欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

第一百十三卷目錄

算法部彙考五

算法統宗一〈序目　算義總　算義總一〉

曆法典第一百十三卷

算法部彙考五

《算法統宗一》〈明程大位著〉

序目

夫算非小技也，有熊氏命隸首創焉。《周官》則置保氏， 教國子以六藝，而數居其一。惟是數以俟夫算，算以 成，夫數固二而一者也。藉令算為小技，何古先哲王 用意勤篤如是哉？迺今隸首遠矣，保氏之職廢，精其 理者代不數人。程汝思氏悵然有恫於衷，爰輯《算法 統宗》若干卷。汝思少游吳楚，歷大澤名山，老憩丘園， 舉平生師友之所講求，咨詢之所獨得者，提綱挈要， 縷析支分，著是編而迪來學。儻其中有前賢未及者， 而汝思悉為闡明之。汝思謂余曰：「大位悅孫武子兵 家言，而感其通於事理也，曰多算勝，少算不勝，而況 於無算乎？迄今疇為隸首，而吾幾其徒耶？疇為保氏， 而吾幾其副耶？匪汝思自任所事，思」之自得者耳。汝 思之書具在，一寓目，而千古所謂「方田」以下，「旁要」以 上，九數云者，靡不了了於胸臆間，始知汝思之稱說 不迂矣。余謂汝思不佞，於此道未見一斑。第嘗讀《漢 記》，至安定嵩真元�元理，「一能自算其年壽，一能為 友人算囷米，舉所食，著十餘轉不差圭合其術，後相 授受，得其分數而失元妙焉。」不佞未嘗不欣慕而抱 願見之思。今觀汝思駸駸乎跂！元妙之歸無讓嵩真。 元理當吾世而獲覯其人一何快哉！吳繼綬著。

算義總

總說　　　　　　　　　　　河圖　　　　　　　　　、《洛書》，伏羲則「圖」作《易》。〈四《圖》。〉　　　《洛書》釋數：

「九宮八卦圖　　　　　　　　」、《洛書易換數》《黃鐘萬事根本圖　　　　　　》《先賢格言》《算法提綱　　　　　　　　　》《九章名義》《算學節要　　　　　　　　　》、「《乘除》用字釋」「用字凡例　　　　　　　　　數。」〈附：《暗馬式》〉　　　　大數，　　小數，度　量，　衡　畝，　　　　　　諸物，輕重數，錢鈔，名數　　　　　　　　　定，算盤，位次實，左法右論，九九八十一，　　　　　　　　九九合數，《九歸歌》，　　　　　　　　　　《因乘論》，《九歸論》，　　　　　　　　　　《商除論》，《加法論》，　　　　　　　　　　《減法論》，《約分法論》，　　　　　　　　　《通分法論》，異乘同除，論　　　　　　　　異乘同乘論，異除同除論，　　　　　　　　《開平方法論》，《開立方法論》，　　　　　　　　《倍法論》，《折半法論》，　　　　　　　　　定位總歌〈凡三〉《直指定位訣》，　　　　　　　　定法實，訣歸《除法實》。〈凡四〉總訣：

《初學盤式圖　　　　　　　　》九因〈《八問》：〉《九歸》。〈九問〉　　　　　　　乘法：〈八問〉

《歸除》：〈歌一十問：〉　　　　　〈撞歸法　起一還原法〉加法。〈四問〉　　　　　　　減法。〈三問〉

《商除》：〈二問。〉　　　　　　　約分。〈四問〉

乘分：〈一、問：〉　　　　　　　課分：〈一問〉

《通分》。〈《七問》：〉　　　　　　　差分。〈七問〉

異乘同除。〈一《圖五問》〉　　　同乘異除。〈一問〉異乘同乘。〈一問〉　　　　　異除、同除。〈一問〉同乘同除。〈一問〉　　　　　傾煎論色。〈六問〉

方田章第一

《丈量田地總歌》：〈凡二。〉　　　《丈量步車圖》。〈併製釋〉

《方圓定則》九圖　　　　　　　　，各種田形圖〈凡七十一，二十八問。〉

「方圍」、方束、《圖解　　　　　　　》《田畝演段根源》《圖解》《方圓論說》〈附圖：〉　　　　　「《方圓環》總圖說」帶分母，用約分法。〈六問〉　　《休邑科則》：〈凡二〉《畝法論》　　　　　　　　　　《古今折步粟布》章第二：

粟、布。〈「諸數率數」 八問：〉　　　官糧帶耗。〈三問〉盤量倉窖。〈一十六問〉

各處鹽場散堆量算引法：〈一、問：〉

《衡法》：〈《二十四問》：〉　　　　　煉鎔銅、鐵礦。〈三問〉度法。〈九問〉　　　　　　　就物抽分。〈三問〉

衰分章第三

合率差分。〈《十問》：〉　　　　　四、《六差分》。〈五問〉二《八差分》。〈三問〉　　　　　三。《七差分》。〈四問〉折半差分。〈三問〉　　　　　遞減挨次差分。〈十問〉

帶分「母子」差分。〈四問：〉　　　互和減半差分。〈八問〉匿價差分。〈四問〉　　　　　貴賤差分。〈三問〉《仙人換影》。〈六問〉　　　　　《物不知總》。〈三問〉

少廣章第四

《開平方法　　　　　　　　　》「《開平求廉率》作法，本源圖。」方廉隅圖。〈《五問》：〉　　　　　一《方四廉兩隅演段圖》。〈一問〉《歸除》《開平方》。〈二問〉　　　　《歸除》平方帶《縱》。〈一問〉帶縱開平方。〈四問〉　　　　「長闊」相和。〈一問〉長闊相差。〈一問〉　　　　　平圓：〈三問〉

《開平方》通分法。〈二問。〉　　　《方圓三稜圖》。〈三圖七問〉《演段根源》開方解。〈附圖〉　　帶、《縱平方圖》〈一問〉長闊相差《求和圖》。〈二問〉　　減《縱開方圖》。〈一問〉減縱飜積圖，　　　　　　　　方圓求徑圖。〈一問〉減積帶縱開平方。〈又名鎖方一問〉　〈附圖〉《大小三方》總一圖。〈一問〉　　開立方法。〈四問〉立圓法：〈二問〉　　　　　　《歸除》開立方法。〈二問〉《開立方帶縱》法。〈三問〉　　　三乘方法。〈一問〉《開立方廉隅圖》，〈一問〉　　　求米，倉窖盛貯。〈九問〉分田截積法：〈十一圖十五問〉圭田截積法：〈四圖四問〉梯田截積法：〈二圖二問〉　　環田截積法：〈二圖二問〉圓田截積法：〈一圖二問〉　　弧矢法：〈三圖三問〉

商功章第五

堅河渠濠。〈四問：〉　　　　　築臺。〈五問〉

《築牆》。〈《五問》：〉　　　　　　　《築方錐》。〈三問〉築方圓臺。〈三問〉　　　　　《築堤》。〈一問〉

《開渠》。〈一問附《雜問七》〉　　　《堆垛》。〈九問〉

挑土計方。〈一、問：〉　　　　　《量木梱》。〈三問〉

均輸章第六

問答：〈凡二十七。〉

盈朒章第七

盈不足，〈《六問》：〉　　　　　　兩盈兩不足。〈四問〉「《盈》適足」，不足適足。〈六問〉　　《取錢買物法》。〈三歌五問〉

方程章第八

《二色歌》：〈二問。〉　　　　　　《三色歌》：〈五問〉《四色歌》：〈二問〉

句股章第九

句股名義。〈一十三。〉　　　　《句股論說釋義》、求弦、求股、求句、容方、容圓等圖〈二十九問〉《求高求遠法》：〈四圖七問〉　　難題。〈附亦分列九章〉

算義總一

總說

數何肇，其肇自圖書乎？伏羲得之以畫卦，大禹得之 以序疇，列聖得之以開物成務。凡天官、地員、律曆、兵 賦，以及纖悉秒忽，莫不有數，則莫不本於《易》範。故今 推明直指算法，輒揭「《河圖》《洛書》」於首，見數有原本云。

河圖

河圖

《河圖》者，伏羲氏王天下，龍馬負圖出河，遂則其文以 畫八卦。

《河圖》以相生為序，故右行自北而東、而南、而中、而西，復始於北；

〈天數〉一三五《七九》〈積二十五〉

〈地數〉「二四六」，八十。〈積三十〉

共積五十五數，此所以「成」 「變化」 而行。

求積法曰：置天一、地十，併，得十一，以十乘之，得一百 一十，折半得五十五，為天地之數也。

洛書

洛書

《洛書》者，「禹治水時，神龜負文列於背，有數至九，禹遂 因而第之，以成九疇。」

《洛書》以相克為序，故右轉自北而西、而南，而東而中，復始於北；

蓋取龜象，故其數「戴九履一，左三右七，二四為肩，六 八為足

洛書易換數

洛書易換數

洛書釋數

洛書釋數

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求《積法》曰：「併上下數，一九共十，以九乘之，得九十，折 半得積四十五為實。以三行為法除之，得縱、橫、斜角 皆十五數也。」

黃鐘萬事根本圖

黃鐘萬事根本圖

《先賢格言》。〈改調《西江月》：〉

智慧童蒙易曉，愚頑皓首難聞。世間六藝任紛紛，算 乃人之根本。知書不知算法，如臨暗室，昏昏謾同高 手細評論，數徹無縈方寸。

《算法提綱》。〈習學之法。〉

一要先熟讀九歌，二要誦歸除歌法，三要知加減定 位，四要知度量衡畝，五要知諸分母子，六要知長闊 堆積，七要知盈朒互隱，八要知正負行例，九要知句 股弦數，十要知開方各色。

九章名義

數學從來有九歸，方田粟布易推詳。衰分辨別貴和 賤，少廣開除圓與方。商度功稅術最妙，均平輸運法 最良。盈朒得互須列位，方圓正負要排行。若算高深 併廣遠，好將句股細思量。

一曰《方田》。〈以御田疇界域〉二曰《粟布》。〈以御交質變易〉 三曰「衰分。」〈以御貴賤廩稅〉四曰少廣。〈以御積冪方圓〉 五曰《商功》。〈以御功程積實〉六曰《均輸》。〈以御遠近勞費〉 七曰《盈朒》。〈以御隱雜互見〉八曰《方程》。〈以御雜據正負〉 九曰「句股」，〈以御高深廣遠〉

算學節要

學算之人須努力，先將九數時時習，呼如下位算為 先。變其身數呼求十，觀其法門果何如，仔細斟量分 法實。若然法實既能知，次求定位是為急。再考九歸 及歸除，又將減法細尋繹。有能致意用工夫，算學雖 深可盡識。

乘除用字釋

以者，用也。置者，列也。為者，數未定也。得者，數已成也。 呼者，呼喚其數也。命者，言也。首者，第一位也。尾者，末 位也。身者，本位也。率者，齊數也。實者，所問之物也。法 者，所求之價也。乘之者，九字相生之數也。「除之」者，謂 九歸、歸除、商除之類。

用字凡例

法。〈樣數也〉　　　　　　　　　　　實。〈本數也〉　　　　　　　　　　　因。〈法之單位者又由也〉　《歸》。〈入己之數也〉 加。〈增添也〉　　　　　　　　　　　減。〈除少也〉　　　　　　　　　　　乘。〈法之多位者〉　　　　《歸》。〈先歸後除合名也〉 除：〈減少也〉　　　　　　　　　　　《積》。〈乘成之數也〉　　　　　　　　　乘。〈法實合變數也〉　　　如：〈九數用此下一位也〉 身。〈本位也〉　　　　　　　　　　　《則》。〈法也〉　　　　　　　　　　　　左：〈上邊大位也〉　　　　右。〈下邊小位也〉 縱。〈直長也〉　　　　　　　　　　　《橫　　　　　　　　　　　　　　　　廣》。〈俱闊也〉　　　　　　闊。〈橫廣也〉 直。〈長也〉　　　　　　　　　　　　面。〈方面也〉　　　　　　　　　　　高。〈立起也〉　　　　　　深。〈陷下也〉 倍。〈加上本數也〉　　　　　　　　　併。〈二數相合也〉　　　　　　　　　截：〈割斷也〉　　　　　　分。〈撥開也〉 原。〈初數也〉　　　　　　　　　　　差。〈多少不同數也〉　　　　　　　　通。〈合同其數〉　　　　　變。〈改換其數〉 約。〈量度也〉　　　　　　　　　　　中。〈算盤之中〉　　　　　　　　　　進。〈移上前一位〉　　　　《逢》。〈遇有數而言逢〉 上。〈脊梁之上又位之左〉　　　　　　下。〈脊梁之下又位之右〉　　　　　　挨。〈隋身變數也〉　　　　退。〈移下後一位〉 《句》。〈闊也〉　　　　　　　　　　　　股。〈長也〉　　　　　　　　　　　　斜。〈兩隅相去又不正也〉　弦。〈句股斜曰弦弧矢亦 有弦〉　　　　　　　　　　　　　　隅。〈曲角也〉　　　　　　　　　　　長。〈直也〉　《周》。〈外圍也〉 較。〈相減餘也〉　　　　　　　　　　廉。〈方直也〉　　　　　　　　　　　方。〈四面同數〉　　　　　徑。〈周中之弦〉脊。〈盤中橫梁隔木〉　　　　　　　　列位：〈各置位次〉　　　　　　　　　《折半》。〈減去一半〉　　　　還原。〈復舊數也〉 《商除》：〈心與意商量而除之〉　　　　　相乘。〈長闊銀貨等類〉　　　　　　　自乘：〈法實數自相乘〉 再乘。〈自乘之而又乘〉　　　　　　　遍乘。〈先以一法遍乘諸數〉　　　　　商總：〈合用商開之法 於盤中〉　　　　　　　　　　　　　開方。〈即自乘還原也〉　　　　　　　開立。〈即自乘再乘之還原也〉 中實。〈即商總也〉　　　　　　　　　併率。〈如一二三四五併得十五數也〉　《得令》。〈斤兩貫箇石等 類也〉　　　　　　　　　　　　　　《得術》：〈乃法首位每下該得之名〉　　　互乘。〈如四處數目顛 倒相乘〉　　　　　　　　　　　　　相較。〈如二數以少減多餘曰較〉　　　合得。〈算數定奪〉 若干，〈一為數始十為數終未算難定〉　幾何？〈與若干相同〉

數，〈附：《暗馬式》〉

〔參考頁面〕：

右大圈九字，配合相生而成法也。大圈之下，小圈乃暗子馬數惟一、二、三，不拘橫直正位數，配合得宜，不亂為式。

假如：十一數作。�二十二、作�三十三、作�四十四、 作�五十七、作�六十九、作�

大數

一、〈數之始〉　　　　　　十。〈十箇一為十〉　百。〈十十為百〉　《千》。〈十百為千〉 萬。〈十千為萬數之成也〉　十萬、　　　　　　　百萬、　　　　　　千萬 億。〈萬萬曰億〉　　　　　十億，　　　　　　　百億，　　　　　　千億， 萬億，　　　　　　　　　　《十萬》億，　　　　　　《百萬》億，　　　　　《千萬億 兆》〈萬萬億〉　　　　　　京。〈萬萬兆〉　　　《垓》。〈萬萬京〉　　《秭》。〈萬萬垓〉 穰，　　　　　　　　　　　「溝　　　　　　　　澗　　　　　　　正 載，　　　　　　　　　　　極　　　　　　　　恆河沙，　　　　　阿僧秪 那由他，　　　　　　　　　不可思議　　　　　無量數。」

自京垓以後，世之罕用，姑存之。又按：萬萬曰億，萬萬億曰兆。《孟子註》「其麗不億。」 解為十萬，誤也。

小數

分。〈十釐為分〉　釐。〈十毫〉　　　毫。〈十絲〉　　絲：〈十忽〉 忽。〈十微〉　　　微。〈十纖〉　　　纖。〈十沙〉　　沙。〈十塵〉 「塵　　　　　　　埃　　　　　　　渺　　　　　　漠 模糊。」　　　　　　《逡巡》　　　　　　須臾　　　　　瞬息。 彈指　　　　　　剎那，　　　　　　《六德》　　　　　虛空清淨。

《模糊》以下，雖有此名，虛而無實，公私亦不用。

度。〈所以分別長短之法。〉

丈。〈十尺〉　　　　尺：〈十寸〉　　　　　　　《寸》。〈十分〉　　　　　　　分。〈十釐〉 釐毫絲忽，同前　　　《疋》。〈四丈今無定則〉《端》：〈五丈今亦不一〉

量。〈所以分別多寡之法。〉

石：〈十斗〉　　　　斗。〈十升〉　　　　　　　升。〈十合〉　　　　　　　合。〈十勺〉 勺。〈十抄〉　　　　抄。〈十撮〉　　　　　　　撮。〈十圭〉　　　　　　　圭。〈十粟〉 粟。〈即一粒之粟〉　斛。〈古一石今五斗或二斗五升〉 釜。〈六斗四升〉　　庾。〈十六斗〉　　　　　　《秉》。〈十六斛〉

衡。〈所以分別輕重之法。〉

斤。〈十六兩〉　　　兩。〈二十四銖〉　　　　　銖。〈十絫〉　　　　　　　《絫》。〈十黍〉 黍：〈禾方得而有準　以上是自斤而下者然今兩之下惟用錢分釐毫絲忽其銖絫黍等俱不用〉 秤。〈原十五斤今二十斤或三十斤〉　　　　　　《鈞》。〈二秤即三十斤〉　石：〈四鈞〉 引。〈二百斤　以上是自斤而上者〉

畝。〈「所以分別田闊狹遠近」 之法。〉

步。〈方五尺也〉　　分。〈五寸一尺為二分也〉　釐。〈半寸一寸為二釐也〉　毫絲忽同 畝。〈橫一步直二百四十步為一畝每步止五尺若以丈計即橫一丈長六十丈以尺計長橫計積六千 尺〉

分。〈二十四步為一分十分為一畝分之下亦有釐毫絲忽然上是步之分釐毫絲忽分是步十分之一 此是畝之釐毫絲忽分是畝十分之一〉

頃。〈百畝為頃〉　　角。〈一畝分為四角每角六十步〉 里。〈三百六十步為一里計一百八十丈約人行一千步〉

諸物輕重數。〈謂長闊高皆方一寸為「則。」 〉

金。〈重十六兩〉　　銀：〈重十四兩〉　　　　玉。〈重十二兩〉　　　　　　鉛：〈重九兩五錢〉 銅：〈重七兩五錢〉　鐵：〈重六兩〉　　　　　青石：〈重三兩〉

〈按輕重數不知所本西法比例鉛次于金而重于銀與此不同〉錢鈔名數：

錢鈔之法謂之「文。」一文之上有十文，十十為百文，十 百文為千文，千文為一貫，五貫為一錠，一文之下 亦有分釐毫絲忽之數。

定算盤位次，實左法右論。

按：《洛書》數曰：「左三右七。」則右者第一之行位也，左者 第二之行位也。又按：《大學章句》曰：「別為序次如左。」則 左者以後之事也。又曰：「右傳之某章」，則右者以前之 事也。今當以初行為右，次行為左。以理而推之，法當 從右，實當在左，此乃不易之位也。

九九八十一

〈一遍〉　一上一，　　二上二，　　三上三，　　四上四。

五上五　　，六上六　　，七上七　　，八上八，九上九。

〈二遍〉　《一上一，　　二上二　　三下五》，除二。

四下五除一　　　　　五起五成一十六，上一起五成一十　　七，上二起五成一十八，退二成一十　　　　九，退一成一十。

〈三遍〉　《一》上一，　　二下五，除三　　三上三。

《四》起六成一十　　　　，五上《五　　六》上六七，退三成一十　　　　，八退二成一十，九退一成一十。

〈四遍〉　《一》上一，　　二上二，　　三起七，成一十

四下五除《一　　　　　五》，起五成一十六，退四成一十　　　　七，退三成一十八。《上三》起五成一十　　九，退一成一十。

〈五遍〉　《一》下五，除《四　　　　　二》起八，成一十。

《三》下五，除二　　　　　四，起六成一十《五上五　　　　　　　六》上一，起五成一十　　《七上七八》，退二成一十　　　　九，退一成一十。

〈六遍〉　《一》上一，　　　　　　　二上二，　　　　　　　三起七，成一十。

四下五除一　　　　　五起五，成一十六，上《六　　　　　　　七》退三，成一十八，退二成一十　　　　九，上四起五，成一十。

〈七遍〉　《一》上一，　　　　　　　二下五，除三　　　　　三上三。

《四退》六成一十　　　　五，《上五六退》四成一十　　　　七，《上二起》五成一十八，退二成一十　　　　九，退一成一十。

〈八遍〉　《一上一，　　　　　　　二上二　　　　　　　三下五》，除二。

四下五除一　　　　　五，起五成一十六，上一起五成一十　　七，退三成一十八，退二成十　　　　　九，退一成一十。

〈九遍〉　一上一，　　　　　　　二上二，　　　　　　　三上三，　　四上四。

五上五　　　　　　　，六上六　　　　　　　，七上七　　，八上八，九退一，成一十。

九九合數。〈乘除加減，皆呼此數，故呼「小數在上，大數在下。」 〉

一一如一。

一二如二，　二二如四。

一三如三，　二三如六，　三三如九。

一四如四，　二四如八，　三四一十二，　四四一十 六。

一五如五，　二五得一，十，　三五一十五，　四五得 二十，　五五二十五。

一六如六，　二六一十二，　三六一十八，　四六二 十四，　五六得三十，　六六三十六。

「一七如七，　二七一十四，　三七二十一，　四七二 十八，　五七三十五，　六七四十二，　七七四十九。」 「一八如八，　二八一十六，　三八二十四，　四八三 十二，　五八得四十，　六八四十八，　七八五十六。」

八八六十四

一九如九，　二九一十八，　三九二十七，　四九三 十六，　五九四十五，　六九五十四，　七九六十三。

八九七十二　，九九八十一。

右法遇十，挨身上逢如下位加　。謂句內有十字之數，就本身之位上之。若句內有「如」 字之數，下一位上之也。

《九歸歌》：〈呼大數在上，小數在下；〉

〈一歸〉　一《歸不須歸》。〈一者原數不必歸也〉　其法故不立。 〈二歸〉　二一添作五　逢二進一十，　逢四進二十。

逢六進三十　，逢八進四十。

〈三歸〉　三一三十一，　三二六十二，　逢三進一十。

逢六進二十　，逢九進三十。

〈四歸〉　四一二十二　「四二」添作五，　四三七十二。

逢四進一十　、逢八進二十。

〈五歸〉　五一倍作「二」，　五二倍作「四」，　五三倍作「六。」

五四倍作八　，逢五進一十。

〈六歸〉　六一下加四，　六二三十二，　六三添作「五。」

六四六十四　，六五八十二　，逢六進一十。

〈七歸〉　《七一》下加三，　《七二》下加六，　《七三》四十二。

七四五十五　，七五七十一　，七六八十四，逢七進一十。

〈八歸〉　《八一》下加二，　《八二》下加四，　《八三》下加六。

八四添作五　，八五六十二　，八六七十四，八七八十六　，逢八進一十。

〈九歸〉　《九歸隨身》下　逢九進一十。

右法與九九合數相混，但記句法，惟辨多數在先，少數在次，即「九歸」之句，如「八六七十四是歸，六八四十八是因」之類。已上句法，併後各樣歌訣，皆學者所當熟記。〈按：「一歸不須歸」 者，為單一數言耳。若除法自兩位三位以上，其法首或為一十，或為一百一千，則仍有逢一進一至逢九進九之用。《九歸歌》有法有實，有得數，有餘實。如云「二一添作五」 者，則二是法，一是實，五是得數。其意是兩人分一數，則各得其半，如分一兩各得五錢也。又此所分不能成一整數，故不言進，而但于本位添一作五，故謂之添作也。其云「逢二」 者，二即實也。「進一十」 者，得數也。兩人分二數，則各得其一也。所得既為整一，故進前一位而謂之進一十。「逢二」 上宜有「二」 字為法數，今不言者，省文也。餘倣此。其云「三一三十一」 者，三為法，一為實，三十為得數，末一字則餘實也。其意如三人分一兩，各得三錢，仍餘一錢也。此三十即本位，而餘實一則置于丁位，以待再分也。餘倣此。其「五歸倍作云」 者，皆得數在本位，倍之與添作五同。其云「六一下加四」 者，六為法，一為實，又為得數下加四者，餘實也。假如六人分一兩，各得一錢，而仍餘四錢，以待再分也。因得數在本位，與實數同為一，故不用添倍，即借原數為得數，而但于下位加餘實四，即得之矣。餘倣此。〉

因乘法者，單位曰「因」位，數多曰「乘」，通而言之，乘也。置 所有物為實，以所求價為法，皆從末位而起，如法乘 之，呼九字相生之數，次第乘之，呼如須次位，言十，在 本身陞積謂之乘，其數雖陞而位反降矣，必須用定 位之法而治之，詳見於後。

九歸歸除法者，單位者曰「歸位」，數多者曰「歸除」，通而言之曰歸除。置所出率為實，以所求率為法，皆從實 首位而起。以法之首位用歸，以次之位皆用除之，故 曰「歸除。」歸者呼九歸之歌，除者呼九字相生之數。次 第除之，降積謂之除，其數雖降，而位反陞矣。須詳定 位訣而求之。以法為母，以實為子，實如法而一，法實 相反，失之千里。必須用心詳玩，直指定位法實訣於 後。或有畸零之不盡者，設有約分之法，而命之 「商除法」者，商量法實多寡而除之。古法未有歸除，故 用之不如歸除，最是捷徑之法也。然開方法用之 加法者，隨母留身增添，謂之加。謂如正米每斗帶耗 七合者，留身以七合隔位加之。又如每銀一兩加利 三錢，不破本身，以三增之，故謂之「加法。」或用乘法而 代之。如每斗加七合，就以一斗零七合乘之，得正耗 之數也。

減法者，即曰「定身除法」，約存原本之數而除之，故謂 之「減。」假有正耗米共九斗，只約正米八斗，呼七八減 去五升六合之類。又如本利銀四兩，每兩減去三錢， 只呼三三除減九錢，得本銀三兩有零之類。或用歸 除而代之，如正耗米為實，就以一斗零七合為法歸 除之，得正米之數也。

約分法者，凡用除法多有畸零，數之不盡，位數多者， 以法約之則簡。假如九百四十分之二百三十五，以 法約之，得四分之一，何也？曰：「分母九百四十分，乃是 四箇二百三十五，故謂四分之一也。」去其繁而截其 約之故耳。

通分法者，謂法實帶有畸零之數，若不設法通之，則 何由而置位乎？假如畸零四分之一者，就以一分之 數變作四分，加入零一分可用乘除而算之，故曰「通 母」，凡公私皆不用之。今但有畸零者，至於毫忽，以五 收之，以四去之，算家若不精微，豈可合得數乎？ 「異乘同除」者，謂先應用除法而後用乘法者，其除法 多有畸零不盡之數，則何出而用乘法乎？故變法而 先用乘法，然後用歸除，雖有畸零數之不盡者而可 命之，故曰「異乘同除。」至於精奧，其變通之大術矣。 異乘同乘者，謂如「用四乘之，又用五乘之，再以七乘 之」者，就變法以四乘五得二十，再以七乘之，得一百 四十，就以一百四十為法乘之，以代三次相乘而數 不差矣，

異除同除者，謂用四歸之，又用五歸之，再用十二歸 之者，就變法以四乘五，得二十，再以一十二乘之，得 二百四十，就以二歸四除，以代三次除也。已上皆言 算法變通之理。

「開平方法」者，謂如平地，四面皆然也。如長十步，闊十 步，自乘，得積一百步。開者，以積求方面之數也。此法 別是一種，有實而無法，則商約而除之，所以最難之 法也。今新增歸除《開平方》而法之便矣。

「開立方法」者，立者，立起之方也。如長十尺，闊十尺，自 乘，得一百尺，再以高十尺乘之，得積一千尺。開者，以 積求立方每面之數也。有實而無法，則《商約》而除之， 所以更難也。今新增歸除開立方，而法又便矣。 「倍法」者，加一倍是也。法當用二因，而位反降矣。今變 用《五歸》，而位不降矣。

《折半法》者，謂減去一半是也。法當用《二歸》，而位反陞 矣。今變用《五因》，而位不陞矣。

定位總歌

數家定位法為奇，因乘俱向下位推。加減只須認本 位，歸與歸除上位施。法多原實逆上法，位前得令須 下宜。「法少原實降下數，法前得令逆上知。」

又十二字訣

乘從每下，得術。歸從法前，得令。

定位祕訣

凡定位，俱從實上原首位數起，至遇法首位。〈乘則每數即斤 兩貫箇石等類除則不拘斤兩貫箇石等類〉則止 乘從。每下，得術。

術者，乃法首位每下該得之名也。從實上原首位起，往後順數至法首位，每數則止於下位，得法首每該之名。是錢呼錢，是石呼石，是兩呼兩已上，十百千萬已下，釐毫合勺，回向前數則陞，依數呼之。

歸從法前，得令。

《令》者，斤兩貫鈞石等類，亦從實上原首位起。實多法少者，往後順數至法首之數則止，轉向前一位，得令，往前逐位陞之，合得實少法多者，亦從實上原首位數起，往前逆數順至法首之數則止，再進前一位，得令，回則往後降起。

直指定位訣

用因乘定位訣曰：「預先以算盤上寫定萬千百十，或 頃畝石斗兩錢」之類。因乘完畢，得數莫動。或云每畝 科糧四升，但以畝之下位得升，以畝變斗，以十變石， 以百畝變十石之類是也。餘物倣此。

用歸除定位。訣有二條，曰：預先以算盤上寫定石斗 或兩錢頃畝步分之類假如有米四百餘石，每銀一兩，糴米三石，問共該銀 若干。法曰：置米為實，以銀每兩糴米三石為法除之， 得數莫動定位。訣曰：「此是實多法少。」先從實首位起 數，原實百，順下至石，遇法首位是石，則止。前一位得 令是兩，又前一位是十兩，又前一位是百兩，此是「逆 上。」

假如麥四百五十石，賣銀三十二兩四錢，問每石該 銀若干？法曰：「置銀為實，以麥為法，歸除之，得數莫動 定位。」訣曰：「此是法多實少」，先從實首位起數，原實十， 逆上至百，遇法首位是百，則止前一位，得令是兩，降 下順數至實是七分，次位即二釐也。

但用因乘法實後定位。故云「乘法雖陞而位反降矣。」 但用歸除法實前定位。故云「除法雖降而位反陞矣。」

定法實訣

《訣》曰：「凡因乘，不必拘於法實，或以法乘實，或以實乘 法，皆可也。惟歸除不可顛倒錯亂，詳理而用之。」

歸除法實

假如有銀若干，買物若干，或幾人分，或幾人出，以銀 物為實，以人分為法。

假如有銀若干，買貨若干，問銀每兩該貨若干，以「貨」 為實，以總銀為法。若問貨價，則以銀為實，以「貨」為法。 假如有銀若干，每貨價若干，問共該買貨若干，以總 銀為實，以貨價為法。

假如有貨若干，每兩賣貨若干，問共該銀若干，以總 貨為實，以每兩之貨為法。

總訣

一曰以所有總數為實，以所求每數為法除之。 一曰有總物而又有總價，或問每物則以物為法，以 價為實；或問每價即以價為法，以物為實。餘倣此。

分別法實左右圖

分別法實左右圖

九因

凡二至九單位者，用此置物為實，以價為法，呼「九九」， 合數言「十」就身言，如隔位，從末位算起，用《九歸》還原。

因法歌

合數九因須記熟，起手先從末位推。言十就身如隔 位，若要還原用九歸。

歸因總歌

《歸》從頭上起，因從足下生，逢如須隔位言，十在本身。 假如今有銀一百二十三兩四錢，每銀一兩、糴米二 石，問共該米若干？

答曰：「二百四十六石八斗。」

法曰：置銀於左為實，以每銀糴米二石於右為法，因 之，合問定位法，只認兩下位。〈即錢之位〉「定石」逆上。〈即兩之位〉 定「十石」再上位。〈十兩之位〉定百石合得。

此所謂「因乘俱向下位」，推先數左首原實百位，起， 順下至兩，遇右法首位每兩二石則止。下位得術，是 石回向前，逐位逆數陞上，合得也。今列布算之法於 後。

圖

圖

還原。〈「《用二歸》法。」 詳後。〉

逢二進一十，　逢四進二十，　逢六進三十，　進八 進四十。

假如今有米二百三十四石五斗，每石賣銀三錢，問 共該銀若干？

答曰：「共該七十兩零三錢五分。」

《法》曰：「置所有米」為實，以每石銀三錢為法，因之，合問。

定位先數原實百起，順下至石止，下一位得術是。

錢回向前逆數陞上合得。

圖

圖

還原。〈用《三歸》法。詳後。〉

逢六進二十　三一三十一　三一三十一，　逢三 進一十　三一三十一，　逢六進二十

假如有人借去本銀二百五十八兩二錢，每年加四 還利，問該利銀若干。

答曰：「該利一百零三兩二錢八分。」

法曰：「置本銀為實，以利四錢」為法，因之，合問定位 同前。

圖

還原。〈用「《四歸》法。」 詳後。〉

四一二十二，　四二添作五，　四三七十二，　逢四 進一十，　逢八進二十。

假如今有穀二百四十六石九斗，每石碾米五斗，問 該白米若干？

答曰：「一百二十三石四斗五升。」

法曰：「置穀為實，以每石碾米五斗為法」，因之合問。

圖

還原。〈用「《五歸》法。」 詳後。〉

五一倍作二，　五二倍作四，　五三倍作六，　五四 倍作八，　逢五進一十。

假如今有杉木二萬三千五百六十九根，每根價銀 六分，問共該銀若干？

答曰：「一千四百一十四兩一錢四分。」

法曰：置木為實，以每根價銀六分為法，因之，合問。

圖

還原。〈用「《六歸》法。」 詳後。〉

六一下加四，　逢六進一十　六二三十二　六三 添作五　六四六十四　六五八十二，　逢六進一 十

假如秋糧米二萬三千四百五十七石九斗，每石科 銀七錢，問共該銀若干？

答曰：「一萬六千四百二十兩零五錢三分。」

法曰：「置糧米為實，以每石七錢為法，因之合問。」

圖

還原。〈用《七歸》法。詳後。〉

七一下加三，　逢七進一十　七二下加六，　逢七 進一十　七三四十二，　七四五十五，　七五七十 一，　七六八十四，　逢七進一十

假如今有軍人一百三十四萬五千六百七十九名， 每名給米八斗，問共該米若干？

答曰：「一百零七萬六千五百四十三石二斗。」

《法》曰：「置軍人為實」，以每名給米八斗為法，因之合問。

圖

還原。〈用《八歸》法。詳後。〉

《八一》下加二，　《八二》下加四。〈四下五除一〉　逢八進 一十　八，三下加六。　逢八進一十　八，四添作五

八五六十二　，八六七十四　，八七八十六　，逢。

八進一十。

假如濕穀一千二百三十四石五斗六升七合九勺， 每石晒得乾穀九斗，問該乾穀若干？

答曰：一千一百一十一石一斗一升一合一勺一抄。 法曰：「置濕穀為實，以晒乾九斗為法」，因之合問。

圖

還原。〈用《九歸》法。詳後。〉

《九一》下加《一　九，二》下加《二　九，三》下加《三　九四》。

下加四　九五，下加五　《九六》，下加六　《九七》，下加 七　九八，下加八，　逢九進一十。

九歸

凡二至九單位者，用此置物為實，以價或分物者為 法，呼《九歸》之歌，或進或倍，從實首位算起，用因法還 原。

歌曰

九歸之法乃分平，湊數從來有現成，數若有多歸作 十，歸如不盡搭添行。

又歌

學者如何算九歸，先從實上左頭推。逢進起身須進 上，下加次位以施為。

假如今有米四百八十六石二斗，每銀一兩，糴米二 石，問共該銀若干？

答曰：「二百四十三兩一錢。」

法曰：置總米數為實，以每兩糴米二石為法，歸之合 問定位法，只認石上前一位。〈即十之位〉定兩逆上。〈即百之位〉 定十兩，再陞上一位定百兩，合得。

此所謂歸與歸除，上位，施　先數，原實百起，順下至 石，遇法首位是每兩二石，則止轉向前一位得令，是 兩逐位逆數陞上，合得也。今列布算於後。

圖

還原。〈用二因。〉

一二如二，　二三如六，　二四如八，　二二如四。 假如今有銀八百三十五兩八錢，每銀三兩糴米一 石，問該米若干？

答曰：「二百七十八石六斗。」

《法》曰：置總銀為實，以每石銀三兩為法，歸之《合問》 定位法，只認兩前一位是石，逆上依次陞之，合得。

圖

還原。〈用三因。〉

三六一十八，　三八二十四，　三七二十一，　二三 如六。

假如今有苧麻七百三十五斤，每苧四斤賣銀一錢， 問該銀若干？

答曰：「一十八兩三錢七分五釐。」

《法》曰：「置總苧麻為實，以每錢賣苧麻四斤為法，歸之 合問定位法」，只認斤前一位定錢，依次逆陞合得。

圖

還原。〈用四因。〉

四五得二十，　四七二十八，　三四一十二，　四八 三十二，　一四如四。

假如今有銀一百二十三兩四錢五分，每銀五兩換 金一兩，問該金若干？

答曰：「二十四兩六錢九分。」

法曰：置總銀為實，以每銀五兩為法，歸之合問定 位法，只認銀兩上前一位是金，兩數，逆陞合得

圖

還原。〈用五因。〉

五九四十五，　五六得三十，　四五得二十，　二五 得一十。

假如今有米二十石，五萬人分之。問每人該米若干？ 答曰：「四勺。」

《法》曰：置米為實，以人五萬為法，歸之合問定位，法 多實少？先從實首原位數起，逆上，至遇法首位是萬， 則止向前一位得，令是石也。順數降一，合得。

圖

還原。〈用五因。〉

四五得二十。

假如今有銀二百六十五兩三錢二分，作六人分之， 問每人該銀若干？

答曰：「四十四兩二錢二分。」

法曰：置銀為實，以六人為法，歸之合問定位法從 原實數百，降下次位幾十，又次位幾人，遇法是人則 止前一位得令是兩逆上陞之，合得。

圖

還原。〈用六因。〉

二六一十二，　二六一十二，　四六二十四，　四六 二十四。

假如今有銀七十兩糴大麥七百五十五石一斗六 升，問每銀一兩該麥若干？

答曰：「一十石零七斗八升八合。」

法曰：置麥為實，以總銀七十為法，歸之合問，定位 同前。

圖

還原。〈用七因。〉

七八五十六。　七八五十六。　七七四十九。　一七 如七。

假如今有銀九十八兩九錢二分，買羊八十隻，問每 隻該銀若干？

答曰：「一兩二錢三分六釐五毫。」

《法》曰：「置銀為實，以羊八十為法，歸之《合問》。」

圖

還原。〈用八因。〉

五八得四十，　六八四十八，　三八二十四，　二八 一十六，　一八如八。

假如今有銀二百六十五兩三錢二分，買椒每斤價 銀九分，問共該椒若干？

答曰：「二千九百四十八斤。」

《法》曰：「置總銀為實，以每斤椒價九分為法，歸之合問。」

圖

還原。〈用九因。〉

八九七十二，　四九三十六，　九九八十一，　二九 一十八