魏　刘徽　注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释

均输〔1〕以御远近劳费〔2〕

今有均输粟〔3〕：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋当输二十五万斛，用车一万乘〔4〕。欲以道里远近、户数多少衰出之〔5〕。问：粟、车各几何？

荅曰：

甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。

乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。

丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。

丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。

术曰：令县户数各如其本行道日数而一，以为衰〔6〕。按：此均输，犹均运也。令户率出车，以行道日数为均，发粟为输。据甲行道八日，因使八户共出一车；乙行道十日，因使十户共出一车……计其在道，则皆户一日出一车〔7〕，故可为均平之率也。　　臣淳风等谨按：县户有多少之差，行道有远近之异。欲其均等，故各令行道日数约户为衰。行道多者少其户，行道少者多其户。故各令约户为衰。以八日约除甲县，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋粟车数为所有数，而今有之，各得车数〔8〕。一旬除乙，十三除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一〔9〕，副并为法〔10〕。以赋粟车数乘未并者，各自为实〔11〕。衰分，科率〔12〕。实如法得一车〔13〕。各置所当出车，以其行道日数乘之，如户数而一，得率：户用车二日四十七分日之三十一，故谓之均〔14〕。求此户以率，当各计车之衰分也〔15〕。有分者，上下辈之。辈，配也。车、牛、人之数不可分裂。推少就多，均赋之宜〔16〕。今按：甲分既少，宜从于乙。满法除之，有余从丙。丁分又少，亦宜就丙，除之适尽。加乙、丙各一，上下辈益，以少从多也〔17〕。以二十五斛乘车数，即粟数〔18〕。

【注释】

〔1〕均输：中国古代处理合理负担的重要数学方法，九数之一。李籍云：“均，平也。输，委也。以均平其输委，故曰均输。”均输法源于何时，尚不能确定。1983年底湖北江陵张家山汉墓出土《算数书》竹简的同时，出土了均输律，否定了均输源于桑弘羊均输法的成说。《盐铁论·本议篇》载贤良文学们批评桑弘羊的均输法时说：“盖古之均输，所以齐劳逸而便贡输，非以为利而贾万物也。”可见先秦已有均输法。《九章算术》中的均输问题与此庶几相近，而与桑弘羊的均输法有所不同。《周礼·地官·司徒》云：“均人掌均地政，均地守，均地职，均人民牛马车辇之力政。”郑玄注：“政，读为征。地征谓地守、地职之税也。地守，衡虞之属；地职，农圃之属。力政，人民则治城郭涂巷沟渠，牛马车辇则转委积之属。”实际上都是讨论合理负担的均输问题。因此，九数中的均输类起源于先秦是无疑的。不过，《九章算术》的均输章28个问题中，只有前4个问题是典型的均输问题，后24个问题是算术难题，大约是西汉张苍、耿寿昌整理《九章算术》时补充进去的。

〔2〕劳费：李籍云：“耗也。”

〔3〕此问是向各县征调粟米时徭役的均等负担问题。

〔4〕乘（shèng）：车辆，或指四马一车。《左传·隐公元年》：“缮甲兵，具卒乘。”杜预注：“步曰卒，车曰乘。”《庄子·列御寇》：“王悦之，益车百乘。”成玄英疏：“乘，驷马也。”也指配有一定数量士兵的兵车。李籍云：“数车曰乘。一本作‘量’。”知李籍时代还有一作“量”的抄本。疑“量”系“辆”的假借字。

〔5〕要求各县按距离远近和户数多少确定的比例出粟和车。

〔6〕记各县行道日数为ai，户数为bi，则，i=1，2，3，4，就是各县出车与出粟的列衰。

〔7〕以行道日数除户数，就使每户一日出一车，所以可以做到各户负担均等。

〔8〕李淳风等将其归结为今有术：副并为所有率，未并者各为所求率，i=1，2，3，4，以赋粟车数a为所有数。

〔10〕副并：在旁边相加。副，见卷一约分术注释〔13〕。此谓在旁边将列衰相加，得作为法。

〔12〕衰分，科率：列衰，征税的率。此谓以赋粟车数a乘未相加的列衰，得，就是征调车数的率。科，课税，征税。

〔13〕记各县出车数为ai，i=1，2，3，4，则

于是

〔14〕户用车二日四十七分日之三十一，故谓之均：每户用车都是日，所以称之为均。此谓以为户率。户率都是日，所以实现了均等负担。

〔15〕求此户以率，当各计车之衰分：用率来求该户的出车数，应当计算各自车数的衰分。

〔16〕均输诸术提出车、牛、人数不可以是分数，必须搭配成整数。这与商功章的人数可以是分数不同，既反映了两者编纂时代不同，也反映了均输诸术的实用性更强。搭配的原则是分数小的，并到分数大的。

〔17〕甲、乙、丙、丁四县出车的奇零部分依次是。将甲、丁县的奇零部分并入乙、丙二县，则四县出车依次是：3 324，2 526，2 526，1 622。

〔18〕250 000斛，用车10 000乘，则1乘车运送25斛。故以25斛乘各县出车数，即得各县出粟数。

【译文】

均输为了处理远近劳费的问题

假设要均等地输送粟：甲县有10 000户，需在路上走8日；乙县有9 500户，需在路上走10日；丙县有12 350户，需在路上走13日；丁县有12 200户，需在路上走20日，才能分别将粟输送到输所。四县的赋共应当输送粟250 000斛，用10 000乘车。欲根据道里的远近、户数的多少按比例出粟与车。问：各县所输送的粟、所用的车各是多少？

答：

甲县输粟83 100斛，用车3 324乘。

乙县输粟63 175斛，用车2 527乘。

丙县输粟63 175斛，用车2 527乘。

丁县输粟40 550斛，用车1 622乘。

术：布置各县的户数，分别除以它们各自需在路上走的日数，作为衰。按：此处均输，就是均等输送。使每户按户率出车，就以需在路上走的日数实现均等，而以各县发送粟作为输。根据甲县需在路上走8日，所以就使8户共出一车；乙县需在路上走10日，所以就使10户共出一车……计算它们在路上的劳费，则都是1户1日出1车，所以可以用来实现均平之率。　　淳风等按：各县的户数有多少的差别，走的路有远近的不同。欲使它们的劳费均等，就分别用需在路上走的日数除各自的户数作为列衰——需在路上走的日数多的就减少其户数，需在路上走的日数少的就增加其户数。所以分别以走的日数除户数作为列衰。以8日除甲县户数，得125，乙、丙县各95，丁县61。对于今有术，在旁边将它们相加作为所有率，没有相加的各自作为所求率，以输送作为赋税的粟所共用的车数作为所有数，应用今有术，分别得到各县所用的车数。——以10日除乙县的户数，13除丙县的户数，各自得到95；以20日除丁县的户数，得到61。甲县的衰是125，乙、丙县的衰各是95，丁县的衰61，在旁边将它们相加，作为法。以输送作为赋税的粟所共用的车数分别乘未相加的衰，各自作为实。衰分，就是分配缴纳的赋税的率。实除以法，得到各县所应出的车数。分别布置各县所应当出的车数，以各自需在路上走的日数乘之，除以各自的户数，得到率：每户用车为日，所以叫作均等。用率来求该户的出车数，应当计算各自出车数的衰分。如果出现分数，就将它们上下辈之。辈，就是搭配。车、牛、人的数量不可有分数。就将少的加到多的上，这是使赋税均等的权宜做法。今按：甲县的分数部分既然少，加到乙上比较适宜。满了法就做除法，其余数加到丙上。丁县的分数部分又少，也加到丙上比较适宜，恰好除尽。给乙、丙县各加1，上下搭配增益，就是以少的加到多的上。以25斛乘各自出的车数，即是各县所输送的粟数。

今有均输卒〔1〕：甲县一千二百人，薄塞〔2〕；乙县一千五百五十人，行道一日；丙县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十人，行道五日。凡五县，赋输卒一月一千二百人。欲以远近、人数多少衰出之。问：县各几何？

荅曰：

甲县二百二十九人。

乙县二百八十六人。

丙县二百二十八人。

丁县一百七十一人。

戊县二百八十六人。

术曰：令县卒各如其居所及行道日数而一，以为衰〔3〕。按：此亦以日数为均，发卒为输。甲无行道日，但以居所三十日为率。言欲为均平之率者，当使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人〔4〕……“出一人”者，计役则皆一人一日，是以可为均平之率〔5〕。甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五〔6〕，副并为法〔7〕。以人数乘未并者各自为实〔8〕。实如法而一〔9〕。为衰，于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋卒人数为所有数〔10〕。此术以别〔11〕，考则意同。以广异闻，故存之也〔12〕。各置所当出人数，以其居所及行道日数乘之，如县人数而一，得率：人役五日七分日之五〔13〕。有分者，上下辈之。辈，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不从乙者，丁近戊故也。满法除之，有余从乙。丙分又少，亦就乙除。有余从甲，除之适尽。从甲、丙二分，其数正等。二者于乙远近皆同，不以甲从乙者，方以下从上也〔14〕。

【注释】

〔1〕此问是向各县征调兵役的均等负担问题。

〔2〕薄塞：接近边境。薄，接近，迫近。李籍云：“迫也。”又云：“薄，或作博，非是。”知当时还有一误作“博”的抄本。塞，边塞。李籍云：“边也。”

〔3〕记各县行道日数为ai，人数为bi，则，i=1，2，3，4，5，就是各县出卒的列衰。其中30为一个月的日数。

〔4〕1月30日，甲无行道日，1人赋30日；乙行道1日，1人赋30日+1日=31日；丙行道2日，1人赋30日+2日=32日；丁行道3日，1人赋30日+3日=33日；戊行道5日，1人赋30日+5日=35日。为了得到均平之率，应当使甲、乙、丙、丁、戊各县分别30人，31人，32人，33人，35人而出1人。

〔5〕计役则皆一人一日，是以可为均平之率：此以日数实现均等负担，使每人服役1日。

〔9〕记各县出卒数为ai，i=1，2，3，4，5，则

于是

〔10〕刘徽将其归结为今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，i=1，2，3，4，5，以出卒数a为所有数。

〔11〕以：古通“似”。汉初简帛中“似”常作“以”。《马王堆汉墓帛书·阴阳十一脉灸经》甲本“要以折”，“以”即“似”。

〔12〕刘徽在这里意在提供不同的思路，以“广异闻”。

〔14〕为了使车、牛、人之数都是整数，将答案进行调整的原则，除了上一问的以少从多外，还有以下从上，舍远就近。甲、乙、丙、丁、戊五县出卒的奇零部分依次是。丁县的奇零部分最少，就近加到戊县上，而不先加到较远的乙县上。戊县加，得到1人之后余，加到乙县上。其次是甲、丙县最少，根据以下从上的原则，将丙县的加到乙县上，得到1人之后余，加到甲县上，适尽。于是各县出卒人数依次是甲县229人，乙县286人，丙县228人，丁县171人，戊县286人。

【译文】

假设要均等地输送兵卒：甲县有兵卒1 200人，逼近边塞；乙县有兵卒1 550人，需在路上走1日；丙县有1 280人，需在路上走2日；丁县有990人，需在路上走3日；戊县有兵卒1 750人，需在路上走5日。五县共应派出1 200人，戍边一个月作为兵赋。欲根据道路的远近、兵卒的多少按比例派出。问：各县应派出多少兵卒？

答：

甲县229人。

乙县286人。

丙县228人。

丁县171人。

戊县286人。

术：布置各县的兵卒数，分别除以在居所及需在路上走的日数，作为列衰。按：这里也是以日数实现均等，派遣兵卒作为输送的赋。甲县没有路上走的日数，只是以在居所的30日计算它的率。说欲得到均平之率，应当使甲县每30人而派出1人，乙县每31人而派出1人……而如果“那么多人派出1人”，计算他们的劳役，则都是每1人服役1日，因此可以作为均平之率。甲县的衰是4，乙县的衰是5，丙县的衰是4，丁县的衰是3，戊县的衰是5，在旁边将它们相加作为法。以总的兵卒数乘未相加的衰，各自作为实。实除以法，就是各县派出的兵卒数。算出它们的列衰，对于今有术，在旁边将它们相加，作为所有率，未相加的各为所求率，以赋卒的人数作为所有数。此术与上术好像有差别，考察起来它们的意思是相同的。为了扩充见识，所以保存下来。分别布置各县所应当派出的兵卒数，乘以他们在居所及需在路上走的日数，除以各县的兵卒数，便得到率：每人服役为日。如果算出的兵卒数有分数，就将它们上下辈之。辈，就是搭配。今按：丁县兵卒数的分数最少，将它加到戊县的兵卒数上，做除法是适宜的。不先加到乙县上，是丁县距离戊县近的缘故。满了法就做除法，如果有余数就加到乙县。丙县的分数又少，也加到乙县，做除法。有余数就加到甲县上，做除法，恰好除尽。甲、丙二县的分数，数值正好相等。二者与乙县的远近也都相同，不将甲县的分数加到乙县上的原因，正是以下从上。

今有均赋粟〔1〕：甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱，至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。凡五县赋输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱〔2〕。欲以县户赋粟，令费劳等。问：县各粟几何？

荅曰：

甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七。

乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。

丙县一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。

丁县一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三。

戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三。

术曰：以一里僦价乘至输所里，此以出钱为均也。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱，即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所所用钱也。甲自输其县，则无取僦价也。以一车二十五斛除之，欲知僦一斛所用钱。加以斛粟价，则致一斛之费〔3〕。加以斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱也。甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊十九也〔4〕。各以约其户数，为衰〔5〕。言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛……计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也〔6〕。计经赋之率，既有户算之率，亦有远近贵贱之率。此二率者，各自相与通〔7〕。通则甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五〔8〕。一斛之费谓之钱率。钱率约户率者，则钱为母，户为子。子不齐，令母互乘为齐，则衰也〔9〕。若其不然，以一斛之费约户数，取衰。并有分，当通分内子约之，于算甚繁〔10〕。此一章皆相与通功共率，略相依似〔11〕。以上二率、下一率亦可放此，从其简易而已〔12〕。　　又以分言之〔13〕，使甲一户出二十分斛之一，乙一户出十八分斛之一……各以户数乘之，亦可得一县凡所当输，俱为衰也〔14〕。乘之者，乘其子，母报除之。以此观之，则以一斛之费约户数者，其意不异矣〔15〕。然则可置一斛之费而返衰之，约户，以乘户率为衰也〔16〕。合分注曰：“母除为率，率乘子为齐。”返衰注曰：“先同其母，各以分母约，其子为返衰。”以施其率，为算既约，且不妨处下也〔17〕。甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十〔18〕，副并为法〔19〕。所赋粟乘未并者，各自为实〔20〕。实如法得一〔21〕。各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如户数而一，得率：户出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八十一〔22〕。按：此以出钱为均。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所用钱。甲自输其县，则无取僦之价。“以一车二十五斛除之”者，欲知僦一斛所用钱。加一斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱。甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊一十九。“各以约其户，为衰”：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛……计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，赋粟一万斛为所有数。此今有衰分之义也〔23〕。

【注释】

〔1〕此问是向各县征收粟作为赋税的均等负担问题。

〔2〕僦（jiù）：租赁，雇。《史记·平准书》：“天下赋输或不偿其僦费。”司马贞索隐：“服虔云：‘雇载云僦。’言所输物不足偿其雇载之费也。”

〔3〕此谓

致1斛之费=（1里僦价×里数）÷1车斛数+1斛粟价。（6-3）

〔4〕由（6-3）式求出各县致1斛之费：甲县致1斛之费=（1×0）÷25+20=20（钱），乙县致1斛之费=（1×200）÷25+10=18（钱），丙县致1斛之费=（1×150）÷25+12=18（钱），丁县致1斛之费=（1×250）÷25+17=27（钱），戊县致1斛之费=（1×150）÷25+13=19（钱）。

〔5〕记各县致1斛之费为ai，户数为bi，则，i=1，2，3，4，5，就是各县出粟的列衰。

〔6〕此以钱数实现均等负担。因为甲、乙、丙等县的致1斛之费分别是20，18，18……所以依次使20户，18户，18户……共出1斛，就使每户出1钱，可以做到负担均等。

〔7〕此问的复杂性在于，既要考虑户算之率，又要考虑道里远近，粟价贵贱的因素，使这几个因素互相通达。

〔8〕各县的户数20 520，12 312，7 182，13 338，5 130。它们有公约数1 026，可以约简为户率20，12，7，13，5。

〔9〕“钱率约户率者”六句：钱率约户率就得到列衰，如果其中有分数，就通过齐同形成列衰。此处先以各县致1斛之费分别约户率，得到，，为列衰。通过齐同，化成1 026，684，399，494，270。

〔10〕此谓如果不使用户率，直接以各县致1斛之费约户数，以作为列衰，则非常繁琐。

〔11〕这一章的共性是通功共率。这大约是张苍、耿寿昌等将此章后24问这些非均输问题编入均输章的原因。

〔12〕指上2问，下1问的率亦可仿此。

〔13〕以分言之：以分数表示。上面是从甲县20户共出1斛，乙、丙县各是18户共出1斛……计算的，都是以整数表示。下面以分数表示之，则甲县1户出斛，乙县1户出斛……

〔14〕俱为衰：则各县1户出的斛数，分别以户数乘之，亦可得到列衰。

〔15〕此谓这种方法与致1斛之费约户数，实质上是相同的。

〔16〕“然则可置一斛之费而返衰之”三句：那么可以布置缴纳1斛的费用而对其应用返衰术，因为要以各县缴纳1斛的费用除户数，所以分别乘各县的户率作为衰。按：由衰分术（3-1），各县出粟

与返衰术（3-2）相比较，这是以bia1a2…ai-1ai+1…an，i=1，2，3，4，5为列衰，显然是以bi乘a1a2…ai-1ai+1…an。

〔17〕处下：处理下面的问题。处，处置，处理。

〔19〕在旁边将列衰相加，得作为法。

〔20〕以所赋粟乘未并者，各自为实：即，i=1，2，3，4，5，分别为各县的实：

〔21〕记各县出粟数为ai，i=1，2，3，4，5，则

于是

〔23〕刘徽将其归结为今有术：副并为所有率，未并者各为所求率，i=1，2，3，4，5，以出粟数a为所有数。

【译文】

假设要均等地缴纳粟作为赋税：甲县有20 520户，1斛粟值20钱，自己输送到本县；乙县有12 312户，1斛粟值10钱，至输所200里；丙县有7 182户，1斛粟值12钱，至输所150里；丁县有13 338户，1斛粟值17钱，至输所250里；戊县有5 130户，1斛粟值13钱，至输所150里。五县共输送10 000斛粟作为赋税。1辆车装载25斛，给的租赁价是1里1钱。欲根据各县的户数缴纳粟作为赋，使它们的费劳均等。问：各县缴纳的粟是多少？

答：

术：以1里的租赁价分别乘各县至输所的里数，这里是以出钱实现均等。提问的人说：“1辆车装载25斛，给的租赁价是1里1钱。”1钱，就是1里的租赁价。以它乘里数，是欲知租赁1辆车运到输所所用的钱。甲县自己输送到本县，则就没有租赁价。除以1辆车装载的25斛，想知道租赁车辆运1斛所用的钱。加上各县1斛粟的价钱，就是各县运送1斛粟的费用。各县1斛粟的价钱加租赁车辆运1斛所用的钱，就是该县缴纳1斛粟所需的总钱数。甲县缴纳1斛的费用是20钱，乙县、丙县各18钱，丁县27钱，戊县19钱。分别以它们除各县的户数，作为列衰。这意味着使甲县20户共出1斛，乙县、丙县18户共出1斛……计算它们所承担的费用，则都是每户1钱，所以可以用来建立使赋税均等的率。考虑分配赋税的率，既有每户算赋的率，也有道里远近，粟价贵贱的率。各县的这二种率要分别相与通达。要通达，就将甲县的户率化成20，乙县12，丙县7，丁县13，戊县5。缴纳1斛的费用称为钱率。如果以钱率除户率，则钱率就是分母，户率就是分子。分子不齐，就令分母互乘分子作为齐，就是列衰。如果不这样做，就以缴纳1斛的费用除户数，拿来作为列衰。兼有分数的，还应当将其通分，纳入分子，再约简，计算非常繁琐。这一章的问题都是相与通达，有共通的率，大体相似。上两个问题，下一个问题的率也可以仿照此，遵从简易的原则就是了。　　又以分数表示之，使甲县1户出斛，乙县1户出斛……各以它们的户数乘之，也可以得到一县所应当缴纳的粟的率，都作为衰。各以它们的户数乘之，就是乘它们的分子，再以分母回报以除。由此看来，则与以各县缴纳1斛的费用除其户数，其意思没有什么不同。这样一来，可以布置缴纳1斛的费用而对其应用返衰术，因为要以各县缴纳1斛的费用除户数，所以分别乘各县的户率作为衰。合分术注说：“可以用分母除众分母之积作为率，用率分别乘各分子作为齐。”返衰注说：“可以先使它们的分母相同，以各自的分母除同，以它们的分子作为返衰术的列衰。”以这样的方法施行它们的率，作为算法既约简，又不妨碍处理下面的问题。甲县的衰是1 026，乙县的衰是684，丙县的衰是399，丁县的衰是494，戊县的衰是270，在旁边将它们相加，作为法。以作为赋税的总粟数分别乘未相加的列衰，各自作为实。实除以法，便得到各县缴纳的粟数。分别布置各县所应当缴纳的粟数，各以缴纳1斛的费用乘之，除以本县的户数，就得到率：每户缴纳钱。按：这里是以出钱实现均等。提问的人说：“1辆车装载25斛，给的租赁价是1里1钱。”1钱，就是1里的租赁价。以它乘里数，是想知道租赁1辆车运到输所所用的钱。甲县自己输送到本县，则就没有租赁价。“除以1辆车装载的25斛”，想知道租赁车辆运1斛所用的钱。各县1斛粟的价钱加租赁车辆运1斛所用的钱，就是该县缴纳1斛粟所需的总钱数。甲县缴纳1斛的费用是20钱，乙县、丙县各18钱，丁县27钱，戊县19钱。“分别以它们除各县的户数，作为列衰”：甲县的衰是1 026，乙县的衰是684，丙县的衰是399，丁县的衰是494，戊县的衰是270。这意味着使甲县20户共出1斛，乙县、丙县18户共出1斛……计算它们所承担的费用，则都是每户1钱，所以可以用来建立使赋税均等的率。对于今有术，在旁边将列衰相加作为所有率，未相加的列衰各为所求率，作为赋税缴纳的总粟数10 000斛作为所有数。这里是今有术、衰分术的意义。

今有均赋粟〔1〕：甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县；乙县三万四千二百七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百二十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；己县一万九千一百三十六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等。问：县各粟几何？

荅曰：

甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。

乙县一万八百二十七斛一百三十三分斛之九。

丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

丁县六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。

戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。

己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

术曰：以车程行空、重相乘为法〔2〕，并空、重，以乘道里，各自为实〔3〕，实如法得一日〔4〕。按：此术重往空还，一输再行道也。置空行一里，用七十分日之一；重行一里，用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六〔5〕。完言之者〔6〕，一百七十五里之路，往返用六日也。故并空、重者，齐其子也；空、重相乘者，同其母也〔7〕。于今有术，至输所里为所有数，六为所求率，一百七十五为所有率，而今有之，即各得输所用日也〔8〕。加载输各一日，故得凡日也〔9〕。而以六人乘之，欲知致一车用人也〔10〕。又以佣价乘之，欲知致车人佣直几钱〔11〕。以二十五斛除之，欲知致一斛之佣直也〔12〕。加一斛粟价，即致一斛之费〔13〕。加一斛之价于致一斛之佣直，即凡输一斛粟取佣所用钱。各以约其算数为衰〔14〕，今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰十六〔15〕。于今有术，副并为所有率。未并者各自为所求率，所赋粟为所有数〔16〕。此今有衰分之义也。副并为法〔17〕。以所赋粟乘未并者，各自为实〔18〕。实如法得一斛〔19〕。各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如算数而一，得率，算出九钱一百三十三分钱之三〔20〕。又载输之间各一日者，即二日也。

【注释】

〔1〕此问亦是向各县征收粟作为赋税的均等负担问题。不过此问征收的对象是算，而不是户或人，同时还考虑了空车返回的因素。

〔2〕记空、重行里数分别为m1，m2，则法为m1m2。

〔3〕记各县到输所的道里为li，则（m1+m2）li，i=1，2，3，4，5，6，为实。

〔4〕记各县到输所所用日数为ti，则

ti=（m1+m2）li÷（m1m2），i=1，2，3，4，5，6。（6-5-1）

得到甲、乙、丙、丁、戊、己六县到输所所用日数，分别为0，，，6，，日。

〔5〕以上是“分言之”，空车日行70里，故行1里用日；重车日行50里，故行1里用日；空、重车行1里用日。应用齐同术，得

〔6〕完言之：以整数表示之。此谓175里路，一辆车重往空还，往返用6日。完，完全，整个，引申为整数。这里是与“分言之”相对。

〔7〕空、重车一日所行相加m1+m2是使分子相齐。空、重车一日所行相乘m1m2是使分母相同。

〔8〕此是以今有术解释《九章算术》求各县到输所用日的算法。甲、乙、丙、丁、戊、己六县至输所的里数0，70，140，175，210，280里分别作为所有数，6为所求率，175为所有率。各县到输所用日（6-5-1）式化简为：

ti=li×6÷175。　　i=1，2，3，4，5，6。（6-5-2）

由（6-5-2）式，甲县到输所用日t1=0，乙县到输所用日t2=70×6÷175=（日），丙县到输所用日t3=140×6÷175=（日），丁县到输所用日t4=175×6÷175=6（日），戊县到输所用日t5=210×6÷175=（日），己县到输所用日t6=280×6÷175=（日）。

〔9〕加“载输各一日”，即2日，则各县到输所总日数为ti+2日：甲、乙、丙、丁、戊、己县到输所的总日数依次是日。

〔10〕由于6人一辆车，所以（ti+2）×6为运送1车所用人数。

〔11〕记某县1人1日的佣价为pi钱，则运送1车所用人数乘佣价，得（ti+2）×6pi钱，i=2，3，4，5，6，就是缴纳1车到输所的佣价。其中p2=10钱，p3=5钱，p4=5钱，p5=5钱，p6=5钱。

〔12〕除以25，得，就是缴纳1斛到输所的佣价。

〔13〕记某县1斛粟价为qi钱，q1=20钱，q2=18钱，q3=16钱，q4=14钱，q5=12钱，q6=10钱。则某县缴纳1斛到输所的佣价加该县1斛粟价，得，i=1，2，3，4，5，6，就是该县缴纳1斛的费用：

〔14〕记各县算数为bi，i=1，2，3，4，5，6，b1=42 000算，b2=34 272算，b3=19 328算，b4=17 700算，b5=23 040算，b6=19 136算。以各县缴纳1斛的费用除该县算数，，就是各县的列衰。

〔15〕各县的列衰是：

上述列衰有等数50，约去，列衰变成：

甲县衰 42， 乙县衰 24， 丙县衰 16，

丁县衰 15， 戊县衰 20， 己县衰 16。

〔16〕刘徽将其归结为今有术：副并为所有率，未并者各为所求率，i=1，2，3，4，5，6，以赋粟数a为所有数。

〔17〕将列衰在旁边相加：42+24+16+15+20+16=133，作为法。

〔18〕以所赋粟数乘各县未相加的列衰，分别作为各县的实：

甲县之实 60 000斛×42=2 520 000斛，

乙县之实 60 000斛×24=1 440 000斛，

丙县之实 60 000斛×16=960 000斛，

丁县之实 60 000斛×15=900 000斛，

戊县之实 60 000斛×20=1 200 000斛，

己县之实 60 000斛×16=960 000斛。

〔19〕记各县出粟数为ai，则

于是：

〔20〕此谓以为率。率都是1算出钱，所以实现了均等负担。

【译文】

假设要均等地缴纳粟作为赋税：甲县42 000算，一斛粟值20钱，输送到本县；乙县34 272算，一斛粟值18钱，雇工价1日10钱，到输所70里；丙县19 328算，一斛粟值16钱，雇工价一日5钱，到输所140里；丁县17 700算，一斛粟值14钱，雇工价一日5钱，到输所175里；戊县23 040算，一斛粟值12钱，雇工价一日5钱，到输所210里；己县19 136算，一斛粟值10钱，雇工价一日5钱，到输所280里。六个县共缴纳60 000斛粟作为赋税，都输送到甲县。6个人共同驾一辆车，每辆车载重25斛，载重的车每日行50里，放空的车每日行70里，装卸的时间各1日。粟有贵有贱，雇工各有不同的价钱，按算缴纳钱，使他们的费劳均等。问：各县缴纳的粟是多少？

答：

术：以放空的车与载重的车每日行的标准里数相乘，作为法，两者相加，以乘各县到输所的里数，各自作为实，实除以法，得各县到输所的日数。按：此术中载重的车前往，放空的车返回，运输一次要在道上行两次。布置放空的车行1里所用的日；载重的车行1里所用的日，将它们齐同，放空的车与载重的车行1里的路，往返用日。如果用整数表示之，175里的路程，往返用6日。所以将放空的车与载重的车每日行的标准里数相加，是使它们的分子相齐；两者相乘，是使它们的分母相同。对于今有术，各县到输所的里数作为所有数，6作为所求率，175作为所有率，应用今有术，就分别得到各县到输所所用的日数。加装卸的时间各1日，所以得到各县分别用的总日数。而以6人乘之，想知道输送1车到输所所用的人数。又以各县的雇工价分别乘之，想知道输送1车到输所雇工的钱数。除以25斛，想知道输送1斛到输所雇工的钱数。加1斛粟的价钱，则就是输送1斛到输所的费用。加1斛粟的价钱于输送1斛到输所雇工的钱数，则就是各县缴纳1斛粟所需的粟价与雇工所用的总钱数。各以它们除该县的算数作为列衰，今按：甲县的列衰是42，乙县的列衰是24，丙县的列衰是16，丁县的列衰是15，戊县的列衰是20，己县的列衰是16。对于今有术，在旁边将列衰相加作为所有率。未相加的各自作为所求率，作为赋税缴纳的总粟数作为所有数。这是今有术、衰分术的意义。在旁边将它们相加，作为法。以作为赋税缴纳的总粟数乘未相加的，各自作为实。实除以法，得到各县所应缴纳的粟的斛数。分别布置各县所应当出的粟数，以其缴纳1斛的费用乘之，分别除以各县的算数，得到率：每算出钱。又装卸的时间各1日，就是2日。

今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为粺米，一人为糳米，令米数等。问：取粟、为米各几何？

荅曰：

粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。

粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。

糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三。

为米各一斗六百五分斗之一百五十一。

术曰：列置粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，而返衰之。此先约三率：粝为十，粺为九，糳为八。欲令米等者，其取粟：粝率十分之一，粺率九分之一，糳率八分之一〔1〕。当齐其子，故曰返衰也〔2〕。　　臣淳风等谨按：米有精粗之异，粟有多少之差。据率，粺、糳少而粝多，用粟，则粺、糳多而粝少。米若依本率之分，粟当倍率〔3〕，故今返衰之，使精取多而粗得少。副并为法〔4〕。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗〔5〕。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，粟七斗为所有数，而今有之，故各得取粟也。若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗〔6〕。若径求为米等数者，置粝米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；糳米十二，用粟二十五。齐其粟，同其米。并齐为法。以七斗乘同为实。所得，即为米斗数〔7〕。

【注释】

〔1〕粝米率为10，粺米率为9，糳米率为8。欲所取的粟舂出的米相等，那么粝米取粟率为，粺米取粟率为，糳米取粟率为。

〔2〕分别以为列衰，所以应用返衰术。这需要将列衰应用齐同术，化成。

〔3〕此谓依本率，粺米率、糳米率少而粝米率多，若求舂出同等数量的米所用的粟，则粺米、糳米少而粝米多。各种米若按照本率分配，则取粟就背离了各自的率。　　倍：背离，背弃。《墨子·非儒》：“倍本弃事而安怠傲。”

〔4〕副并为法：在旁边将返衰相加作为法，即以作为法。

〔5〕此先用返衰术求出粝米、粺米、糳米的取粟数

〔6〕再求舂出的米数

〔7〕此为刘徽提出的直接求舂出的米的方法

【译文】

假设有粟7斗，由3人分别舂之：一人舂成粝米，一人舂成粺米，一人舂成糳米，使舂出的米数相等。问：各人所取的粟、舂成的米是多少？

答：

术：布列粝米30，粺米27，糳米24，而对之使用返衰术。此处先约简三个率：粝米为10，粺米为9，糳米为8。如果想使舂出的米数相等，则它们所取的粟：舂成粝米的率是，舂成粺米的率是，舂成糳米的率是，应当使它们的分子相齐，所以叫作返衰术。　　淳风等按：各种米有精粗的不同，所取的粟就有多少的差别。根据它们的本率，粺米、糳米少而粝米多，而所用的粟，则舂成粺米、糳米者取的多而舂成粝米者取的少。如果各种米依照它们的本率分配粟，则粟就背离了它们的率，所以现在对之应用返衰术，使舂出精米者取的粟多，而舂出粗米者取的粟少。在旁边将列衰相加作为法。以7斗乘未相加者，各自作为所取粟的实。实除以法，得到各人所取粟的斗数。对于今有术，在旁边将列衰相加作为所有率，未相加者各自作为所求率，7斗粟作为所有数，而应用今有术，所以分别得到所取的粟。如果求相等的米数，以各自的本率分别乘已经确定的所取的粟数，作为实，以粟率50作为法，实除以法，得到米的斗数。如果要直接求舂成的各种米相等的数量，就布置粝米3，用粟是5；粺米27，用粟是50；糳米12，用粟是25。使它们的粟相齐，又使它们的米数相同。将齐相加作为法。以7斗乘同，作为实。实除以法，所得就是舂成的米的斗数。

今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问：各几何？

荅曰：

米五斗一升七分升之三，

菽一斛二升七分升之六。

术曰：置米一、菽二，求为粟之数。并之，得三、九分之八，以为法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛〔1〕。臣淳风等谨按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。并全，得三；齐子，并之，得二十四；同母，得二十七，约之，得九分之八。故云“并之，得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八，此其粟率也〔2〕。于今有术，米一、菽二皆为所求率，当粟三、九分之八为所有率，粟二斛为所有数。凡言率者，当相与通之，则为米九、菽十八，当粟三十五也。亦有置米一、菽二，求其为粟之率，以为列衰。副并为法。以粟乘列衰为实。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所问〔3〕。

【注释】

〔2〕此是李淳风等提出的解法：用衰分术先分别求出米1，菽2相当的粟：，。

〔3〕李淳风等用今有术求出所出的米、菽数：斗，斗。显然李淳风等的方法不如原术简捷。

【译文】

假设应当赐给人2斛粟。但是粮仓里没有粟了，想给他1份米、2份菽，当作赐给他的粟。问：给他的米、菽各多少？

答：

术：布置米1、菽2，求出它们变成粟的数量。将它们相加，得到，作为法。又布置米1、菽2，而以2斛粟乘之，各自作为实。实除以法，得米、菽的斛数。淳风等按：布置粟率5，乘米1，以米率3除之，得到，就是与米1相当的粟；布置粟率10，乘菽2，以菽率9除之，得到，就是与菽2相当的粟。将整数部分相加，得3；使分数的分子相齐，相加，得24；使它们的分母相同，得27，约简之，得。所以说“将它们相加，得到”。米1、菽2相当于粟，这就是粟的率。对于今有术，米1、菽2皆作为所求率，相当于粟的作为所有率，粟2斛作为所有数。凡是说到率，都应当互相通达，则就成为米9、菽18，相当于粟35。也可以布置米1、菽2，求它们变为粟的率，作为列衰。在旁边将它们相加，作为法。以粟数乘列衰，作为实。实除以法，所得就是米1、菽2所求出的粟。以米、菽的本率而应用今有术，即符合问题的要求。

今有取佣，负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升，行八十里。问：与钱几何？

荅曰：二十七钱一十五分钱之一十一。

术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。按：此术以负盐二斛升数乘所行一百里，得二万里，是为负盐一升行二万里，得钱四十。于今有术，为所有率。以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱〔1〕。以今负盐升数乘所行里，今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数〔2〕，四十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同〔3〕。

【注释】

〔1〕《九章算术》的解法是

〔2〕以：训“为”。

〔3〕刘徽认为负盐2斛行100里，得40钱，相当于负盐1升行20000里得40钱。而衰分章“贷人千钱”问中，贷人1 000钱30日，得息30钱，相当于贷人30 000钱1日，得息30钱。所以刘徽说两者相同。

【译文】

假设雇工，背负2斛盐，走100里，付给40钱。现在背负1斛7斗升盐，走80里。问：付给多少钱？

答：钱。

术：布置2斛盐的升数，以100里乘之，作为法。按：此术中以所背负的2斛盐的升数乘所走的100里，得20 000里，这相当于背负1升盐走20 000里，得到40钱。对于今有术，它作为所有率。以40钱乘现在所背负的盐的升数，又以80里乘之，作为实。实除以法，就得到所付给的钱。以现在所背负的盐的升数乘所走的里数，就是现在背负1升盐所走的总里数。对于今有术，就是所有数，40钱就是所求率。衰分章的“贷人千钱”问与此相同。

今有负笼，重一石，行百步，五十返。今负笼重一石一十七斤，行七十六步。问：返几何？

荅曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。

术曰：以今所行步数乘今笼重斤数为法。此法谓负一斤一返所行之积步也。故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返〔1〕。按：此法，负一斤一返所行之积步；此实者，一斤一日所行之积步。故以一返之课除终日之程，即是返数也。　　臣淳风等谨按：此术，所行步多者，得返少；所行步少者，得返多。然则故所行者，今返率也。故令所得返乘今返之率〔2〕，为实，而以故返之率为法，今有术也。按：此负笼又有轻重，于是为术者因令重者得返少，轻者得返多。故又因其率以乘法、实者，重今有之义也。然此意非也。按：此笼虽轻而行有限，笼过重则人力遗，力有遗而术无穷，人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变，故知此术率乖理也。若故所行有空行返数，设以问者，当因其所负以为返率，则今返之数可得而知也。假令空行一日六十里，负重一斛，行四十里。减重一斗进二里半，负重二斗以下〔3〕，与空行同。今负笼重六斗，往还行一百步。问：返几何？荅曰：一百五十返。术曰：置重行率，加十里，以里法通之，为实。以一返之步为法。实如法而一，即得也。

【注释】

〔1〕《九章算术》的算法是

返数=（故笼重斤数×故步数×返数）÷（今行步数×今笼重斤数）。

〔2〕所得返：指“故所得返”。

〔3〕二斗以下：少于等于二斗。按：《晋书·食货志》云：“男女十六已上至六十为正丁，十五已下至十三、六十一已上至六十五为次丁，十二已下、六十六已上为老小，不事。”显然，这里亦就整数论之，十六以上、六十一以上、六十六以上均含十六、六十一、六十六，十五以下、十二以下均含十五、十二。李淳风参加了《晋书》的编写。毫无疑问，在李淳风时代，“二斗以下”应指小于等于三斗。

【译文】

假设有人背负着竹筐，重1石，走100步，50次往返。现在背负的竹筐重1石17斤，走76步。问：往返多少次？

答：往返次。

术：以现在所走的步数乘现在的竹筐重的斤数，作为法。此处的法是说背负1斤1次往返所走的步数。以原来的竹筐重的斤数乘原来走的步数，又以往返的次数乘之，作为实。实除以法，得到现在往返的次数。按：此处的法是背负1斤1次往返所走的步数；此处的实是背负1斤一日所走的步数。所以以一次往返的步数除一日的路程，就是往返的次数。　　淳风等按：此术中，如果所要走的步数多，得到的往返次数就少；所要走的步数少，得到的往返次数就多。那么原来所走的步数，就是现在往返次数的率。所以使原来得到的往返次数乘现在的往返次数的率，作为实，而以原来的往返次数的率作为法，这是今有术。按：这里背负的竹筐又有轻重，于是造术的人就令竹筐重者得到的往返次数少，竹筐轻者得到的往返次数多。所以又根据它们的率乘法与实，这是重今有术的意义。然而这种思路是错误的。按：这里的竹筐即使很轻，而背负着它走的路也是有限的。竹筐即使很重，而人的力量总得有剩余。人的力量有剩余，那么答案就是无穷的。人走的路是有限的，而竹筐的轻重不等。使人们有限的力量的往返次数随着竹筐轻重作无穷的变化，所以知道此术之率是违背数理的。如果原来所走的往返次数有空手的，假设以此提问，则应当根据有背负重物的情况建立往返次数的率，那么现在往返次数是可以知道的。假设空手一日走60里，背负1斛的重物，走40里。重量每减1斗，就递增里，背负重物在2斗以下，与空手走相同。现在背负的竹筐重6斗，往返走100步。问：一日往返多少次？答：往返150次。术：布置背负重物走的率，加10里，以里法通之，作为实。以1次往返的步数作为法。实除以法，就得到答案。

今有乘传委输〔1〕，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林〔2〕，五日三返。问：太仓去上林几何？

荅曰：四十八里一十八分里之一十一。

术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里〔3〕。此亦如上术〔4〕，率：一百七十五里之路，往返用六日也。于今有术，则五日为所有数，一百七十五里为所求率，六日为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返，当以三约之，因令乘法而并除也〔5〕。　　为术亦可各置空、重行一里用日之率，以为列衰。副并为法。以五日乘列衰为实。实如法，所得即各空、重行日数也。各以一日所行以乘，为凡日所行。三返约之，为上林去太仓之数〔6〕。　　按〔7〕：此术重往空还，一输再还道。置空行一里，七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六〔8〕。完言之者〔9〕，一百七十五里之路，往返用六日。故“并空、重”者，并齐也；“空、重相乘”者，同其母也。于今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返者，当以三约之。故令乘法而并除，亦当约之也。

【注释】

〔1〕乘传（zhuàn）：乘坐驿车。乘，乘坐。戴震辑录本作“程”，汇校本及其增补版、《九章算术新校》从。杨辉本作“乘”，两通。然“乘”义较长。今依杨辉本。传，驿站或驿站的马车。《左传·成公五年》：“梁山崩，晋侯以传召伯宗。”杜预注：“传，驿。”李籍云：“传，邮。”　　委（wèi）输：转运。亦指转运的物资。睡虎地秦墓竹简《效律》：“上节（即）发委输。”《汉书·食货志》：“置平准于京师，都受天下委输。”

〔2〕太仓：古代设在京城中的大粮仓。《史记·平准书》：“太仓之粟，陈陈相因。”　　上林：指上林苑，秦汉宫苑，《史记·秦始皇本纪》：秦始皇三十五年，“乃营作朝宫渭南上林苑中。”戴震误认为汉武帝时才有上林苑，云“苍在汉初，何缘预载？”否定张苍删补《九章算术》，便是根据这个问题。

〔3〕《九章算术》的算法是

太仓去上林距离=（空行里数×重行里数×5）÷［（空行里数+重行里数）×3］。

〔4〕上术：指上面的“均赋粟”问，即本章的第4问。

〔5〕自此注开头至此，是刘徽以今有术阐释《九章算术》的解法，先求出5日所行的距离，而5日共3返，故除以3，得1返的里程，即太仓到上林的距离。

〔6〕自“为术亦可”至此，刘徽又以衰分术求解，由此求出5日中空行与重行分别所用的日数，即，。分别以空行、重行1日的里数乘之，得空行、重行3返的里数。除以3，得1返的里数，即太仓到上林的距离。

〔7〕自此至此注之末，是刘徽进一步解释今有术中所有率、所求率的来源。将这段文字与刘徽在本章凫雁类问题注解中提出的两种齐同方式相对照，不难发现，它与凫雁类注的第二种齐同方式，即同其距离之分，齐其日行，完全一致。可见其为刘徽注是无可怀疑的。

〔8〕这是以分数表示，所谓“分言之”，空车行1里用日，重车行1里用日。齐而同之，空、重车行1里用日。

〔9〕完言之：以整数表示之。就是空、重车行175里往返用6日。

【译文】

假设由驿乘运送货物，空车每日走70里，重车每日走50里。现在装载太仓的粟输送到上林苑，5日往返3次。问：太仓到上林的距离是多少？

答：里。

术：将空车、重车每日走的里数相加，以往返次数3乘之，作为法。使空车、重车每日走的里数相乘，又以5日乘之，作为实。实除以法，得到里数。此术也如上术那样，率：175里的路程，往返用6日。对于今有术，就是5日为所有数，175里为所求率，6日为所有率。由此所得到的，是3次往返的路程。现在求1次往返的路程，应当以3除之，所以以3乘法而一并除。　　造术亦可以分别布置空车、重车走1里所用的日数之率，作为列衰。在旁边将它们相加作为法。以5日乘列衰作为实。实除以法，所得就是空车、重车分别所走的日数。各以空车、重车1日所走的里数乘之，就是1日所走的总里数。以往返次数3除之，就是上林苑到太仓的距离数。　　按：此术中重车前往，空车返回，一次输送要在路上走二次。布置空车走1里所用的日，重车走1里所用的日。将它们齐同，空车、重车走1里的路程，往返1次用日。以整数表示之，175里的路程，往返1次用6日。所以“将空车、重车每日走的里数相加”，就是将所齐的分子相加。“使空车、重车每日走的里数相乘”，就是使它们的分母相同。对于今有术，5日为所有数，175为所求率，6为所有率。由此所得到的，是往返3次的路程。现在求往返1次的路程，应当以3除之。所以以3乘法而一并除，这也相当于以3除之。

今有络丝一斤为练丝一十二两〔1〕，练丝一斤为青丝一斤一十二铢〔2〕。今有青丝一斤，问：本络丝几何？

荅曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。

术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，又以络丝一斤乘，为实。实如法得一斤〔3〕。按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六也〔4〕。又，络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二也〔5〕。置今有青丝一斤，以练率三百八十四乘之，为实，实如青丝率三百九十六而一。所得，青丝一斤，练丝之数也〔6〕。又以络率十六乘之，所得为实，以练率十二为法，所得，即练丝用络丝之数也〔7〕。是谓重今有也〔8〕。虽各有率，不问中间〔9〕。故令后实乘前实，后法乘前法而并除也〔10〕。故以练丝两数为实，青丝铢数为法〔11〕。　　一曰〔12〕：又置络丝一斤两数与练丝十二两，约之，络得四，练得三，此其相与之率〔13〕。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一十二铢，约之，练得三十二，青得三十三，亦其相与之率〔14〕。齐其青丝、络丝，同其二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率悉通矣〔15〕。今有青丝一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率〔16〕。为率之意犹此，但不先约诸率耳〔17〕。凡率错互不通者，皆积齐同用之〔18〕。放此，虽四五转不异也〔19〕。言“同其二练”者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。　　又一术〔20〕：今有青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，为实，以青丝一斤一十二铢为法，所得，即用练丝两数。以络丝一斤乘，所得为实，以练丝十二两为法，所得即用络丝斤数也〔21〕。

【注释】

〔1〕络：粗絮。　　练：煮熟的生丝或其织品练过的布帛，一般指白绢。

〔2〕青丝：青色的丝线，通常指蓝色丝线。青，颜色，有绿色、蓝色、黑色甚至白色等不同的含义。

〔3〕《九章算术》的方法是

〔4〕刘徽先求出练、青丝的率关系：练:青=384:396

〔5〕刘徽又求出络、练丝的率关系：络:练=16:12。

〔6〕所得，青丝一斤，练丝之数：刘徽应用今有术，求出青丝1斤用练丝数=青丝1斤×384÷396。“练丝之数”前省“得”字。

〔7〕刘徽又一次应用今有术，求出练丝用络丝数=用练丝数×16÷12。

〔8〕重今有：双重今有术。因为两次应用今有术，故名。显然它与《九章算术》的方法是不同的。

〔9〕虽各有率，不问中间：虽然诸物各自有率，但是没有问中间的物品。

〔10〕故令后实乘前实，后法乘前法而并除：所以使后面的实乘前面的实，后面的法乘前面的法而一并除。将两次今有术连接起来，就是

用络丝数=用练丝数×16÷12=（青丝1斤×384÷396）×16÷12

=（青丝1斤×384×16）÷（396×12）。

最后一个等号后面是将上述两次今有术中的两个实相乘作为实，两个法相乘作为法。

〔11〕故以练丝两数为实，青丝铢数为法：所以练丝以两数形成实，青丝以铢数形成法。

〔12〕一曰：一种方法说。这是刘徽提出“三率悉通”的方法。

〔13〕刘徽先求出络丝与练丝的相与之率，即络:练=16:12=4:3。

〔14〕刘徽又求出青丝与练丝的相与之率，即青:练=396:384=33:32。

〔15〕三率悉通：通过齐其青丝、络丝，同其二练丝，使络丝、练丝、青丝三率都互相通达。即使二练丝同于96，青丝与其相齐，得99，络丝与其相齐，得128，则

络:练:青=128:96:99。

〔16〕刘徽一次应用今有术，直接由青丝求出络丝

〔17〕为率之意犹此，但不先约诸率耳：前面（注文的第一段）形成率的意图也是这样，但不先约简诸率而已。

〔18〕皆积齐同用之：都可以多次应用齐同术。积，多，多次。《周礼·地官·遗人》：“掌邦之委积，以待施惠。”郑玄注：“少曰委，多曰积。”

〔19〕虽四五转不异也：即使是四五次转换，也没有什么不同。

〔20〕又一术：又一种方法。这是对《九章算术》术文的阐释。

〔21〕这是先求出青丝1斤用练丝的两数

练丝两数=（青丝1斤铢数×练丝1斤两数）÷青丝1斤12铢。再求出练丝所用络丝数

络丝=（用练丝两数×络丝1斤）÷练丝12两=［（青丝1斤铢数×练丝1斤两数）×络丝1斤]÷（练丝12两×青丝1斤12铢）。

【译文】

假设1斤络丝练出12两练丝，1斤练丝练出1斤12铢青丝。现在有1斤青丝，问：络丝原来有多少？

答：1斤4两铢。

术：以练丝12两乘青丝1斤12铢，作为法。以青丝1斤的铢数乘练丝1斤的两数，又以络丝1斤乘之，作为实。实除以法，就得到络丝的斤数。按：1斤练丝练出1斤12铢青丝，这就是练丝率为384，青丝率为396。又，1斤络丝练出12两练丝，这就是络丝率为16，练丝率为12。布置现有的1斤青丝，以练丝率384乘之，作为实，实除以青丝率396。所得到的就是1斤青丝所用的练丝之数。又以络丝率16乘之，以所得作为实，以练丝率12作为法，所得到的就是练丝所用的络丝之数。这称为重今有术。虽然诸物各自都有率，但是没有问中间的物品。所以使后面的实乘前面的实，后面的法乘前面的法而一并除。所以练丝以两数形成实，青丝以铢数形成法。　　一术：又布置络丝1斤的两数与练丝12两，将之约简，络丝得4，练丝得3，这就是它们的相与之率。又布置练丝1斤的铢数与青丝1斤12铢，将之约简，练丝得32，青丝得33，也是它们的相与之率。使其中的青丝率、络丝率分别相齐，使其中练丝的二种率相同，得到络丝率128，青丝率99，练丝率96，则三种率都互相通达了。以现有的青丝1斤作为所有数，络丝率128作为所求率，青丝率99作为所有率。前面形成率的意图也是这样，但不先约简诸率而已。凡是诸率错互不相通达的，都可以多次应用齐同术。仿照这种做法，即使是转换四五次，也没有什么不同。说“使其中练丝的二种率相同”，是为了明确三种率的相与通达，对于各种术没有不同。　　又一术：现有青丝1斤的铢数乘练丝1斤的两数，作为实，以青丝1斤12铢作为法，实除以法，所得到的就是用练丝的两数。以络丝1斤乘之，所得作为实，以练丝12两作为法，实除以法，所得到的就是用络丝的斤数。

今有恶粟二十斗〔1〕，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米一十斗，问：恶粟几何？

荅曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。

术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗〔2〕。按：此术置今有求粺米十斗，以粝米率十乘之，如粺率九而一，即粺化为粝〔3〕。又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣〔4〕。此亦重今有之义。为术之意，犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法，而并除之也。

【注释】

〔1〕恶粟：劣等的粟。恶，劣等。李籍云：“不善也。”

〔2〕《九章算术》的方法是

〔3〕刘徽先应用今有术由10斗粺米求出粝米。即粝米=10斗×10÷9=斗。

〔4〕刘徽又应用今有术由斗粝米求出恶粟。即。

【译文】

假设有20斗粗劣的粟，舂成粝米，得到9斗。现在想得到10斗粺米，问：需要粗劣的粟多少？

答：24斗升。

术：布置9斗粝米，乘以9，作为法。又布置10斗粺米，乘以10，又乘以20斗粗劣的粟，作为实。实除以法，就得到粗劣粟的斗数。按：此术中，布置现在想得到的10斗粺米，乘以粝米率10，除以粺米率9，则粺米化为了粝米。又乘以恶粟率20，除以粝米率9，则粝米也化为了粗劣的粟。这也是重今有术的意义。造术的意图，如同络丝问。虽然各自都有率，却不考虑中间的物品。所以使后面的实乘前面的实，后面的法乘前面的法而一并除。

今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？

荅曰：二百五十步。

术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步〔1〕，为实。实如法得一步〔2〕。按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也〔3〕。

今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问：善行者几何里及之？

荅曰：三十三里少半里。

术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里〔4〕。按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之，即得也〔5〕。其意如上术也。

今有兔先走一百步〔6〕，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问：犬不止，复行几何步及之？

荅曰：一百七步七分步之一。

术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘犬追步数，为实。实如法得一步〔7〕。按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也〔8〕。

【注释】

〔1〕此下三问都是追及问题，都比较简单，我们作为一组。

〔2〕《九章算术》的方法是

追及之步数=（善行者100步×不善行者先行100步）

÷（善行者100步-不善行者60步）=250步。

〔3〕刘徽求出不善行者的先行率和善行者的追及率，分别作为所求率与所有率，不善行者先行100步作为所有数，以今有术解此问，则先行率是善行者与不善行者的单位时间的行程之差100步-60步=40步，追及率就是善行者的行程100步，因此追及率:先行率=100步:40步=5:2，于是

追及之步数=不善行者先行100步×5÷2=250步。

〔4〕《九章算术》的方法是

〔5〕刘徽求出不善行者的先行率和善行者的追及率，分别作为所有率与所求率，不善行者先行10里作为所有数，以今有术解此问，则先行率是不善行者先行10里与后不及20里之和10里+20里=30里，追及率就是善行者追之100里，因此追及率:先行率=100里:30里=10:3，于是

〔6〕走：跑。《韩非子·五蠹》：“兔走触株，折颈而死。”而“行”则是今之“走”。《墨子·公输》：“行十日十夜而至于郢。”

〔7〕《九章算术》的方法是

〔8〕刘徽求出兔的先走率和犬的追及率，分别作为所有率与所求率，犬不及30步作为所有数，以今有术解此问，则先走率是兔走100步与不及30步之差100步-30步=70步，追及率就是犬行250步，因此追及率:先走率=250步:70步=25:7，于是

按：王孝通《缉古算术》第一问注云：“今按：《九章》均输篇有犬追兔术，与此相似。彼问：犬走一百步，兔走七十步。令兔先走七十五步，犬始追之，问：几何步追及？

荅曰：二百五十步追及。

彼术曰：以兔走减犬走，余者为法。又以犬走乘兔先走为实。实如法而一，即得追及步数。”

【译文】

假设善于行走者走100步，不善于行走者走60步。现在不善于行走者先走了100步，善于行走者才追赶他。问：走多少步才能追上他？

答：250步。

术曰：布置善于行走者走的100步，减去不善于行走者走的60步，余40步，作为法。以善于行走者走的100步乘不善于行走者先走的100步，作为实。实除以法，得到追及的步数。按：此术中以60步减100步，余40步，就是不善于行走者的先行率；善于行走者走的100步，就是追及率。约简之，追及率得5，先行率得2。对于今有术，不善于行走者先走的100步作为所有数，5作为所求率，2作为所有率，而对其应用今有术，便得到追及的步数。

假设不善于行走者先走10里，善于行走者追赶了100里，比不善于行走者先到20里。问：善于行走者走多少里才能追上他？

答：里。

术：布置不善于行走者先走的10里，加上善于行走者先到的20里，作为法。以不善于行走者先走的10里乘善于行走者走的100里，作为实。实除以法，得到追上的里数。按：此术中不善于行走者已先走了10里，后来又比善行走者落后20里，将它们相加，得到30里，称为先行率。善于行走者的100里作为追及率。约简它们，先行率得3，3作为所有率，而对之应用今有术，就得到追上的里数。其思路如同上一术。

假设野兔先跑100步，狗追赶了250步，差30步没有追上而停止了。问：如果狗不停止，再追多少步能追上？

答：步。

术：布置野兔先跑的100步，以狗追的差30步减之，余数作为法。以差的30步乘狗追的步数，作为实。实除以法，得到为了追上应再跑的步数。按：此术中以狗差的30步减野兔先跑的100步，余数是70步，作为野兔的先跑的率。狗追的250步作为追及率。约简它们，先跑的率得7，追及率得25。对于今有术，差的30步作为所有数，25作为所求率，7作为所有率，而对之应用今有术，就得到再追的步数。

今有人持金十二斤出关。关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。问：金一斤值钱几何？

荅曰：六千二百五十。

术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千，为实。实如法得一钱〔1〕。按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金直也〔2〕。今术既以十二斤为所税，则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数，十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也〔3〕。

【注释】

〔1〕《九章算术》的方法是

1斤金值钱=（偿钱5 000钱×10）

÷（关取2斤×10-持金12斤）=6 250钱。

〔2〕此为刘徽提出的新方法，应当向关卡缴税的金为12斤×，关卡多取的金为关取2斤-税金12斤×，因此

〔3〕刘徽以今有术解此问，应当缴税，多缴，所以偿钱5 000钱为所有数，10为所求率，8为所有率，即

1斤金值钱=偿钱5 000钱×10÷8=6 250钱。

【译文】

假设有人带着12斤金出关卡。关卡对之征税，税率是。现在关卡收取2斤金，而偿还5 000钱。问：1斤金值多少钱？

答：6 250钱。

术：以10乘2斤，以12斤减之，余数作为法。以10乘5 000钱，作为实。实除以法，得1斤金值的钱。按：此术中布置12斤，乘以1，除以10，得斤，就是作为税款应当缴纳的金。以它减2斤，余数就是关卡多取的金。以多取的金除关卡所偿还的钱，就是1斤金所值的钱。现在术文既然以12斤为所应当缴税的金，则是以10作为分母，所以以10乘2斤及所偿还的钱，通达它们的率。对于今有术，5 000钱为所有数，10为所求率，8为所有率，而对之应用今有术，便得到1斤金所值的价钱。

今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还；至家视日四分之三。问：主人马不休，日行几何？

荅曰：七百八十里。

术曰：置四分日之三，除三分日之一，按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也〔1〕。减之余，有十二分之五，即是主人追客还用日率也〔2〕。半其余，以为法〔3〕。去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五，是为主人与客均行用日之率也〔4〕。副置法，增三分日之一。法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之前独行用日之分也。并连此数得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。是为客人与主人均行用日率也〔5〕。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数，十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也〔6〕。以三百里乘之，为实〔7〕。实如法，得主人马一日行〔8〕。欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一〔9〕，得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也〔10〕。

【注释】

〔1〕除：在《九章算术》及其刘徽注中有二义：一是除法之除，一是减。　　其：裴学海《古书虚字集释》卷五：“‘其’，犹‘为’也。”

〔2〕刘徽以今有术解此问。从日时主人发觉客人忘持衣到主人追客还的日，用日为，是主人追客还用日率。

〔3〕《九章算术》以作为法。

〔4〕刘徽认为作为率，分子不能再除以2，所以将分母加倍。是主人与客人共同行走的用日率，也就是主人追客用日率。

〔5〕刘徽认为，加主人发觉前的是主人追及前客人用日率。因此

〔6〕刘徽指出，主人用日率就是客马行率，客用日率就是主马行率，亦即主马行率:客马行率=13:5。主马行率为所有率，客马行率为所求率，300里作为所有数。应用今有术，则

主马日行里=300里×5÷13=780里。

〔7〕《九章算术》以300里乘作为实。

〔8〕《九章算术》的方法是

〔9〕以：训“如”。

〔10〕刘徽给出求主马日行里的另一种方法。先求出主人追客所行里，也就是主人追上客人之前客人所行里。客人用日日，日行300里，故所行里为。主人行里用日，所以

【译文】

假设客人的马每日行走300里。客人离去时忘记拿自己的衣服。已经过了日的时侯，主人才发觉。主人拿着衣服追上客人，给了他衣服，回到家望望太阳，已过了日。问：如果主人的马不休息，一日行走多少里？

答：780里。

术：布置日，除日，按：此术中，“布置日，除日”——除，就是减。减的余数是，就是主人追上客人及返回家的用日率。取其余数的，作为法。这是减去主人返回家的时间，留下他追赶的时间。谈到率，分子不可以再取其半，所以将分母加倍，成为，这就是主人与客人的马同时行走所用日之率。在旁边布置法，加。法是，这是主人追及客人所用日之分数。是客人走了主人未发觉之前单独行走用日之分数。将此二数相加，得日，则就是主人追上之前用日之分数。这是客人与主人同时行走的用日率。那么主人的用日率，就是客人马的行率；客人的用日率，就是主人马的行率。分母相同就要使分子相齐。这就是客人马的行率5，主人马的行率13。对于今有术，300里为所有数，13为所求率，5为所有率，而对之应用今有术，即得到主人马一日行走的里数。以300里乘之，作为实。实除以法，得到主人马一日行走的里数。如果想知道主人追上客人所行走的里数，就以300里乘客人用日的分子13，除以分母24，得里。以此乘客人与主人的马同时行走日的分母24，除以客人与主人的马同时行走用日的分子5，也得到主人的马行走一日为780里。

今有金箠〔1〕，长五尺。斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问：次一尺各重几何？

荅曰：

末一尺重二斤，

次一尺重二斤八两，

次一尺重三斤，

次一尺重三斤八两，

次一尺重四斤。

术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。副置，以差率减之，每尺各自为衰〔2〕。按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以四约之，即得每尺之差，以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已〔3〕。今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也〔4〕。亦可置末重，以四间乘之，为上第一衰。以差重率加之，为次下衰也〔5〕。副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤〔6〕。以下第一衰为法，以本重乘其分母之数，而又返此率乘本重，为实。一乘一除，势无损益，故惟本存焉〔7〕。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为法，而以末重二斤乘列衰为实〔8〕。此虽迂回，然是其旧，故就新而言之也〔9〕。

【注释】

〔1〕箠：马鞭，杖，刑杖。司马迁《报任少卿书》：“关木索被箠楚受辱。”李善注引《汉书》曰：“箠长五尺。”李籍云：箠，“策也。”

〔2〕《九章算术》先求出各尺重的列衰。记各尺重ai，i=1，2，3，4，5，a1-a5称为差率，则列衰就是

a1:a2:a3:a4:a5=4a1:［4a1-（a1-a5）］:

［4a1-2（a1-a5）］:［4a1-3（a1-a5）］:4a5。

其中a1=4斤，a5=2斤，a1-a5=2斤，所以列衰为

a1:a2:a3:a4:a5=16:14:12:10:8。

〔3〕刘徽提出更简单的方法，a1-a5是各尺重的总差数，是相邻两尺重之差，即公差。记各尺重ai，i=1，2，3，4，5，那么各尺重依次是，，a5=a5。将a1=4斤，a5=2斤代入，即得到答案。

〔4〕刘徽指出，《九章算术》的方法就是上述方法中以分母4将各数通之，求出列衰。

〔5〕此谓从末重开始，逐次以重量的差率加之，就得到下面各尺的衰。这与《九章算术》从本重开始减差率求各尺的衰不同。差重率：重量的差率。

〔6〕《九章算术》在求出各尺的列衰之后，以第一衰4a1作为法，以本重a1乘诸列衰，作为实，实除以法，即求出各尺重。即

ai=a1ai÷4a1，i=1，2，3，4，5。

〔7〕在《九章算术》的方法中，对本重而言，以第一衰为法，法与衰相等，故一乘一除无损益，仍是本重。

〔8〕刘徽认为，亦可从末重开始计算，以末衰a5为法，以末重a5乘列衰，作为实。

〔9〕刘徽总结他的注，指出《九章算术》的方法迂回曲折，所以提出新的方法。

【译文】

假设有一根金箠，长5尺。斩下本1尺，重4斤；斩下末1尺，重2斤。问：每1尺的重量各是多少？

答：

末1尺重量2斤，

下1尺重量2斤8两，

下1尺重量3斤，

下1尺重量3斤8两，

本1尺重量4斤。

术曰：使末1尺的重量减本1尺的重量，余数就是差率。又布置本1尺的重量，以间隔4乘之，作为下第一衰。将它布置在旁边，逐次以差率减之，就得到每尺各自的衰。按：此术中，5尺有4个间隔，就是有4个差。现在将本末的重量相减，余数就是4个差的总数。以4除之，就得到每尺之差，以这个差数减本1尺的重量，余数就是下1尺的重量。造术的意图，不过如此而已。现在此率以4为分母，所以使分母乘本1尺的重量作为衰，是为了将它们的率通达。也可以布置末1尺的重量，以间隔4乘之，作为上第一衰。逐次以重量的差率加之，就得到下面每尺的衰。在旁边布置下第一衰，作为法。以本1尺的重量4斤乘全部列衰，各自作为实。实除以法，就得到各尺的斤数。以下第一衰作为法，以本1尺的重量乘它的分母，而反过来以此率乘本1尺的重量，作为实。一乘一除，其态势既不减小也不增加，所以只有原本的数保存下来。以诸衰互相推求作为率，则其余各尺的重量可以知道。也可以在旁边布置末1尺的衰作为法，而以末1尺的重量2斤乘列衰作为实。这种方法虽然迂回，然而是原来的，所以用新的方法表示之。

今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问：各得几何？

荅曰：

甲得一钱六分钱之二，

乙得一钱六分钱之一，

丙得一钱，

丁得六分钱之五，

戊得六分钱之四。

术曰：置钱，锥行衰〔1〕。按：此术锥行者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均为一列者也。并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。以三均加焉〔2〕。副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱〔3〕。此问者，令上二人与下三人等。上、下部差一人，其差三。均加上部，则得二三；均加下部，则得三三。上、下部犹差一人，差得三。以通于本率，即上、下部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有之，即得等耳。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上，当以上、下部列差而后均减，乃合所问耳〔4〕。　　此可放下术，令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为下率，上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人各半之，减五人，余为法，实如法得一钱〔5〕，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也〔6〕。

【注释】

〔1〕锥行（háng）衰：就是排列成锥形的列衰。李籍云：“锥行衰者，下多上少，如立锥之形。”行，行列。

〔2〕此谓排列成锥形的列衰，先设它们是5，4，3，2，1。上2人的和是9，下3人的和是6，不相等。下3人之和少3，而人数多1。因此，每个都加上3，以8，7，6，5，4作为列衰，便做到上2人与下3人的列衰之和相等。

〔3〕《九章算术》以衰分术求解。即列衰相加8+7+6+5+4=30作为法，则甲分得钱=5钱×8÷30=钱，乙分得钱=5钱×7÷30=钱，丙分得钱=5钱×6÷30=1钱，丁分得钱=5钱×5÷30=钱，戊分得钱=5钱×4÷30=钱。

〔4〕刘徽在此举出一个与《九章算术》的例题相反的例子：按锥行衰，下部之和多于上部之和。刘徽提出以列差均减求列衰的方法。“列差”就是上、下部之和的差除以上、下部项数之差。设上部之和为s1，项数为m1，下部之和为s2，项数为m2，则列差为。实际上这是一个普遍方法，对任何锥行衰的情况，以均减，都可以使上、下部相等。

〔5〕刘徽在此用下九节竹问的方法求出各人钱数之差。设总钱数为s，上部m1人，下部m2人，则相邻二人钱数之差为。五人分五钱问中二人钱数之差是。

〔6〕丁在下3人中居中，所得应是下3人的平均数，因此应分。

【译文】

假设有5个人分配5钱，使上部2人所分得的钱与下部3人的相等。问：各分得多少钱？

答：

术：布置钱数，按锥形将诸衰排列成一行。按：此术中，按锥形排列成一行，是说像锥形那样立起来：自下而上是1，2，3，4，5，都均匀地排成一列。将上部2人的衰相加为9，将下部3人的衰相加为6。6比9少3。诸衰的数值不能相等，就以5，4，3，2，1建立率。以3均等地加诸衰。在旁边将它们相加作为法。以所分的钱乘未相加的衰，各自作为实。实分别除以法，得到各人分得的钱数。提问的人要使上二人分得的钱与下3人的相等。现在上、下部相差1人，两者诸衰之和相差3。将差3均等地加到上部诸衰上，即加2个3；均等地加到下部诸衰上，即加3个3。上、下部还是差1人，诸衰之差仍然得3。以3使原来的率相通，则上、下部诸衰之和相等。对于今有术，在旁边将它们相加为所有率，没有相加的衰各自作为所求率，5钱作为所有数，而对之应用今有术，就得到上2人与下3人分得的钱相等的结果。假设7个人分配7钱，想使上部2人分得的钱与下部5人的相等，则上、下部相差3人。将上部诸衰相加为13，下部诸衰相加为15。下部的多，上部的少，下部的不能减上部的，应当求出上、下部的列差而后均等地减诸衰，才符合所提出的问题。　　此也可以仿照下面九节竹问的术：使上部2人分钱，作为上率，使下部3人分钱作为下率，上、下二率以少减多，余数作为实。布置2人、3人，各取其，以减5人，余数作为法，实除以法，得钱数，就是诸衰的公差。下部诸衰的平率，就是丁所分得的钱数。

今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问：中间二节欲均容〔1〕，各多少？

荅曰：

下初一升六十六分升之二十九，

次一升六十六分升之二十二，

次一升六十六分升之一十五，

次一升六十六分升之八，

次一升六十六分升之一，

次六十六分升之六十，

次六十六分升之五十三，

次六十六分升之四十六，

次六十六分升之三十九。

术曰：以下三节分四升为下率〔2〕，以上四节分三升为上率〔3〕。此二率者，各其平率也〔4〕。上、下率以少减多，余为实〔5〕。按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。“上、下以少减多”者，余为中间五节半之凡差，故以为实也〔6〕。置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升，即衰相去也〔7〕。按：此术法者，上、下节所容已定之节，中间相去节数也。实者，中间五节半之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。下率一升少半升者，下第二节容也〔8〕。一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。

【注释】

〔1〕均容：即各节自下而上均匀递减。这实际上是一个等差数列的问题。

〔2〕下率：下三节所容的平均值，即。

〔3〕上率：上四节所容的平均值，即。

〔4〕刘徽认为下率升是下3节容积的平均值，即中间一节也就是下第二节的容积；上率升是上4节容积的平均值，即上第一节半至第二节半的容积，所以刘徽称为“平率”或简称“平”。

〔5〕《九章算术》以升作为实。

〔6〕刘徽认为升是中间节的总差，所以作为实。

〔7〕《九章算术》以节作为法。实除以法，即，就是相去衰，即各节容积之差，也就是这个等差数列的公差。

〔8〕下率升是下第二节的容积，由此利用各节的相去衰升即可求出各节的容积。

【译文】

假设有一支竹，共9节，下3节的容积是4升，上4节的容积是3升。问：如果想使中间2节的容积均匀递减，各节的容积是多少？

答：

术：以下3节平分4升，作为下率，以上4节平分3升，作为上率。此二率分别是上4节、下3节的平均率。上率、下率以少减多，余数作为实。按：此处上4节、下3节分别平分其容积所形成的率，各是它们的平均率。“上率、下率以少减多”，余数就是中间节之总差，所以作为实。布置4节、3节，各取其，以它们减9节，余数作为法。实除以法，求得的升数，就是诸衰之差。按：此术中，法就是上4节、下3节中其容积已经确定的节之中间相距的节数，实就是中间节之总差。所以实除以法，就是每节之差。下率升就是下第二节的容积。升是下3节一起分4升之平均率。平均率就是中间这一节的容积。

今有凫起南海〔1〕，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问：何日相逢？

荅曰：三日十六分日之十五。

术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日〔2〕。按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也〔3〕。　　一曰：凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一，齐而同之，凫飞定日行六十三分至之九，雁飞定日行六十三分至之七。是南北海相去六十三分，凫日行九分，雁日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也〔4〕。

今有甲发长安，五日至齐〔5〕；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问：几何日相逢？

荅曰：二日十二分日之一。

术曰：并五日、七日以为法。按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至、乙七日一至，齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至，当除日，故以为法也〔6〕。以乙先发二日减七日，“减七日”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。余，以乘甲日数为实。七者，长安去齐之率也，五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。以乘甲五日，为二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也〔7〕。实如法得一日〔8〕。一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行五分也。今乙先行发二日，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二日，余，令相乘，为二十五分〔9〕。

今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚〔10〕。今令一人一日作瓦，牝、牡相半。问：成瓦几何？

荅曰：二十五枚少半枚。

术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚〔11〕。此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫雁日飞相并也。按：此术，“并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实如法即得也。

今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日筈矢十五〔12〕。今令一人一日自矫、羽、筈，问：成矢几何？

荅曰：八矢少半矢。

术曰：矫矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；筈矢五十，用徒三人少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢〔13〕。按：此术言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工共作，犹凫、雁共至之类，亦以同为实，并齐为法〔14〕。　　可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同〔15〕。今先令同于五十矢，矢同则徒齐，其归一也〔16〕。——以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫飞九日而一至七分至之二，并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实〔17〕。——实如法而一，得一人日成矢之数也〔18〕。

今有假田〔19〕，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一百。问：田几何？

荅曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。

术曰：置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，并以为法。亩数相乘，又以百钱乘之，为实。实如法得一亩〔20〕。按：此术令亩互乘钱者，齐其钱；亩数相乘者，同其亩，同于六十。则初假之岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二也。凡三岁得钱一百为所有数，同亩为所求率，四十七钱为所有率，今有之，即得也。齐其钱，同其亩，亦如凫雁术也。于今有术，百钱为所有数，同亩为所求率，并齐为所有率〔21〕。　　臣淳风等按：假田六十亩，初岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二，并之得钱四十七，是为得田六十亩三岁所假。于今有术，百钱为所有数，六十亩为所求率，四十七为所有率，而今有之，即合问也。

今有程耕〔22〕，一人一日发七亩〔23〕，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩〔24〕。今令一人一日自发、耕、耰种之，问：治田几何？

荅曰：一亩一百一十四步七十一分步之六十六。

术曰：置发、耕、耰亩数。令互乘人数，并，以为法。亩数相乘为实。实如法得一亩〔25〕。此犹凫雁术也。　　臣淳风等谨按：此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者〔26〕，齐其人；亩数相乘者，同其亩。故并齐为法，以同为实。计田一百五亩，发用十五人，耕用三十五人，种用二十一人，并之，得七十一工。治得一百五亩，故以为实。而一人一日所治，故以人数为法除之，即得也。

今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满；次，一日一满；次，二日半一满；次，三日一满；次，五日一满。今皆决之，问：几何日满池？

荅曰：七十四分日之十五。

术曰：各置渠一日满池之数，并，以为法。按：此术其一渠少半日满者，是一日三满也；次，一日一满；次，二日半满者，是一日五分满之二也；次，三日满者，是一日三分满之一也；次，五日满者，是一日五分满之一也；并之，得四满十五分满之十四也〔27〕。以一日为实。实如法得一日〔28〕。此犹矫矢之术也。先令同于一日，日同则满齐〔29〕。自凫雁至此，其为同齐有二术焉，可随率宜也〔30〕。

其一术：各置日数及满数。令日互相乘满，并，以为法。日数相乘为实。实如法得一日〔31〕。亦如凫雁术也。按：此其一渠少半日满池者，是一日三满池也；次，一日一满；次，二日半满者，是五日再满；次，三日一满；次，五日一满。此谓列置日数于右行，及满数于左行。以日互乘满者，齐其满；日数相乘者，同其日。满齐而日同，故并齐以除同，即得也。

【注释】

〔1〕凫（fú）：野鸭。刘徽认为此问及下长安至齐、牝牡二瓦、矫矢、假田、程耕、五渠共池等7问都是凫雁类问题，我们合为一组。

〔2〕《九章算术》的方法是

〔3〕刘徽以齐同原理阐释此题解法。他认为有两种齐同方式。这里是齐其至，同其日的方式：同其日为63日，齐其至为凫9至，雁7至，那么63日共9+7=16至。所以一至即凫雁相逢日=63日÷16=日。

〔4〕这是刘徽提出第二种齐同方式，即同其距离之分，齐其日行。凫日行至，雁日行至。将南北海距离分成63份，则凫日行至，雁日行至。换言之，凫日行9份，雁日行7份。因此凫、雁一日共飞（9+7）份，所以相逢日=63份÷（9+7）份/日=日。

〔5〕长安：古地名。秦离宫。汉高祖七年始都于此。故城在今西安市西北。　　齐：古诸侯国名。周武王封太公望于齐，都营丘，即临淄。

〔6〕刘徽以“齐其至，同其日”的方式阐释此问的解法，即由于甲5日1至，乙7日1至，同其日为35日，齐其至为甲7至，乙5至，共为12至。所以作为法。

〔7〕刘徽指出，由于乙先发2日，问题变成（7-2）×5日=25日，12至。

〔8〕《九章算术》的方法是，以（5+7）日作为法，以（7-2）日×5日作为实，于是

〔9〕刘徽又以“同其距离之分，齐其日行”的方式阐释此问的解法，即长安至齐为35份，甲1日行至，乙1日行至。换言之，甲1日行7份，乙1日行5份，甲、乙1日共行（7+5）份。乙先发2日，走10份，故余25份。

〔10〕牝（pìn）：本意是鸟兽的雌性，转指器物的凹入部分。牝瓦又称为板瓦、雌瓦、阴瓦。　　牡：本意是鸟兽的雄性，转指器物的凸起部分。牡瓦又称为筒瓦、雄瓦、阳瓦。

〔11〕《九章算术》的方法是

枚数=（牝瓦数×牡瓦数）÷（牝瓦数+牡瓦数）。

〔12〕这是指为箭安装箭翎。　　矫：本义是一种揉箭使直的箝子，引申为使弯曲的物体变直。李籍引《说文解字》云：“揉箭，箝也。”又云：矫，“俗作挢”。　　筈（kuò）：本义是箭的尾部扣弦处，引申为安装箭尾。又作“栝”。　　羽：本义是鸟的长毛，引申为箭翎，装饰在箭杆的尾部，用以保持方向。

〔13〕《九章算术》的方法是

〔14〕刘徽用齐同原理阐释此问的解法：同其矢，齐其徒。矢同于50，则用徒分别是，矫矢1人，羽矢人，筈矢人。

〔15〕刘徽认为，也可以以50×30×15矢作为同，用徒人数分别是矫矢30×15人，羽矢50×15人，筈矢50×30人，作为齐。

〔16〕刘徽指出，两种齐同方式，本质是一样的。

〔17〕此处插入用此术的方法解凫雁问如何求得法、实的方法：同其日是同于9日，作为实；齐其至，雁9日而1至，凫9日而至，则作为法。因此

〔18〕实如法而一，得一人成矢之数也：其中之法、实指上文“亦以同为实，并齐为法，可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同”。

〔19〕假田：指汉代租给贫民垦殖的土地。《汉书·食货志》：“豪民侵陵，分田劫假。”颜师古注：“假亦谓贫人赁富人之田也。”假，雇赁，租赁。李籍云：假，“借也”。

〔20〕《九章算术》的方法是设第一、二、三年分别假a1，a2，a3亩1钱，则

亩数=100钱×a1a2a3÷（1钱×a2a3+1钱×a1a3+1钱×a1a2）。

〔21〕刘徽以今有术阐释此题的解法：首先利用齐同原理，同其亩，齐其钱。同其亩即a1a2a3，为所求率；齐其钱，第一年为a2a3，第二年为a1a3，第三年为a1a2，相加，以a2a3+a1a3+a1a2作为所有率。

〔22〕程耕：标准的耕作量。李籍云：耕，“犁也。《诗》曰：‘亦服尔耕。’”

〔23〕发：开发，开垦。李籍云：发，“伐也。《诗》曰：‘骏发尔私。’”

〔24〕耰（you）：古代用以破碎土块，平整田地的农具。这里指播种后用耰平土，覆盖种子。李籍云：“覆种也。《孟子》曰：‘播种而耰之。’”

〔25〕《九章算术》的方法是，设1人1日程耕发、耕、耰的亩数分别是a1，a2，a3亩，则

亩数=a1a2a3÷（1×a2a3+1×a1a3+1×a1a2）。

〔26〕亦：通“以”。见裴学海《古书虚字集释》卷三。

〔27〕将各渠1日满池次数相加，作为法，即刘徽云，一渠1日满3次，二渠1日满1次，三渠1日满次，四渠1日满次，五渠1日满次，共1日满次，作为法。

〔28〕《九章算术》的方法是，以1日作为实，则

〔29〕刘徽以齐同原理阐释此问的解法：像矫矢术一样，同其日，齐其满。

〔30〕刘徽总结凫雁问至此诸问，它们都有两种齐同方式，人们可以根据需要灵活运用。

〔31〕这是《九章算术》对这种问题提出的另一种解法：设五渠bi满的日数分别是ai，i=1，2，3，4，5，布置日数及满数（原为竖排，今改横排）：

【译文】

假设有一只野鸭自南海起飞，7日至北海；一只大雁自北海起飞，9日至南海。如果野鸭、大雁同时起飞，问：它们多少日相逢？

答：。

术：将日数相加，作为法，使日数相乘，作为实，实除以法，得到相逢的日数。按：此术中，布置野鸭7日飞至1次，大雁9日飞至1次。将它们飞至的次数相齐，使其用的日数相同，则确定63日中野鸭飞至9次，大雁飞至7次。如果野鸭、大雁同时起飞而问它们相逢的日数，这就是同时飞至。将齐相加，以除同，就得到相逢的日数。所以“将日数相加，作为法”，这是将齐相加的意思；“使日数相乘，作为实”，仍然是以同作为实。　　一术说：野鸭1日飞行全程的，大雁1日飞行全程的，将它们齐同，确定野鸭1日飞行全程的，大雁1日飞行全程的。这就是南北海距离63份，野鸭1日飞行9份，大雁1日飞行7份。将野鸭、大雁1日所飞行的份数相加，以它除南、北海的距离，就得到它们相逢的日数。

假设甲自长安出发，5日至齐；乙自齐出发，7日至长安。如果乙先出发已经2日，甲才自长安出发。问：多少日相逢？

答：日。

术：将5日、7日相加，作为法。按：此术中，“将5日、7日相加，作为法”，仍然是将齐相加，作为法。布置甲5日到达1次，乙7日到达1次，将它们齐同，确定35日中甲到达7次，乙到达5次。将它们相加，为到达12次，用35日。这是说甲、乙一同出发的率。那么日数化为到达的次数，应当除以日数，所以以它作为法。以乙先出发的2日减7日，“减7日”，是说甲、乙同时出发，现在以同时出发为始发的开端，对于原本的道路里数就是余数。以其余数乘甲自长安到达齐的日数，作为实。7是长安至齐的距离之率，5是甲后来自长安出发时甲、乙相距之率。现在就甲后来自长安出发提问，所以舍去7而用5。以5乘甲自长安到达齐的日数5，为25日。所以说甲到达7次，乙到达5次，再考虑甲乙相距，就是用此25日。实除以法，便得到相逢的日数。甲1日行走全程的，乙1日行走全程的。将它们齐同，确定甲1日行走全程的，乙1日行走全程的。这就是齐到长安的全程35份，甲1日行走7份，乙1日行走5份。现在乙先行出发2日，已行走10份，余数是相距25份。所以减去乙先走的2日，使其余数相乘，为25份。

假设一人1日制造牝瓦38枚，一人1日制造牡瓦76枚。现在使一人造瓦1日，牝瓦、牡瓦各一半。问：制成多少瓦？

答：枚。

术：将一人1日制的牝瓦、牡瓦数相加，作为法，牝瓦、牡瓦数相乘，作为实，实除以法，得到枚数。此问的思路也与野鸭大雁的术文相同。牝瓦、牡瓦数相加，如同野鸭、大雁飞行的日数相加。按：此术中，“将一人1日制的牝瓦、牡瓦数相加，作为法”，是将齐相加之意；“牝瓦、牡瓦数相乘，作为实”，仍然是以同作为实。所以实除以法，就得到成瓦数。

假设1人1日矫正箭50支，1人1日装箭翎30支，1人1日装箭尾15支。现在使1人1日自己矫正、装箭翎、装箭尾，问：1日做成多少支箭？

答：支箭。

术：矫正箭50支，用工1人；装箭翎50支，用工人；装箭尾50支，用人。将它们相加，得到6人，作为法。以50支箭作为实。实除以法，得到成箭数。按：此术说成箭50支，用工6人，是1日的工。这是同工共作类的问题，如同野鸭、大雁共同到达之类，也是以同作为实，将齐相加作为法。　　又可以使矫正、装箭翎、装箭尾的支数互乘1人，作为齐，箭的支数相乘作为同。现在先将它们同于50支箭，箭的支数相同，则用工数应该分别与之相齐，其归宿是一样的。——如果以此术处理野鸭大雁问题，应当是大雁飞9日而到达1次，野鸭飞9日而到达次。两者相加，得到次，以它作为法。以9日作为实。——实除以法，得1人1日成箭之数。

假设出租田地，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱。三年共得100钱。问：出租的田是多少？

答：1顷亩。

术：布置各年的亩数及钱数。使亩数互乘钱数，将它们相加，作为法。各年的亩数相乘，又以100钱乘之，作为实。实除以法，得出租田地的亩数。按：此术中，使亩数互乘钱数，是齐各年的钱；亩数相乘，是使它们的亩数相同，它们都同于60。则第一年得20钱，第二年得15钱，第三年得12钱。三年共得到的100钱作为所有数，相同的亩数作为所求率，47钱作为所有率，对其应用今有术，就得到田地的亩数。齐各年的钱数，使它们的亩数相同，亦如同野鸭大雁术。对于今有术，100钱作为所有数，使它们的亩数相同作为所求率，将齐相加作为所有率。　　淳风等按：出租田地60亩，第一年得到20钱，第二年得到15钱，后年得到12钱，将它们相加，得到47钱，这就是得到60亩田地，是三年所出租的。对于今有术，100钱为所有数，60亩为所求率，47钱为所有率，而对之应用今有术，即符合问题。

假设按标准量耕作，1人1日开垦7亩地，1人1日耕3亩地，1人1日播种5亩地。现在使1人1日自己开垦、耕地、播种之，问：整治的田地是多少？

答：1亩步。

术：布置开垦、耕地、播种的亩数。使之互乘人数，相加，作为法。开垦、耕地、播种的亩数相乘，作为实。实除以法，得整治的亩数。此问如同野鸭大雁之术。　　淳风等按：此术中也用开垦、耕地、播种的亩数互乘人数，是为了使人相齐；开垦、耕地、播种的亩数相乘，是为了使亩数相同。所以将齐相加作为法，以同作为实。总计田地是105亩，开垦用15人，耕地用35人，播种用21人，将它们相加，得71工。整治了105亩，所以作为实。而要求1人1日所整治的亩数，所以以人数作为法除之，即得。

假设有一水池，五条水渠向里注水。如果开启第一条渠，日就注满1池；开启第二条渠，1日就注满1池；开启第三条渠，日就注满1池；开启第四条渠，3日就注满1池；开启第五条渠，5日就注满1池。现在同时打开五条渠，问：多少日注满水池？

答：日。

术：分别布置各渠1日注满水池之数，相加，作为法。按：此术中，其第一条渠日就注满1池，就是1日注满3池；第二条渠1日注满1池；第三条渠日就注满1池，就是1日注满池；第四条渠3日就注满1池，就是1日注满池；第五条渠5日就注满1池，就是1日注满池；将它们相加，得池。以1日作为实。实除以法，得到日数。此问如同矫正箭之术。先使它们同于1日，日数相同，则满池之数要分别与之相齐。自野鸭大雁问至此问，它们施行齐同的方式都有二种，可以根据计算的需要选择适宜的方式。

另一术：分别布置日数及注满水池之数。使日数互相乘满池之数，相加，作为法。日数相乘作为实。实除以法，得到日数。也如同野鸭大雁之术。按：此术中，其第一条渠日就注满1池，就是1日注满3池；第二条渠1日注满1池；第三条渠日就注满1池，就是5日注满2池；第四条渠3日注满1池；第五条渠5日注满1池。这是说在右行布列日数，在左行布列满池之数。以日数互乘满池之数，是使满池之数分别与日数相齐；日数相乘，是使日数相同。满池之数分别与日数相齐，而日数相同，所以将齐相加，以它除同，就得到五渠共同注满一池的日数。

今有人持米出三关〔1〕，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？

荅曰：十斗九升八分升之三。

术曰：置米五斗，以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、六相互乘为法。实如法得一斗〔2〕。此亦重今有也〔3〕。“所税者”，谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率〔4〕，二、四、六皆为所有率。置今有余米五斗，以七乘之，六而一，即内关未税之本米也〔5〕。又以五乘之，四而一，即中关未税之本米也〔6〕。又以三乘之，二而一，即外关未税之本米也〔7〕。今从末求本，不问中间，故令中率转相乘而同之，亦如络丝术〔8〕。　　又一术〔9〕“外关三而取一”，则其余本米三分之二也。求外关所税之余，则当置一，二分乘之，三而一。欲知中关，以四乘之，五而一。欲知内关，以六乘之，七而一。凡余分者，乘其母子，以三、五、七相乘得一百五，为分母，二、四、六相乘得四十八，为分子。约而言之，则是余米于本所持三十五分之十六也。于今有术，余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率也〔10〕。

今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问：本持金几何？

荅曰：一斤三两四铢五分铢之四。

术曰：置一斤，通所税者以乘之，为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。实如法得一斤〔11〕。此意犹上术也。置一斤，“通所税者”，谓令二、三、四、五、六相乘为分母，七百二十也。“通其所不税者”，谓令所税之余一、二、三、四、五相乘为分子，一百二十也。约而言之，是为余金于本所持六分之一也。以子减母，凡五关所税六分之五也。于今有术，所税一斤为所有数，分母六为所求率，分子五为所有率。此亦重今有之义〔12〕。　　又，虽各有率，不问中间，故令中率转相乘而连除之，即得也。置一以为持金之本率，以税率乘之、除之，则其率亦成积分也〔13〕。

【注释】

〔1〕此问及下一问都是持物出关问题，我们并为一组。

〔2〕《九章算术》的方法是

〔3〕重今有：重今有术。

〔4〕定：确定。

〔5〕这是第一次应用今有术：5斗为所有数，7为所求率，6为所有率，求内关未税之米。

〔6〕这是第二次应用今有术：内关未税之米为所有数，5为所求率，4为所有率，求中关未税之米。

〔7〕这是第三次应用今有术：中关未税之米为所有数，3为所求率，2为所有率，求外关未税之米。

〔8〕刘徽以三重今有术解此问，亦如络丝问。

〔9〕又一术：刘徽提出的又一种方法。

〔10〕这是刘徽提出的从外关开始计算，求出所余5斗占本持米的比率。外关所税之余为，中关所税之余为，内关所税之余为。即所余5斗为本持米的，5斗为所有数，35为所求率，16为所有率，应用今有术，得

〔11〕《九章算术》的方法是：设五关所税者分别是ai，不税者为bi，i=1，2，3，4，5，则

本持金=（1斤×a1a2a3a4a5）÷（a1a2a3a4a5-b1b2b3b4b5）。

〔12〕如同上术，刘徽求出五关所税1斤占本持金的比率：所税者2，3，4，5，6相乘，得720，为分母；所不税者1，2，3，4，5相乘，得120，为分子。将其约简，剩余的金为本持金的。因此，所税者1斤为本持金的。然后，应用今有术，便求出本持金。

〔13〕此谓本持金率为1，税率为，由五关所税1斤，应用今有术求出本持金。

【译文】

假设有人带着米出三个关卡，外关3份而征税1份，中关5份而征税1份，内关7份而征税1份，还剩余5斗米。问：本来带的米是多少？

答：10斗升。

术：布置米5斗，以所征税者3，5，7乘之，作为实。以剩余不征税者2，4，6互相乘，作为法。实除以法，得米的斗数。这也是重今有术的意义。“所征税者”，是说现在所应当征税的部分。确定3，5，7皆为所求率，2，4，6皆为所有率。布置现有的剩余的米5斗，以7乘之，除以6，就是内关未征税时本来的米。又以5乘之，除以4，就是中关未征税时本来的米。又以3乘之，除以2，就是外关未征税时本来的米。现在从末求本，不考虑中间的，所以使中率辗转相乘而使它们通同之，也如同络丝术。　　又一术“外关3份而征税1份”，则它的剩余是本来带的米的。求外关征税的剩余，则应当布置1，以2分乘之，除以3。想知道中关征税后的剩余，以4乘之，除以5。想知道中关征税后的剩余，以6乘之，除以7。求总的剩余所占的分数，则使分母、分子分别相乘，以3，5，7相乘，得到105，作为分母，以2，4，6相乘，得到48，作为分子。约简地表示之，则是剩余的米是本来所带的米的。对于今有术，剩余的米5斗为所有数，分母35为所求率，分子16为所有率。

假设有人带着金出五个关卡，前关2份而征税1份，第二关3份而征税1份，第三关4份而征税1份，第四关5份而征税1份，第五关6份而征税1份。五关所征税之和恰好重1斤。问：本来带的金是多少？

答：1斤3两铢。

术曰：布置1斤，通所应征税者，以其乘之，作为实。亦通其不应征税者，用以减通所应征税者，剩余作为法。实除以法，得到本来带的斤数。此术的思路如同上一术。布置1斤，“通所应征税者”，是说使2，3，4，5，6相乘作为分母，即720。“连通所不应征税者”，是说使征税后剩余的1，2，3，4，5相乘作为分子，即120。约简地表示之，这就是剩余的金是本来所带的金的。以分子减分母，五关所征的税总计为。对于今有术，所征的税1斤为所有数，分母6为所求率，分子5为所有率。这也是重今有术的意义。　　又，虽然都有各自的率，却不考虑中间的，所以使中率辗转相乘而连除之，即得其结果。布置1，以作为所带金的本率，以其税率乘之、除之，则它的率也是分数的积累。