假设

阻力，它来源于流体的部分缺乏润滑，在其他情形相同时，与速度成比例，流体的部分以此速度相互分离。

命题li 定理xxxix

如果一根无限长的固体圆柱在均匀且无限的流体中围绕位置给定的轴以均匀的运动旋转，且流体仅由这个圆柱的冲击而被迫旋转，又流体的每一部分均匀地保持自身的运动；我说，流体的部分的循环时间如同它们离圆柱的轴的距离。

设afl为围绕轴s均匀转动的一个圆柱，且流体被同中心的圆bgm，chn，dio，ekp，等等分成无数厚度相同的牢固的（solidus）同心圆柱层（orbis）。且因为流体是同质的，接触的层相互作用的压迫（由假设）如同彼此间的迁移，和压迫作用于其上的接触的表面。如果对某个层的压迫在凹的部分大于或者小于在凸的部分，较强的压迫会占优势，并依照它指向运动的相同或者相反方向加速或者迟滞层的运动。所以，为使每一层能均匀地保持其运动，在两侧上的压迫应相等且方向相反。因此，由于压迫如同接触的表面和它们彼此之间的迁移，则迁移与表面成反比，这就是，与表面离轴的距离成反比。但是围绕轴的角运动的差如同这些迁移除以距离，或者与迁移成正比且与距离成反比；这就是，由比的联合，与距离的平方成反比。所以，如果在无限的直线sabcdeq上的每一部分竖立与sa，sb，sc，sd，se等等的平方成反比的垂线aa，bb，cc，dd，ee等等，且想象经过垂线的端点引双曲形曲线；差的和，这就是，整个角运动，如同对应的直线aa，bb，cc，dd，ee的和，亦即，如果为了构成均匀的流体介质，层数增加且宽度减小以至无穷，如同类似于这些和的双曲形的面积aaq，bbq，ccq，ddq，eeq，等等。且与角运动成反比的时间，也与这些面积成反比。所以，任意一个小部分d的循环时间与面积ddq成反比，这就是（由习知的曲线求积）与距离sd成正比。此即所证 。

系理1 因此，流体的小部分的角运动与它们离开圆柱的轴的距离成反比，且绝对速度相等。

系理2 如果流体盛在一个长度无限的圆柱形容器中，且内部包含另一圆柱，两圆柱绕公共的轴旋转，又转动的时间如同它们的半直径，再者流体的每一部分保持其运动，则每一部分的循环时间如同它离圆柱的轴的距离。

系理3 如果按如此方式运动的圆柱和流体，任意的角运动被加上或者被除去；因为这个新运动不改变流体部分的相互摩擦，部分之间彼此的运动不被改变。因为部分相互的迁移依赖摩擦。任意部分在那个运动中被保持，由于摩擦在方向相反的两侧作用，运动被加速不大于被迟滞。

系理4 因此，如果外面圆柱的所有角运动从圆柱和流体的整个系统中被除去，得到在静止圆柱中流体的运动。

系理5 所以，如果流体和外面的圆柱静止，里面的圆柱均匀地转动；圆运动被传给流体，且逐渐传播到整个流体；它不停止增加直到流体的每一部分获得在系理四中定义的运动。

系理6 且因为流体努力向更远处传播它的运动，其冲击也使外面的圆柱旋转，除非被强烈地保持在原来的位置；又它的运动被加速直到两个圆柱的循环时间彼此相等。但是，如果外面的圆柱被强烈地保持在原来的位置，它将努力迟滞流体的运动；且除非里面的圆柱由外面施加的某个力保持那个运动，外面的圆柱将逐步使那个运动停止。

所有这些能在蓄积的深水中实验。

命题lii 定理xl

如果一个固体的球，在均匀且无限的流体中围绕位置给定的轴以均匀的运动旋转，且流体仅由这个球的冲击而被迫旋转；又流体的每一部分均匀地保持自身的运动；我说，流体部分的循环时间如同它们离球的中心的距离的平方。

情形1 设afl为围绕轴s均匀转动的一个球，且流体被同心的圆bgm，chn，dio，ekp，等等分成无数厚度相同的球壳（orbis）。想象那些球壳是牢固的；且因为流体是同质的，接触的层相互作用的压迫（由假设）如同彼此间的迁移，和压迫作用于其上的接触的表面。如果对某个壳的压迫在凹的部分大于或者小于在凸的部分；较强的压迫会占优势，且壳的速度或者被加速或者被迟滞，依照它指向运动的相同或者相反方向。所以，为使每一个壳能均匀地保持其运动，在两侧上的压迫应彼此相等，且方向相反。因此，由于压迫如同接触的表面和它们彼此之间的迁移；迁移与表面成反比，这就是，与表面离中心的距离的平方成反比。但是围绕轴的角运动的差如同这些迁移除以距离，或者与迁移成正比且与距离成反比；这就是，由比的联合，与距离的立方成反比。所以如果在无限的直线sabcdeq上的每一部分竖立与sa，sb，sc，sd，se等等的立方成反比的垂线aa，bb，cc，dd，ee，等等；差的和，这就是，整个角运动，如同对应的直线aa，bb，cc，dd，ee的和，亦即（如果为了构成均匀的流体介质，壳数增加且宽度减小以至无穷）如同类似于这些和的双曲形的面积aaq，bbq，ccq，ddq，eeq，等等。且角运动的循环时间也与这些面积成反比。所以，任意的壳dio的循环时间与面积ddq成反比，这就是，由习知的曲线求积，与距离sd的平方成正比。这是我首先想要证明的。

情形2 设自球的中心引许多无穷直线，它们与轴包含给定的角，彼此超出一个相等的差；想象这些直线围绕轴旋转截球壳于无数的环（annulus），且每个环有四个环与它接触，一个在里面，一个在外面，且两个在边上。每个环都不能被内环和外环的摩擦相等地且沿相反的方向推动，除非在按情形一中的定律所发生的运动中。这由情形一的证明是显然的。且所以自球在直线上向前的一系列环，按情形一中的定律运动，除非受到侧面的环的摩擦的阻碍。但在按照这个定律所做的运动中在侧面的环的摩擦为零，因此按照这个定律所做的运动不受阻碍。如果环，它们离中心等距，靠近两极时比靠近黄道时旋转得更快或者更慢；由相互摩擦，缓慢者被加速，迅速者被迟滞，且因此按照情形一中的定律，循环时间总趋于相等。所以，这个摩擦不阻碍按照情形一中的定律所做的运动，且所以那个定律被保持：这就是，每个环的循环时间如同它离球的中心的距离的平方。这是其次我想要证明的。

情形3 现在每个环被横截面分成无数的小部分以构成绝对且均匀的流体物质；且由于这些截面与圆形运动的定律没有关系，而只有利于流体的构成，圆形运动保持如前。对于这些截面，所有非常小的环或者一点也不改变它们的粗糙和相互的摩擦力，或者作相等的改变。又因为原因的相互关系保持不变，结果的相互关系，这就是，运动和循环时间的相互关系将保持不变。此即所证 。但因为圆形运动，且来源于此的离心力，在黄道时比在两极时大；应有某一原因，由它每个小部分被保持在它［所属］的圆上；否则，在黄道的物质总自中心退离并通过涡漩的外侧移向两极，并从那里沿轴以持续的旋转返回到黄道。

系理1 因此，流体的部分围绕球的轴的角运动，与离球的中心的距离的平方成反比，且绝对速度与相同的平方除以离轴的距离成反比。

系理2 如果一个球，在类似且无限的静止流体中，以均匀的运动围绕一位置被给定的轴旋转，它按涡漩的方式传给流体一运动，且这个运动逐渐传播以至无穷；流体的每一部分被加速不会停止，直到每一部分的循环时间如同它离球的中心的距离的平方。

系理3 因为涡漩靠内的部分由于其较大的速度，摩擦并推动靠外的部分，由这一作用持续传给它们运动，那些靠外的部分同时传递同样的运动的量到其外部，且这一作用保持它们的运动的量完全不变；显然，运动持续从中心传递到涡漩的周边，且被无限的周边所吸收。与涡漩同中心的两个球面之间的物质绝不会被加速，因为它自靠内的物质接受的所有运动总传递到靠外的物质。

系理4 所以，为使一个涡漩保持同样的运动状态，需要某一能动的起点（principium activum），由它球总接受相同的运动的量，它压迫涡漩的物质。没有这样一个起点，球和涡漩的靠内的部分，不可避免地总传播它们的运动到靠外的部分，且由于不接受任何新的运动，它逐渐运动得愈来愈慢，且最终停止旋转。

系理5 如果另一个球漂浮在这个涡漩中，离其中心有一定的距离，且同时由某一力围绕位置给定的轴不断地旋转；流体被这个运动拖入一个涡漩：且首先这个新的和微小的涡漩与球一起围绕另一个涡漩的中心旋转，且同时其运动扩散得更远，按照第一个涡漩的方式，逐渐传播以至无穷。且由同样的理由，新涡漩的球被拖入另一个涡漩的运动，另一个球也被拖入这个新涡漩的运动，如此使得两个球围绕某个居间的点旋转，且由于那个圆形运动相互退离，除非被某个力抑制。然后，如果持续的压迫力，由它球保持它们的运动，停止了，且一切留给力学的定律，则球的运动逐渐减弱（由在系理3和系理4中指定的理由），且涡漩最终静止。

系理6 如果几个球在给定的位置围绕位置给定的轴以确定的速度不断地旋转，将出现同样数目的涡漩，以至无穷。因为任意一个球传播它的运动以至无穷，由同样的理由，每一个球也传播其自身的运动以至无穷，如此使得无限流体的每一部分被一运动所推动，它来自所有球作用的结果。因此涡漩不被固定的界限制，而彼此逐渐离开；又球由于涡漩的相互作用不断从它们的位置移开，正如在上一系理中所解释的；它们彼此不能保持任意确定的位置，除非由另外的力维持。但如果那些力，它们不断压迫球以继续这些运动，停止了，由在系理三和系理四中指定的理由，物质逐渐静止且停止在涡漩中的运动。

系理7 如果一种类似的流体被封闭在球形容器中，且流体被位于其中心的一个球的均匀旋转成一涡漩，且球和容器围绕同一轴向相同的方向旋转，又设它们的循环时间如同半直径的平方：则流体的部分不保持它们的先前的既不加速也不迟滞的运动，直到它们的循环时间如同它们离涡漩的中心的距离的平方。没有其他构造的涡漩是持久的。

系理8 如果容器、被封闭的流体以及球保持这个运动，且此外以一个公共的角运动围绕任意给定的轴旋转；因为这个新运动不改变流体的部分彼此之间的摩擦，部分相互之间的运动不被改变。因为部分相互之间的迁移依赖摩擦。任意部分在那个运动中被保持，来自一侧的摩擦对它的迟滞不大于来自另一侧的摩擦对它的加速。

系理9 因此，如果容器静止且球的运动被给定，流体的运动将被给定。因为想象一个平面穿过球的轴且以相反的运动旋转；并假设这个平面旋转的和球的旋转的时间之和比球旋转的时间，如同容器的半直径的平方比球的半直径的平方：则流体的部分相对于这个平面的循环时间如同它们离球的中心的距离的平方。

系理10 所以，如果容器无论与球围绕相同的轴，或者围绕某个不同的轴以给定的速度运动，流体的运动将被给定。因为如果在整个系统中，容器的角运动被除去，由系理viii，所有的运动彼此保持如前。且这些运动由系理ix给定。

系理11 如果容器和流体静止且球以均匀的运动旋转，运动逐渐通过所有流体传播到容器，且容器被旋转除非被强烈地保持在原来的位置，则流体和容器在它们的循环时间等于球的循环时间之前，不会被停止加速。因为如果容器被某个力保持在原来位置或者以任意持续和均匀的运动旋转，介质逐渐达到系理viii，ix和x中定义的运动状态，不会保持其他任何状态。但如果此后力，由它们球和容器以一定的运动转动，停止了，且整个系统留给力学的定律；容器和球通过中介的流体相互作用，且不停止通过流体相互传播运动，直到它们的循环时间彼此相等，整个系统一起旋转，像一个固体。

解释

在所有这些论证中，我假设流体由密度和流动性均匀的物质组成。这样的流体，使得放在其中任意位置的球，以相同的运动，在相同的时间间隔，能在液体中离它自身总是相等的距离传播相似且相等的运动。物质由其圆形运动努力从涡漩的轴退离，且所以压迫所有更靠外的物质。由这个压力，部分的摩擦变强且彼此分离更为困难；结果使物质的流体性减小。再者，如果在某处的流体的部分较粗或者较大，那里的流动性就小，由于那里能被彼此分开的部分的表面较少。在此类情形，我假设流动性的缺乏或者其由部分的润滑或者柔软或者其他条件补偿。如果这不发生，流动性小的物质会相连更紧且惰性更大，且因此更慢地接受运动并传播到比以上比例指定的更远的地方。如果容器的形状不是球，小部分不在圆形路线上而在与容器的形状相合的（conformis）路线上运动，则循环时间很接近地如同离中心的平均距离的平方。在中心和边界之间的部分，在空间较宽的地方，运动较慢，在空间较窄的地方，运动较迅速，然而较快的小部分不跑向边界。因为它们将画出弯曲较小的弧，且自中心退离的努力由它们的曲率的减量所减小的并不小于它们由速度的增量所增加的。在自较窄的空间进入较宽的空间时，它们自中心退离得稍远，但这一退离被迟滞；此后它们自较宽的空间靠近较窄的空间时被加速，且由是每个小部分持续交替地被迟滞和加速。在一个刚性的容器中将会如此。因为在一无限流体中涡漩的构造能由本命题的系理6知悉。

我曾努力在此命题中探究涡漩的性质，以检验是否天体现象能由涡漩解释。因为现象是，围绕木星运行的诸行星的循环时间按照它们离木星的中心的距离的二分之三次比；且对围绕太阳运行的诸行星拥有同样的规律。再者，就迄今天文学观测的发现而言，两种行星拥有的这些规律是非常精确的。且因此，如果那些行星由围绕着木星的和太阳的涡漩携带着运行，涡漩也应按照同样的定律旋转。但一个涡漩的部分显示的循环时间按照离运动中心的距离的二次比，此比不可能减小并约化为二分之三次比，除非涡漩的物质离中心愈远流动性愈大，或者阻力，它来源于流体的部分缺乏润滑，由于速度的增加流体的部分彼此分离，按照较速度增加的比大的一个比增加。但这些推测没有一个看起来是适宜的。较粗或者流动性较小的部分跑向边界，除非它们沉重且趋向中心；尽管为了证明起见，在本部分的开篇我提出一个假设：阻力与速度成比例，然而可能阻力按照的一个比小于速度之比。如果这被承认，涡漩的部分的循环时间按照的比大于离其中心的距离的二次比。但如果涡漩（正如某些人的意见）愈靠近中心运动得愈迅速，然后较慢直到一个特定的界限，继而邻近边界时又较迅速；毫无疑问，［涡漩中］既不能拥有二分之三次比，又不能拥有其他确定的比。那么，让哲学家审视那个二分之三次比的现象如何能由涡漩解释。

命题liii 定理xli

物体，它们由一个涡漩携带并返回到一条轨道，则其密度与涡漩的密度相同，且按照与确定涡漩的部分的速度和方向相同的定律运动。

因为如果涡漩的某个微小部分（pars exigua），其小部分或者物理点保持彼此给定的位置，假设被凝结；这个部分，因为其自身的密度，固有的力和形状没有改变，按照与以前同样的定律运动；且反之，如果涡漩的凝结的和固体的部分与涡漩的其余部分有相同的密度且被分解为流体；这个部分按照与以前同样的定律运动，但小部分，它现在变成流体，相互间的运动除外。所以，小部分彼此之间的运动由于对整体的前行运动没有关系而被忽略，且整个运动同前。但这个运动与离中心距离相等的涡漩的其他部分的运动相同，因为固体分解为流体在各方面与涡漩的其他部分相似。所以固体，如果它与涡漩物质的密度相同，它的运动与涡漩的部分相同，与紧紧包围它的物质相对静止。如果固体较致密，它现在较以前更努力地退离涡漩的中心；且因此涡漩的那个力，由此力先前固体保持平衡，被维持在轨道上，现在被超过，它自中心退离且在环绕中画出一条螺旋线，不再返回相同的轨道。由同样的论证，如果固体较稀薄，它会靠近中心。所以，固体不返回到相同的轨道，除非它的密度与流体的密度相同。且已证明在这种情况下固体的环绕与离涡漩中心等距的流体的部分遵循相同的定律。此即所证 。

系理1 所以一个固体，它在一个涡漩中运行且总返回到相同的轨道，则固体在它所漂浮的流体中相对静止。

系理2 且若涡漩的密度是均匀的，同一物体能在离涡漩中心任意的距离运行。

解释

因此很清楚，行星不能被涡漩体携带。因为按照哥白尼的假设，行星围绕太阳在椭圆上运行，椭圆有一个焦点在太阳上，且向太阳所引的半径画出的面积与时间成比例。但涡漩的部分不能以这样的运动旋转。指定ad，be，cf为围绕太阳s画出的三条轨道，其中最外面的是与太阳同中心的圆cf，且里面的两个轨道的远日点为a，b，近日点为d，e。所以，一个物体在轨道cf上运行，向太阳所引的半径画出的面积与时间成比例，它以均匀的运动移动。但在轨道be上运行的一个物体，按照天文学的定律，在远日点b运动得较慢且在近日点e运动得较迅速；然而按力学定律，涡漩的物质在a和c之间的较窄的空间应比在d和f之间的较宽的空间运动得更迅速，亦即，在远日点较在近日点迅速。这两者相互矛盾。于是在室女宫的开始，当现在火星在远日点时，火星的和金星的轨道之间的距离比这些轨道在双鱼宫开始时这些轨道之间的距离，约略如同三比二，且所以那些轨道之间的涡漩物质在双鱼宫开始时比在室女宫开始时应按三比二之比更迅速。因为对较窄的空间在一次运行的相同的时间通过同样的物质的量，通过的速度应较大。所以，如果地球，在这种天体物质中相对静止并被携带着环绕太阳运行，其速度在双鱼宫开始时比在室女宫开始时按照一个二分之三次比。所以太阳的视日运动在室女宫开始时应大于七十分，在双鱼宫开始时应小于四十八分；尽管（如实验证实）太阳的视运动在双鱼宫开始时大于在室女宫开始时，且所以地球在室女宫开始时比在双鱼宫开始时迅速。由是涡漩的假设与天文学现象完全不协调，且对天体运动的模糊甚于对它们的澄清。这些运动在没有涡漩的自由空间怎样进行，可由第一卷理解；且现在将更充分地在《论宇宙的系统 》中论述。