欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第一百九卷目錄
算法部彙考一
禮記〈內則〉
周禮訂義〈地官〉
周髀算經〈卷上一〉
曆法典第一百九卷
算法部彙考一
《禮記》
內則
六年教之數與方名。〈又〉九年，教之數日。十年，出就外 傅居宿於外學《書計》。
〈注〉數謂一十百千萬，方名東西南北也。九年教之數，日知朔朢與六甲也。書謂六書，計謂九數。
《周禮訂義》
地官
《保氏》：「掌諫王惡，而養國子以道，乃教之六藝：一曰五 禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九 數。」
〈注〉鄭司農曰：「九數，方田、粟米差分少廣、商功、均輸、方程，贏不足旁要，今有重差、夕桀句股。」賈氏曰：「皆依《九章算術》而言。云今有重差夕桀句股者，此漢法增之。」
《周髀算經》〈漢趙君卿注〉
卷上一
昔者周公問於商高曰：「竊聞乎大夫善數也？」〈唐寅曰經文也〉
《周公》姓姬名旦，武王之弟。商高，周時賢大夫，善算者也。周公位居冢宰，德則至高，尚自卑己以自牧，下學而上達，況其凡乎？〈唐寅曰：此《趙注》也。〉
請問古者包犧立周天曆度？
包犧三皇之一，始畫八卦，以商高善數，能通乎微妙，達乎無方，無大不綜，無幽不顯。聞包犧立周天曆度運章蔀之法，《易》曰：「古者包犧氏之王天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地。」 此之謂也。
夫天不可階而升，地不可《將尺寸》而度。
邈乎懸廣，無階可升。蕩乎遐遠，無度可量。
請問「數從安出？」
心昧其機請問其目
商高曰：「數之法出於圓方。」
圓徑一而周三，方徑一而匝四，伸圓之周而為句，展方之匝而為股，共結一角邪適弦五政圓方邪徑相通之率。故曰：「數之法出於圓方。」 圓方者，天地之形，陰陽之數，然則周公之所問天地也，是以商高陳圓方之形以見其象，因奇耦之數以制其法，所謂言約旨遠，微妙幽通矣。
圓出於方，方出於矩。
「圓規之數，理之以方」 ，方，周匝也。「方正之物，出之以矩」 ，矩，廣長也。
矩出於「九九八十一。」
「推圓方之率，通廣長之數，當須乘除以計之」 ，九九者，乘除之原也。
故折矩。
「故」 者，申事之辭也。將為句股之率，故曰《折矩》也。
「以」「為」句，廣三。
廣圓之周橫者，謂之廣。句亦廣。廣，短也。
《股修》四。
「應方之匝從」 者，謂之修股，亦修，修長也。
徑隅五。
自然相應之率，徑直隅角也，亦謂之「弦。」
《既方》之外，半其一矩。
句股之法：先知二數，然後推一，見句、股，然後求弦。先各自乘，成其實。實成勢化，外乃變通，故曰「既方其外。」 或並句、股之實，以求弦實之中，乃求句、股之分，並實不正等，更相取與，互有所得，故曰「半其一矩。」 其術：句股各自乘，三三，如九四四一十六，并，為弦自乘之，實二十五；減句於弦，為股之實一十六；減股於弦，為句之實九。
環而共盤，得成三四五。
盤，讀如「盤桓」 之「盤」 ，言取而並減之，積環屈而共盤之，謂。開方除之其一面，故曰「得成三四五」 也。
兩矩共長二十有五，是謂《積矩》。
「兩矩」 者，句股各自乘之實。「共長」 者，並實之數。將以施於萬事，而此先陳其率也。
故禹之所以治天下者，此數之所生也。
禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，釋昏墊之厄，使東注於海而無浸溺，乃句股之所由生也。
左圖
左圖
弦圖
弦圖
右圖
右圖
句股方圓圖注
趙君卿曰：「句股各自乘，併之，為弦實。開方除之，即弦也。案《弦圖》又可以句股相乘，為朱實。二倍之，為朱實。四。以句股之差自相乘，為中黃實。加差實，亦成弦實。以差實減弦實，半其餘，以差為從法。開方除之，復得句矣。加差於句，即股。凡并句股之實即成弦實。或矩於內，或方於外，形詭而量均，體殊而數齊。句實之矩」 以股弦差為廣，股弦并為袤，而股實方其裏，減矩句之實，於弦實開其餘，即股倍股在兩邊，為從法。開矩句之角，即股弦差。加股為弦，以差除句實，得股弦并。以并除句實，亦得股弦差。令并自乘，與句實為實。倍并為法，所得亦弦句實。減并自乘，如法為股股實之矩。以句股差為廣，句弦并為袤，而句實方其裏。減矩股之實，於弦實開其餘，即句倍句在兩邊。為從法。開矩股之角，即句弦差。加句為弦，以差除股實，得句弦并。以并除股實，得句弦差。令并自乘，與股實為實。倍并為法，所得，亦弦股實。減并自乘，如法為句。兩差相乘，倍而開之，所得，以股弦差增之，為句。以句弦差增之，為股。兩差增之，為弦。倍弦實，列句股差實。見弦實者，以圖考之，倍弦實滿外大方而多黃實，黃實之多，即句股差實。以差實減之，開其餘，得外大方。大方之面，即句股并也。令并自乘倍弦實，乃減之，開其餘，得中黃方。黃方之面，即句股差。以差減并而半之，為句；加差於并而半之，為股。其倍弦為廣袤。合令句股見者自乘，為其實，四實以減之，開其餘，所得，為差；以差減合半，其餘，為廣；減廣於弦，即所求也。觀其迭相規矩，其為反覆，互與通分，各有所得。然則統敘群倫，弘紀眾理，貫幽入微，鉤深致遠。故曰：「其裁制萬物，唯所為之也。」
釋圓方句股注
按：君卿注曰：「句股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦。」
臣鸞曰：假令句三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，開方除之得五，為弦也。〈寅曰：「五五二十五，弦實四面之一也。」 〉
注云：「按《弦圖》，又可以句股相乘，為朱實。二倍之，為朱實。四以句股之差，自相乘，為中黃實。」〈寅曰：「句股相乘，其數一十二也。」 〉
臣鸞曰：以句弦差二倍之，為四，自乘，得一十六，為左圖「中黃實」也。〈寅曰：甄氏止注以句股十二字之義。〉臣淳風等謹按注云：「以句股之差自乘，為中黃實。」鸞云：「倍句弦差自乘者，苟求異端，雖合其數，於率不通。」〈寅曰句股之差其數一也自乘得一一如一〉注云：「加差實，亦成弦實。」
臣鸞曰：加差實一，并外矩青八得九，并中黃十六得二十五，亦成弦實也。
臣淳風等謹按注云：「加差實一，亦成弦實。」鸞曰：「加差實并外矩及中黃者，雖合其數，於率不通。」〈寅曰：加差實之一於前文所言朱實四之上，朱實之四為二十四，加一為弦實二十五也。〉注云：「以差實減弦實，半其餘，以差為從法。」開方除之，復得句矣。
臣鸞曰：以差實九，減弦實二十五，餘十六，半之，得八，以差一加之，得九，開之得句三也。
考證
臣淳風等謹按《注宜》云：「以差實一減弦實二十五，餘二十四，半之為十二。」以差一從開方除之，得句三。鸞云「以差實九減弦實者，雖合其數，於率不通。」〈顧應祥曰：以差實一，減弦實二十五。〉
《注》云：「加差於句，即股。」
臣鸞曰：加差一於句三，得股四也。
《注》云：「凡并句股之實，即成弦實。」
臣鸞曰：句實九，股實十六，並之得二十五也。注云：「或矩於內，或方於外，形詭而量均，體殊而數齊。句實之矩，以股弦差為廣，股弦並為袤。」
臣鸞曰：以股弦差一為廣，股四並弦五得九為袤，《左圖》《外青》也。
《注》云：「而股實，方其裏。」
臣鸞曰：「為《左圖》中黃十六。」
注云：「減矩句之實，於弦實開其餘，即股。」
臣鸞曰：減矩句之實九，於弦實二十五，餘一十六，開之得四股也。
注云：「倍股在兩邊，為從法，開矩句之角，即股弦差。」 臣鸞曰：「倍股四得八，在圓兩邊，以為從法，開矩句之角，九得一也。」
注云加股為弦
《臣鸞》曰：加差一於股四則弦五也。
注云：「以差除句實，得股、弦並。」
臣鸞曰：以差一除句實九得九，即股四弦五，並為九也。
注云：「出並除句實，亦得股、弦差。」
臣鸞曰：以九除句實九，得股弦差一。
注云：「令并自乘，與句實為實。」
臣鸞曰：令並股弦得九，自乘，為八十一，又與句實九，加之，得九十，為實。
《注》云：「倍並為法。」
臣鸞曰：倍股弦，並九得十八者為法。
注云所得亦弦
臣鸞曰：除之得五，為「弦。」〈寅曰：以法十八，除實九十。〉注云：「句實減並自乘，如法，為股。」
臣鸞曰：以句實九減並，自乘，八十一，餘七十二，以法十八除之，得四，為股也。
注云：「股實之矩，以句弦差為廣，句弦並為袤。」 臣鸞曰：「股實之矩，以句弦差二為廣，句弦並八為袤。」
《注》云：「而句實方其裹，減矩股之實，於弦實開其餘，即句。」
臣鸞曰：句實有九方，在右圖裏。以減矩股之實十六，於弦實二十五，餘九，開之得三句也。
注云：「倍句在兩邊。」
《臣鸞》曰：「各三也。」〈寅曰：「倍之，得六。」 〉
注云：「為從法，開矩股之角，即句股差。」 加句為弦。臣鸞曰：「加差二於句三，則弦五也。」
注云：「以差除股實，得句、弦並。」
臣鸞曰：以差二除股實十六，得八，句三弦五，並為八也。
注云：「以並除股實，亦得句、弦差。」
臣鸞曰：以並除股實十六，得句弦差二。
注云：「令並自乘，與股實，為實。」
臣鸞曰：令並八自乘，得六十四，與股實十六加之，得八十，為實。
《注》云：「倍並為法。」
臣鸞曰：倍句弦並八得十六為法。
注云所得亦弦
《臣鸞》曰：除之得弦五也。
注云：「股實減並自乘，如法為句。」
臣鸞曰：以股實十六，減並，自乘，六十四，餘四十八，以法十六除之，得三，為句也。
注云：「兩差相乘，倍而開之，所得，增股弦差為句。」 臣鸞曰：以股弦差一乘句弦差二，得二，倍之，為四，開之，得二，以股弦差一增之，得三句也。
注云：「以句弦差，增之為股。」
《臣鸞》曰：以弦差二增之，得四股也。
注云：「兩差，增之為弦。」
臣鸞曰：以股弦差一、句弦差二，增之得五弦也。注云：「倍弦實列句股差實見弦實者，以圖考之，倍弦實滿外大方而多黃實，黃實之多，即句股差實。」 臣鸞曰：「倍弦實二十五得五十，滿外大方七七四十九而多黃實，黃實之多，即句股差實也。」
注云：「以差實減之，開其餘，得外大方。」 大方之面，即句、股並。
臣鸞曰：以差實一減五十，餘四十九開之，即大方之面七也，亦是句股並也。
注云：令並自乘，倍弦實，乃減之，開其餘，得中黃方。黃方之面，即句股差。
臣鸞曰：並七自乘，得四十九，倍弦實二十五得五。
「十以減之，餘即《中黃方差》。」 實一也，故開之，即句股差一也。
注云：「以差減並而半之為句。」
臣鸞曰：以差一，減並七，餘六，半之，得三句也。注云：「加差於並而半之，為股。」
臣鸞曰：以差一，加并七得八而半之，得四股也。注云：「其倍弦為廣袤合。」
《臣鸞》曰：「倍弦二十五為五十，為廣袤合。」
臣淳風等謹按列《廣袤術》，宜云「倍弦五得十」，為廣袤合。今鸞云「倍弦二十五」者，錯也。〈《寅》曰：「句廣一，袤九；股廣二，袤八。」 〉注云：「而令句股見」者，自乘，為其實，四實以減之，開其餘，所得，為差。
臣鸞曰：令自乘者，以七七自乘，得四十九，四實大方。句股之中有四方，一方之中有方十二，四實，有四十八，減上四十九，餘一也。開之得一，即句股差一。
臣淳風等謹按注意，「令自乘者十，自乘得一百四。實者，大方。廣袤之中有四方。若㨿句實而言，一方之中有實九，四實有三十六，減上一百，餘六十四，開之得八，即廣袤差。此是股弦差減股弦並餘數。若據股實而言之，一方之中有實十六，四實有六十四，減上一百，餘三十六，開之得六，即廣袤差。此是句股差減句」弦并餘數也。鸞云：「令自乘者，以七七自乘，得四十九，四實」者，大方句股之中有四方，一方之中有方十二。四實者，四十八，減上四十九，餘一也。開之得一，即句股差。一者，錯也。〈寅曰：「大方之中有四弦實」 ，故四其句實，得三十六，減之，餘六十四；開其餘，得八，為句之廣袤差。四其股實，得六十四，減之，餘三十六，開得六，為股之廣袤差。所謂廣袤差者，句廣一而袤九，股廣二而袤八，廣袤相減之餘也。〉《注》云：「以差減合半，其餘為廣。」
臣鸞曰：以差一減合七、餘六，半之，得三廣也。臣淳風等謹按注意以差八、六各減合十、餘二四，半之得一二，一即股弦差，二即句弦差，以差減弦，即各袤廣也。鸞云「以差一減合七、餘六，半之得三廣」者，錯也。〈寅曰：「以句之廣袤差八，減廣袤，合十，餘二半之，為句之廣。以股袤差六，減廣袤，合十，餘四半之，為股之廣。」 二《注》皆未瑩。〉
注云：「減廣於弦，即所求也。」
《臣鸞》曰：「以廣三減弦五，即所求差二」 也。
臣淳風等謹按注意：以廣一二各減弦五，即所求股四、句三也。鸞云：「以廣三減弦五，即所求差二」者，此錯也。〈寅曰：「《甄鸞述說》終此。」 〉
周公曰：「大哉言數！」〈唐寅曰此經文也〉
心達數術之意，故發「大哉」之歎。〈唐寅曰：此《趙注》也。〉
請問用矩之道？
謂「用表之宜，測望之法。」
《商高》曰：「平矩以正繩。」
以求繩之正，定平懸之體，將欲慎毫釐之差，防千里之失。
偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠。
言「施用無方，曲從其事，術在《九章》。」
環矩以為圓，合矩以為方。
既以追尋情理，又可造製圓方，言「矩之於物，無所不至。」
「方屬地，圓屬天」，天圓地方。
物有圓方，數有奇耦。天動為圓，其數奇；地靜為方，其數耦。此配陰陽之義，非實天地之體也。天不可窮而見，地不可盡而觀，豈能定其圓方乎？又曰：北極之下，高人所居六萬里，滂沲四隤而下，天之中央亦高四旁六萬里，是為形狀同歸而不殊塗，隆高齊耽而易以陳。故曰：「天似蓋笠，地法覆槃。」
方數為典，以方出圓。
夫體方則度影正，形圓則審實難。蓋方者有常而圓者多變，故當制法而理之。理之法者，半周、半徑相乘，則得方矣。又可周徑相乘四而一，又可徑自乘三之四而一，又可周自乘十二而一，「故圓出於方。」〈典，實也。〉
《笠》以寫天，
笠亦如葢，其形正圓，戴之所以象天。寫，猶象也。言笠之體象天之形。《詩》云：「何蓑何笠。」 此之義也。
「天青黑，地黃赤」，天數之為笠也。青黑為表，丹黃為裏， 以象天地之位。
既象其形，又法其位。言相方類，不亦似乎！
是故「知地者智，知天者聖」，
言天之高大，地之廣遠，自非聖智，其孰能與於此乎。
智出於句。
句亦影也，察句之損益，加物之高遠，故曰「智出於句。」
句出於矩。
矩謂之表，表不移亦為句。為句將正，故曰「句出於矩」 焉。
夫《矩》之於數，其裁制萬物，唯所為耳考證
言「包含幾微，轉通旋環」 也。
周公曰：「善哉！」
《善哉》言明曉之意，所謂問一事而萬事達。
昔者榮方問於陳子。
榮方、陳子是周公之後人，非周髀之本文。然此二人共相解釋，後之學者謂之《章句》，因從其類，列於事下。又欲尊而遠之，故云「昔者時世官號，未之前聞。」
曰：「今者竊聞夫子之道。」
《榮方問：陳》子能述商高之旨，明周公之道。
知日之高大。
日去地與圓徑之術
光之所照，
日旁照之所及也
一日所行
日行天之度也
遠近之數，
《冬至》、夏至，去人之遠近也。
人所望見。
人目之所極也
《四極之窮》。
日光之所遠也
列星之宿。
二十八宿之度也
《天地之廣袤》，
袤，長也。東西南北謂之《廣長》。
夫子之道，皆能知之，其信有之乎？
能明察之，故不昧不疑。
陳子曰：「然。」
言可知也
《榮方》曰：「方雖不省，願夫子幸而說之。」
欲以不省之情，而觀《大雅》之法。
今若《方》者，可教此道邪？
不能自料訪之賢者
陳子曰：「然。」
言可教也
此皆算術之所及。
言《周髀》之法，出於算術之妙也。
子之於算，足以知此矣。若誠累思之。
累，重也。言若誠能重累思之，則達至微之理。
於是榮方歸而思之，數日不能得。
雖潛心馳思，而才單智竭。
復見《陳子》曰：「方思之不能得，敢請問之。」《陳子》曰：「思之 未熟。」
熟猶善也
此亦望遠起高之術，而子不能得，則子之於數，未能 通類。
「定高遠者，立兩表；望懸邈者施累矩。」 言未能通類，求句股之意。
是「智有所不及，而神有所窮。」
言不能通類，是情智有所不及，而神思有所窮滯。
夫「《道術》言約而用博」者，「智類之明。」
夫道術，聖人之所以極深而研幾。唯深也，故能通天下之志；唯幾也，故能成天下之務。是以其言約，其旨遠，故曰：「智類之明也。」
問、「一類而萬事達者，謂之知道。」
引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣，故謂之「知道」 也。
今子所學。
欲知天地之數
「算數之術，是用智矣，而尚有所難」，是子之智類單。
「算術所包，尚以為難」 ，是子智類單盡。
夫道術所以難通者，既學矣，患其不博。
不能廣博
《既博》矣，患其不習。
不能究習
《既習矣》，患其不能知。
不能知類
故「同術相學。」
《術教》同者，則當學「通類」 之意。
《同事相觀》。
《事類同》者，觀其旨趣之類。
此《列士》之愚智。
列，猶別也。言視其術，鍳其學，則愚智者別矣。
「賢不肖」之所分。
「賢者達於事物之理，不肖者闇於照察之情，至於役神馳思，聰明殊別」 矣。
「是故能類以合類」，此賢者業精習智之質也。
「學其倫類，觀其指歸」 ，唯賢智精習者能之也。
夫「學同業而不能入神」者，此不肖無智，而業不能精 習
俱學道術，明不察，不能以類合類而長之，此心遊目蕩，義不入神也。
是故算不能精習，吾豈以道隱子哉。固復熟思之。
凡教之道，不憤不啟，不悱不發，憤而悱之，然後啟發，既不精思，又不學習，故言「吾無隱也。」 爾。固復熟思之，舉一隅，使反之以三也。
榮方復歸，思之數日，不能得。復見《陳子》曰：「方思之以 精熟矣，智有所不及而神有所窮，知不能得，願終請 說之。」
自知不敏，避席而請說之。
陳子曰：「復坐吾語汝。」於是榮方復坐而請陳子說之 曰：「夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立 竿測影。」
臣鸞曰：「南戴日下立八尺表，表影千里而差一寸，是則天上一寸，地下千里。」 今夏至影有一尺六寸，故其萬六千里；冬至影一丈三尺五寸，則知其十三萬五千里。
此一者，天道之數。
言「天道數一」 ，悉以如此。
《周髀》長八尺，夏至之日晷一尺六寸。
晷，影也。此數望之，從周城之南千里也。而《周官》測影，尺有六寸，蓋出周城南千里也。《記》云：「神州之土，方五千里，雖差一寸，不出畿地之分。先王知之，是故建王國。」
髀者，股也；《正晷》者，句也。
以髀為股，以影為句，股定然後可以度日之高遠。「正晷」 者，日中之時節也。
《正南千里》句，一尺五寸。《正北千里》句，一尺七寸。
候其影使表相去二千里，影差二寸，將求日之高遠，故先見其表影之率。
日益表，南晷日益長，候句，六尺。
「候其影使長六尺」 者，欲令句股相應，句三，股四，弦五，句六，股八，弦十。
即取竹空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日。
以徑寸之空視日之影，髀長則大，矩短則小，正滿八尺也。捕猶「索」 也，「掩」 猶覆也。
而日「應空」之孔。
「掩若重規」 ，更言八尺者，舉其定也。又曰：「近則大，遠則小，以影六尺為正。」
由此觀之，率八十寸而得徑一寸。
以此為「《日髀》之率。」
故以「句」為首，以「髀」為股。
首猶始也，股猶末也。句能制物之率，股能制句之正，欲以為總見之數，立精理之本，明可以周萬事，智可以達無方，所謂「智出於句，句出於矩」 也。
從「髀至日下」六萬里，而「髀無影。」從此以上至日，則八 萬里。
圖
圖
臣鸞曰：「求從髀至日下六萬里者，先置南表，晷六尺上，十之為六十寸，以兩表相去二千里乘，得十二萬里為實，以影差二寸為法除之，得日底地去表六萬里。求從髀至日八萬里者，先置表高八尺上，十之為八十寸，以兩表相去二千里乘之，得十六萬為實，以影差二寸為法除之，得從表端上至日八萬里也。」
若求「邪至日」者，以日下為句，日高為股，句股各自乘， 並而《開方》除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬里。
旁此古邪宇求其數之術。曰：「以表南至日下六萬里為句，以日高八萬里為股，為之求弦。句股各自乘並，而開方除之，即邪至日之所也。」
臣鸞曰：求從髀邪至日。所法：先置南至日底六萬里為句，重張自乘得三十六億為句實；更置日高八萬里為股，重張自乘得六十四億為股實；并句股實得一百億為弦實，開方除之，得從王城至日十萬里。今有十萬里，問徑幾何？曰：「一千二百五十里八十寸而得徑一寸。以一寸乘十萬里為實八。」
考證
十寸為法即得
以率率之，八十里得徑一里，十萬里得徑千二百五 十里。
法當以空徑為句率，竹長為股率，日去人為大股，大股之句即日徑也。其術以句率乘大股、股率而一。此以八十里為法，十萬里為實。實如法而一，即得日徑。
故曰「日晷徑千二百五十里。」
臣鸞曰：求以率八十里得徑一里，十萬里得徑千二百五十里。法：先置竹孔徑一寸為十里，為句，更置邪去日十萬里為股，以句十里乘股十萬里得一億為實。更置日去地八萬里為法，除實，得日晷徑千二百五十里，故云「日晷徑」 也。
臣淳風等謹按夏至王城望日，立兩表，相去二十里，表高八尺，影去前表一尺五寸，去後表一尺七寸。舊術以前後影差二寸為法，以前影寸數乘表間為實，實如法得萬五千里，為日下去南表里。又以表高八十寸乘表間為實，實如法得八萬里，為表上去日里。仍以表寸為日高，影寸為日下。待日漸高，候日影六尺，用之為句，以表為股，為之求弦，得十萬里為邪表數目。取管圓孔徑一寸，長八尺，望日滿筒以為率，長八十寸為一邪，去日十萬里，日徑即千二百五十里。以理推之，法云「天之處心，高於外衡六萬里」 者，此乃語與術違，句六尺，股八尺，弦十尺，角隅正方，自然之數。蓋依繩水之定，施之於表矩。然則天無別體，用日以為高下。術既隨手而遷，高下從何而出？語術相違，是為大失。又按二表下地，依水平法定其高下。若北表地高則以為勾，以間為弦，置其高數，其影乘之，其表除之，所得益股，為定間。若北表下者，亦置所下，以法乘除，所得以減股，為定間。又以高下之數與間相約，為地高遠之率。求遠者，影乘定間，差法而一，所得加表日之高也。求邪去地者，弦乘定間，差法而一，所得加弦日邪去地。此三等至皆以日為正。求日下地高下者，置戴日之遠近，地高下率乘之，如間率而一，所得為日下地高下，形勢隆殺與表間同，可依此率。若形勢不等，非代所知，率日徑求日大小者，徑率乘間，如法而一，得日徑。此徑當，即得不待，影長六尺。凡度日者，先須定二矩，水平者影南北立勾齊高四尺，相去一丈，以二弦候牽於勾上，《並率》二則擬為候影。勾上立表，弦下望日，前一則上畔，後一則下畔，引則就影，合與表日參直。二至前後三四日間，影不移處即是。當以候表並望人取一影亦可。日徑影端，表頭為則。然地有高下，表望不同。後六術乃窮其實。
第一《後高前下術》：「高為句，表，間為弦，後復影為所求率，表為有所率，以句為所有數，所得益股為定間。」
第二《後下術》：以其所下為句，表間為弦，置其所下，以影乘表，除所得減股，餘為定間。
第三，邪下術：依其北高之率，高其句影，令與地勢隆殺相似。餘同平法。假令髀邪下而南，其邪亦同，不須別望，但弦短與句股不得相應，其南里數，亦隨地勢，不得校乎平則促。若用此術，但得南望。若北望者，即用句照南下之術，當北高之地。
第四邪上術，依其後下之率，下其句影，此謂迴望北極以為高遠者。望去取差，亦同南望。此術弦長亦與句股不得相應，唯得北望，不得南望。若南望者，即用句影北高之術。
第五平術，不論高下，周髀度日，用此平術，故東西南北四望皆通，遠近一差，不須別術。
第六術者，是外衡。其徑云「四十七萬六千里」，半之得二十三萬八千里者，是外衡去天心之處，心高於外衡六萬里。為率。南行二十三萬八千里，下校六萬里，約之，得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九步，差下三十步。〈闕。〉「三十步，大強差下十步。以此為準，則不合有平地。地既平，而用術尤乖理驗。且自古論晷影差變，每有不同，今略其梗概，取其推步之要。《尚書攷靈曜》云：『日永影尺五寸，日短一十三尺，日正南千里而減一寸』。」張衡《靈憲》云：「懸天之晷，薄地之儀，皆移千里而差一寸。」鄭元註《周禮》云：「凡日影於地千里而差一寸。」王蕃、姜岌因此為說。按前諸說，是數並同，其言更出，書非直有此，以事考量，恐非實矣。謹按宋元嘉十九年，歲在壬午，遣使往交州度日影。夏至之日，影在表南三寸二分。《太康地理志》，交趾去洛陽一萬一千里，陽城去洛陽一百八十里。交趾西南望陽城，洛陽在其東南。較而言之，令陽城去交趾近於洛陽，去《交趾》一百八十里，則《交趾》去陽城一萬八百二十里，而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。況復「人路迂迴，羊腸曲折，方於鳥道，所較彌多
以事驗之，又未盈五百里而差一寸明矣。千里之言，固非實也。何承天又云：「詔以土圭測影，考校二至。」〈闕。〉三日有餘。從來積歲及交州所上，驗其增減，亦相符合。此則影差之驗也。《周禮·大司徒職》曰：「夏至之影，尺有五寸。」馬融以為洛陽，鄭元以為陽城。《尚書攷靈曜》，日永影一尺五寸。鄭元以為陽城，日短十三尺。《易緯通卦》驗夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。劉向《洪範傳》：夏至影一尺五寸八分。是時漢都長安，而向不言測影處所，若在長安，則非晷影之正也。夏至影長一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又云：「春秋分長七尺三寸六分。」此即總是虛妄。《後漢曆志》，夏至影一尺五寸。後漢洛陽，冬至一丈三尺。自梁天監已前，並同此數。魏景初，夏至影一尺五寸，魏初都許昌，與潁川相近，後都洛陽，又在地中之數。但《易緯》因漢曆舊影，似不別影之冬至一丈三尺；晉姜岌影一尺五寸；宋都建康，在江表驗影之數，遙取陽城，冬至一丈三尺；宋大明祖沖之曆，夏至影一尺五寸；宋都秣陵，遙取影同前冬至一丈三尺。後魏信都芳注周髀《四術》云：「按永平元年戊子，是梁天監之七年也。」見《洛陽測影》，又見《公孫崇集》諸朝士共觀祕書影，同是夏至之日。以八尺之表測日中影，皆長一尺五寸八分，雖無六尺，近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞鄺以九尺表於江左建康測夏至日中影長一尺三寸二分，以八尺表測之，影長一尺一寸七分強。冬至一丈三尺七分，八尺表影長一丈一尺六寸二分弱。隋開「皇元年冬至，影長一丈二尺七寸二分。『開皇二年夏至，影一尺四寸八分。冬至，長安測；夏至，洛陽測』。」及王邵《隋靈感志》，「冬至一丈二尺七寸二分」，長安測也。「開皇四年夏至一尺四寸八分，洛陽測也。冬至一丈二尺八寸八分」，洛陽測也。「大唐貞觀二年己丑五月二十三日癸亥夏至，中影一尺四寸六」分，長安測也。十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分，長安測也。按漢魏及隋所記夏至中影，或長短齊其盈縮之中，則夏至之影尺有五寸，為近定實矣。以《周官》推之，洛陽為所交會，則冬至一丈二尺五寸，亦為近矣。按梁武帝都金陵云：「洛陽南北大較千里，以尺表令其有九尺影」，則大《同十年》，江左八尺表，夏至中影長一尺一寸七分。若是為夏至八尺表千里而差一寸弱矣。由此推驗，即是夏至影差，降升不同，南北遠近，數亦有異。若以一等永定，恐皆乖理之實。
日高圖
日高圖
日高圖注
趙君卿曰：「黃甲與黃乙，其實正等。以表高乘兩表相去，為黃甲之實；以影差為黃甲之廣，而一所得，則變得黃甲之袤，上與日齊。按圖當加表高。今言八萬里者，從表以上復加之。青丙與青己，其實亦等，黃甲與青丙相連，黃乙與青己相連，其實亦等，皆以影差為廣。」
臣鸞曰：求日高法：先置表高八尺為八萬里為袤。以相兩表，相去二千里為廣，乘袤八萬里得一億。
考證
六千萬里為黃甲之實。以影差二寸為二千里為法。除之，得黃乙之袤八萬里，即上與日齊。此言王城去天名曰甲，日底地上至日名曰乙，上天名青丙，下地名青戊。㨿影六尺，王城上天南至日六萬里，王城南至日底地亦六萬里，是上下等數日。夏至南萬六千里者，立表八尺於王城，影一尺六寸，影寸千里，故王城去夏至日底地萬六千里也。
法曰：周髀長八尺，句之損益，寸千里。
《句》謂影也，言懸天之影，薄地之儀，皆千里而差一寸。
故曰：「極者，天廣袤也。」
言《極》之遠近有定，則天廣長可知。
今立表高八尺以望極，其句一丈三寸。由此觀之，則 從周北十萬三千里而至極下。
謂冬至日加卯酉之時，若春秋分之夜半，極南兩旁與天中齊，故以為周去天中之數。
《榮方》曰：「周髀者何？」陳子曰：「古時天子治周。」
古時天子謂周成王時以治周，居王城，故曰：「昔先王之經邑，奄觀九隩，靡地不營，土圭測影，不縮不盈。當風雨之所交，然後可以建王城。」 此之謂也。
此數望之從周，故曰《周髀》。
言周都河南，為四方之中，故以為「望主」 也。
「髀」者，表也。
用其行事，故曰「髀。」 由此捕望故曰「表。」 影為句，故曰「句股」 也。
日夏至，南萬六千里；日冬至，南十三萬五千里；日中 無影。以此觀之，從南至夏至之日中，十一萬九千里。
諸言極者，斥天之中極去周十萬三千里，亦謂「極與天中齊，時更加南萬六千里」 是也。
北，至其夜半亦然。
「日極在極北」 ，正等也。
凡徑二十三萬八千里。
并南北之數也
此夏至日道之徑也。
「其徑」 者，圓中之直者也。
其周七十一萬四千里。
「周，匝也。」 謂天戴日，行其數。以三乘徑。
臣鸞曰：「求夏至日道徑法列夏至日去天中心十一萬九千里，夏至夜一日亦去天中心十一萬九千里，并之，得夏至日道徑二十三萬八千里」 ，三乘徑，得周七十一萬四千里也。
從夏至之日中，至冬至之日中，十一萬九千里。
冬至日中去周十三萬五千里，除夏至日中去周一萬六千里是也。
「北至極下亦然」，則從極南至冬至之日中，二十三萬 八千里；從極北至其夜半亦然，凡徑四十七萬六千 里。此冬至日道徑也，其周百四十二萬八千里。從春 秋分之日中，北至極下，十七萬八千五百里。
《春秋》之日影七尺五寸五分，加《望極》之句一丈三寸。
臣鸞曰：求冬至日道徑：法列《夏至》去冬至日中十一萬九千里，從夏至日道北徑亦十一萬九千里，併之，得冬至日中北極下二十三萬八千里，從極至夜半亦二十三萬八千里，並之，得冬至道徑四十七萬六千里。以三乘徑，即冬至日道周一百四十二萬八千里。
「從極下北至其夜半亦然。」凡徑三十五萬七千里，周 一百七萬一千里。故日月之道常緣宿，日道亦與宿 正。
內衡之南，外衡之北，圓而成規，以為黃道，二十八宿列焉。日之行也，一出一入，或表或裏。五月二十三分，月之二十一道一交，謂之合朔交會，及月蝕相去之數，故曰「緣宿」 也。日行黃道，以宿為正，故曰「宿正。」 於中衡之數，與黃道等。
臣鸞曰：「求春秋分日道法：列春秋分日中北至極下十七萬八千五百里，從北極北至其夜半亦然。並之，得春、秋分日道徑三十五萬七千里。以三乘徑，即日道周一百七萬一千里。求黃道徑法：列從北極南至夏至日中一十一萬九千里，以從極北去冬至夜半二十三萬八千里，并之，得黃道三十五萬七千里。從」 極南至冬至日，北至夏至日夜半，亦黃道徑也。以三乘徑周，得一百七萬一千里也。
「南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日 中，北至夏至之夜半」，亦徑三十五萬七千里，周一百 七萬一千里。
此皆「黃道之數，與《中衡》等。」 。
