欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第一百三卷目錄
測量部彙考四
詩經〈鄘風定之方中 大雅公劉〉
易緯〈通卦驗〉
書緯〈考靈曜〉
淮南子〈天文訓〉
隋書〈天文志〉
宋史〈律曆志〉
宣和博古圖〈周雙螭表座 漢表座〉
元史〈天文志〉
新法曆書一〈大測上〉
曆法典第一百三卷
測量部彙考四
《詩經》
鄘風定之方中
定之方中，作于楚宮。揆之以日，作于《楚室》。
〈傳〉定營室也。揆，度也。度日出日入，以知東西南視。定北準極，以正南北。室猶宮也。〈箋〉「定星昏中而正」，於是可以營制宮室，故謂之「營室。」「定昏中而正」，謂小雪時，其體與東壁連正四方。〈疏〉正義曰：此度日出日入，謂度其影也。故《公劉傳》曰「考於日影」是也。其術則《匠人》云：「水地以縣，置槷以懸，視以影。為規，識日出之影與日入之影。晝參諸日中之影，夜考之極星，以正朝夕。」注云：「於四角立植而懸以水，望其高下。高下既定，乃為位而平也。於所平之地中央樹八尺之槷，以懸正之，視之以其影端，以至日」入。既則為規，測影兩端之內，規之、規之交，乃其審也。度兩交之間，中屈之以指槷，則南北正也。日中之影，最短者也。極星，謂北辰也。是揆日瞻星以正東西南北之事也。如《匠人》注度日出日入之影，不假于視定視極，而東西南北皆知之。此傳「度日出入以知東西，視定極以正南北」者，《考工》之文，止言「以正朝夕」，無正南北之語，故規影之下，別言「考之極星」，是視極乃南北正矣。但鄭因屈橫度之繩，即可以知南北，故細言之，與此不為乖也。
大雅公劉
《篤公劉》，既溥既長，既景迺岡。相其陰陽，觀其流泉。
〈傳〉「既景乃岡，考于日景。」參之高岡，〈箋〉以日景定其經界于山之脊，觀相其陰陽寒煖所宜，流泉浸潤所及，皆為利民富國。〈疏〉「日影定其經界」者，民居田畝，或南或東，皆須正其方面，故以日影定之。
《易緯》
通卦驗
冬至之日，樹八尺之表，日中視其晷景長短，以占和 否。夏至影一尺四寸八分，冬至一丈三尺。
《書緯》
考靈曜
「日末影尺五寸，日短景」尺三寸。
《淮南子》
天文訓
正朝夕，先樹一表，東方操一表，卻去前表十步以參 望，日始出北廉。日直入，又樹一表于東方，因西方之 表以參望，日方入北廉，則定東方兩表之中，與西方 之表，則東西之正也。日冬至，日出東南維，入西南維， 至春秋分，日出東中，入西中；夏至，出東北維，入西北 維，至則正南。欲知東西南北廣袤之數者，立四表以 「為方，一里距先春分，若秋分十餘日，從距北表參望 日始出及旦，以候相應，相應則此與日直也。」輒以南 表參望之，以入前表數為法，除舉廣除，立表袤，以知 從此東西之數也。假使視日出入前表中一寸，是寸 得一里也。一里積萬八千寸，得從此東萬八千里。視 日方入入前表半寸，則半寸得一里。半寸而除一里， 積寸得三萬六千里，除則從此西里數也。并之東西 里數也，則極徑也。未春分而直，已秋分而不直，此處 南也。未秋分而直，已春分而不直，此處北也。分至而 直此處，南北中也。從中處欲知中南也。未秋分而不 直此處，南北中也。從中處欲知南北極遠近。從西南 表參望日日，夏至始出，與北表參，則是東與東北表 等。正東萬八千里，則從中北亦萬八千里也。倍之，南 北之里數也。其不從中之數也，以出入前表之數益 損之，表入一寸，寸減日近一里；表出一寸，寸益遠一 里。欲知天之高樹，表高一丈，正南北相去千里，同日 度其陰，北表二尺，南表尺九寸，是南千里，陰短寸。南 二萬「里則無景，是直日下也。陰二尺而得高一丈者南一而高五也。」則置從此南至日下里數，因而五之， 為十萬里，則天高也。若使景與表等，則高與遠等也。
《隋書》
天文志
《周禮》大司徒職，「以土圭之法測土深，正日景，以求地 中。」此則渾天之正說，立儀象之大本。故云：「日南則景 短多暑，日北則景長多寒，日東則景夕多風，日西則 景朝多陰。日至之景尺有五寸，謂之地中。天地之所 合也，四時之所交也，風雨之所會也，陰陽之所和也。 然則百物阜安，乃建王國焉。」又《考工記》：「匠人建國，水 地以縣，置槷以縣，視以景。為規識日出之景與日入 之景。晝參諸日中之影，夜考之極星，以正朝夕。」按：土 圭正影，經文闕略，先儒解說，又非明審。祖暅錯綜經 注，以推地中，其法曰：「先驗昏旦，定刻漏，分辰次。乃立 儀表于準平之地，名曰南表。漏刻上水，居日之中，更 立一表於南表影末，名曰中表，夜依」中表以望北極 樞而立北表，令參相直，三表皆以縣準定，乃觀三表 直者，其立表之地，即當子午之正。三表曲者地偏僻， 每觀中表，以知所偏。中表在西，則立表處在地中之 西，當更向東求地中。若中表在東，則立表處在地中 之東也，當更向西求地中。取三表直者，為地中之正。 又以春秋二分之日，旦始出東方半體，乃立表於中 表之東，名曰「東表」，令東表與日及中表參相直，是日 之夕，日入西方半體。又立表於中表之西，名曰「西表」， 亦從中表西望，西表及日參相直，乃觀三表。直者，即 地南北之中也。若中表差近南，則所測之地在卯酉 之南；中表差在北，則所測之地在卯酉之北。進退南 北，求「三表直正東西」者，則其地處中，居卯酉之正也。 〈地中〉
昔者周公測晷景於陽城，以參考曆紀。其於《周禮》，「在 大司徒之職，以土圭之法測土深，正日景，以求地中。 日至之景尺有五寸，則天地之所合，四時之所交，百 物阜安，乃建王國。」然則日為陽精，元象之著然者也。 生靈因之動息，寒暑由其逓代，觀陰陽之升降，揆天 地之高遠，正位辨方，定時考閏，莫近於茲也。古法簡 略，旨趣難究，術家考測，互有異同。先儒皆云，夏至立 八尺表於陽城，其影與土圭等。案《尚書考靈曜》稱：「日 永景尺五寸，日短景尺三寸。」《易通卦驗》曰：「冬至之日， 樹八尺之表，日中視其晷景長短，以占和否。夏至景 一尺四寸八分，冬至一丈三尺。」《周髀》云：「成周土中。夏 至景一尺六寸，冬至景一丈三尺五」寸。劉向《鴻範傳》 曰：「夏至景長一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四 分，春秋二分景七尺三寸六分。」後漢《四分曆》、魏《景初 曆》、宋《元嘉曆》《大明祖沖之曆》，皆與《考靈曜》同。漢魏及 宋，所都皆別。四家曆法，候景則齊。且緯候所陳，恐難 依據。劉向二分之景，直以率推，非因表候定其長短。 然尋晷景尺丈，雖有「大較，或地域不改，而分寸參差， 或南北殊方，而長短維一。蓋術士未能精驗，馮古所 以致乖。」今刪其繁雜，附於此云。梁天監中，祖暅造八 尺銅表，其下與圭相連，圭上為溝，置水以取平正，揆 測日晷，求其盈縮。至大同十年，太史令虞𠠎又用九 尺表格，江左之景，夏至一尺三寸二分，冬至一丈三 尺七分；立夏、立秋二尺四寸五分；春分秋分五尺三 寸九分。陳氏一代，唯用梁法。齊神武以洛陽舊器，並 徙鄴中，以暨文宣受終，竟未考驗。至武平七年，訖於 景禮，始薦劉孝孫、張孟賓等於後主。劉張建表測景， 以考分至之氣，草創未就，仍遇朝亡。周自天和以來， 言曆者紛紛復出，亦驗二至之景，以考曆之精粗。及 高祖踐極之後，大議造曆。張胄元兼明揆測，言日長 之瑞，有詔司存，而莫能考決。至開皇十九年，袁充為 太史令，欲成胄元舊事，復表曰：「隋興已後，日景漸長。 開皇元年，冬至之景，長一丈二尺七寸二分，自爾漸 短。至十七年冬至景一丈二尺六寸三分。四年冬至， 在洛陽，測景長一丈二尺」八寸八分。二年，夏至景一 尺四寸八分，自爾漸短。至十六年，夏至景一尺四寸 五分。其十八年冬至，陰雲不測。元年、十七年、十八年， 亦陰雲不測。《周官》以土圭之法正日景，日至之景，尺 有五寸。鄭元云：「冬至之景，一丈三尺。」今十六年夏至 之景，短於舊五分，十七年冬至之景，短於舊三寸七 分。日去極「近，則景短而日長；去極遠，則景長而日短； 行內道，則去極近；行外道，則去極遠。」《堯典》云：「日短星 昴，以正仲冬。」據昴星昏中，則知堯時仲冬，日在須女 十度。以曆數推之，開皇以來，冬至日在斗十一度，與 唐堯之代，去極俱近。謹案《元命包》云：「日月出內道，璇 璣得其常。天帝崇靈，聖王初功。」京房別對曰：「太平日 行上道，升平日行次道，霸代日行下道。伏惟大隋啟 運，上感乾元，景短日長，振古希有。」是時，廢庶人勇。晉 王廣初為太子，充奏此事深合時宜。上臨朝謂百官 曰：「景長之慶，天之祐也。今太子新立，當須改元，宜取 日長之意以為年號。」由是改開皇二十一年為仁壽
元年。此後百工作役，並加程課，以日長故也。皇太子考證率百官詣闕陳賀。案日徐疾，盈縮無常，充等以為祥
瑞，大為議者所貶。又考靈曜、周髀、張衡、靈憲及鄭元 注《周官》，並云：「日影於地，千里而差一寸。」案宋元嘉十 九年壬午，使使往交州測影，夏至之日，影出表南三 寸二分。何承天遙取陽城云：「夏至一尺五寸。」計陽城 去交州路當萬「里，而影實差一尺八寸二分，是六百 里而差一寸也。」又梁大同中，二至所測，以八尺表率 取之，夏至當一尺一寸七分彊後魏信都芳注周髀 《四術》，稱永平元年戊子，當梁天監之七年，見洛陽測 影，又見公孫崇集諸朝士共觀祕書影，同是夏至日， 其中影皆長一尺五寸八分。以此推之，金陵去淮南 「北，略當千里，而影差四寸，則二百五十里而影差一 寸也。況人路迂迴，山川登降，方於鳥道，所校彌多，則 《千里》之言，未足依也。」其揆測參差如此，故備論之。〈晷影〉
《宋史》
律曆志
英宗《明天曆》法升降分，《皇極》躔衰有陟降率，《麟德》以 日景差、陟降率、日晷景消息為之，義通軌漏。夫南至 之後，日行漸升，去極近，故晷短而萬物皆盛；北至之 後，日行漸降，去極遠，故晷長而萬物寖衰。自《大衍》以 下，皆從《麟德》。今曆消息日行之升降，積而為盈縮焉。 岳臺日晷岳臺者，今京師岳臺坊地曰浚儀，近古候 景之所。《尚書·洛誥》稱東土是也。《禮·玉人職》：「土圭長尺 有五寸，以致日」，此即日有常數也。《司徒職》「以圭正日 晷」，日至之景，尺有五寸，謂之地中，此即是地。土中致 日景，與土圭等。然表長八尺，見於周髀。夫天有常運， 地有常中，曆有正象，表有定數。言日至者，明其日至 此也。景尺有五寸，與圭等者，是其景晷之真效。然夏 至之日，尺有五寸之景，不因八尺之表，將何以得？故 《經》見夏至日景者，明表有定數也。
【宣和博古圖】
＆＆圖表＝340151a：
【周雙螭表座】
＆＆圖表＝340151b：
右表座高一尺三寸七分，下徑一尺九寸三分，重五 十五斤，無銘。《周官》：「置槷晝以參諸日中之景。」槷即表 也。是器形若大盤，上蟠雙螭而仰其首，於兩螭間又 出一筩，中通上下，是為表座。中通所以植槷，無欹側， 以取其端焉。
【漢表座】
＆＆圖表＝340151c：
右表座高四寸六分，深四寸二分，闊七寸一分，口徑 一寸一分，重三斤九兩。無銘。是器表座也，作三圜筩， 相合為一體，措之地，則一筩端立，可以立表，《周官》所 謂「槷」者，是器所以為測日之具也。
《元史》
天文志
「魯哈麻、亦渺凹只，漢言春秋分晷影堂。」為屋二間，脊 開東西橫罅，以斜通日晷，中有臺，隨晷影南高北下， 上仰置銅半環，刻天度一百八十，以準地上之半。天 斜倚銳首銅尺，長六尺，闊一寸六分，上結半環之中， 下加半環之上，可以往來窺運。側望漏屋晷影，驗度 數，以定春秋二分。魯哈麻、亦木思塔餘，漢言冬夏 至「晷影堂也。」為屋五間，屋下為坎，深二丈二尺，脊開南北一罅，以直通日晷。隨罅立壁，附壁懸銅尺，長一 丈六尺。壁仰畫天度半規，其尺亦可往來，規運直望 漏屋晷影，以定冬夏二至。
《新法曆書一》
大測上
《大測》者，測三角形法也。凡測算皆以此測彼，而此一 彼一不可得。《測九章》算多以三測一，獨句股章以二 測一，則皆三角形也。其不言句股者，句與股交必為 直角。直角者，正方角也，遇斜角則句股窮矣。分斜角 為兩直角，亦句股也，遇或不可得，分又窮矣。三角形 之理，非句股可盡，故不名句股也。句股之易測者，直 線也，平面也。測天則圜面曲線，非句股所能得也。故 有弧矢弦割圜之法。弧者曲線，弦矢者直線也。以弧 求弧，無法可得，必以直線曲弧相當相準，乃可得之。 相當、相準者，圍徑之法也。而圍與徑終古無相準之 率。古云：徑一圍三，實圍以內二，徑之六，弦非圍也。祖 沖之密率云：「徑七圍二十二。」則其外切線也，非圍也。 劉徽《密率》云：「徑五十，圍百五十七」，則又其內弦也，非 圍也。或推至萬萬億以上，然而小損即內弦，小益即 外切線也，終非圍也。曆家以句股、開方，展轉商求累 時，方成一率，然不能離徑一圍三之法，即祖率已繁， 不復能用，況徽率乎？況萬萬億以上乎？是以甚難而 實謬。今西法以周天一象限分為半弧，而各取其正 半弦。其術從二徑六弦始，以次求得六宗率，皆度數 之正義，無可疑者。次用三要法相分相準以求各率， 而得各弧之正半弦。又以其餘弧之正弦為餘弦，以 餘弦減半徑為矢。弧之外與正弦平行而交於割線 者為切線，以他半徑截弧之一端而交於切線者為 割線。其與餘弦平行者，則餘切線也。即正割一線交 於餘切線而止者，餘割線也。以正弦減半徑者，餘矢 也。總之為八線，其弧度分為五千四百，每一度分有 八線焉，合之為四萬三千二百率也。其用之，則一形 中有三邊三角，任有其三，可得其餘三也。凡測候所 得者，皆弧度分也。以此二三弧求彼一弧，「先簡此弧 之某直線與彼弧之某直線，推算得數，簡表即得彼 弧之度分，不勞餘力，不費晷刻，為之者勞，用之者逸。 方之句股開方以測圓者，甚易，而實是也。然則必無 差乎？」曰：「有之，或在其末位。如半徑設十萬，則所差者 十萬分之一也；設千萬，則所差者千萬分之一也。曆 家推演至微纖以下，率皆」棄去，即謂之「無差」亦可，故 論此法者，謂於推步術中為模範矣。測天者所必須 大於他測，故名《大測》。其《解義》六篇，謹列如左：
因明篇第一
《總論》：〈凡三十二條。〉
「三角形」者，一形而三邊容有三角也，如左圖甲乙丙。
圖
圖
為平面三角形丁戊己為球面三角形
三角形各以兩邊容一角此兩邊為角形之兩腰第三邊為角形之底
如上甲乙丙形若以甲乙甲丙為兩腰則容乙甲丙角〈第二字為所指角〉乙、丙其底也。餘二同；丁、戊、己亦同。
圖
圖
各邊向一角者名為對角如上甲乙線向丙角者名為對丙角甲丙向乙名為對乙角
角以何為尺度一弧之心在交點從心引出線為兩腰而弧在兩腰之間此弧即此角之尺度
如上乙甲丙角其尺度則
圖
圖
丁丙或戊己皆是其法甲為心其界或近如丁丙或遠如戊己
大測法分圈三百六十為度度析百分〈中曆〉或六十分。〈遠西〉「分」，或百析為秒，遞析為百，至纖而止。〈中曆〉或析為六十秒，遞析為六十，至十位而止。〈遠西〉
圈愈大其度分亦愈大兩弧之分數等其圈等弧亦等其圈不等弧亦不等其不等之兩弧名相似弧如上丁丙雖小於戊己而同對甲角即同為若干度分之弧也
圈四分之一為九十度有弧不足九十度則其外
圖
圖
至九十者名餘弧亦曰較弧亦曰差弧
如甲丁弧四十度則丁至丙五十度為餘弧
有弧大於象限〈在九十以上〉名為《過弧》。
如甲乙弧大於甲丁過九十度則丁乙為過弧半圈界一百八十度有弧小於半圈則其外至百八十度者名為半圈之較弧
如甲乙弧小於甲乙丙半圈則乙丙為其較弧凡交角俱相等
如甲與乙丙與丁皆交角相等〈見幾何第一卷十五題〉如戊與己，亦交角相等
；
圖
圖
角有二類一直角一斜角凡直角其度皆九十斜角有二類一銳角一鈍角
鈍角者其度大於象限銳角者其度小於象限角之餘與弧同理〈或曰較角或曰差角〉
有兩角并在一線上為同
「方角并之，等於兩直角。」如右圖甲與乙，丙與丁，皆是 同方，兩角等於兩直角，故彼角為此角之較。
如前「乙角」，即甲之較，甲亦乙之較。
《三角》形：或三邊等，或兩邊等，或三不等。
三角形，兩腰等，其底線上兩角亦等；底上兩角等，則 兩腰亦等。〈見幾何一卷第五〉
《三邊形》之「三角等」，則三邊亦等。
《三角形》之角有二類，一為直角三邊形，一為斜角三 邊形。
直角三邊形，形內止有一直角。
直角，三邊形之對，直角邊名弦，兩腰名句股。
遠西句股，俱各垂線互用之。
《斜角形》。其角皆斜。
斜角形有二類，一曰「銳角」，一曰「鈍角。」
鈍角形止有一鈍角。
銳角形三，皆銳角。
《三角形》，有二類：一曰「平面上形」，一曰「球上形。」
《論平面上三角形》。〈凡十一條：〉
平面上三角形有三種：一直線，一曲線，一雜線。《大測》 所論，皆直線也。
凡等角兩三邊形，其在等角旁之各兩腰線，相與為 比例，必等，而對等角之邊為相似邊。〈幾何六卷第四題〉 凡兩三角形，其角兩邊之比例等，即兩形為等角形， 而對各相似邊之角各等。〈幾何六卷第五題〉
此二題為《大測》之根本，不用開方，直以比例得之，法至簡，用至大也。
如左圖甲乙丙丁戊己兩形，甲與丁，乙與戊，丙與己。
圖
圖
皆等角其旁各兩腰之比例等者十與六若五與三也更之則十與五若六與三也反之則六與十若三與五也
凡兩形中各對相當等角之邊皆相似之邊如甲丙對乙丁己對戊而乙戊為等角者即甲丙丁己為相似之邊也
三角形之外角與相對之內兩角并等〈幾何一卷之三十二〉如上甲、乙、丙形之乙、甲兩角，并與甲、丙、丁角等，三角形之三角，并等於兩直角。
如上圖丁己庚直角與乙角等其甲丙二角并與丁
圖
圖
己戊角等
平面上三角形止有一直角或一鈍角其餘二必皆銳角
三邊形內之第三角為前兩角之餘角何者為前兩角不滿二直角故
直角旁之兩腰其能與弦等能等者謂兩腰上兩方
圖
圖
形并與弦上方形等也〈幾何一卷之四七〉
此理之用為先得二邊以求第三邊如甲乙丙形先得甲乙乙丙兩邊而求第三邊法以甲乙三自之為九乙丙四自之為十六并得二十五與甲丙之實等開方得甲丙弦五若先得
圖
圖
直角旁之一腰如甲乙三又得甲丙弦五而求乙丙則以甲丙自之得二十五乙甲自之得九相減之較十六開方得乙丙四直角形之兩等邊有數則其弦無數可推若弦有數則兩等邊無數可推如圖甲乙甲丙各三自之
圖
圖
各九并之得十八乙丙上實十八開方得四餘實二分之或為八分之二或為九分之二八分之二則大於真率九分之二則小於真率其乙丙真率無數可得更細分之亦復不盡直角三邊形之兩銳角彼銳為此銳之餘
圖
圖
如乙丙二銳角丙為餘角為三角并等二直角此二銳應等一直角乙一角不足一直角故丙角為乙角與直角相減之較
平邊三角形在圈內其各角之度數皆為其對弧度數之半
如上甲乙丙形三邊等分
圖
圖
圈為三各弧俱一百二十度本形之三角等二直角并得一百八十則對弧百二十度倍於對角六十度也
平面兩三角形在圈內同底兩形之頂相連成一四邊形此形內有兩對角線則此形相對之各兩邊各
圖
圖
相偕為兩直角形并與兩對角線相偕為直角形等如上甲乙丙甲丁丙兩三角形在甲乙丁丙圈內甲丙同底其頂乙丁相連成甲乙丁丙四邊形形內有甲丁乙丙兩對角線以此兩線相偕為直角形次以乙丁甲丙兩相對邊以甲
乙丁丙兩相對邊，各相偕為直角形，題言「後兩形」，并 與前一形等。
其用為先得五線以求第六線。〈多羅某之法〉
論《球上三角形》，〈凡二十條。〉
凡球上三角形，皆用大圈相交之角。
《大測》所用三角形之各弧，必小於大圈之半。
球大圈：分球為兩平分，離於兩極各九十度。
彼大圈過此大圈之極，此兩圈必相交為直角，兩大 圈相交為直角，必彼大圈過此大圈之極。
圖
圖
如甲丙大圈其極乙丁有乙戊丁己大圈過兩極其交處如戊如己各成四直角
球上角之度必從交引出為兩弧各九十度而遇一象限之弧兩遇處相去之度即此角之大
如甲乙丙球上三角形欲
圖
圖
知甲角之大為幾何度分不得用己庚弧為其尺度必從甲引出至乙至丙各為一象限之弧而戊丁亦大圈之一象限弧也丁戊弧與甲乙甲丙相遇即乙丙弧之大為甲角之大球上角之兩邊引出之至相遇即兩弧俱成半圈而
圖
圖
兩對角必等
如甲乙丙三角形從兩腰各引出之至丁則甲丙丁甲乙丁兩弧皆成半圈而甲與丁兩角等
球上三角形有相對彼三角形與同底而對角等即彼形之兩腰為此形兩腰之餘腰
圖
圖
初腰不足一百八十度故後腰為半圈之餘
其彼此之同方兩角亦等兩直角而彼角為此角之餘角
如上甲乙丙三角形與相對之乙丙丁同乙丙底而甲乙兩角等即乙丁為甲乙之餘弧丙丁為甲丙之
圖
圖
餘弧丁乙丙角為甲乙丙之餘角
為甲乙丙不足兩直角故
乙丙丁角為甲丙乙之餘角
球上直角三邊形或有一直角或二直角或三俱直角
圖
圖
球上三邊形有一直角者或有兩銳角或有兩鈍角或一鈍一銳角
如上甲乙丙形甲為直角其乙丙為兩銳角乙丁丙形丁為直角其乙丙為兩鈍角若丁戊己形則其戊為銳角其己為鈍角甲戊己形則其戊為鈍角其己
為《銳角》。
「球上直角三邊形」，有兩銳角，則其對直角之直角三 邊形，有兩鈍角。
如前圖，甲乙丙之甲直角，與乙丁丙之丁直角相對 者是。
球上直角，三邊形，有兩銳角，其三弧皆小於象限， 如前圖甲乙丙是。
球上直角三邊形，有兩鈍角，其兩腰皆大於象限，而 第三弧必小於象限。
圖
圖
如前圖乙丁丙是
球上直角三邊形有一銳一鈍角其銳角之相對三角形亦有一直角兩銳角如上圖丁乙丙三邊形丙為直角丁為銳角乙為鈍角即丁銳角之相對乙丙戊形其丙為直角
與乙丙丁并等兩直角
圖
圖
其乙與戊為兩銳角球上三邊形有多直角其對直角之各弧皆為一象限
如甲為直角乙丙弧對之為一象限餘二同
此圖為三直角題言多者以該二直角也
球上三邊形有二直角若
圖
圖
第三為銳角即對角之弧小於象限若鈍角即對角之弧大於象限
如上丁戊己形丁戊皆直角己為銳角即對己之丁戊弧小於象限甲乙丙形甲丙皆直角乙為鈍角則對角之甲丙弧大於象限球上斜三角形有三類或
圖
圖
俱銳角或俱鈍角或雜銳鈍角
球上斜三角形俱銳角者其相對三角形有兩鈍角一銳角
如上甲乙丙形三皆銳角即相對丁乙丙形其乙丙為兩鈍角丁為銳角球上三邊形俱鈍角者其
圖
圖
相對三角形有兩銳角一鈍角
如上甲乙丙形三皆鈍角即相對乙丙丁形其乙丙為兩銳角丁為鈍角球上三角形之三角并大於兩直角
有二直角即大何況一直一鈍以上
割圓篇第二
《總論》：〈凡二十六條。〉
三角形有六率，三角三邊是也。測三角形者，於六率 中先得其三，而測其餘三也。
《測三角形》者，止測其線，非測其容。測或作推，或作解，下文通用。
《測三角形》，必藉同比例法。〈亦曰三率法〉同比例者四率，同 比例先有三而求第四也，故《三角形》之六率，其比例 欲定，其分數欲明。
《三角形》六率之比例，其中用弧者最為難定。何者？圓 線與直線之比例，從古至今，未有其法故
「三角形何以有弧？」曰：「球上三角形，其三邊皆弧也，其 三角皆弧角也，即平面三角形。其可以直線測者，三 邊耳。欲測其角，非弧不得。而弧為圓線，無數可測，故 測弧者必求其與弧相當之直線。」
與弧相當之直線者，割圓界而求其直線之分，與弧 分相當者是也。
割圓之直線有四：一曰弦，一名「通弦」，二曰「半弦」，皆在。
圖
圖
圓界內三曰切線在圓界外四曰割線在圓界之內外
弦者直線在圈內從此點至彼點分圈為兩分凡弦皆對兩弧一上一下如上圖甲乙為弦分甲丙乙丁圈為兩分甲丁乙為大分甲丙乙為小分則甲
圖
圖
乙弦上當甲丙乙小弧下當甲丁乙大弧
正弧者從弧作垂線至全徑上
如上圖從丁作甲乙之垂線若從丁直至戊則為通弦故丁丙為半弦
半弦又有二種有正弦有倒弦
圖
圖
正半弦是直線在半圈內從弧作垂線至徑上分半圈為不等之兩分一大弧一小弧此半弦者當小弧亦當大弧
當者為小弧之半弦亦為大弧之半弦
如上圖從己弧下至甲乙全徑上作己庚垂線分甲
丙乙半圈為不等兩分，乙己弧為小分，己丙甲弧為 大分，則己庚為己乙小弧之半弦，又為己丙甲大弧 之半弦。
正半弦從一點作兩半弦：第一為前半弦，第二為後 半弦，又為餘弧，弦又為較弦，又為差弦。
如前圖，先論己庚即為前半弦，其己戊即為後半弦。 又為餘為較者，乙己丙弧九十度，乙己不足九十度， 則己丙為餘弧，亦為較弧，故己戊為餘弦較弦也。前 後兩半弦，其能等於半徑。
圖
圖
如上圖庚己為前弦當乙己弧己戊為後弦當己丙餘弧戊己弦等於丁庚〈幾何一卷三十四〉則丁己半徑上方，與庚己己戊上兩方并等，故云「兩半弦之能等於半徑。」
論曰其兩半弦可互為垂線則己庚丁為直角而對
圖
圖
直角之弦己丁上方與句股上兩方并等也〈幾何一卷四十七〉
系直角三邊形內有半徑亦有一半弦即可求後半弦
法曰半徑上方形實減半弦上方形實其較即後半弦上方形之實開方得後
圖
圖
半弦
如丙乙半徑十甲乙前半弦六而有丙甲乙直角今求丙甲後半弦其法丙乙自之為百甲乙自之為三十六相減餘六十四即甲丙方之實平方法開之得八
兩正弦之較與紀限左右
圖
圖
距等弧之半弦等〈六十度為紀限〉解曰：「甲乙丙象限內有丙己小弧，丙己戊丁大弧，丙戊弧為六十度，而戊己戊丁兩弧等，其兩半弦一為己辛，一為丁庚。兩半弦之較為丁癸，題言丁癸較與己壬半弦、壬丁半弦各等。」論曰：「試作一己子線，則丁
己子成三邊等角形，何也？此形中有子丁壬壬己子 兩三角形，此兩角形等又何也？子戊同腰，而丁壬壬」 己兩腰等，則丁壬己壬兩直角亦等，而丁子子己兩 底亦等，子丁、己子己丁兩角亦等，又丙戊弧既六十 度，其餘戊乙弧必三十度，其乙甲戊角為三十度角 甲乙庚丁既平行甲戊線截二線於子，即內外角等， 而丁子戊角亦三十度，戊子己角亦三十度，是丁子 己為六十度角也。丁與己與全子三角既等兩直角。 〈一卷三十二〉則共為一百八十度。於中減全子角六十度。
圖
圖
則丁己兩角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之三角三邊俱等夫丁己巳子兩線等則己癸垂線所分之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所分必
等是丁癸與丁壬等，與《壬己》亦等。
《系題》兩弧，各有其正半弦，兩半弦至弧之點，在六十 度之左右，而距度點等。其前兩正半弦之較，即後兩 半弦。
如前圖丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十 度，丙己之正半弦，己辛《簡表》先得七千六百六十。丙 丁弧七十度，丁戊弧亦十度，丙丁弧之正半弦，為丁 庚先得九千三百九十六。今求丁戊弧之半弦，其法 以己辛、丁庚兩半弦相減，得丁癸較一千七百三十。
圖
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六即丁戌弧十度之丁壬半弦〈此設數半徑一萬〉倒弦者，餘弦與全數之較本，名為「矢。」
如上圖甲丙徑以乙丁正半弦分徑為二分一為甲丁一為丁丙其丁丙即乙丁正半弦之倒弦也矢有二有大有小
如前圖，甲丁為大矢，與甲乙弧相當；丁丙為小矢，與 乙丙弧相當。
矢加於餘，半弦即半徑。
如前圖，乙己為乙丁正弦之餘，弦以加丁丙，即半徑 為乙己，與丁戊等故。
「切線」者，弧之外有線為徑，一端之垂線半徑為底線， 而交於截弧之弦線。
「弦線」 者，句股之弦，非弧矢之弦也。
如上圖戊丙弧，乙丙為半徑，從丙出垂線至丁，又從
圖
圖
乙出線截戊丙弧於戊而與丁丙線交於丁即丁丙為切線而與戊丙弧相當也
割線者從心過弧之一端而交於切線
如上圖乙戊丁線為割線與戊丙弧相當也故戊丙弧在三角形內其句為半
圖
圖
徑其股為切線其弦為割線皆與戊丙弧相當之直線
又戊丙一弧其相當之直線有四一丁丙切線一乙丁割線一戊己正半弦一己丙矢
定割圓之數當作割圓線以立成表
圖
圖
一名三角形表一名度數表今名大測表
大測表不過一象限
古用弦則須半周
如上圖用弦則乙丙弧必得乙丙弦乃至乙庚弧必得乙庚弦故百八十度之弧必得百八十度之弦也因此術既繁且難後從簡
圖
圖
便則以半弦當之為各半弦可當上下兩弧故不過一象限而足也
如上圖辛壬半弦當乙壬小弧亦當壬己甲大弧庚己半弦當乙己小弧亦當己甲大弧且一象限之外無切線而亦無割線故用半圈之全不如象限之半
也。
《大測表》不止有各弧之各度數，亦有其各分數。
欲極詳，亦可析分為十、為六也，但少用耳。
作《大測表》，先定半徑為若干分，愈多愈細。
凡割圓四線，大抵皆不盡之數。無論全數不盡，即以 畸零法命其分，亦不能盡。故《大測表》不得謂其不差， 但所差甚少，不至半徑全數中之一耳。
假如半徑為千萬，表中諸線中不至差千萬分之一 分，自一以內，或半或大或少，不能無差而微乎微矣。 故作表中半徑，必用極大之數，最少者一萬以上，或 至百萬，千萬或至萬萬可也。
七位即千萬，八位即萬萬。
定半徑之全數，即可求一象限內各弧各度分之半 弦。以此半弦可求得其切線、割線。
凡半徑用，數少即差多。
如「用千，則差千之一；用萬，則差萬之一。」
用極大之數即難推。
如用萬萬以上，數極繁矣。
「今定為幾何則可？」曰：「凡半徑之數，其中之小分與半 弧度分之小分，大約相等而上之，即是中數。」
假如欲測有分之弧，問半徑應定幾何分？曰：「一象限 九十度，每度六十分，則一象限五千四百分。」又《古率》 圓與徑之比例，大略為二十二與七，則象限弧與半 徑之比例。若十一與七。
如左圖周二十二四分之則一，象限為五又半；徑七 二，分之則三又半。此二比例有畸零之數，故各倍之 為十一與七也。
圖
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今用同比例法〈即三率法〉以象限十一為第一數，以半徑七為第二數，以象限五千四百分為第三數，而求得第四數為三千四百三十六。故半徑分為三千四百三十六，則半徑之各分，略相等於一象限之各分五千四百也。故用大數最少。
圖
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一萬為與五千相近用此乃可推有分之弧也欲推弧分之秒亦用此法其象限為三十二萬四千秒依三率法十一與七若三十二萬四千與二十○萬六千一百八十二其半徑細分與象限之分秒相等而上之必用百萬
表原篇第三
表原者，作表之原本也。測圓無法，必以直線。直線與 圓相準不差，又極易見者，獨有六邊一率而已。古云 「徑一圍三」是也。然此六弧之弦，非六弧之本數。自此 以外，雖分至百千萬億，皆弦耳。故測弧必以弦。弦愈 細，數愈密，其法仍由六邊之一準率始。自此又推得 五率，此六率皆相準不差，但後五率其理難見，推求 乃得，是名為《六宗率》。其法先定半徑為若干數？〈今用一千 萬〉則作圈內六種多邊形。〈俱見幾何第四卷〉推此六形各等 邊之數，得此六數，即為六通弦，各當其本弧，因以為 作表原本。
「《宗率》一 圈內六邊等」 ，切形求邊數。
《幾何原本》四卷十五，題言六邊等形在圈內者，其各 邊俱與半徑等。半徑既定為千萬，即邊亦千萬。凡邊 皆弦也。圈分三百六十度，此各弦相當之弧各六十 度，各與千萬相當矣。相當者千萬，即六十度弧之弦 也。
如左乙丙圈內有六邊等形，其半徑甲乙既定為千
圖
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萬即乙丙弦為六邊形之一邊亦千萬而相當之乙丙弧六十度
宗率二 內切圈直角方形求邊數
幾何四卷第六言一線在圈內對一象限為方形邊其上方形等於兩半徑上方形并〈幾何一卷四七〉此句股法。
圖
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也故用兩半徑之實并而開方而得本形邊
如上乙丙圈內方形甲乙為半徑句股法甲乙甲丙上兩方并與乙丙上方等即以之開方而得乙丙邊今兩半徑上方形并為二○○○○○○○○○○○○○○
此數為二百萬，萬萬○旁作「點」 者，萬也，末○為單數。
以開方得其邊一千四百一十四萬二千一百九十 六，此為乙丙弧之弦也。乙丙弧為四分圈之一九十 度，則乙丙弧數為乙丙九十度弦相當之數。
「《宗率》三 圈內三邊等」 ，切形求邊數。
《幾何》十三卷十二題言三邊等形。內切圈其各邊上 方形，三倍於半徑上方形。
「丁乙方」 與「丙丁」 丙乙兩方等，而四倍於丙丁形則
圖
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丙乙為丁乙四之三而三倍於丙丁
如上圖乙丙圈甲乙為半徑乙丙上方三倍大於甲乙上方即三因半徑上方為三○○○○○○○○○○○○○○
此數為三百萬萬萬有奇
圖
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開方得一千七百三十二萬○五○八弱
宗率四 圈內十邊等切形求邊數
幾何十三卷九題言以比例分半徑為自分連比例線其大分則十邊等形之一邊
如上圖甲乙半徑與戊己
圖
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等用自分連比例法
幾何六卷三十稱理分中末線
分為大小分其大分為丁己與十邊形之乙丙邊等蓋戊己線與己癸等己癸線既兩平分於庚則戊己己庚線上兩方并與庚戊上方等〈幾何一卷四十七〉今以庚
戊上方開得庚戊線為一千一百一十八萬○四百 三十○。次減去己庚五百萬，餘六百一十八萬○四 百三十○，即丁己線，亦即乙丙弦。而乙丙弦為全圈 十分之一，得三十六度，是乙丙為三十六度弧之弦。
《宗率》五 圈內五邊等，切形求邊數。
《幾何十三卷》第十題言「圈內五邊等切形」，其一邊上 方形與六邊等形、十邊等形之各一邊上方形并等 也。
如左圈內，甲乙戊為五邊等形，甲丙己為六邊等形。
圖
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甲丁乙為十邊等形題言甲丁甲丙上兩方并與甲乙上方等者前言甲丙半徑為千萬甲丁線為六百一十八萬○四百三十○各自之并得數開方得甲乙線為一千一百七十五萬五千七百○四弱其弧五分全圈得七十二即甲
乙為七十二度弧之弦，
宗率六 圈內，十五邊等，切形求邊數。
《幾何四》卷十六題言「圈內從一點作一三邊等形，又 作一五邊等形」，同以此點為其一角，從此角求兩形 相近之第一差弧，即十五邊形之一邊。
如左圖，從甲點作甲乙丙三邊形，甲丁戊五邊形，求 得兩形相近之第一差為乙戊，即十五邊等形之一 邊，乃丁乙全差之半，其數先有三邊形之乙丙，一百 二十度之弦，為一千七百三十二萬○五百○八弱
圖
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又有五邊形之戊子七十二度之弦為一千一百七十五萬五千七百○四弱則乙庚六十度之正弦為乙丙之半得八百六十六萬○二百五十四弱戊辛三十六度之正弦為戊子之半得五百八十七萬七千八百五十二兩相減餘
為乙癸，得二百七十八萬二千四百○二。夫乙己半 徑上方，減壬乙六十度之正弦，乙庚上方，餘己庚依 開方法為五百萬。己子半徑上方，與己辛三十六度 之正弦辛子上兩方并等，依前法亦得己辛八百○ 九萬○一百七十○己辛己庚兩相減，餘為庚辛，得 三百○九萬○一百七十○，庚辛即戊癸也。既得乙 癸二百七十八萬二千四百○二。今得戊癸三百○ 九萬○一百七十○，用句股術，求得乙戊弦為四百 一十五萬八千二百三十四，為十五邊等形之一邊。 其乙戊弧為全圈十五分之一，得二十四，則乙戊為 二十四度弧之相當弦
六題總表
邊 弧度 弦數：
三 一百二十 一、七三、二○五○八 四、 九十 一四一四二一九六、 五、 七十二 一一、七五五七○四、 六 六十
十 三十六 六一八○三四○ 十五 二十四 四一五八二三四， 既得全數，今推半弧。〈即半角〉半弦：
弧度 半弦：
六十 八，六六○二五四。
四十五 七○七，一○九八。
三十六 五八，七七八五二。
三十 五○○○○○○。
十八 三○，九○《一七○》。
十二 二○七九一一七。〈以上原本卷一。
