅法得三万为方法　三因初商得三百为廉法　约次商得二十　置一于左次为上法　置一乘益廉得二千八百并入倍益廉得三万○八百　置一乘廉法得六千置一自之得四百为隅法并方从方廉隅共三万七千三百反减益廉三万○八百余六千五百为下法与上法相乘除实尽

后凡言带从减廉翻法开立方法者仿此

大差勾与别股测望三

甲乙二人俱在城西门南行至西南坤隅分路乙往东行一百九十二步而立甲复南行计前后共四百八十步望乙与城相叅直问城径

释曰此大差勾与边股立法测望乙自坤隅东行大差勾也甲自西门往南共行边股也

术曰二行相乘得九万二千一百六十　又以乙东行乘之得一千七百六十九万四千七百二十为实二行相减余二百八十八亦以东行乘之得五万

五千二百九十六　加二行相乘之数共一十四万七千四百五十六为法实如法而一得半径

又曰二行相乘为实　倍甲南行减乙东行余为法

甲从城外西南坤隅东行一百九十二步乙从东北艮隅南行一百五十步望甲与城相叅直问城径释曰此大差勾与小差股立法测望甲东行大差勾也乙南行小差股也【与小差勾大差股同】

术曰二行相乘倍之即全径筭

小差勾与别股立法测望四

乙从城外东北艮隅东行八十步甲从城外西北干隅南行六百步见之问城径

释曰此小差勾与通股立法测望乙从艮隅东行小差勾也甲从干隅南行通股也【与通勾大差股同法】

术曰二行相乘倍之得九万六千为实　二之东行得一百六十为从　作带从开平方法除之得半径带从开平方法见一卷

乙从城外东北艮隅往东行八十步甲出西门南行四百八十步见之问城径

释曰此小差勾与边股立法测望乙东行小差勾也甲南行边股也

术曰二行相乘倍之得七万六千八百为实以乙东行为从作带从开平方法除之得全径

带从开平方法见一卷

乙从艮隅东行八十步而立甲从城外西南坤隅南行三百六十步见之问城径

释曰此以小差勾大差股立法测望乙东行小差勾也甲南行大差股也

术曰二行相乘倍之即圆径筭

明勾与别股测望五

乙出南门东行七十二步而立甲从城外西北干隅南行六百步望乙与城相叅直问城径

释曰此明勾通股立法测望乙出南门东行明勾也甲从干隅南行为通股

术曰二行相乘得四万三千二百为实　以甲南行六百为从方　二为隅法作负隅减从开平方法除之得半径

负隅减从开平方法见二卷

乙出南门东行七十二步而立甲出西门南行四百八十步望乙与城相叅直问城径

释曰此明勾边股立法测望乙东行明勾也甲南行边股也

术曰乙东行自之得五千一百八十四为明勾筭以南行乘之得二百四十八万八千三百二十为立方实　明勾筭为从　南行内减二东行余三百三十六为益廉　作带从减廉开立方法除之得半径带从减廉开立方曰置所得立方实以从方从廉约之　初商一百　置一于左上为法　置一乘益廉得三万三千六百　置一自之得一万为隅法带从方共一万五千一百八十四　以减益廉余一万八千四百一十六为下法与上法相乘

除实一百八十四万一千六百余实六十四万六千七百二十为次商之实　倍益廉得六万七千二百　三因隅法得三万为方法　三因初商得三百为廉法　约次商得二十　置一于左上为法　置一乘益廉得六千七百二十加入前倍廉共七万三千九百二十　置一乘廉法得六千置一自之得四百为隅法并方法从方廉隅共四万一千五百八十四以减益廉余三万二千三百三十六为下法与上法相乘除实尽

后凡言带从减廉开立方法者俱仿此

又曰明勾边股相乘得三万四千五百六十为实明勾边股相减余四百○八为从方　一虚法作减从开平方除之尤捷

甲出南门东行七十二步而立乙出东门南行三十步望乙与城相叅直问城径

释曰此明勾□股立法测望甲出南门东行明勾也乙出东门南行□股也

术曰二行相乘得二千一百六十为实　相并得一百○二为从　作以从减法开平方除之得半径以从减法翻法开平方曰置实于左从于右　约初商得一百　置一于左上为法　置一为隅法以从减隅隅不及减从内翻减隅一百余二为负从以负从为下法与上法相乘得二百　反増入实内共二千三百六十四为次商之实　倍隅法得二百为廉法　约次商得二十　置一于左次为上法　置一为隅法并廉隅共二百二十　以从减之余一百一十八为下法与上法相乘除实尽

后凡如此类者俱仿此通变随宜

又术二行相并得一百○二为太虚相减余四十二即太虚勾股较　倍筭减较筭余一万九千○四十四平方开之得一百三十八为太虚勾股和　加较半之为股减较半之为勾　以太虚勾股求圆径又曰二行相乘倍为实　相减余为从　作带从开平方法除之得虚勾二行相并即虚以勾求股以得圆径

□勾与别股立法测望四

乙出东门直行一十六步甲从城外西北干隅南行六百步见之问城径

释曰此以□勾通股立法测望乙出东门直行□勾也甲从干隅南行通股也

术曰甲南行自之又以乙东行一十六乘之得五百七十六万为立方实　倍东行以乘南行得一万九千二百为从方　二为隅作带从负隅开立方法除之得半径

带从负隅开立方法见前通勾明股

乙出东门直行一十六步甲出西门南行四百八十步见之问城径

释曰此□勾边股立法测望乙出东门直行□勾也甲出西门南行边股也

术曰二行相乘得七千六百八十又以南行乘之得三百六十八万六千四百又四之得一千四百七十四万五千六百为立方实　以东行一十六步为从廉作带从廉开立方法除之得全径

带从廉开立方法见前底勾明股条

圆城不知周径南门外一百三十五步有树出东门直行一十六步见之问城径

释曰此□勾明股立法测望出东门外一十六步为□勾城东之余勾也树在城南一百三十五步为明股城南之余股也以余勾余股测城径

术曰余勾余股相乘为勾乘股筭自之得四百六十六万五千六百为三乘方实　勾乘股筭倍之得四千三百二十又以余勾余股并乘之得六十五万二千三百二十为从方　余勾余股相并自之得二万二千八百○一余勾余股相减自之得一万四千一百六十二数相减余八千六百四十为益廉　作带从廉添积开三乘方法除之得半径

带从益廉添积开三乘方曰置所得三乘方积以从方廉约之初商一百　置一于左上为法　置一乘从益廉得八十六万四千并从方共一百五十一万六千三百二十为益积之法与上法相乘得一亿五千一百六十三万二千为益实添入原积共一亿五千六百二十九万七千六百为通实置一自乘再乘得一百万为隅法与上法相乘

除实一亿余五千六百二十九万七千六百为次实　二因益廉得一百七十二万八千　四因隅法得四百万为方法　初商自之　六因得六万为上廉　初商四之得四百为下廉　约次商得二十置一于左次为上法　置一乘益廉得一十七万二千八百并前倍廉共一百九十○万○八百　并从方共二百五十五万三千一百二十为益积之法与上法相乘得五千一百○六万二千四百为益实添入次实共一亿○七百三十六万为通实置一乘上廉得一百二十万　置一自之以乘下廉得一十六万置一自乘再乘得八千为隅法并方廉隅共五百三十六万八千为下法与上法相乘除实尽

又为带从方廉减隅翻法开三乘方

其法曰初商一百　置一于左上为法　置一自乘再乘得一百万为隅法　置一乘从廉得八十六万四千并从方共一百五十一万六千三百二十以减隅法不及反减隅法一百余五十一万六千三百二十为负隅与上法相乘得五千一百六十三万二千加原实共五千六百二十九万七千六百为次商之实　四因隅法得四百万为方法初商自之六因得六万为上廉　初商四之得

四百为下廉　次商二十置一于左次为上法置一乘上廉得一百二十万置一自之以乘下廉得一十六万　置一自乘再乘得八千为隅法并方法廉隅共五百三十六万八千为通隅　倍初商加次商得二百二十以乘从廉得一百九十○万○八百并从方共二百五十五万三千一百二十以减通隅余二百八十一万四千八百八十为下法与上法相乘除实尽

后凡言如此类立法者仿此

又术曰以树去南门步自之得一万八千二百二十五为余股筭副置二位一以余股乘之得二百四十六万○三百七十五为余股立筭一以余勾乘之得二十九万一千六百为勾乘股立筭相乘得七千一百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实　余勾余股相乘得二千一百六十为勾股相乘筭倍之以乘余股立筭得一百○六亿二千八百八十二万为从方　余勾自之得二百五十六为余勾筭四之以乘余股得一十三万八千二百四十　倍勾乘股立筭得五十八万三千二百　二数相减余四十四万四千九百六十为从二减廉　以勾股相乘筭为隅筭　作从廉减从方负隅开三乘方法除之得八十一为明勾较以除明股筭得二百二十五为明勾和　加较半之为减较半之为勾　勾股相乘倍为实　以较除之得通和较通和较即城径也

从防减从方负隅开三乘方曰约初商八十置一于左上为法　置一自之以乘从廉得二十八亿四千七百七十四万四千以减从方余七十七亿八千一百○七万六千　置一自乘再乘得五十一万二千以隅筭因之得一十一亿○五百九十二万为隅法　并从方共八十八亿八千六百九十九万六千为下法与上法相乘除实七千一百○九亿五千九百六十八万余实六十四亿八千五百六十七万为次实　四因隅法得四十四亿二千三百六十八万为方法　初商自之六因又以隅因得八千二百九十四万四千为上廉　初商四之隅因得六十九万一千二百为下廉　约次商得一　置一于左次为上法　倍初商加次商得一百六十一又并初次商为八十一乘之得一万三千○四十一以乘从廉得五十八亿○二百七十二万三千三百六十以减余从余一十九亿七千八百三十五万二千六百四十为从方　置一乘上廉　置一自之以乘下廉俱如旧　置一自乘再乘仍得一为隅法并方法从方廉隅共六十四亿八千五百六十七万为下法与上法相乘除实尽

测圆海镜分类释术卷三

钦定四库全书