魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
句股〔1〕以御高深广远
今有句三尺〔2〕，股四尺〔3〕，问：为弦几何〔4〕？
荅曰：五尺。
今有弦五尺，句三尺，问：为股几何？
荅曰：四尺。
今有股四尺，弦五尺，问：为句几何？
荅曰：三尺。
句股短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。句短其股，股短其弦〔5〕。将以施于诸率，故先具此术以见其原也〔6〕。术曰：句股各自乘，并，而开方除之，即弦〔7〕。句自乘为朱方，股自乘为青方〔8〕，令出入相补，各从其类〔9〕，因就其余不移动也，合成弦方之幂〔10〕。开方除之，即弦也。
又，股自乘，以减弦自乘，其余，开方除之，即句〔11〕。臣淳风等谨按：此术以句、股幂合成弦幂〔12〕。句方于内，则句短于股。令股自乘，以减弦自乘，余者即句幂也。故开方除之，即句也。
又，句自乘，以减弦自乘，其余，开方除之，即股〔13〕。句、股幂合以成弦幂，令去其一，则余在者皆可得而知之。
今有圆材径二尺五寸，欲为方版〔14〕，令厚七寸。问：广几何？
荅曰：二尺四寸。
术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘减之，其余，开方除之，即广〔15〕。此以圆径二尺五寸为弦，版厚七寸为句，所求广为股也〔16〕。
今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐〔17〕。问：葛长几何？
荅曰：二丈九尺。
术曰：以七周乘围为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长〔18〕。据围广，求从为木长者其形葛卷裹袤〔19〕。以笔管青线宛转，有似葛之缠木。解而观之，则每周之间自有相间成句股弦〔20〕。则其间葛长，弦。七周乘围，并合众句以为一句；木长而股，短，术云木长谓之股，言之倒〔21〕。句与股求弦，亦无围，弦之自乘幂出上第一图〔22〕。句、股幂合为弦幂，明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之中而已，可更相表里，居里者则成方幂，其居表者则成矩幂〔23〕。二表里形讹而数均〔24〕。 又按：此图句幂之矩青，卷白表〔25〕，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方其里〔26〕。股幂之矩青，卷白表〔27〕，是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里〔28〕。是故差之与并，用除之，短、长互相乘也〔29〕。
【注释】
〔1〕句股：中国古典数学的重要科目，由先秦“九数”中的“旁要”发展而来。据《周髀算经》，勾股知识在中国起源很早，起码可以追溯到公元前11世纪的商高。商高答周公问曰：“句广三，股脩四，径隅五。”公元前5世纪陈子答荣方问中已有勾股术的抽象完整的表述。贾宪《黄帝九章算经细草》将勾股容方解法称为勾股旁要法，我们由此推测，“旁要”除了测望城邑等一次测望问题外，还应当包括勾股术、勾股容方、勾股容圆等内容。郑玄引郑众注“九数”曰：“今有句股、重差也。”由此并根据《九章算术》体例和内容的分析，可以知道，勾股问题，特别是解勾股形的内容在汉代得到了大发展，并形成了一个科目。它与“旁要”有关，但在深度、广度和难度上都超过了后者。张苍、耿寿昌整理《九章算术》，将其补充到原有的“旁要”卷，并将其改称“句股”。
〔2〕句：勾股形中较短的直角边，故刘徽说“短面曰句”。赵爽《周髀算经注》云：“横者谓之广。句亦广。广，短也。”
〔3〕股：勾股形中较长的直角边，故刘徽说“长面曰股”。赵爽《周髀算经注》云：“从者谓之脩。股亦脩。脩，长也。”
〔4〕弦：勾股形中的斜边，故刘徽说“相与结角曰弦”。赵爽《周髀算经注》云：“径，直；隅，角也。亦谓之弦。”
〔5〕相与结角：谓与勾、股分别结成角的那条线。勾股形如图9-1（1）。刘徽提出了勾股形中勾、股、弦的定义。设勾、股、弦分别为a，b，c，刘徽给出了勾、股、弦的关系，a＜b＜c。
图9-1 勾股术的出入相补
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔6〕刘徽指出了勾股术在勾股章中的地位。原：系杨辉本原文，《九章算术新校》从。本书初版依戴震辑录本作“源”。“原”系“源”之古字。今依《新校》本。
〔7〕《九章算术》勾股术给出勾股定理
〔8〕《九章算术》与刘徽时代常给图形涂上朱、青、黄等不同的颜色。这里勾方为朱方，股方为青方，但并不是固定的。下文勾股容方、勾股容圆中朱、青分别表示位于勾、股上的小勾股形。
〔9〕出入相补，各从其类：这就是著名的出入相补原理。它在卷一圭田等术刘徽注中被称为以盈补虚，在卷五城垣等术刘徽注中被称为损广补狭。参见卷一圭田术注〔6〕。
〔10〕这是刘徽记述的使用出入相补原理对勾股术的证明。由于文字过于简括，如何出入相补，历来说法不一，有人统计，有30余种不同方式。图9-1（2）的出入相补方式见之于李潢《九章算术细草图说》。分别作以勾、股、弦为边长的正方形，并将勾方、股方、弦方进行分割，将勾方中的1，股方中的2，3分别移到弦方中的1′，2′，3′，其余部分不移动，则勾方与股方恰好合成弦方。因此a2+b2=c2。
〔11〕此是勾股定理的另一种形式
〔12〕此即a2+b2=c2。
〔13〕此是勾股定理的第三种形式
〔14〕版：木板。后作“板”。此问与下问都是勾股术的直接应用，我们合为一组。
〔15〕此即应用公式（9-1-2），。
〔16〕此谓版厚、版广和圆材的直径构成一个勾股形的勾、股、弦，设分别为a，b，c，则由勾股又术（9-1-2），版广为。如图9-2。这就证明了《九章算术》解法的正确性。由直径作为勾股形的弦可以看出，《九章算术》的作者已经通晓圆的一个重要性质：圆径所对的圆周角必定是直角。
图9-2 圆材为方版
（采自译注本《九章算术》）
〔17〕葛缠木的情形如图9-3（1）所示。
图9-3 葛缠木
（采自译注本《九章算术》）
〔18〕《九章算术》将葛缠木问题化成勾股问题，即木长作为勾，木之周长乘缠木周数作为股，葛长作为弦。此问亦为勾股术的直接应用，故与上一问合为一组。
〔19〕据围广，求从为木长者其形葛卷裹袤：根据围的广，求纵为木长而其形状如裹卷该木的葛的长。
〔20〕此谓将缠木之葛展成平面，则每一周都成为一个小勾股形。小勾股形的弦是葛长的一部分，如图9-3（2）。
〔21〕此谓将每个小勾股形的勾、股分别平移到首、末两个小勾股形的勾、股所在的直线上，与葛长所展成的线段形成一个大勾股形。在勾股形中，一般将横的直角边称作勾，赵爽说：“横者谓之广，句亦广。”纵的直角边称作股，赵爽说：“从者谓之脩，股亦脩。”以纵、横而论，“七周乘围”就是“并合众句以为一句”，为21尺，是横的，应该作为勾。木长20尺是纵的，应该作为股。然而这样勾长，股短，与“短面曰句，长面曰股”的规定相反，所以说“言之倒”。故术文以七周乘围为股，木长为勾。
〔22〕此谓在此问这种青线宛转若干周而展成的勾股问题中，勾与股求弦，如同“无围”的情形。弦幂亦出自第一图，即本章第一问已佚的图，故下文云“句、股幂合为弦幂，明矣”。
〔23〕刘徽进一步指出，勾幂与股幂合成弦幂时互为表里。或者股幂呈正方形，居里，勾幂呈折矩形，居表，如图9-4（1）；或者勾幂呈正方形，居里，股幂呈折矩形，居表，如图9-4（2）。
图9-4 股方勾矩与勾方股矩
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔24〕二表里形讹而数均：此谓勾幂（或股幂）居里与居表形状不同，而面积却相等。
〔25〕此图句幂之矩青，卷白表：此图中勾幂之矩呈青色，卷曲在白色的股方表面。按：在勾股章中，“朱”不一定表示勾幂，“青”也不一定表示股幂。本章有几处用朱幂、青幂表示勾股形的面积，亦有用青幂表示勾矩者。
〔26〕“是其幂以股弦差为广”三句：此谓勾幂之矩的广为股弦差c-b，长为股弦并c+b，股幂是正方形，在勾幂之矩的里面，如图9-4（1）。
〔27〕股幂之矩青，卷白表：股幂之矩呈青色，卷曲在白色的勾方表面。
〔28〕“是其幂以句弦差为广”三句：此谓股幂之矩的广为勾弦差c-a，长为勾弦并c+a，勾幂是正方形，在股幂之矩的里面，如图9-4（2）。
〔29〕此谓由于勾（或股）矩之幂是短（股弦差或勾弦差）、长（股弦并或勾弦并）互相乘，所以勾（或股）弦差与勾（或股）弦并的关系用除法表示出来，亦即勾（或股）弦差与勾（或股）弦并的关系就是用其中之一除短长互相乘：
【译文】
勾股为了处理有关高深广远的问题
假设勾股形中勾是3尺，股是4尺，问：相应的弦是多少？
答：5尺。
假设勾股形中弦是5尺，勾是3尺，问：相应的股是多少？
答：4尺。
假设勾股形中股是4尺，弦是5尺，问：相应的勾是多少？
答：3尺。
勾股在勾股形中，短边叫作勾，长边叫作股，与勾、股分别形成一个角的边叫作弦。勾比股短，股比弦短。将要把勾股术实施于各种率中，所以先提出此术，为的是展现其源头。术：勾、股各自乘，相加，而对之作开方除法，就得到弦。勾自乘为红色的正方形，股自乘为青色的正方形，现在使它们按照自己的类别进行出入相补，而使其余的部分不移动，就合成以弦为边长的正方形之面积。对之作开方除法，就得到弦。
又，股自乘，以它减弦自乘，对其余数作开方除法，就得到勾。淳风等按：此术中以勾方之面积与股方之面积合成弦方之面积。勾所形成的正方形在股所形成的正方形的里面，就是勾比股短。使股自乘，以它减弦自乘，其剩余的部分就是勾方之面积。所以对之作开方除法，就得到勾。
又，勾自乘，以它减弦自乘，对其余数作开方除法，就得到股。勾方之面积与股方之面积合以成弦方之面积，现在去掉其中之一，则余下的那个都是可以知道的。
假设有一圆形木材，其截面的直径是2尺5寸，想把它锯成一块方板，使它的厚为7寸。问：它的宽是多少？
答：2尺4寸。
术：使直径2尺5寸自乘，以7寸自乘减之，对其余数作开方除法，就得到它的宽。这里以圆的直径2尺5寸作为弦，方板的厚7寸作为勾，所要求的方板的宽就是股。
假设有一株树长是2丈，一围的周长是3尺。有一株葛生在它的根部，缠绕树干共7周，其上与树干顶端相齐。问：葛长是多少？
答：2丈9尺。
术：以7周乘围作为股，树长作为勾，求它们所对应的弦。弦就是葛的长。根据一围的周长，求长为树长而其形状如裹卷该树的葛的长。取一支笔管，用青线宛转缠绕之，就像葛缠绕树。把它解开而观察之，则每一周之间各自间隔成勾股弦。那么其间隔中葛的长，就是弦。7周乘围的周长，就是合并各个勾股形的勾作为一个勾；树长作为股，却比勾短，所以如果术文说树长叫作股，就把勾、股说颠倒了。由勾与股求弦，如同没有围的情形，弦自乘得到的面积也出自上面第一图。那么勾方之面积与股方之面积合成弦方之面积，是很明显的。这样，勾、股二方之面积倒互于弦方之面积之中罢了，它们在弦方之面积中互相为表里，位于里面的就成为正方形的面积，那位于表面的就成为折矩形的面积。二组位于表、里的面积的形状不同而数值却相等。 又按：此图中勾方之面积的折矩是青色的，卷曲在白色的股方之面积的表面，则它的面积以股弦差作为宽，以股弦和作为长，而股方之面积呈正方形，居于它的里面。股方之面积的折矩是青色的，卷曲在白色的勾方之面积的表面，则它的面积以勾弦差作为宽，以勾弦和作为长，而勾方之面积呈正方形，居于它的里面。因此，勾弦或股弦的差与和，就是用其中之一除短、长互相乘。
今有池方一丈，葭生其中央〔1〕，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何〔2〕？
荅曰：
水深一丈二尺，
葭长一丈三尺。
术曰：半池方自乘，此以池方半之，得五尺为句，水深为股，葭长为弦。以句、弦见股〔3〕，故令句自乘，先见矩幂也〔4〕。以出水一尺自乘，减之〔5〕，出水者，股弦差。减此差幂于矩幂则除之〔6〕。余，倍出水除之，即得水深〔7〕。差为矩幂之广〔8〕，水深是股。令此幂得出水一尺为长，故为矩而得葭长也〔9〕。加出水数，得葭长〔10〕。臣淳风等谨按：此葭本出水一尺，既见水深，故加出水尺数而得葭长也。
今有立木，系索其末，委地三尺〔11〕。引索却行，去本八尺而索尽。问：索长几何？
荅曰：一丈二尺六分尺之一。
术曰：以去本自乘，此以去本八尺为句，所求索者，弦也〔12〕。引而索尽、开门去阃者，句及股弦差同一术〔13〕。去本自乘者，先张矩幂〔14〕。令如委数而一。委地者，股弦差也。以除矩幂，即是股弦并也〔15〕。所得，加委地数而半之，即索长〔16〕。子不可半者，倍其母。加差者并〔17〕，则两长，故又半之。其减差者并，而半之得木长也。
今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问：木长几何？
荅曰：五丈五寸。
术曰：以垣高一十尺自乘，如却行尺数而一。所得，以加却行尺数而半之，即木长数〔18〕。此以垣高一丈为句，所求倚木者为弦，引却行一尺为股弦差〔19〕。为术之意与系索问同也。
今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺〔20〕。问：径几何？
荅曰：材径二尺六寸。
术曰：半锯道自乘，此术以锯道一尺为句，材径为弦，锯深一寸为股弦差之一半，锯道长是半也〔21〕。 臣淳风等谨按：下锯深得一寸为半股弦差，注云为股弦差者，锯道也〔22〕。如深寸而一，以深寸增之，即材径〔23〕。亦以半增之，如上术，本当半之，今此皆同半差，不复半也〔24〕。
今有开门去阃一尺〔25〕，不合二寸。问：门广几何？
荅曰：一丈一寸。
术曰：以去阃一尺自乘，所得，以不合二寸半之而一。所得，增不合之半，即得门广〔26〕。此去阃一尺为句，半门广为弦，不合二寸以半之，得一寸为股弦差，求弦〔27〕。故当半之。今次以两弦为广数，故不复半之也。
【注释】
〔1〕葭（jiā）：初生的芦苇。《说文解字》：“葭，苇之未秀者。”
〔2〕20世纪，许多中学数学课外读物中有所谓印度莲花问题，实际上是此“引葭赴岸”问的改写，只不过将芦苇换成莲花，却晚出1 000多年。数典不能忘祖，中国的课外读物，宜以此题为例。见图9-5（1）。以下五问，刘徽都归结为已知勾和股弦差求股、弦的问题，我们归为一组。
图9-5 引葭赴岸
［（1）采自杨辉本 （2）（3）采自《古代世界数学泰斗刘徽》］
〔3〕以句、弦见股：此句意谓在弦方中通过勾、弦的变换表示出股。见，显现。
〔4〕刘徽认为池方之半、水深、葭长构成一个勾股形，我们记其勾即池方之半为a，股即水深为b，弦即葭长为c，如图9-5（2）。要以勾、弦表示出股，所以先将a2表示成矩幂a2=c2-b2，如图9-5（3）。这实际上是已知勾与股弦差求股、弦的问题。
〔5〕出水就是c-b，《九章算术》的术文表示a2-（c-b）2=2b（c-b）。
〔6〕减此差幂于矩幂则除之：从勾的折矩幂减去这个差的幂才能除。注释〔5〕是由以下变换得到的。即
a2-（c-b）2=（c2-b2）-（c-b）2=（c+b）（c-b）-（c-b）2
=（c-b）［（c+b）-（c-b）］=2b（c-b）。
这样才能作除法。
〔7〕因此水深为
〔8〕差为矩幂之广：股弦差是勾的折矩幂的广。
〔9〕令此幂得出水一尺为长，故为矩而得葭长也：使这个幂得到露出水面的1尺，作为长，所以将它变成折矩，就得到芦苇的长。此幂，从上下文看系指勾矩幂，而不是股弦差幂与勾自乘幂之差。将勾矩幂的长即股弦和增加股弦差，则此幂变成长为两弦、宽为股弦差的矩形，再变成矩幂，就得到弦，即葭长，见图9-6。刘徽注是说，勾矩之幂a2加上面积（c-b）2，总面积为
a2+（c-b）2=（c2-b2）+（c-b）2=（c+b）（c-b）+（c-b）2
=（c-b）［（c+b）+（c-b）］=2c（c-b）。
图9-6 勾与股弦差求股弦
（采自译注本《九章算术》）
因而
〔10〕《九章算术》的术文实际上是
c=b+（c-b）。
〔11〕委（wěi）地：抛在地上。委，抛弃。
〔12〕刘徽注认为，《九章算术》的解法是将去本、立木、索长组成一个勾股形，分别为勾股形的勾、股、弦。如图9-7（1）。
图9-7 系索
（采自译注本《九章算术》）
〔13〕“引而索尽”三句：牵引着绳索到其尽头、开门离开门槛，都是已知勾及股弦差的问题，用同一种术解决。
〔14〕与注释〔4〕一样，先将a2表示成矩幂a2=c2-b2，如图9-7（2）。
〔15〕此谓
即（9-2-4）式。
〔16〕由于（c+b）+（c-b）=2c，故
与（9-3-2）等价。
〔17〕加差者并：与下文“其减差者并”中两“者”字，训“于”，“者”、“诸”互文，“诸”、“于”亦互文，见裴学海《古书虚字集释》卷九。
〔18〕设木长为c，垣高为a，却行尺数为c-b，则木长为
即（9-3-2）式。
〔19〕刘徽注认为垣高、木长分别是勾股形的勾和弦，则却行就是股弦差。如图9-8。
图9-8 倚木于垣
（采自译注本《九章算术》）
〔20〕方田章弧田术刘徽注将其称为勾股锯圆材，如图9-9（1）。
图9-9 勾股锯圆材
［（1）采自杨辉本 （2）采自译注本《九章算术》］
〔21〕如图9-9（2），记圆心为o，锯道深为de。刘徽认为锯道bc与圆材直径ab分别是勾股形abc的勾与弦，分别记为a，c。考虑勾股形obe，由于，故。于是锯道深。既然考虑锯道深的一半，那么其锯道也只考虑其一半即。是：训“则”。
〔22〕戴震、李潢、钱宝琮等都认为李淳风注文字有错误。因不知原意所在，无可校改，今不译。
〔23〕《九章算术》实际上应用了公式
它可以化成（9-3-2）式。
〔24〕此谓本来如同上面诸术那样，此术求弦的最后一步应该“半之”，可是这里勾a，股弦差c-b都取其一半了，所以不必再“半之”。“不”字前，初版依汇校本衍“故”字，今依《新校》本校删。
〔25〕开门去阃（kun）：“门”有两扉。《玉篇·户部》：“一扉曰户，两扉曰门。”阃，门橛，门限，门槛。“开门去阃”形如图9-10（1）。
图9-10 开门去阃
［（1）采自杨辉本 （2）采自译注本《九章算术》］
〔26〕记去阃为a，不合为c-b，《九章算术》实际上使用公式（9-3-2）。
〔27〕刘徽注认为去阃、开门之后的门广之半是勾股形的勾与弦，不合之半为股弦差c-b。这是已知勾与股弦差求弦。
【译文】
假设有一水池，1丈见方，一株芦苇生长在它的中央，露出水面1尺。把芦苇扯向岸边，顶端恰好与岸相齐。问：水深、芦苇的长各是多少？
答：
水深是1丈2尺，
芦苇长是1丈3尺。
术：将水池边长的自乘，这里取水池边长的，得到5尺，作为勾，水深作为股，芦苇的长作为弦。以勾、弦展现出股，所以使勾自乘，先显现勾的折矩的面积。以露出水面的1尺自乘，减之，芦苇露出水面的长度就是股弦差。从勾的折矩的面积减去这个差的面积才能除。其余数，以露出水面的长度的2倍除之，就得到水深。股弦差是勾的折矩的面积的宽，水深就是股。使这个面积得到露出水面的1尺，作为长，所以将它变成折矩，就得到芦苇的长。加芦苇露出水面的数，就得到芦苇的长。臣淳风等按：这里芦苇本来露出水面1尺，既然已经显现出水深，所以加露出水面的尺数而得到芦苇的长度。
假设有一根竖立的木柱，在它的顶端系一条绳索，那么在地上堆积了3尺长。牵引着绳索向后倒退，到距离木柱根部8尺时恰好是绳索的尽头。问：绳索的长是多少？
答：1丈尺。
术：以到木柱根部的距离自乘，这里以到木柱根部的距离8尺作为勾，所求绳索的长，就是弦。牵引着绳索到其尽头、开门离开门槛，都是已知勾与股弦差的问题，用同一种术解决。以到木柱根部的距离自乘，是先展显勾的折矩的面积。以地上堆积的绳索的长除之。在地上堆积的长，就是股弦差。以除勾的折矩的面积，就是股弦和。所得的结果，加堆积在地上的长，除以2，就是绳索的长。如果分子是不可以除以2的，就将分母加倍。在股弦和上加股弦差，则是绳索长的2倍，所以又除以2。在股弦和上减股弦差，也除以2，便得到木柱的长。
假设有一堵垣，高1丈。一根木柱倚在垣上，上端与垣顶相齐。拖着木向后倒退1尺，这根木柱就全部落在地上。问：木柱的长是多少？
答：5丈5寸。
术：以垣高10尺自乘，除以向后倒退的尺数。以所得到的结果加向后倒退的尺数，除以2，就是木柱的长。这里以垣高1丈作为勾，所求的倚在垣上的木柱作为弦，以拖着向后倒退1尺作为股弦差。造术的意图与在木柱顶端系绳索的问题相同。
假设有一圆形木材埋在墙壁中，不知道它的大小。用锯锯之，如果深达到1寸，则锯道长是1尺。问：木材的直径是多少？
答：木材的直径是2尺6寸。
术：锯道长的自乘，此术中以锯道长1尺作为勾，木材的直径作为弦，锯道深1寸是股弦差的，锯道长也应取其。除以锯道深1寸，加上锯道深1寸，就是木材的直径。也以股弦差的加之。如同上面诸术，本来应当取其，现在这里所有的因子都取了，所以就不再取其1。
假设打开两扇门，距门槛1尺，没有合上的宽度是2寸。问：门的宽是多少？
答：1丈1寸。
术：以到门槛的距离1尺自乘，其所得除以没有合上的宽度2寸的。其所得加没有合上的宽度2寸的，就得到门的宽。这里以到门槛的距离1尺作为勾，门宽的作为弦，取没有合上的宽度2寸的，得到1寸作为股弦差，以求弦。本来应当取其。现在以两弦作为门宽的数，所以不再取其。
今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问：户高、广各几何〔1〕？
荅曰：
广二尺八寸，
高九尺六寸。
术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实，半其余。以开方除之。所得，减相多之半，即户广；加相多之半，即户高〔2〕。令户广为句，高为股，两隅相去一丈为弦，高多于广六尺八寸为句股差〔3〕。按图为位，弦幂适满万寸。倍之，减句股差幂，开方除之。其所得即高广并数〔4〕。以差减并而半之，即户广；加相多之数，即户高也〔5〕。今此术先求其半〔6〕。一丈自乘为朱幂四、黄幂一。半差自乘，又倍之，为黄幂四分之二〔7〕。减实，半其余，有朱幂二、黄幂四分之一〔8〕。其于大方者四分之一〔9〕。故开方除之，得高广并数半〔10〕。减差半，得广〔11〕；加，得户高〔12〕。 又按：此图幂：句股相并幂而加其差幂，亦减弦幂，为积〔13〕。盖先见其弦，然后知其句与股。今适等，自乘，亦各为方，合为弦幂〔14〕。令半相多而自乘，倍之，又半并自乘，倍之，亦合为弦幂〔15〕。而差数无者，此各自乘之，而与相乘数，各为门实〔16〕。及股长句短，同原而分流焉〔17〕。假令句、股各五，弦幂五十，开方除之，得七尺，有余一，不尽〔18〕。假令弦十，其幂有百，半之为句、股二幂，各得五十〔19〕，当亦不可开。故曰：圆三、径一，方五、斜七，虽不正得尽理，亦可言相近耳〔20〕。 其句股合而自相乘之幂者，令弦自乘，倍之，为两弦幂，以减之〔21〕。其余，开方除之，为句股差〔22〕。加于合而半，为股〔23〕；减差于合而半之，为句〔24〕。句、股、弦即高、广、衺。其出此图也，其倍弦为袤〔25〕。令矩句即为幂，得广即句股差〔26〕。其矩句之幂，倍句为从法，开之亦句股差〔27〕。以句股差幂减弦幂，半其余，差为从法，开方除之，即句也〔28〕。
【注释】
〔1〕《九章算术》户高多于广问实际上应用了已知弦与勾股差求勾、股的公式。如图9-11（1）。
图9-11 户高多于广
［（1）采自杨辉本 （2）采自《古代世界数学泰斗刘徽》］
〔2〕记两隅相去为c，相多为b-a，则《九章算术》实际上使用了公式
便求出门广和高
〔3〕刘徽注认为户广、户高、两隅相去形成一个勾股形，其勾、股、弦分别记为a，b，c，则高多于广就是勾股差b-a。
〔4〕如图9-12（1），刘徽注作以弦c为边长的正方形，弦幂c2。将其分解为4个以a，b为勾、股的勾股形，称为朱幂，及一个以勾股差b-a为边长的小正方形，称为黄方。显然
图9-12 由勾股差与弦求勾股的推导
［（1）采自译注本《九章算本》 （2）采自《古代世界数学泰斗刘徽》］
取2个弦幂，其面积为2c2。将一个弦幂的黄方除去，而将4个剩余的朱幂拼补到另一个弦幂上，则成为一个以勾股并a+b为边长的大正方形，如图9-12（2）所示。其面积为
（a+b）2=2c2-（b-a）2
于是
〔5〕此谓
这是对《九章算术》所使用的公式的改进。赵爽也有同样的公式，可见此亦非刘徽所首创，而是他“采其所见”者，写入自己的注。（943）（9-4-4）后来发展为勾股数组的一个通解公式：设c:（b-a）=p:q，则a:b::p可以构造出任何一个勾股形。南宋秦九韶借助它构造了《数书九章》（1247）“遥度圆城”问的10次方程。见拙文《学习〈数书九章〉札记》（《郭书春数学史自选集》下册）。
〔6〕以下是刘徽记载的对《九章算术》所使用的公式的证明，当然也是采其所见者。
〔9〕此谓2个朱幂、个黄幂恰好是以（a+b）为边长的正方形的，即
〔10〕此谓对上式作开方除法，得
〔13〕“句股相并幂而加其差幂”三句：这是一个勾股恒等式
（a+b）2+（b-a）2-c2=c2。
显然，它是由（a+b）2=2c2-（b-a）2变换而来。
〔14〕此谓：如果b=a，则c2=2a2。
〔15〕刘徽在这里提出又一勾股恒等式：
〔16〕“差数无者”四句：此谓当b-a=0时，a2=b2=ab。
〔17〕原：初版作“源”，今改。见本章勾股术注释〔6〕。
〔18〕此以a=b=5为例，此时c2=50，，得7，而余1开方不尽。这相当于接近认识到，在勾股形中，若a=b，则a，b，c不能同时为有理数，正方形的对角线与边长没有公度。
〔19〕若c=10，则c2=100，。
〔20〕刘徽将这种情形与圆3径1相类比，指出圆3径1，方5斜7，虽不准确，但在近似计算中是可以使用的。
〔21〕刘徽进而讨论由勾股并a+b与弦c求勾、股的问题。刘徽首先提出
（b-a）2=2c2-（b+a）2。（9-6）
如图9-13，将图9-12（2）的以a+b为边长的大正方形逆时针旋转45°，使其中的弦幂正置，在它的一侧拼补上一个如图9-12（1）的弦幂，则连接成一个长方形，即二弦幂，其面积为2c2。勾股并幂与二弦幂的公共部分不动，将勾股并幂中的朱幂1，2，3分别移到二弦幂中的朱幂1′，2′，3′处，则只有一个黄方（b-a）2未被填满。就是说，勾股并幂（b+a）2与二弦幂2c2之差为（b-a）2，即上式成立。
图9-13 由勾股和与弦求勾股的推导
（采自译注本《九章算术》）
〔22〕其余，开方除之，为句股差：此谓
〔23〕加于合而半，为股：此谓
〔24〕减差于合而半之，为句：此谓不难看出已知勾股并及弦求勾股的公式（9-7-1）（9-7-2）与已知勾股差及弦求勾股的公式（9-4-3）（9-4-4）的对称性。
〔25〕其出此图也，其倍弦为袤：如果画出这个图的话，它以弦的2倍作为长。刘徽是说图9-13中的长方形以2c为长。
〔26〕令矩句即为幂，得广即句股差：将矩勾作为幂，求得它的广就是勾股差。刘徽在此给出了一个勾股恒等式
矩句，是股幂减以勾幂所余之矩，即b2-a2，如图9-14（1），它不同于刘徽注的“句矩”，后者与赵爽之“矩句”同义，均指c2-b2，如图9-4（1）。
图9-14 矩勾与求股弦差的二次方程
（采自译注本《九章算术》）
〔27〕“其矩句之幂”三句：刘徽在此提出了以b-a为其根的开方式，即以b-a为未知数的二次方程
（b-a）2+2a（b-a）=b2-a2。（9-8）
如图9-14（2）所示。矩勾b2-a2可以分解成黄方（b-a）2及以b-a为广以a为长的两个长方形，后者的面积共为2a（b-a）。
〔28〕刘徽又提出由勾股差b-a求勾a的开方式，即以a为未知数的二次方程
如图9-15所示。弦幂c2除去黄方（b-a）2，取其，余2个朱幂1，2。勾方a2与（b-a）a之和为面积为ab的长方形，它亦含有2个朱幂1，2′。
图9-15 由勾股差与弦求勾的二次方程
（采自译注本《九章算术》）
因此与a2+（b-a）a的面积相等。
【译文】
假设有一门户，高比宽多6尺8寸，两对角相距恰好1丈。问：此门户的高、宽各是多少？
答：
门户的宽是2尺8寸，
门户的高是9尺6寸。
术：使1丈自乘，作为实。取高多于宽的，将它自乘，加倍，去减实，取其余数的。对之作开方除法。所得减去高多于宽的，就是门户的宽；加上高多于宽的，就是门户的高。将门户的宽作为勾，高作为股，两对角的距离1丈作为弦，那么高多于宽6尺8寸就成为勾股差。按照图形考察它们所处的地位，弦方之面积恰恰是10 000寸2。将它加倍，减去勾股差为方的面积，对其余数作开方除法。那么所得到的就是门户的高与宽之和。以勾股差减高与宽之和，而取其，就是门户的宽；以勾股差加高与宽之和，而取其，就是门户的高。现在此术是先求其。1丈自乘为4个红色的面积与1个黄色的面积。勾股差的自乘，又加倍，就是黄色的面积的。以它去减实，取其余数的，就有2个红色的面积与个黄色的面积。它们在以高与宽之和为边长的大正方形中占据。所以对之作开方除法，就得到的高与宽之和。的高与宽之和减去的高与宽之差，就得到门户的宽；的高与宽之和加上的高与宽之差，就得到门户的高。 又按：此图形中的面积：勾股和为方的面积加勾股差为方的面积，又减去弦方的面积，为弦方的面积。原来这里先显现出它的弦，然后知道与之对应的勾与股。如果勾与股恰好相等，使它们自乘，各自也成为正方形，相加就合成为弦方的面积。使勾股差的自乘，加倍，又使勾股和的自乘，加倍，也合成为弦方的面积。如果勾与股没有差，此时它们各自自乘，或者两者相乘，都成为门的面积。这与股长而勾短的情形，是同源而分流。假设勾、股都是5，弦方的面积就是50，对之作开方除法，得7尺，还有余数1，开不尽。假设弦是10，其方的面积是100，取其，就成为勾、股二者方的面积，分别是50，也应当是不可开的。所以说：周3径1，方5斜7，虽然没有正好穷尽其数理，也可以说是相近的。 如果是勾股和而自乘之面积的情形，那么使弦自乘，加倍，就成为2个弦方的面积，以勾股和自乘之面积减之。对其余数作开方除法，就是勾股差。将它加于勾股和，取其，就是股；以它减勾股和，取其，就是勾。勾、股、弦就是门户的高、宽、斜。如果画出这个图的话，它以弦的2倍作为长。将矩勾作为面积，求得它的宽就是勾股差。如果是矩勾之面积，将勾加倍作为一次项系数，对其开方，也得到勾股差。以勾股差为方的面积减弦方的面积，取其余数的，以勾股差作为一次项系数，对其作开方除法，就是勾。
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问：折者高几何〔1〕？
荅曰：四尺二十分尺之一十一。
术曰：以去本自乘，此去本三尺为句，折之余高为股〔2〕，以先令句自乘之幂〔3〕。令如高而一〔4〕，凡为高一丈为股弦并之〔5〕，以除此幂得差。所得，以减竹高而半余，即折者之高也〔6〕。此术与系索之类更相返覆也〔7〕。亦可如上术，令高自乘为股弦并幂，去本自乘为矩幂，减之，余为实。倍高为法，则得折之高数也〔8〕。
【注释】
〔1〕折：李籍云：“断也。”竹高折地如图9-16（1）所示。1989年高考语文试卷有标点此问的题目。
图9-16 由勾与股弦和求股
［（1）采自杨辉本（2）采自译注本《九章算术》（3）采自《九章算术》解读］
〔2〕刘徽注认为去本、折者之高与折断部分构成一个勾股形，它们分别是勾a、股b与弦c。如图9-16（2）。
〔3〕以先令句自乘之幂：所以先得到勾的自乘之幂。以，训“故”，申事之辞。
〔4〕《九章算术》此处应用了：
〔5〕凡为高一丈为股弦并之：总的高1丈作为股弦并，以它除勾幂，得到股弦差。凡为，训“共”。之，语气词。刘徽将此问归结为已知勾与股弦并求股的问题。
〔6〕《九章算术》实际上应用了公式
〔7〕此谓上式与系索问所用公式的差别仅仅在于将c-b换成c+b，所以说“相返覆”。
〔8〕刘徽将（9-10-1）式修正为
其出入相补的方式如图9-16（3）所示：作以c+b为边长的正方形。其中1为b2，除去a2=c2-b2，将1移到1′处，则其面积显然是2b（c+b），求出b即可。
【译文】
假设有一棵竹，高1丈，末端折断，抵到地面处距竹根3尺。问：折断后的高是多少？
答：尺。
术：以抵到地面处到竹根的距离自乘，这里以抵到地面处距竹根3尺作为勾，折断之后余下的高作为股，所以先得到勾的自乘之面积。除以高，总的高1丈作为股弦并，以它除勾方的面积，得到股弦差。以所得到的数减竹高，而取其余数的，就是折断之后的高。此术与木柱顶端系绳索之类互为反覆。亦可像上术那样，将高自乘，作为股弦和为方之面积，抵到地面处到竹根的距离自乘作为矩的面积，两者相减，余数作为实。将高加倍作为法，实除以法，就得到折断之后高的数值。
今有二人同所立。甲行率七，乙行率三〔1〕。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。问：甲、乙行各几何？
荅曰：
乙东行一十步半，
甲邪行一十四步半及之。
术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为乙东行率〔2〕。此以南行为句，东行为股，邪行为弦〔3〕。并句弦率七。欲引者〔4〕，当以股率自乘为幂，如并而一，所得为句弦差率〔5〕。加并，之半为弦率〔6〕，以差率减，余为句率〔7〕。如是或有分，当通而约之乃定〔8〕。
术以同使无分母，故令句弦并自乘为朱、黄相连之方〔9〕。股自乘为青幂之矩，以句弦并为袤，差为广〔10〕。今有相引之直，加损同上〔11〕。其图大体，以两弦为袤，句弦并为广〔12〕。引横断其半为弦率〔13〕，列用率七自乘者，句弦并之率〔14〕，故弦减之，余为句率〔15〕。同立处是中停也〔16〕，皆句弦并为率，故亦以句率同其袤也〔17〕。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数〔18〕。南行十步者，所有见句求见弦、股，故以弦、股率乘，如句率而一。
【注释】
〔1〕此谓：设甲行率为m，乙行率为n，则m:n=7:3。
〔2〕设南行为a，东行为b，邪行为c，《九章算术》给出了：
其中南行率。
〔3〕刘徽认为南行、东行、邪行构成一个勾股形，记勾为a，股为b，弦为c，如图9-17（1）。现代数论证明，若（c+a）:b=m:n，并且m，n互素，公式（9-11）给出了勾股形的全部可能的情形，被称为勾股数组的通解公式。勾股数组又称为整数勾股形。此问中的m，n分别为7，3。下“二人出邑”问再一次使用（9-11），其中的m，n分别为5，3，都是互素的两奇数，可见《九章算术》的作者大约知道这一条件。上述通解公式也可以写成：
图9-17 勾股数组通解公式的推导
（采自译注本《九章算术》）
早在古希腊，数学家们就探讨勾股数组的通解公式，但所提出的公式实际上都只给出了一部分解。长期以来，人们认为公元3世纪的希腊数学家丢番图第一次给出了勾股数组的通解公式，但是，他的公式不仅需要进行一个变换，而且比《九章算术》使用的公式起码晚四五百年。《九章算术》在世界数学史上第一次提出了完整的勾股数组通解公式。
〔4〕欲引者：如果想要把它引申的话。引，引申。
〔5〕刘徽在此求出勾弦差c-a之率。
〔6〕刘徽在此求出弦之率，即
〔7〕刘徽在此求出勾之率，即
〔8〕已知股率是n，如此勾率、股率、弦率中有分数，通分，就得到公式（9-11）或（9-12）中的率。
〔9〕以同使无分母，故令句弦并自乘为朱、黄相连之方：此谓以同（即勾弦并率m）消去各个率的分母，所以使勾弦和自乘作为朱方、黄方相连的正方形。由于以勾弦并率m消去分母，因此其幂图以勾弦并c+a作为广，使（c+a）2为朱、黄相连之方abcd，如图9-17（2）。其中aghi是朱方，即勾方a2；hjck是黄方，即弦方c2。自此起，是勾、股、弦三率的几何推导方法。
〔10〕截取ampl，也是黄方，即弦方c2，而ihgmpl是青幂之矩，即b2=c2-a2。它以勾弦并c+a为长，以勾弦差c-a为广。
〔11〕今有相引之直，加损同上：如果将青幂之矩引申成长方形，增加、减损之后，它们的广、长就如上述。这个长方形就是befc，仍然以勾弦并c+a为长，以勾弦差c-a为广。
〔12〕“其图大体”三句：此谓整个图形以两弦2c为长，以勾弦并c+a为广。大体，义理，本质，要点，关键。《史记·平原君虞卿列传》：“（平原君）未睹大体。”
〔13〕引横断其半为弦率：在图形的一半处引一条横线切断它，就成为弦率。此谓图9-17（2）中，aefd的一半即c（c+a）是弦率。横，横线，此指中间的横线。
〔14〕列用率七自乘者，句弦之并率：此谓甲行率7自乘就是勾弦并率。因此勾弦并率就是（c+a）2。列用率，列出来所用的率，指甲行率七。
〔15〕弦率减之，余为句率：此谓勾率为（c+a）2-c（c+a）=a（c+a），弦率为c（c+a）。
〔16〕中停：中间平分。停，均匀，平均。《水经注·江水》：“自非停午夜分，不见曦月。”但此例句在刘徽之后矣。
〔17〕皆句弦并为率，故亦以句率同其袤也：它们都以勾弦和建立率，所以也使勾率的长与之相同。由（c+a）:b=m:n，得出
在此问中，a:b:c=20:21:29。按：此段从图形上解释。因同立处是中停，都用勾弦并化成率，所以勾率亦必同其袤，化成以勾为广，以勾弦并为袤的面积。根据刘徽“每举一隅”的原则，股率也要表示成以股为广，以勾弦并为袤的面积，是不言而喻的。亦即股率为b（c+a）。
〔18〕已知南行10步，即a=10步，利用今有术求出甲邪行和乙东行的步数：
【译文】
假设有二人站在同一个地方。甲走的率是7，乙走的率是3。乙向东走，甲向南走10步，然后斜着向东北走，恰好与乙相会。问：甲、乙各走多少步？
答：
乙向东走步，
甲斜着走步与乙会合。
术：令7自乘，3也自乘，两者相加，除以2，作为甲斜着走的率。从7自乘中减去甲斜着走的率，其余数作为甲向南走的率。以3乘7作为乙向东走的率。此处以向南走的距离作为勾，向东走的距离作为股，斜着走的距离作为弦。那么勾弦和率就是7。如果想要把它引申的话，应当以股率自乘作为面积，除以勾弦和，所得作为勾弦差率。将它加勾弦和，除以2，作为弦率；以勾弦差率减弦率，其余数作为勾率。这样做也许有分数，应当将它们通分、约简，才能确定。 此术以同消去分母，所以使勾弦和自乘作为朱方、黄方相连的正方形。将股自乘化为青色面积之折矩形，它以勾弦和作为长，勾弦差作为宽。如果将它们引申成长方形，增加、减损之后，它们的宽、长就如上述。其图形的关键就是以两弦作为长，以勾弦和作为宽。在图形的一半处引一条横线切断它，就成为弦率。列出来所用的率7自乘者，是因为它是勾弦和率，所以以弦率减之，余数就作为勾率。甲、乙所站的那同一个地方是中间平分的位置，它们都以勾弦和建立率，所以也使勾率的长与之相同。布置甲向南走的10步，以甲斜着走的率乘之，在旁边布置10步，以乙向东走的率乘之，各自作为实。实除以甲向南走的率，分别得到甲斜着走的及乙向东走的步数。甲向南走的10步，是已有现成的勾，要求显现出它对应的弦、股，所以分别以弦率、股率乘之，除以勾率。
今有句五步，股十二步。问：句中容方几何〔1〕？
荅曰：方三步一十七分步之九。
术曰：并句、股为法，句、股相乘为实。实如法而一，得方一步〔2〕。句、股相乘为朱、青、黄幂各二〔3〕。令黄幂袤于隅中，朱、青各以其类，令从其两径，共成脩之幂〔4〕：中方黄为广〔5〕，并句、股为袤，故并句、股为法〔6〕。 幂图：方在句中，则方之两廉各自成小句股，而其相与之势不失本率也〔7〕。句面之小句、股，股面之小句、股各并为中率〔8〕。令股为中率，并句、股为率，据见句五步而今有之，得中方也〔9〕。复令句为中率，以并句、股为率，据见股十二步而今有之，则中方又可知〔10〕。此则虽不效而法，实有法由生矣〔11〕。下容圆率而似今有、衰分言之〔12〕，可以见之也。
【注释】
〔1〕句中容方：勾股形内切的正方形，其一顶点在弦上，它相对的两边分别与勾、股重合，如图9-18（1）所示。
图9-18 勾股容方
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕已知勾股形中勾a，股b，《九章算术》提出求其所容正方形的边长d的公式是
〔3〕勾、股相乘为朱、青、黄幂各二：此谓勾股形所容正方形称为黄方，余下两小勾股形，位于勾上的称为朱幂，位于股上的称为青幂。作以勾、股为边长的长方形，其面积为ab。显然它含有2个朱幂、2个青幂、2个黄幂，如图9-18（2）。
〔4〕“令黄幂袤于隅中”四句：此谓这些朱、青、黄幂可以重新拼成一个长方形，其面积仍为ab，如图9-18（3）。两个黄幂分别位于两端，朱幂、青幂。根据自己的类别组合，分别形成小长方形，它们的股、勾分别与2黄幂的边相吻合，共同合成一个长方形幂。两径，表示勾与股。赵爽曰：“径，直。”脩，长。脩之幂，长方形的面积。
〔5〕中方黄为广：此谓该修幂的广就是所容正方形即黄方的边长d。
〔6〕并句、股为袤，故并句、股为法：此谓该修幂的长即勾股和a+b，故以a+b作为法。
〔7〕方之两廉各自成小句股，而其相与之势不失本率：这是刘徽提出的一条重要原理，即相似勾股形的对应边成比例。是为以率解决这类问题的基础。设勾上小勾股形的三边为a1，b1，c1，股上小勾股形的三边为a2，b2，c2，则
a:b:c=a1:b1:c1=a2:b2:c2。（9-14）
〔8〕句面之小句、股，股面之小句、股各并为中率：此谓由于，所以
a=a1+b1为此比例式的中率。由于b1=d，故
同样，由于，取b=a2+b2为中率，因a2=d，则有
可见，刘徽已完全通晓合比定理。
〔9〕此谓以股b为中率，则。
〔10〕此谓以勾a为中率，亦有。
〔11〕此则虽不效而法，实有法由生矣：此谓此基于率的方法虽然没有效法基于出入相补的方法，实与法却由此产生出来。而，训“其”。见裴学海《古书虚字集释》卷七。而法，指此注起首基于出入相补原理的方法。有，训“与”。见裴学海《古书虚字集释》卷二。实有法，实与法。
〔12〕率：方法。 似：古通“以”。
【译文】
假设一勾股形的勾是5步，股是12步。问：如果勾股形中容一正方形，它的边长是多少？
答：边长是步。
术：将勾、股相加，作为法，勾、股相乘，作为实。实除以法，得到内容正方形边长的步数。勾、股相乘之面积含有红色的面积、青色的面积、黄色的面积各2个。使2个黄色的面积分别位于两端，界定其长，红色的面积、青色的面积各依据自己的类别组合，使它们的勾、股与2个黄色的面积的边相吻合，共同组成一个长方形的面积：以勾股形内容的正方形即黄色的面积作为宽，勾、股相加作为长。所以使勾、股相加作为法。 面积的图形：正方形在勾股形中，那么，正方形的两边各自形成小勾股形，而其相与的态势没有改变原勾股形的率。勾边上的小勾、股，股边上的小勾、股，分别相加，作为中率。令股作为中率，勾、股相加作为率，根据显现的勾5步而应用今有术，便得到中间正方形的边长。再令勾作为中率，勾、股相加作为率，根据显现的股12步而应用今有术，则又可知道中间正方形的边长。这里显然没有效法开头的方法，实与法却由此产生出来。下面的勾股容圆的方法而以今有术、衰分术求之，又可以见到这一点。
今有句八步，股一十五步。问：句中容圆径几何〔1〕？
荅曰：六步。
术曰：八步为句，十五步为股，为之求弦〔2〕。三位并之为法，以句乘股，倍之为实。实如法得径一步〔3〕。句、股相乘为图本体〔4〕，朱、青、黄幂各二〔5〕，倍之，则为各四〔6〕。可用画于小纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合，成脩幂：圆径为广，并勾、股、弦为袤〔7〕。故并勾、股、弦以为法〔8〕。 又以圆大体言之〔9〕，股中青必令立规于横广，句、股又邪三径均，而复连规〔10〕，从横量度句股，必合而成小方矣〔11〕。又画中弦以规除会〔12〕，则句、股之面中央小句股弦〔13〕：句之小股、股之小句皆小方之面〔14〕，皆圆径之半〔15〕。其数故可衰〔16〕。以勾、股、弦为列衰，副并为法。以句乘未并者，各自为实。实如法而一，得句面之小股〔17〕，可知也。以股乘列衰为实，则得股面之小句可知〔18〕。言虽异矣，及其所以成法之实〔19〕，则同归矣〔20〕。则圆径又可以表之差、并〔21〕：句弦差减股为圆径〔22〕；又，弦减句股并，余为圆径〔23〕；以句弦差乘股弦差而倍之，开方除之，亦圆径也〔24〕。
【注释】
〔1〕句中容圆：勾股容圆，也就是勾股形内切一个圆。元数学家李冶（1192—1279）将其称为勾股容圆。
〔2〕此利用勾股术（9-1-1）求出弦：。
〔3〕此是已知勾股形中勾a，股b，求其所容圆的直径d的问题，如图9-19（1）所示。《九章算术》提出的公式是
图9-19 勾股容圆
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
《九章算术》此问开中国勾股容圆类问题研究之先河。勾股容圆问题在宋元时期有了极大发展，产生了洞渊九容，讨论了9种勾股形与圆的相切关系，李冶由此演绎成名著《测圆海镜》（1248），给出了勾股形与圆的关系的若干命题，就同一个圆与16个勾股形的关系提出了270个问题，并以天元术为主要方法解决了其中大部分问题。
〔4〕此谓将一个勾股形从所容圆的圆心将其分解成1个黄幂、1个朱幂与1个青幂。黄幂是边长为所容圆的半径的正方形；朱幂由2个小勾股形组成，其小勾是圆半径，而小股是勾与圆半径之差；青幂也由2个小勾股形组成，其小勾是圆半径，而小股是股与圆半径之差。取2个原来的勾股形，组成一个广为a，长为b的长方形，即勾股相乘幂，如图9-19（2）。
〔5〕作由两个勾股形构成的长方形，也就是勾股相乘之幂，其面积为ab，它含有朱幂、青幂、黄幂各2个。
〔6〕2个勾股相乘之幂其面积为2ab，含有朱幂、青幂、黄幂各4个。
〔7〕将2个勾股相乘之幂中的朱幂、青幂、黄幂各以类合，构成一个长方形，它的广是圆直径d，其长是勾、股、弦之和a+b+c，其面积当然仍然是2ab，如图9-19（3）。
〔8〕由于（a+b+c）d=2ab，所以要求圆直径d，便以a+b+c为法，即得到（9-15）。这是刘徽记述的以出入相补原理对《九章算术》公式的证明。
〔9〕又以圆大体言之：又根据圆的义理阐述此术。大体，义理，本质，要点。参见“二人同所立”问注释。
〔10〕“股中青必令立规于横广”三句：股边上的青幂等元素必须使圆规立于勾的横线上，并且到勾、股、弦的三个半径相等的点上，这样再连成圆。规，圆规，是中国古代画圆的工具。“立规于……”是说将圆规立于什么位置。“连规”就是画圆，此处以画圆的工具规代替圆。刘徽在这里简要说明如何作出勾股形的内切圆。有的学者认为中国古算没有几何作图的研究，是不妥的。诚然，中国古代可能没有古希腊那样的关于作图的严格规定。但是数学研究，尤其是面积、体积、勾股及测望重差问题，都离不开作图。刘徽注《九章算术》的宗旨是“析理以辞，解体用图”，可见他是辞、图并重的。他著有《九章重差图》一卷，可惜已经失传。其中有关于作图的研究是不言而喻的。这里刘徽更明确地说明作图的要求。
〔11〕从横量度勾股，必合而成小方矣：纵横量度勾、股，必定合成小正方形。
〔12〕又画中弦以规（kui）除会：又过圆心画出中弦，以观察它们施予会通的情形。中弦，过圆心平行于弦而两端交于勾、股的线段。如图9-20（1）。规除会，观察它们施予会通的情形。规，通“窥”。《管子·君臣上》：“大臣假于女之能以规主情。”丁士涵注：“规，古窥字。”除，给予，施予。《诗经·小雅·天保》：“俾尔单厚，何福不除。”毛传：“‘除’，开也。”郑弦笺：“皆开出以予之。”
图9-20 以衰分术求解勾股容圆
（采自译注本《九章算术》）
〔13〕则句、股之面中央小句股弦：此谓中弦与勾股形的勾、股及垂直于勾、股的半径分别形成位于勾、股中央的小勾股形。将它们的小勾、股、弦分别记为a1，b1，c1；a2，b2，c2。
〔14〕句之小股、股之小句皆小方之面：此谓勾上的小勾股形的股与股上的小勾股形的勾相等，且都是垂直于勾、股的半径且等于勾、股构成的小正方形的边长。
〔15〕此谓。
〔16〕显然a1:b1:c1=a2:b2:c2=a:b:c。从应用衰分术来看，刘徽必定认识到a1+b1+c1=a，a2+b2+c2=b。刘徽如何认识到这一点，不得而知。我们大体推测如下：如图9-20（2），以勾上小勾股形opq为例，只要证明bp=op，或bp=c1即可。由于op∥ab，故∠1=∠3，而∠3=∠2，故∠1=∠2，所以bp=op。如果这种推测合理，则刘徽必定通晓平行线的内错角相等，三角形的内切圆的圆心到顶点的连线必平分该角，等腰三角形的两底角相等等性质。
〔17〕由于a1:b1:c1=a:b:c，且a1+b1+c1=a，由衰分术，
故得到《九章算术》的圆径公式（9-15）。
〔18〕同样，考虑股上的小勾股形，由于a2:b2:c2=a:b:c，a2+b2+c2=b，由衰分术得
亦得到《九章算术》的圆径公式（9-15）。
〔19〕成法之实：形成法与实。之，训“与”。
〔20〕此谓从不同的途径，得到法与实，都是相同的。
〔21〕此句意在提示以下以勾、股、弦的差、并表示的三个圆径公式。则：训“今”；之：训“以”；分别见裴学海《古书虚字集释》卷八、卷九。
〔22〕此谓
d=b-（c-a）。
这个公式是怎么推导出来的，刘徽没有提示，我们推测如下：如图9-20（3），记勾股形的勾减去圆半径剩余的部分为e，股减去圆半径剩余的部分为f，则，c=e+f，于是
如果这种推测合理，则刘徽使用了线段的出入相补。
〔23〕此谓
d=（b+a）-c。
〔24〕此谓
这实际上是下文“持竿出户”问由勾弦差、股弦差求勾、股、弦中黄方的边长。
【译文】
假设一勾股形的勾是8步，股是15步。问：勾股形中内切一个圆，它的直径是多少？
答：6步。
术：以8步作为勾，15步作为股，求它们相应的弦。勾、股、弦三者相加，作为法，以勾乘股，加倍，作为实。实除以法，得到直径的步数。勾与股相乘作为图形的主体，含有红色的面积、青色的面积、黄色的面积各2个，加倍，则各为4个。可以把它们画到小纸片上，从斜线与横线、竖线交会的地方将其裁开，通过平移、旋转而出入相补，使各部分按照各自的类型拼合，成为一个长方形的面积：圆的直径作为宽，勾、股、弦相加作为长。所以以勾、股、弦相加作为法。 又根据圆的义理阐述此术，股边上的青色的面积等元素必须使圆规立于勾的横线上，并且到勾、股、弦的三个半径相等的点上，这样再连成圆，纵横量度勾、股，必定合成小正方形。又过圆心画出中弦，以观察它们施予会通的情形，那么勾边、股边的中部都有小勾股弦：勾上的小股、股上的小勾都是小正方形的边长，都是圆直径的一半。所以对它们的数值是可以施行衰分术的。以勾、股、弦作为列衰，在旁边将它们相加作为法。以勾乘未相加的勾、股、弦，各自作为实。实除以法，得到勾边上的小股，是不言而喻的。以股乘列衰作为实，则得到股边上的小勾，是不言而喻的。言辞虽然不同，至于用它们构成法与实，则都有同一个归宿。而圆的直径又可以表示成勾、股、弦的和差关系：以勾弦差减股成为圆的直径；又，以弦减勾股和，其余数为圆的直径；以勾弦差乘股弦差，而加倍，作开方除法，也成为圆的直径。
今有邑方二百步〔1〕，各中开门。出东门一十五步有木。问：出南门几何步而见木？
荅曰：六百六十六步太半步。
术曰：出东门步数为法，以句率为法也。半邑方自乘为实，实如法得一步〔2〕。此以出东门十五步为句率，东门南至隅一百步为股率，南门东至隅一百步为见句步。欲以见句求股，以为出南门数〔3〕。正合“半邑方自乘”者，股率当乘见句，此二者数同也。
今有邑东西七里，南北九里，各中开门。出东门一十五里有木。问：出南门几何步而见木？
荅曰：三百一十五步。
术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一〔4〕。此以东门南至隅四里半为句率，出东门一十五里为股率，南门东至隅三里半为见股。所问出南门即见股之句〔5〕。为术之意，与上同也。
今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问：邑方几何？
荅曰：一里。
术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方〔6〕。按：半邑方，令半方自乘，出门除之，即步〔7〕。令二出门相乘，故为半方邑自乘〔8〕，居一隅之积分〔9〕。因而四之，即得四隅之积分〔10〕。故为实〔11〕，开方除，即邑方也。
【注释】
〔1〕邑：京城，国都。《诗经·殷武》：“商邑翼翼，四方之极。”毛传：“商邑，京师也。”又指民众聚居之处，大曰都，小曰邑，亦泛指村落、城镇。《周礼·地官·里宰》：“里宰掌比其邑之众寡与其六畜兵器。”
〔2〕如图9-21，设出东门cb为a，半邑方ca为b，则出南门。
图9-21 邑方出南门
（采自译注本《九章算术》）
〔3〕考虑以出东门和东门至东南隅构成的勾股形abc，及南门至东南隅和南门至木构成的勾股形ead。显然这两个勾股形相似。以出东门bc为勾率a，东门至东南隅ac为股率b。已知南门至东南隅ad为见勾，显然ad=b。出南门至木de为股，由勾股相与之势不失本率的原理，，利用今有术，则。
〔4〕此谓。
〔5〕考虑以出东门和东门至东南隅构成的勾股形abc，及南门至东南隅和南门至木构成的勾股形bed，如图9-22。显然这两个勾股形相似。以东门至东南隅bc为勾率a，出东门至木ac为股率b。已知南门至东南隅bd为见股。出南门至木de为勾，由勾股相与之势不失本率的原理，，利用今有术，。
图9-22 邑长出南门
（采自译注本《九章算术》）
〔6〕如图9-23，记出北门至木bc为a，出西门至见木处de，则邑方。
图9-23 邑方出西门
（采自译注本《九章算术》）
〔7〕“半邑方”四句：此条刘徽注系一般性论述。两相邻之门，不拘东、西、南、北，半邑方自乘，以一出门步数除之，得另一出门步数。古文不别白而可知者，可用省文。
〔8〕此谓考虑以出北门至木和北门至西北隅构成的勾股形abc，及西门至西北隅和西门见木构成的勾股形ead。显然这两个勾股形相似。记出北门至木bc为勾率a，北门至西北隅ac为股率b。已知西门见木ed为见股。西门至西北隅ad为勾，显然ad=b，由勾股相与之势不失本率的原理，，利用今有术，b2=a×de。
〔9〕此谓面积b2=a×de居于城邑的一角。
〔10〕积分：即分之积。参见卷一经分注释〔7〕。
〔11〕记城邑的每边长为x，。那么x2=（2ad）2=4a×de。
【译文】
假设有一座正方形的城，每边长200步，各在城墙的中间开门。出东门15步处有一棵树。问：出南门多少步才能见到这棵树？
答：步。
术：以出东门的步数作为法，这是以勾率作为法。取城的边长的，自乘，作为实，实除以法，得到出南门见到树的步数。这里以出东门至木15步作为勾率，自东门向南至城角100步作为股率，自南门向东至城角100步作为勾的已知步数。想以已知的勾求相应的股，作为出南门见木的步数。恰恰是“城的边长的，自乘”，这是因为应当以股率乘已知的勾，而这二者的数值是相同的。
假设有一座城，东西宽7里，南北长9里，各在城墙的中间开门。出东门15里处有一棵树。问：出南门多少步才能看到这棵树？
答：315步。
术：以东门向南至城角步数乘自南门向东至城角的步数，作为实。以树至东门的步数作为法。实除以法即得。这里以自东门向南至城角的里作为勾率，出东门至树的15里作为股率，南门向东至城角里作为已知的股。所问的出南门见树的步数就是与已知的股相应的勾。造术的意图，与上一问相同。
假设有一座正方形的城，不知道其大小，各在城墙的中间开门。出北门30步处有一棵树，出西门750步恰好能见到这棵树。问：这座城的每边长是多少？
答：1里。
术：使两出门的步数相乘，乘以4，作为实。对之作开方除法，就得到城的边长。按：取城的边长的，将边长的自乘，除以一出门步数，就得到另一出门步数。那么，二出门步数相乘，本来就是边长的自乘，它是居于城一个角隅的积分。因而乘以4，就得到4个角隅的积分。所以作为实，对之作开方除法，就得到城的边长。
今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问：邑方几何？
荅曰：二百五十步。
术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实〔1〕。此以折而西行为股，自木至邑南一十四步为句〔2〕，以出北门二十步为句率〔3〕，北门至西隅为股率，半广数〔4〕。故以出北门乘折西行股，以股率乘句之幂〔5〕。然此幂居半，以西行。故又倍之，合东，尽之也〔6〕。并出南、北门步数〔7〕，为从法。开方除之，即邑方〔8〕。此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四步〔9〕。之幂〔10〕：各南、北步为广，邑方为袤，故连两广为从法〔11〕，并以为隅外之幂也〔12〕。
【注释】
〔1〕如图9-24（1），记城邑的北门为d，门外之木为b，南门为e，折西处为c，见木处为a，记ac为m，bd为k，则以2×bd×ac=2 km作为实。
图9-24 邑方出南北门
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕考虑勾股形abc，以ac为股，bc为勾。
〔3〕考虑勾股形fbd，bd为勾率。
〔4〕北门至西隅为股率，半广数：此即以df为股率，股率就是方城边长的一半。设方城的边长为x，则。
〔5〕故以出北门乘折西行股，以股率乘句之幂：所以bd×ac=bc×df。这是因为勾股形abc与勾股形fbd相似，根据勾股相与之势不失本率的原理，有，从而得到上式。后一“以”字，训“为”。《玉篇》：“以，为也。”
〔6〕“此幂居半”五句：此幂占有了的原因是向西走。所以又加倍，加上东边的幂，才穷尽了整个的幂。此幂居半，以西行，意谓此幂居半的原因是西行。以，因也。见裴学海《古书虚字集释》卷一。记出南门ec为l，则bc=k+x+l。代入上式，有：。
于是
x2+（k+l）x=2km。（9-17）
这是刘徽以率的思想对《九章算术》解法的推导。
〔7〕此谓bd+ce=k+l。
〔8〕《九章算术》给出（9-17）式。这是现存中国古典数学著作中第一次出现含有一次项的二次方程。
〔9〕“此术之幂”三句：如图9-24（2），考虑长方形hkml之幂，其东西就是城邑的边长，南北是自北门外之木至出南门折西行处。自此起是以出入相补原理推导《九章算术》的方程（9-17）。
〔10〕之幂：此幂。之，此，这个，那个。《尔雅》：“之子者，是子也。”
〔11〕连两广为从法：连结两个广作为从法。
〔12〕刘徽认为长方形hkml之幂由三部分组成：长方形hkgf，其面积为kx；长方形pnml，其面积为lx；城邑fgnp，其面积为x2；总面积为x2+（k+l）x。另一方面考虑长方形ibca，它被对角线ab平分，即勾股形abc与abi面积相等。同样，勾股形afl与afj面积相等，勾股形fbd与fbh面积也相等。因此，长方形fdcl与fhij面积相等，长方形hbcl与bdji面积也相等。而长方形hkml是长方形hbcl的面积的2倍，亦即为bdji的面积的2倍。bdji的面积是km，因此得到《九章算术》的二次方程（9-17）。上述描述中关于长方形fdcl与fhij面积相等的论述，在现存刘徽注中没有，但我们认为这是符合刘徽甚至符合《九章算术》时代的思想的。北宋贾宪《黄帝九章算经细草》中提出：“直田斜解句股二段，其一容直，其一容方，二积相等。”如图9-25所示，长方形fd与长方形fb面积相等。这是解决勾股重差问题进行出入相补的重要依据。贾宪、杨辉认为是先秦九数中“旁要”的方法之一。
图9-25 容横容直原理
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
【译文】
假设有一座正方形的城，不知道其大小，各在城墙的中间开门。出北门20步处有一棵树。出南门14步，然后拐弯向西走1 775步，恰好看见这棵树。问：城的边长是多少？
答：250步。
术：以出北门到树的步数乘拐弯向西走的步数，加倍，作为实。这里以拐弯向西走的步数作为股，以自树至城南14步作为勾，以出北门至木20步作为勾率，自北门向西至西北角作为股率，就是城的边长的。所以以出北门至树的步数乘拐弯向西走的步数亦即股，等于股率乘勾之面积。然而这一面积占有了，其原因是向西走。所以又加倍，加上东边的面积，才穷尽了整个的面积。将出南门和北门的步数相加，作为一次项系数。对之作开方除法，就得到城的边长。此术中的面积：东西是城的边长，南北是自北门外的树到城南14步。这个面积：各以出南门、出北门的步数作为宽，城的边长作为长，所以连结两个宽作为一次项系数。两者相加，作为城外之面积。
今有邑方一十里，各中开门。甲、乙俱从邑中央而出：乙东出；甲南出，出门不知步数，邪向东北，磨邑隅，适与乙会。率：甲行五，乙行三〔1〕。问：甲、乙行各几何？
荅曰：
甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙；
乙东行四千三百一十二步半。
术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率。邪行率减于五自乘者，余为南行率。以三乘五为乙东行率〔2〕。求三率之意与上甲乙同。置邑方，半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数〔3〕。今半方，南门东至隅五里。半邑者，谓为小股也。求以为出南门步数。故置邑方，半之，以南行句率乘之，如股率而一〔4〕。以增邑方半，即南行〔5〕。“半邑”者，谓从邑心中停也。置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求东行者，以东行率乘之，各自为实。实如法，南行率，得一步〔6〕。此术与上甲乙同〔7〕。
【注释】
〔1〕此谓设甲行率为m，乙行率为n，则m:n=5:3。
〔2〕如图9-26，考虑勾股形abc与勾股形dbo。设南行ob为a，东行od为b，邪行bd为c，则（c+a）:b=m:n，《九章算术》再一次应用了勾股数组通解公式（9-11-1）
图9-26 甲乙出邑
（采自译注本《九章算术》）
由于m:n=5:3，则
a:b:c=8:15:17。
〔3〕已知半邑方5里，即ac=5里，由于cb:ac=ob:od=a:b=8:15，利用今有术求出出南门的里数：
〔4〕刘徽将《九章算术》的半邑方称为股，将南行率、东行率称为勾率、股率，是以更一般的方式阐述解法。
〔5〕此即甲南行ob=oc+cb=5里+800步=2 300步。
〔6〕由于cb:ab=ob:bd=a:c=8:17，利用今有术求出邪行的里数：
cb:ac=ob:od=a:b=8:15，利用今有术求出东行的里数：
〔7〕此术与上甲乙同：与上述甲乙同所立问求邪行、东行的方法相同。
【译文】
假设有一座正方形的城，每边长10里，各在城墙的中间开门。甲、乙二人都从城的中心出发：乙向东出城门，甲向南出城门，出门走了不知多少步，便斜着向东北走，擦着城墙的东南角，恰好与乙相会。他们的率：甲走的率是5，乙走的率是3。问：甲、乙各走了多少？
答：
甲向南出城门走800步，斜着向东北走步，遇到乙；乙向东出城门走步。
术：将5自乘，3也自乘，相加，取其，作为甲斜着走的率。5自乘减去甲斜着走的率，余数作为甲向南走的率。以3乘5，作为乙向东走的率。求三率的意图与上面“甲乙站在同一个地方”的问题相同。布置城的边长，取其，以甲向南走的率乘之，除以乙向东走的率，就得到甲向南出城门走的步数。现在边长的，是城的南门向东至城东南角，即5里。边长的，称之为小股。求与之相应的向南出城门走的步数。所以，布置城的边长，取其，以甲向南走的率即勾率乘之，除以股率。以它加城边长的，就是甲向南走的步数。“加城边长的”，是因为从城的中心出发的。布置甲向南走的步数，如果求弦，就以甲斜着走的率乘之；如果求乙向东走的步数，就以向东走的率乘之，各自作为实。实除以法，即甲向南走的率，分别得到走的步数。此术与上面“甲乙站在同一个地方”的问题相同。
今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸〔1〕。问：木去人几何？
荅曰：三十三丈三尺三寸少半寸。
术曰：令一丈自乘为实。以三寸为法，实如法而一〔2〕。此以入前右表三寸为句率，右两表相去一丈为股率，左右两表相去一丈为见句，所问木去人者，见句之股〔3〕。股率当乘见句，此二率俱一丈，故曰“自乘”之〔4〕。以三寸为法。实如法得一寸。
今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺〔5〕。问：山高几何？
荅曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。
术曰：置木高，减人目高七尺，此以木高减人目高七尺，余有八丈八尺，为句率。去人目三里为股率〔6〕。山去木五十三里为见股，以求句〔7〕。加木之高〔8〕，故为山高也。余，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得，加木高，即山高〔9〕。此术句股之义。
今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸〔10〕。问：井深几何？
荅曰：五丈七尺五寸。
术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实。以入径四寸为法。实如法得一寸〔11〕。此以入径四寸为句率，立木五尺为股率〔12〕。井径之余四尺六寸为见句。问井深者，见句之股也〔13〕。
【注释】
〔1〕如图9-27，设木为e，四表分别为a，b，c，d。a，d，e在同一直线上，连be，交cd于f。
图9-27 立四表望远
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕《九章算术》的解法是。
〔3〕刘徽考虑勾股形bfc，以cf为勾率，bc为股率；又考虑勾股形eba，已知勾ab，求与之对应的股ae。由于勾股形eba与勾股形bfc相似，根据勾股相与之势不失本率的原理，利用今有术，求出股。
〔4〕已知勾ab与股率bc都是1丈，所以股率乘勾为1丈自乘。之：语气词。
〔5〕如图9-28，山高为pf，木高为be=9丈5尺，人目高为ad=7尺。a，b，p在同一直线上。木距山bq=53里，求山高pf。
图9-28 因木望山
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔6〕去人目三里为股率：此谓考虑勾股形abc，其bc=be-ad=9丈5尺-7尺=8丈8尺，为勾率，ac=3里为股率。此术注中取为比较基础的勾股形恰以木高与人目高之差为勾，以木去人目为股。
〔7〕刘徽又考虑勾股形bpq，它与勾股形abc相似。已知其股bq=53里，根据勾股相与之势不失本率的原理，利用今有术，求与股bq相应的勾pq。
〔8〕此即pq+qf=pf为山高。
〔9〕此是《九章算术》求山高的方法，即
〔10〕如图9-29，设井径为cd=5尺，立木为ac=5尺。从a处望水岸e，入径bc=4寸，求井深de。
图9-29 井径
（采自译注本《九章算术》）
〔11〕《九章算术》求井深的方法是
〔12〕刘徽考虑勾股形abc，其bc=4寸，为勾率，ac=5尺为股率。
〔13〕刘徽考虑勾股形ebd，已知勾bd=cd-bc=5尺-4寸=4尺6寸，根据勾股相与之势不失本率的原理，利用今有术，求与勾bq相应的股de。
【译文】
假设有一棵树，距离人不知远近。竖立四根表，相距各1丈，使左两表与所望的树三者在同一条直线上。从后右表望树，入前右表左边3寸。问：此树距离人是多少？
答：33丈3尺寸。
术：使1丈自乘，作为实。以3寸作为法。实除以法，得到结果。这里以入前右表左边3寸作为勾率，右两表相距1丈作为股率，左右两表相距1丈作为已知的勾，所问的树到人的距离，就是与已知的勾相应的股。应当以股率乘已知的勾，这两个数都是1丈，所以说“自乘”。以3寸作为法。实除以法，得到树距离人的寸数。
假设有一座山，位于一棵树的西面，不知道它的高。山距离树53里，树高9丈5尺。一个人站立在树的东面3里处，望树梢恰好与山峰斜平。人的眼睛高7尺。问：山高是多少？
答：164丈9尺寸。
术：布置树的高度，减去人眼睛的高7尺，这里是以树的高减去人眼睛的高7尺，余数有8丈8尺，作为勾率。以树距离人的眼睛3里作为股率。以山距离树53里作为已知的股，求与之相应的勾。勾加树的高度，就是山高。以其余数乘53里，作为实。以人与树的距离3里作为法。实除以法。所得到的结果加树高，就是山高。此术有勾股的意义。
假设有一口井，直径是5尺，不知道它的深度。在井岸上竖立一根5尺的木杆，从木杆的末端望井的水岸，切入井口的直径4寸。问：井深是多少？
答：5丈7尺5寸。
术：布置井的直径5尺，以切入井口直径4寸减之，以余数乘竖立的木杆5尺作为实。以切入井口直径的4寸作为法。实除以法，得到井深的寸数。此以切入井口直径的4寸作为勾率，竖立的木杆5尺作为股率。井口直径的余数4尺6寸作为已知的勾。所问的井深，就是与已知的勾相应的股。
今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出〔1〕。问：户高、广、衺各几何？
荅曰：
广六尺，
高八尺，
衺一丈。
术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之〔2〕。所得，加从不出，即户广〔3〕；此以户广为句，户高为股，户衺为弦〔4〕。凡句之在股，或矩于表，或方于里〔5〕。连之者举表矩而端之〔6〕。又从句方里令为青矩之表，未满黄方〔7〕。满此方则两端之邪重于隅中〔8〕，各以股弦差为广，句弦差为袤。故两端差相乘，又倍之，则成黄方之幂〔9〕。开方除之，得黄方之面〔10〕。其外之青知〔11〕，亦以股弦差为广。故以股弦差加，则为句也〔12〕。加横不出，即户高；两不出加之，得户衺〔13〕。
【注释】
〔1〕持竿出户如图9-30（1）（2）所示。
图9-30 持竿出户及由股弦差勾弦差求勾股弦
［（1）采自杨辉本 （2）（3）采自《古代世界数学泰斗刘徽》］
〔2〕若记户广为a，户高为b，户邪为c，那么从不出就是c-b，横不出就是c-a。此即。
〔3〕此即户广
〔4〕刘徽认为户的广、高、邪形成一个勾股形，户广a为勾，户高b为股，户邪c为弦。那么从不出就是股弦差c-b，横不出就是勾弦差c-a。
〔5〕“凡句之在股”三句：凡是勾对于股，有时在股的表面成为折矩，有时在股的里面成为正方形。这里刘徽又一次讨论勾方或勾矩与股矩或股方在弦方中的关系，如图9-4。
〔6〕连之者举表矩而端之：可以取位于表面的折矩而考察它们的两端。举，取，拾取。《诗·小雅·车攻》：“射夫既同，助我举柴。”《吕氏春秋·乐成》：“财物之遗者，民莫之举。”高诱注：“举，取也。”端，动词，即考虑其折矩的两端。
〔7〕这是将图9-4（2）中的勾方a2变为青矩c2-b2，其面积仍为a2。也相当于将图9-4（2）转置180°，叠合到图9-4（1）上，就变成图9-30（3）。显然，中间的黄方没有被填满。
〔8〕满此方则两端之邪（yú）重于隅中：填满这个黄方的乃是勾矩和股矩的两端之余在两隅中重合的部分。邪，音、义均同“余”。《左氏传·文公元年》：“先王之正时也，履端于始，举正于中，归余于终。”《史记·历书》引作：“先王之正时也，履端于始，举正于中，归邪于终。”裴骃《集解》：“邪，音余。”《集解》又云：“韦昭曰：邪，余分也。终，闰月也。”
〔9〕此谓黄方之幂（a+b-c）2=2（c-b）（c-a）。
〔10〕因此黄方的边长。显然，它与刘徽在勾股容圆问中提出的一个圆径公式（9-16）相同。
〔11〕其外之青知：其外之青矩。青，青矩。知，训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注解。
〔12〕此即（9-18-1），这是已知勾弦差、股弦差求勾的公式。
〔13〕此即
这就是已知勾弦差、股弦差求股、弦的公式。
【译文】
假设有一门户，不知道它的高和宽，有一根竹竿，不知道它的长短。将竹竿横着，有4尺出不去，竖起来有2尺出不去，将它斜着恰好能出门。问：门户的高、宽、斜各是多少？
答：
宽是6尺，
高是8尺，
斜是1丈。
术：将竖着、横着出不去的长度相乘，加倍，而对之作开方除法。所得加竖着出不去的长度，就是门户的宽；这里以门户的宽作为勾，门户的高作为股，门户的斜作为弦。凡是勾对于股，有时在股的表面成为折矩，有时在股的里面成为正方形。如果把它们结合起来，可以举出位于表面的折矩而考察它们的两端。又把位于里面的勾方变为位于表面的青色的折矩，则未能填满黄色的正方形。填满这个黄色的正方形的乃是勾矩在两端的余数，它们在弦方的两折中与股的折矩相重合，分别以股弦差作为宽，以勾弦差作为长。所以两端的差相乘，又加倍，就成为黄色的正方形之幂。对之作开方除法，便得到黄色正方形的边长。它外面的青色的折矩也以股弦差作为宽。所以加上股弦差，就成为勾。加上横着出不去的长度，就是门户的高；加上竖着、横着两者出不去的长度，就得到门户的斜。
