我在本章里要讨论的是数学，并不是由于数学本身的缘故，而是因为它与希腊哲学有关系——有着一种（尤其是在柏拉图的思想里）非常密切的关系。希腊人的卓越性表现在数学和天文学方面的，要比在任何别的东西上面更为明显。希腊人在艺术、文学和哲学方面的成就，其是好是坏可以依据个人的口味来评判；但是他们在几何学上的成就却是无可疑问的。他们从埃及得到了一些东西，从巴比伦那里得到的则很少；而且他们从这些来源所获得的东西，在数学方面主要地是粗糙的经验，在天文学方面则是为期非常悠久的观察记录。数学的证明方法，则几乎是完全起源于希腊。
有许多非常有趣的故事——或许并没有历史真实性——可以表明，是哪些实际问题刺激了数学的研究。最早的最简单的故事是关于泰勒斯的，传说他在埃及的时候国王曾要他求出一个金字塔的高度。他等到太阳照出来他自己影子的长度与他的身高相等的时候，就去测量金字塔的影子；这个影子当然就等于金字塔的高度。据说透视定律最初是几何学家阿加塔库斯为了给伊斯奇鲁斯的戏剧画布景而加以研究的。传说是被泰勒斯所研究过的求一只船在海上的距离的问题，在很早的阶段就已经很正确地解决了。希腊几何学所关心的大问题之一，即把一个立方体增加一倍的问题，据说是起源于某处神殿里的祭司们；神谕告诉他们说，神要的一座雕象比他们原有的那座大一倍。最初他们只是想到把原象的尺寸增加一倍，但是后来他们才认识到结果就要比原象大八倍，这比神所要求的要更费钱得多。于是他们就派遣一个使者去见柏拉图，请教他的学园里有没有人能解决这个问题。几何学家们接受了这个问题，钻研了许多世纪，并且附带地产生出了许多可惊可叹的成果。这个问题当然也就是求2的立方根的问题。
2的平方根是第一个有待发现的无理数，这一无理数是早期的毕达哥拉斯派就已经知道了的，并且还发现过种种巧妙的方法来求它的近似值。最好的方法如下：假设有两列数字，我们称之为a列和b列；每一列都从1开始，每下一步的a都是由已经得到的最后的a和b相加而成；下一个b则是由两倍的前一个a再加上前一个b而构成。这样所得到的最初6对数目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。在每一对数目里，2a－b都是1或者是－1.于是b/a就差不多是2的平方根，而且每下一步都越发地与之接近。例如，读者们将会满意地发见，9970的平方是非常之接近于与2相等的。
普洛克鲁斯描述过毕达哥拉斯——此人永远是个颇为蒙胧的人物——乃是第一个把几何学当作一种学艺的人。许多权威学者，包括汤姆斯·希斯1爵士在内，都相信华达哥拉斯或许曾发见过那个以他的名字命名的定理；那个定理是说在一个直角三角形中，弦的平方等于两夹边的平方之和。无论如何，这个定理是在很早的时期就被毕达哥拉斯派所知道了的。他们也知道三角形的内角之和等于两个直角。
1见所著《希腊的数学》，卷一，第145页。
除了2的平方根之外，其他的无理数在特殊的例子里也曾被与苏格拉底同时代的狄奥多罗斯研究过，并且曾以更为普遍的方式被与柏拉图大致同时而稍早的泰阿泰德研究过。德谟克里特写过一篇关于无理数的论文，但是文章的内容我们已不大知道了。柏拉图对这个题目是深感兴趣的；他在以“泰阿泰德”命名的那篇对话里提过了狄奥多罗斯和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他说过一般人对这个题目的愚昧无知是很不光彩的，并且还暗示着他自己之开始知道它也是很晚的事情。它当然对于毕达哥拉斯派的哲学有着重要的关系。
发见了无理数的最重要的后果之一就是攸多克索（约当公元前408—355年）之发明关于比例的几何理论。在他以前，只有关于比例的算数理论。按照这种理论，如果a乘d等于b乘c，则a比b就等于c比d.这种界说，在还没有有关无理数的几何理论时，就只能应用于有理数。然而攸多克索提出了一个不受这种限制的新界说，其构造的方式暗示了近代的分析方法。这一理论在欧几里德的书里得到了发展，并具有极大的逻辑美。
攸多克索还发明了或者是完成了“穷尽法”，它后来被阿几米德运用得非常成功。这种方法是对积分学的一种预见。譬如，我们可以举圆的面积问题为例。你可以内接于一个圆而作出一个正六边形，或一个正十二边形，或者一个正一千边或一百万边的多边形。这样一个多边形，无论它有多少边，其面积是与圆的直径的平方成比例的。这个多边形的边越多，则它也就越接近于与圆相等。你可以证明，只要你能使这一多边形有足够多的边，就可以使它的面积与圆面积之差小于任何预先指定的面积，无论这一预先指定的面积是多么地小。为了这个目的，就引用了“阿几米德公理”。这一公理（多少加以简化之后）是说：假设有两个数量，把较大的一个平分为两半，把一半再平分为两半，如此继续下去，则最后就会得到一个数量要小于原来的两个数量中较小的那一个。换句话说，如果a大于b，则必有某一个整数n可以使2的n次方乘b大于a.
穷尽法有时候可以得出精确的结果，例如阿几米德所做的求抛物线形的面积；有时候则只能得出不断的近似，例如当我们企图求圆的面积的时候。求圆的面积的问题也就是决定圆周与直径的比率问题，这个比率叫作π。阿几米德在计算中使用了22/7的近似值，他做了内接的与外切的正96边形，从而证明了π小于3又1/7并大于3又10/71.这种方法可以继续进行到任何所需要的近似程度，并且这就是任何方法在这个问题上所能尽的一切能事了。使用内接的与外切多边形以求π的近似值，应该上溯到苏格拉底同时代的人安提丰。
欧几里德——当我年青的时候，它还是唯一被公认的学童几何学教科书——约当公元前300年，即当亚历山大和亚里士多德死后不久的几年，生活于亚历山大港。他的《几何原本》绝大部分并不是他的创见，但是命题的次序与逻辑的结构则绝大部分是他的。一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞叹。他用有名的平行定理以处理平行线的办法，具有着双重的优点；演绎既是有力的，而又并不隐饰原始假设的可疑性。比例的理论是继承攸多克索的，其运用的方法本质上类似于魏尔斯特拉斯所介绍给十九世纪的分析数学的方法，于是就避免了有关无理数的种种困难。然后欧几里德就过渡到一种几何代数学，并在第十卷中探讨了无理数这个题目。在这以后他就接着讨论立体几何，并以求作正多面体的问题而告结束，这个问题是被泰阿泰德所完成的并曾在柏拉图的《蒂迈欧篇》里被提到过。
欧几里德的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一。当然他也具有典型的希腊局限性：他的方法纯粹是演绎的，并且其中也没有任何可以验证基本假设的方法。这些假设被他认为是毫无问题的，但是到了十九世纪，非欧几何学便指明了它们有些部分是可以错误的，并且只有凭观察才能决定它们是不是错误。
欧几里德几何学是鄙视实用价值的，这一点早就被柏拉图所谆谆教诲过。据说有一个学生听了一段证明之后便问，学几何学能够有什么好处，于是欧几里德就叫进来一个奴隶说：“去拿三分钱给这个青年，因为他一定要从他所学的东西里得到好处。”然而鄙视实用却实用主义地被证明了是有道理的。在希腊时代没有一个人会想象到圆锥曲线是有任何用处的；最后到了十七世纪伽利略才发现抛射体是沿着抛物线而运动的，而开普勒则发现行星是以椭圆而运动的。于是，希腊人由于纯粹爱好理论所做的工作，就一下子变成了解决战术学与天文学的一把钥匙了。
罗马人的头脑太过于实际而不能欣赏欧几里德；第一个提到欧几里德的罗马人是西赛罗，在他那时候欧几里德或许还没有拉丁文的译本；并且在鲍依修斯（约当公元480年）以前，确乎是并没有任何关于拉丁文译本的记载。阿拉伯人却更能欣赏欧几里德；大约在公元760年，拜占庭皇帝曾送给过回教哈里发一部欧几里德；大约在公元800年，当哈伦·阿尔·拉西德在位的时候，欧几里德就有了阿拉伯文的译文了。现在最早的拉丁文译本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年从阿拉伯文译过来的。从这时以后，对几何学的研究就逐渐在西方复活起来；但是一直要到文艺复兴的晚期才做出了重要的进步。
我现在就要谈天文学，希腊人在这方面的成就正象在几何学方面是一样地引人注目。在希腊之前，巴比伦人和埃及人许多世纪以来的观察已经奠定了一个基础。他们记录下来了行星的视动，但是他们并不知道晨星和昏星就是一个。巴比伦无疑地，而且埃及也可能，已经发现了蚀的周期，这就使人能相当可靠地预言月蚀，但是并不能预言日蚀；因为日蚀在同一个地点并不是总可以看得见的。把一个直角分为九十度，把一度分为六十分，我们也是得之于巴比伦人的；巴比伦人喜欢六十这个数目，甚至于还有一种以六十进位的计数体系。希腊人总是喜欢把他们的先锋人物的智慧都归功于是游历了埃及的结果，但是在希腊人以前，人们所成就的东西实在是很少的。然而泰勒斯的预言月蚀，却是受了外来影响的一个例子；我们没有理由设想他在从埃及和巴比伦那里所学到的东西之外又增加了什么新东西，并且他的预言得以证实，也完全是幸运的偶合。
让我们先看希腊人最早的一些发现与正确的假说。阿那克西曼德认为大地是浮荡着的，并没有任何东西在支持它。亚里士多德1总是反对当时各种最好的假说的，所以他就反驳阿那克西曼德的理论，亦即大地位于中心永远不动，因为它并没有理由朝着一个方向运动而不朝另一个方向运动。亚里士多德说，如果这种说法有效，那么一个人若是站在圆心，纵令在圆周的各点上都摆满了食品的话，他也会饿死的，因为并没有理由要选择哪一部分食品而不选择另一部分食品。这个论证重行出现于经院哲学里，但不是与天文学联系在一起，而是与自由意志联系在一起的。它以“布理当的驴”的形式而重行出现，布理当的驴因为不能在左右两边距离相等的两堆草之间做出选择，所以就饿死了。
1《论天》，295b.
毕达哥拉斯有极大的可能是第一个认为地是球形的人，但是他的理由（我们必须设想）却是审美的而非科学的。然而，科学的理由不久就被发现了。阿那克萨哥拉发现了月亮是由于反光而发光的，并且对月蚀做出了正确的理论。他本人仍然认为地是平的，但是月蚀时地影的形状却使得毕达哥拉斯派有了拥护地是球形的最后定论性的论据。他们更进一步把地球看成是行星之一。他们知道了——据说是从毕达哥拉斯本人那里知道的——晨星和昏星就是同一个星，并且他们认为所有的星包括地球在内都沿着圆形而运动，但不是环绕着太阳而是环绕着“中心的火”。他们已经发现了月亮总是以同一面对着地球的，并且他们以为地球也总是以同一面对着“中心的火”。地中海区域位于与中心的火相背的那一面，所以就永远看不见中心的火。中心的火就叫做“宙斯之家”或者“众神之母”。太阳是由于反射中心的火而发光的。除了地球之外还有另一个物体，叫做反地球，与中心的火距离相等。关于这一点，他们有两个理由；一个是科学的，另一个即得自于他们算学上的神秘主义。科学的理由即他们正确地观察到了，月蚀有时是当日月都在地平线之上的时候出现的。这种现象的原因是折射，他们还不知道折射，于是就认为在这种情形下月蚀必定是由于地球之外的另一个物体有影子的缘故。另一个原因就是日、月、五星、地球与反地球以及中心的火就构成了十个天体，而十则是毕达哥拉斯派的神秘数字。
毕达哥拉斯派的这种学说被归功于费劳罗，他是底比斯人，生活于公元前五世纪的末期。虽然这种学说是幻想的，并且还有些部分是非常不科学的，但它却非常之重要，因为它包含了设想哥白尼假说时所必需的大部分的想象能力。把地球不设想为宇宙的中心而设想为行星中的一个，不设想为永恒固定的而设想为在空间里遨游的，这就表现出一种了不起的摆脱了人类中心说的思想解放。一旦人在宇宙中的自然图象受到了这种摇撼的时候，就不难以科学的论证把它引到更正确的理论上来了。
有许多观察对于这一点都是有贡献的。稍晚于阿那克萨哥拉的欧诺比德发现了黄道的斜度。不久就明白了太阳到底是比地球大得多，这一事实便支持了那些否认地球是宇宙的中心的人们。中心的火与反地球，在柏拉图的时代之后不久就被毕达哥拉斯派抛弃了。滂土斯的赫拉克利德（他的年代大约是公元前388—315年，与亚里士多德同时）发现了金星与水星都环绕太阳而旋转，并且采取了地球每24小时绕着它自己的轴线转动一周的见解。这种见解是前人所不曾采取过的一个非常重要的步骤。赫拉克利德属于柏拉图学派，并且一定是一个伟大的人物，但并没有象我们所能期待的那样为人尊敬；他被描述成是一个肥胖的花花公子。
萨摩的亚里士达克大约生活于公元前310—230年，因此约比阿几米德大二十五岁；他是所有的古代天文学家中最使人感兴趣的人，因为他提出了完备的哥白尼式的假说，即一切行星包括地球在内都以圆形在环绕着太阳旋转，并且地球每24小时绕着自己的轴自转一周。但是现存的亚里士达克的唯一作品《论日与月的大小与距离》却还是墨守着地球中心的观点，这件事是有点令人失望的。的确，就这本书所讨论的问题而言，则无论他采取的是哪种理论都并没有任何的不同；所以他可能是认为，对于天文学家的普遍意见加以一种不必要的反对，从而加重他计算的负担，乃是一桩不智之举；或者他也可能是仅仅在写过这部书之后，才达到了哥白尼式的假说的。汤姆斯·希斯爵士在他那本关于亚里士达克的书1里（书中包括原著的全文与译文）就是倾向于后一种见解的。但无论情形是哪一种，亚里士达克之曾经提示过哥白尼式的观点，这件事的证据却是十足可以定论无疑的。
1《萨摩的亚里士达克，古代的哥白尼》，汤姆斯·希斯爵士著。牛津，1913年版。以下所谈的即根据这部书。
第一个而且最好的证据就是阿几米德的证据，我们已经说过阿几米德是亚里士达克同时代的一个较年青的人。在他写给叙拉古的国王葛伦的信里说，亚里士达克写成了“一部书，其中包括着某些假说”；并继续说：“他的假说是说恒星和太阳不动，地球则沿着圆周而环绕太阳旋转，太阳位于轨道的中间”。在普鲁塔克的书里有一段话提到，克雷安德“认为以不虔敬的罪名来惩罚亚里士达克乃是希腊人的责任，因为他使得宇宙的炉灶（即地球）运动起来，这是他设想天静止不动而地则沿着斜圆而运转，同时并环绕其自身的轴而自转，以图简化现象的结果”。克雷安德是亚里士达克同时代的人，约死于公元前232年。在另一段话里普鲁塔克又说，亚里士达克提出这种见解来仅只是作为一种假说，但是亚里士达克的后继者塞琉古则把它当作是一种确定的意见。（塞琉古的鼎盛期约当公元前150年。）艾修斯和塞克斯托·恩皮里库斯也说到亚里士达克提出了太阳中心说，但是他们并没有说他提出这种学说来仅仅是作为一种假说。纵使他确乎是这种提法，那也很可能他是象两千年以后的伽利略一样，是由于害怕触犯宗教偏见的影响所致，——我们上面所提到的克雷安德的态度，就说明了这种惧怕是很有理由的。
哥白尼式的假说被亚里士达克（无论是正式地也好还是试验性地也好）提出来之后，是被塞琉古明确地加以接受了的，但是并没有被其他任何的古代天文学家所接受。这种普遍的反对主要地是由于希巴古的缘故，希巴古鼎盛于公元前161—126年。希斯把希巴古描写为是“古代最伟大的天文学家”1。希巴古是第一个系统地论述了三角学的人；他发现了岁差；他计算过太阴月的长度，而误差不超过一秒；他改进了亚里士达克关于日月的大小和距离的计算；他著录了850个恒星，并注出了它们的经纬度。为了反对亚里士达克的太阳中心假说，他采用了并改进了亚婆罗尼（鼎盛期约当公元前220年）所创造的周转圆的理论；这种学说发展到后来便以托勒密的体系而知名，它是根据鼎盛于公元二世纪的天文学家托勒密的名字而来的。
1《希腊的数学》，卷2，第153页。
哥白尼偶然知道了一些几乎已被遗忘了的亚里士达克的假说，虽然知道得并不多；他为自己的创见能找到一个古代的权威而感到鼓舞。不然的话，这种假说对于后代天文学的影响实际上是会等于零的。
古代天文学家推算地球、日、月的大小以及日与月的距离时所使用的各种方法在理论上都是有效的，但他们却受到了缺乏精确仪器的掣肘。想到这一点，他们的许多成果就真是令人惊叹了。伊拉托斯蒂尼推算地球的直径是7，850哩，这只比实际少五十哩。托勒密推算月亮的平均距离是地球直径的29又1/2倍；而正确的数字是大约30．2倍。他们之中还没有一个是多少接近到太阳的大小和距离的，他们都把它估计得太低了。他们的估计若以地球的直径来表示的话，则
亚里士达克 是180倍，
希巴古 是1，245倍，
波西东尼 是6，546倍；
而正确的数字则是11，726倍。我们可以看出这些推算是在不断改进着的（然而，只有托勒密的推算却表现了一种退步）；波西东尼1的推算约为正确数字的一半。大体上他们对于太阳系的图象，与事实相去得并不太远。
1波西东尼是西塞罗的老师，鼎盛于公元前二世纪的后半叶。
希腊的天文学乃是几何学的而非动力学的。古代人把天体的运动想成是等速的圆运动，或者是圆运动的复合。他们没有力的概念。天球是整个在运动着的，而各种不同的天体都固定在天球上面。到了牛顿和引力理论的时候，才引进了一种几何性更少的新观点。奇怪的是，我们在爱因斯坦的普遍相对论里又看到了一种返回于几何学的观点，牛顿意义上的力的概念已经又被摒弃了。
天文学家的问题是：已知天体在天球上的视动，怎样能用假说来介绍第三个坐标，即深度，以便把现象描叙得尽可能地简捷。哥白尼假说的优点并不在于真实性而在于简捷性；从运动的相对性看来，并不发生什么真实性的问题。希腊人在追求着能够“简化现象”的假说，事实上这已经是以科学上的正确方式触及到问题了，尽管并不是完全有意的。只要比较一下他们的前人以及他们的后人（直到哥白尼为止），就足以使每个人都对他们那真正令人惊异的天才深信不疑。
另外两个非常伟大的人物，即公元前三世纪的阿几米德和亚婆罗尼，就结束了这张第一流希腊数学家的名单。阿几米德是叙拉古国王的朋友，也许是他的表兄弟，于公元前212年罗马人攻占该城时被害。亚婆罗尼从青年时代就生活在亚历山大港。阿几米德不仅是一位数学家，而且还是一位物理学家与流体静力学家。亚婆罗尼主要地是以他对于圆锥曲线的研究而闻名的。关于这两个人我不再多谈，因为他们出现的时代太晚，对哲学并没有能起什么影响。
在这两个人以后，虽然在亚历山大港继续做出了可敬的工作，但是伟大的时代是结束了。在罗马人的统治之下，希腊人丧失了随着政治自由而得来的那种自信，并且在丧失这种自信的时候，也就对他们的前人产生了一种麻木不仁的尊敬。罗马军队之杀死阿几米德，便是罗马扼杀了整个希腊化世界的创造性思想的象征。
