欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第一百二十三卷目錄
算法部彙考十五
算法統宗十一〈難題一〉
曆法典第一百二十三卷
算法部彙考十五
《算法統宗十一》
難題一
序目
夫難題昉於永樂四年，臨江劉公仕隆，偕內閣諸君 預修大典，退公之暇，編成《難法》，附於《九章通明》之後， 及錢唐吳信民九章比類，與諸家算法中詩詞歌括、 口號總集，名曰《難題》。難者，難也，然似難而實非難，惟 其詞語巧捏，使算師一時迷惑，莫知措手。不知難法 皆不離於九章。非九章之外，其難題惟在乎立法，立 法既明，則迎刃而破，又何難之有哉？今分列九章，《立 法明辯》，附集雜法於《統宗》之後，俾好事者共覽云。
方田一。〈凡七問。〉
歌
《昨日丈量田地》，回記得長步整三十，廣斜相併五十 步，不知幾畝及分釐。
答曰：「二畝。」
法曰：置廣斜相併，五十步自乘，得二千五百步。另以 長三十步自乘，得九百步。二位相減，餘一千六百步， 折半，得八百步為實。以廣斜五十步為法，除之，得闊 一十六步，以乘長三十步，得四百八十步。以畝法二 四除之，合問。〈此是句弦和〉
歌
三十八萬四千步正長端的無差誤，「六絲二忽五微 闊，不知共該多少畝。」
答曰：「一畝。」
法曰：「置長三十八萬四千步為實，以闊六絲二忽五 微」為法，乘之，得二百四十步，以畝法二四除之，合問。 〈此是直田長闊間積〉
歌
一段環田徑不知，二周相併最幽微。皆知一畝無零 積，一百六十不差池。三般可以見端的，只要名家仔 細推。
答曰：「徑三步，外周八十九步，內周七十一步。」
法曰：通田一畝，得二百四十步為實。另以二周相併 一百六十步折半，得八十步為法。除之，得徑三步。以 三步自乘，得九步，以減八十步，餘七十一步為內周。 以減總一百六十，餘得外周八十九步。合問。
鳳棲梧
一叚環出余久慮，眾說分明，亦有誰人悟。忘了二周 併徑步，人道二周不及為差處。七十有餘單二步，三 事通知，答曰分明注。五畝二分無零數，元機奧妙堪 思慕。〈題解內周不及外周七十二〉
答曰：「徑一十二步，內周六十八步，外周一百四 十步。」
法曰：以畝法通田五畝二分，得一千二百四十八步， 倍之，得二千四百九十六步，為實。以不及七十二步， 以六除，得徑一十二步為法。除之，得二百零八步。以 減不及七十二步，餘一百三十六步，折半，得內周。六 十八步。加不及七十二步，得外周。合問。〈此是環田問周徑〉 《弧矢問難》已載《少廣章》中，故不重述。
雙搗練
長十六，闊十五，不多不少恰一畝內有八箇古墳墓。 更有一條十字路，闊一步，每箇墓周六步，十字路闊 一步，每畝價銀二兩五。除了墓，除了路，問君該剩多 少數？
答曰：「路墓共占地二分二釐五毫。」〈內八墓計二十四步路計三十步〉
路墓地圖
路墓地圖
《剩地》七分七釐五毫，該銀一兩九錢三分七釐五毫。
法曰：通田一畝，為二百四十步。於上，另置墓八箇，以每箇周六步自乘，得三十六步，以十二除。
之，得三步八墓，共積二十四步。又十字路闊一步長 一十六步，闊一十五步，二共三十一步。除路中心一 步，實三十步，加八墓，共二十四步，通共占地五十四 步。以畝法二四除之，得二分二釐五毫，為占地數。以 減去一畝，餘剩地七分七釐五毫，以每畝價銀二兩 五錢乘之，得剩地價銀。合問。
竿上安箍歌
「圓圓三丈一高，竿稍尖，頭徑尺二寬，今有鐵箍徑九 寸，試問將來何處安答曰：「自上而下，二丈二尺五寸。」
法曰：「置竿高三丈為實，以頭徑一尺二寸為法。」除之， 得二尺五寸。以箍徑九寸乘之，得自上而下二丈二 尺五寸。上安箍只離頭七尺五寸，合問。〈此如方錐作方臺問截高〉
歌
今有直田，不知畝長闊相和十七步，平不及長廿五 尺，請問田該多少數？
答曰：「二分五釐，計六十步。」
法曰：置相和一十七步，減不及五步，餘一十二步為 長，以闊五步相乘，合問。
歌
今有直田用較除，一百二十步無餘。長闊相和該一 百，問公三事幾何如？
答曰：「長六十步，闊四十步，較二十步。」
法曰：置較除一百二十步，減長、闊相和一百步，餘二 十步，為較。以減相和一百步，餘八十步，折半，得四十 步為闊。加較二十，得長六十。合問。
粟布二
啞子買肉歌
啞子來買肉。難言錢數目。一斤少四十。九兩多十六。 試問能算者。合與多少肉。
答曰：「一十一兩，每兩該錢八文。」
法曰：置少四十，加多十六，共五十六為實。以多十六 減九兩，餘七兩為法，除之得八文，卻以九兩因之，得 七十二，加多十六，共得原錢八十八文。以八歸之，得 肉一十一兩。《合問》：
解曰：若買一斤，少錢四十文；若買九兩，多錢十六文。
老人問甲歌
有一公公不記年，手持竹杖在門前。借問公公年幾 歲，家中數目記分明。「一兩八銖泥彈子，每歲盤中放 一丸。日久歲深經雨濕，總然化作一泥團。秤重八斤 零八兩，加減方知得幾年。」
答曰：「一百零二歲。」
法曰：置總八斤半，以每斤三百八十四銖乘之，得三 千二百六十四銖為實。以每歲一兩作二十四銖，加 入八銖，共三十二銖為法。除之《合問》。
西江月
「白麪，秤來四斤，使油一斤相和。今來有麪九斤，多六 兩五錢，不錯，已用香油和合二斤十二無訛，再添多 少麪來和，不會，應須問我。」 答曰：「添麪一斤九兩五錢。」 法曰：合，用異乘同除法。置今有油二斤十二兩，先將 十二兩化為七五於二斤之次，以乘原麪四斤，得麪 一十一斤為實。以原用油一斤為法，除之如故，仍得 實麪一十一斤，減去已用麪九斤六兩五錢，餘為添 麪一斤九兩五錢，《合問》。
梅氣清
三石五斗粟，會換芝麻三石足。又有五斗五升麻，換 來小麥量八斗。今有小麥換粟米九石六斗無零數。
《解題》曰：假如有粟米三石五斗，換芝麻三石，又如芝麻五斗五升，換折小麥八斗，今卻有小麥九石六斗，要換粟米，問該若干？
答曰：「粟米七石七斗。」
法曰：合用異乘、同乘法，置今有小麥九石六斗，以乘 所問芝痲五斗五升，得五石二斗八升，再以粟米三 石五斗乘之，得一十八石四斗八升，為實。又用異除、 同除法，置所換芝麻三石，以乘小麥八斗，得二石四 斗，為法；除之，得粟米七石七斗，合問。
《解法》曰：置米三石五斗為實，以換麻三石為法除之，得麻每石換米一石一斗有零。又云：「麻五斗五升，換麥八斗。」 置麻五斗五升，以每石折米一石一斗，併零乘之，得米六斗四升，併零為實，以換麥八斗為法，除之，得麥每石折米八斗有零。又云：「今有麥九石六斗，換米問該幾何？」 置麥九石六斗，以麥每石折米八斗，併零乘之，得米七石七斗，此乃用法之理，是一乘一除，理之然也。蓋因除法多有畸零，數之不盡，故前法用總乘，然後用總除，真是大術矣。
西江月
甲釧九成二兩，乙釵七色相同。《李銀舖》內偶相逢，各 欲改成器用。其子未詳所以，誤將一處銷鎔。當時悶 惱，李三翁又把算師擾動。
答曰：「共銷鎔八成色金四兩甲，該分二兩二錢五 分。」〈折足色一兩八錢〉 乙該分一兩七錢五分。〈折足色一兩四錢〉 《法》曰：置甲金二兩，折足色一兩八錢，乙金七成，二兩， 折足色一兩四錢，併之，得足色三兩二錢。以原金二， 共四兩歸之，得八色。就以八為法，除甲一兩八錢，得 甲金二兩二錢五分。亦以法八除乙一兩四錢，得乙 金一兩七錢五分。合問。
歌
肆中聽得語吟吟，薄酒名醨厚酒醇。好酒一缾醉三
客，薄酒三缾醉一人。共同飲了一十九，三十三客醉 醺醺。試問高明能算士，幾多醨酒幾多醇。
答曰：「好酒十缾，薄酒九缾。」
《解》曰：「共三十三人飲酒一十九缾，好酒三人飲一缾，薄酒一人飲三缾。」
《法》曰：「列置問衰。」〈一瓶三人〉互。〈三瓶一人 十九瓶三十三人〉先以右 上一瓶，互乘左中一人，得一人；又以左上三人互乘 右中三瓶，得九瓶，相減餘八瓶，為法。另以右中三瓶， 互乘左下三十三人，得九十九人；另以左上三人乘 右中三缾，得九缾，再乘共酒一十九缾，得一百七十 一人；內減九十九人，餘七十二人，為實。以法八缾除 之，得薄酒九缾，以減總酒，餘得好酒十缾。《合問。
水仙子
為商出外去經營，將帶白銀去販，參為當初不記原 銀錠，只記得七錢七分，買六斤腳錢，便使用三分，總 記「用牙錢四錠，是六分中取二分，問先生販買數分 明。」
答曰：「人參四萬三千五百斤，原銀六千兩，牙錢 二百兩，腳錢二百一十七兩五錢。」
《解》曰：「每人參六斤，價七錢七分，又用腳錢三分，牙錢二百兩，乃是六十分中取二分也。」
法曰：置牙錢四錠，以錠率五十兩乘之，得二百兩。以 六十分取二分，該得原銀六千兩。減牙錢二百兩，餘 剩五千八百兩。以買參六斤因之，得三萬四千八百 斤為實。卻以價七錢七分用腳錢三分，共八錢為法。 除之，得參四萬三千五百斤。以每六斤歸之，得七千 二百五十斤。以參價七錢七分乘之，得參價五千五 百八十二兩五錢，以減總銀五千八百兩，餘得腳銀 合問。
歌
二丈四長尺八闊，四兩半銀休打脫；三丈六長尺六 問，該銀多少要交割。
答曰：「六兩。」
法曰：用異乘同除法，置令長三丈六尺、闊一尺六寸 相乘，得五丈七尺六寸。以乘賣銀四兩五錢，得二百 五十九兩二錢為實。以原長二丈四尺、闊一尺八寸 相乘，得四丈三尺二寸為法。除之合問。
歌
足色黃金整一斤，銀匠誤侵四兩銀。斤兩雖然不曾 耗，借問卻該幾色金。
答曰：「八色。」
法曰：置金一十六為實，另以金加銀四兩，共二十兩 為法，除之，合問。
歌
足色紋銀十二兩，欲傾八成預忖量。分兩雖然添得 重，入銅多少得相當。
答曰：「入銅三兩。」
法曰：置紋銀一十二兩，以八色歸之，得一十五兩，減 去原銀一十二兩，餘三兩為入銅數。合問。
歌
一斤半鹽換斤油，五萬白鹽載一舟。斤兩內除相為 換，須教二色一般籌。
答曰：「各二萬斤。」
《法》曰：置總鹽五萬斤為實，併鹽、油共得二斤半為法。 除之，得各二萬斤合問。
鋪金問積歌
皇城內，丹墀中，周圍有八里，鋪金二寸深方寸，十六 兩，秤來有一斤。不知多少數，特來問緣因。
答曰：「金七百二十萬斤。」
法曰：置周八里，以四歸之，得每面二里。自乘得四里。 又以每里三百六十步乘之，得一千四百四十步；以 每步二千五百寸乘之，得三百六十萬寸。又以深二 寸因之，得七百二十萬寸，即七百二十萬斤也。《合問》：
西江月
客向新街糴米，共量八十四石一千二百七十，知石 價盡，依鄉例雇覓小車搬運，裝錢三百三十腳，言「家 內缺糧食，只據原錢要米。」
答曰：客米六十六石六斗七升五合，腳米一十七 石三斗二升五合。
《法》曰：此乃就物抽分之法。置米八十四石，以價一千 二百七十文乘之，得一十萬零六千六百八十文為 實，另以石價併腳錢共一千六百文為法，除實得客 米數，以減總米，餘為腳米。合問。
衰分三
西江月
淨揀棉花，彈細相和，共雇王孀，九斤十二。是張昌李 德，五斤四兩。紡績織成，布匹，一百八尺曾量。兩家分 布要明彰，莫得些兒偏向。
答曰：「張昌七丈零二寸，李德三丈七尺八寸。」
法曰：列各衰，張昌九斤十二兩，李德五斤四兩。各以兩法通之，張得一百五十六兩，李得八十四兩，副併 共得二百四十兩為法。另以織布一百零八尺乘張 一百五十六兩，得張一千六百八十四丈八尺；乘李 八十四兩，得李九百零七丈二尺。各自為實，以法除 之，《合問》。
歌
趙嫂自言快績麻，李宅張家雇了他。李宅六斤十二 兩，二斤四兩是張家。共織七十二尺布，二人分布鬧 喧譁。借問鄉中能算士，如何分得的無差。
答曰：「張宅五丈四尺，李宅一丈八尺。」
法曰：置共織布七十二尺為實，併二麻張六斤一十 二兩，以斤加六得一百零八兩，李二斤四兩，以斤加 六得三十六兩，共一百四十四兩為法，除之，每兩得 五寸，以乘各出麻合問。
誦課增倍歌
有箇學生心性巧，一部《孟子》三日了。每日增添一倍 多。問君每日讀多少？
答曰：頭一日讀四千九百五十五字，第二日讀九 千九百一十字，第三日讀一萬九千八百二十字， 法曰「置。」〈一 二 四〉併為七衰為法，以《孟子》字數三萬四 千六百八十五字為實，以法除之，得四千九百五十 五字，為頭日之數，倍之，為第二日數，又倍之，為第三 日數。合問：
行程減等歌
《三百七十八里關》，初行健步不為難。次日腳痛減一 半，六朝纔得到其關。要見每朝行里數，請公仔細算 相還。
答曰：「初日一百九十二里，次日九十六里，三日 四十八里，四日二十四里，五日一十二里，六。」
日「六里。」
《法》曰：「置三百七十八里為實，列置衰。」〈一 二 四 八 十六 三 十二〉併得六十三衰，為法，除實得六里，為第六日之數。 逓加一倍，《合問》。
浮屠增級歌
遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增。共燈三百八十 一，請問尖頭幾盞燈。
答曰：「頂層三盞。」
《法》曰：「置共燈數為實，列置衰。」〈一 二 四 八 十六 三十二 六十四〉 併之，得一百二十七衰，為法，除實得三，為頂層燈數。 各加倍，得各層燈數。《合問》。
「三等賠償。」 《鷓鴣天》。
八馬九牛十四羊，趕在村南牧草場。吃了人家一段 穀，議定賠他六石糧。牛一隻，比二羊，四牛二馬可賠 償，若還算得無差錯，姓字超群到處揚。
答曰：馬八共賠三石；牛九共賠一石六斗八升七 合五勺；羊十四共賠一石三斗一升二合五勺。
解曰：「馬八隻、牛九隻、羊十四隻，共議賠穀六石、羊一分、牛二分、馬四分。」
法曰：置米六石為實，另置馬八，以四因得三十二衰。 牛九，以二因得一十八衰。羊一十四衰，併得六十四 衰為法。除之，得九升三合七勺五抄為一，羊所吃賠 穀數為法。遍乘各衰，先以羊一十四衰乘之，得一石 三斗一升二合五勺，為羊主賠數；又以牛衰十八乘 之，得一石六斗八升七合五勺，為牛主賠數。又以馬 衰三十二乘之，得三石，為馬主賠數。《合問》。
五爵分金歌
公、矦、伯子男五、四、三、二、一，假有金五秤，依率要分訖。 答曰：「公一秤十斤，矦一秤五斤，伯一秤；子一 十斤，男五斤。」
法曰：置金五枰，以每秤一十五斤乘，得七十五斤為 實。列公五矦四伯三子二、男一副，併得一十五，為法。 除實得五斤，為男所得數。加五得十斤，為子所得數。 再加五得一秤，為伯所得數。又加五得一秤，零五斤， 為矦所得數。再加五得一秒，一十斤，為公所得數。合 問。
八子分綿歌
九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十 七，要將第八數來言，務要分明依次第，孝和休惹外 人傳。
答曰：「長子一百八十四斤，次子一百六十七斤， 三子一百五十斤，四子一百三十三斤，五子一 百一十六斤，六子九十九斤，七子八十二斤。」
八子，六十五斤。
《法》曰：置七衰。〈一 二 三 四 五 六 七〉併得二十八衰，為實。 以多十七乘之，得四百七十六。以減總綿數，餘五百 二十，以八子除之，得六十五斤，為第八子數。加十七， 得八十二斤，為七子數。倣此。遞加十七至長，合問。
九兒問甲歌
「一箇公公九箇兒，若問生年總不知，自長排來爭三 歲，共年二百七歲期，借問長兒多少歲，各兒歲數要 詳推《答》曰：「長兒三十五歲，次兒三十二歲，三兒二十 九歲，四兒二十六歲，五兒二十三歲，六兒二。」
十歲七兒一，十七歲八兒一，十四歲九兒一。
十一歲。
《法》曰：「列八衰。」〈以一 二 三 四 五 六 七 八〉各以差三歲因之 為各人之衰數。長兒因得三，次兒因得六，三兒因得 九，四兒因得十二，五兒因得一十五，六兒因得一十 八，七兒因得二十一，八兒因得二十四，併入衰，得一 百零八數以減，總二百零七歲，餘九十九歲。以九人 除之，得一十一歲，為第九兒之年。歲次遞加，三歲至 長合問。
依等算鈔歌
甲、乙、丙、丁、戊、己庚七人錢本不均平，甲乙念三七錢 鈔。〈二十三兩七錢〉念「六一錢戊己庚。」〈二十六兩一錢〉惟有丙丁鈔無 數，要依等第數分明。請問高明能算者，細推詳算莫 差爭。
答曰：甲該鈔一十二兩二錢，乙該鈔一十一兩五 錢，丙該鈔一十兩零八錢，丁該鈔一十兩零一 錢，戊該鈔九兩四錢，己該鈔八兩七錢，庚該
鈔八兩。
法曰：置戊己庚三人，添一為四，以三乘之，得十二，折 半得六，減去三，餘三，為下差率。另以甲乙二人乘總 七人，得十四，減去下差率三，餘得十一，為上差率。 列置戊己庚甲乙。〈三二〉互。〈餘三 得六 二十六兩一錢 得五十二兩二錢 餘十一 得三十三 二十三兩七錢 得七十一兩一錢〉 先以左上二互乘右中三，得六；又以左上二乘右下 二十六兩一錢，得五十二兩二錢；次以右上三乘左 中十一，得三十三；以減去右中六，餘二十七為法；又 以右上三乘左下二十三兩七錢，得七十一兩一錢； 減去右下五十二兩二錢，餘一十八兩九錢，為實；以 法二十七除之，得七錢，為一差之數。另置《甲乙》，共鈔 二十三兩七錢，加入差七錢，共二十四兩四錢，折半 得一十二兩二錢，為甲所得數，除差七錢，餘一十一 兩五錢，是乙鈔。各減七錢，得各數。
竹筒容米歌
家有九節竹一莖，為因盛米不均平。下頭三節三升 九，上稍四節貯三升。惟有中間二節竹，要將米數次 第盛。若是先生能算法，教君直算到天明。
答曰：「第一節。」�「容米一升四合。」第二節。�《一升三 合》第三節：�「一升二合」第四節：�「一升一合」 第五節。�一、《升》第六節�《九、合》第七節�《八合》 第八節�《七、合》第九節�六《合 法》曰：置上四節，加一，為五與四乘，得二十，折半，得一 十，減去四，餘得六，為下差率。另以下三節，以總九節 乘之，得二十七，減去下差率六，餘二十一，為上差率。 列置。〈右四 左三〉互。〈餘六 得一十八 三升 得九分 餘二十一 得八十四 三升九合 得一十五分六釐〉 先以左上三互乘右中六，得一十八；次以右上四互 乘左中二十一，得八十四。以少減多，餘六十六，為法。 復以左上三乘右下三，得九分；又以右上四乘左下 三，升九合，得一十五分六釐，減去九分，餘六分六釐， 為一節之差數。卻以下三節盛米三升九合為實，以 法六十六乘之，得二百五十七分四釐，以三歸之，得 八十五分八釐，是第二節數。加六分六釐，為第一節 數。減六分六釐，得七十九分一釐，為第三節數。又減 去六分六釐，餘七十二分六釐，為第四節數。每節次 第減六分六釐，得各數。以法六十六除之，《合問》
原法下頭三節貯四升米，不盡者多，今改為「三升九合」 ，卻盡矣。
歌
一萬六百八兩銀，四箇商人依率分。原銀輪遞四六 出，休將「《六折術》瞞人。」
答曰：「甲四千四百零六兩四錢；乙，二千九百三十 七兩六錢；丙一千九百五十八兩四錢；丁一千 三百零五兩六錢。」
解曰：「四六者，乃是每兩多五，故自丁起遞用加五為衰，併之為法，除實。」
《法》曰：「各列置衰。」〈丁四 丙六 乙九 甲一十三衰五分〉副併得三十二 衰，五分為法。另以銀一萬零六百零八兩，以乘各衰 甲十三衰，五分得一十四萬三千二百零八兩，乙九 衰得九萬五千四百七十二兩，丙六衰得六萬三千 六百四十八兩，丁四衰得四萬二千四百三十二兩。 各自為實，以法各除之，合問。
歌
三千四百十兩銀，五箇為商照本分。原銀輪遞二八 出，休將「八折易瞞人。」
答曰：「甲，二千五百六十兩；乙，六百四十兩；丙，一 百六十兩；丁，四十兩；戊，一十兩。」
解曰：「二八者，乃是每兩多四，故自戊起，依次遞用，四因為衰，併之為法。」
《法》曰：「各列置衰。」〈戊二 丁八 丙三十二 乙一百二十八 甲五百一十二〉副併， 得六百八十二衰，為法。以所分銀三千四百一十兩 為實。以法除之，得五十，為一衰。以乘各衰，得各人數合問。
歌
三百六十九斤絲，出錢四客要分之。原本皆是八折 出，莫教一客少些兒。
答曰：「甲，一百二十五斤，乙，一百斤；丙，八十斤。」
丁，六十四斤。
《法》曰：「各列置衰。」〈甲一千 乙八百 丙六百四十 丁五百一十二〉副併得二 千九百五十二為法。另以所分絲三百六十九斤乘 未併各衰甲一千，得三十六萬九千。乙八百得二十 九萬五千二百。丙六百四十得二十三萬六千一百 六十。丁五百一十二得一十八萬八千九百二十八。 各自為實。以法除實，得各人絲。合問。
歌
甲、乙、丙、丁、戊分銀一兩五，甲多，戊錢三，互和折半與 答曰：「甲三錢六分五釐，乙三錢三分二釐五毫， 丙三錢，丁二錢六分七釐五毫，戊二錢三分五 釐。」
《解》曰：「甲多戊，一錢三分也。」
《法》曰：此互和減半之法，置分銀一兩五錢為實，以例 用。〈一分 三分 五分 七分 九分〉併之，得二錢五分為法；除之得 六錢，乃首尾之數。於內減中多戊一錢三分，餘四錢 七分折半，得戊二錢三分五釐。仍加多一錢三分，得 甲三錢六分五釐。互和甲、戊共得六錢，折半得丙三 錢。互和加甲三錢六分五釐，共得六錢六分五釐，折 半，得乙銀三錢三分二釐五毫。併丙、戊共五錢三分 五釐，折半，得丁二錢六分七釐五毫。合問。
西江月
群羊一百四十，剪毛不憚勤勞，群中有母有羊，羔先 剪二羊比較，大羊剪毛斤二一十二兩，羔毛百五十 斤是根苗，子母各該多少。
答曰：「大羊一百二十隻，小羊二十隻。」
法曰：置羊一百四十，以大羊剪毛一斤，二加六為一 十八兩。乘之，得二千五百二十兩。以減共剪毛一百 五十斤，亦加六為二千四百兩，餘一百二十兩為實。 另以大羊毛一十八兩減小羊毛一十二兩，餘六兩 為法。除之，得小羊二十隻。以減總羊餘，得大羊一百 二十隻。合問。
二果問價歌
九百九十九文錢。「甜果苦果買一千。」甜果九箇十一 文，苦果七箇四文錢。試問甜苦果幾箇？又問各該幾 箇錢。
答曰：「甜果六百五十七箇，該錢八百零三文；苦果 三百四十三箇，該錢一百九十六文。」
《法》曰：列置。〈九個十一文〉互。〈七個四文 一千個九百九十九文〉先以 右上九箇互乘左中四文，得三十六箇；次以右中七 箇互乘左上一十一文，得七十七文；以少減多，餘四 十一，為長法。又以右中七箇互乘左下九百九十九 文，得六千九百九十三文；再以左中四文互乘右下 一千箇，得四千；以少減多，餘二千九百九十三文；卻 以長法除之，得七十三，為短法。若求《甜果》，以七十三 乘九箇，得甜果六百五十七箇。另以七十三乘一十 一文，得甜果錢八百零三文。於總果內除六百五十 七，餘苦果三百四十三箇。又於總錢減去甜果錢，餘 得苦果錢。合問。
均舟載鹽歌
四千三百五十鹽，大小船隻要齊肩。五百鹽裝三大 隻，三百鹽裝四小船。請問船隻多少數？每隻船載幾 引鹽？
答曰：大船一十八隻，裝鹽三千引；小船一十八隻， 裝鹽一千三百五十引。
《法》曰：列置。〈四隻 三隻〉互。〈三百 五百〉先以左上三隻互乘右下 三百引，得九百。次以右上四隻互乘左下五百，得二 千，併之，得二千九百為法。列置三四乘，得一十二隻； 以乘總鹽，得五萬二千二百為實；以法除之，得十八， 是大小船數。先以大船鹽五百因之，得九千；再以船 三隻歸之，得鹽三千引。又置小船一十八隻，以鹽三 百因之，得五千四百。又以船四隻歸之，得鹽一千三 百五十引，《合問》。
增錢剝淺歌
鄰家有客亂爭喧，相見問其所以然。二百三十六擔 貨，程途遠近論船錢。九十五擔六分算，八十五擔四 分還。更有五十六擔貨，二分五釐算為先。只因剝淺 爭船價，二兩五錢二分添。請問高明能算士，各人分 派免憂煎。
《解》曰：假如趙一、錢二、孫三三人共貨二百三十六擔，雇船一隻，原各以程途遠近不等，水腳多寡不同。內「趙一」 貨九十五擔，交卸甚遠，每擔船腳銀六分；錢二貨八十五擔，卸處頗近，每擔船腳四分；孫三貨五十六擔，程途又近，每擔船腳二分五釐。算其銀付足外，因中途剝淺，貼銀二兩五錢二分，照依遠近船錢派「分，各該若干。」
答曰：「趙一該貼一兩三錢六分八釐，錢二該貼八
錢一分六釐，孫三該貼三錢三分六釐。」
法曰：「置趙一貨九十五擔，以每擔船腳銀六分乘之， 得五兩七錢。另以錢二貨八十五擔，以每擔船銀四 分乘之，得三兩四錢。又以孫三貨五十六擔，以每擔 船銀二分五釐乘之，得一兩四錢。」併三數原船腳銀 一十兩零五錢為法。卻以貼銀二兩五錢二分為實， 以法除之，得二錢四分，乃是船腳每兩貼剝之數。就 以此二錢四分為法，以乘各客船腳銀數，即得。
筆套取齊歌
八萬三千短竹竿，將來要把筆頭安。「管三套五為期 定，問君多少配成完。」
答曰：「管套各得一十五萬五千六百二十五箇，管 竹五萬一千八百七十五竿，套竹三萬一千一百 二十五竿。」
《解題》共有短竹八萬三千竿，每一竿截作筆管三箇，每一竿截為筆套五箇，問各該用竹若干，裁截配合成筆。
法曰：置竹八萬三千，為實。以管三、套五併作八，為法。 除之，得一萬零三百七十五，又為實。另以管三乘套 五，得一十五，又為法。乘實得管、套各得一十五萬五 千六百二十五箇，列置問。管竹以三歸之，問套竹以 五歸之，合問。
金毬問積歌
有箇金毬裡面空，毬高尺二，厚三分一寸，自方十六 兩，試問金毬多少金。
答曰：「一百三十八斤一十兩零二錢四分。」
解曰：「金毬者，形如立圓，高尺二，即圓中之徑也。」 厚三分者，乃中徑之兩頭俱有，故併共厚六分，以減全徑尺二，餘得內中空徑一尺一寸四分也。其用立圓之法，自再乘畢，又用九因、十六除者，何也？其平圓居方內四分之三，故用三因。四歸得積。今立圓而又多一再乘者，故以三三如《九因》之。平圓四歸而一，今立圓亦再以四自乘，得一十六而除之，是也。若毬周問積，置周數以三歸求出徑數，同法算積。
法曰：置毬高一十二寸，自乘再乘，得一千七百二十 八寸。以《九因》十六除，得九百七十二寸，是全箇金毬 之實。另置徑一十二寸，減去徑兩頭共厚六分，餘得 毬中空徑一十一寸四分。亦自乘，再乘，得一千四百 八十一寸五分四釐。亦以九因十六除，得八百三十 三寸三分六釐，為毬內空積之數。以減全毬積數，餘 一百三十八寸六分四釐；以一百三十八寸變為一 百三十八斤零者，用「加六」之法，得一十兩零二錢四 分。《合問》：
西江月
帝城三五元宵，鰲山兩樣燈毬，都來一秤三斤油。七 兩又來添湊，三兩分為四盞，四兩分作三甌，三停盞 子二停甌，請問先生知否？
《答》曰：「甌一百二十隻，油十斤，盞一百八十箇，油八 斤七兩。」
法曰：置油一秤，為一十五斤，又添三斤，共一十八斤。 每斤用加六法，得二百八十八兩。又添七兩，共二百 九十五兩。以每兩二十四銖乘之，得七千零八十銖 為實。另置油三兩，以二十四銖乘，得七十二銖。以四 盞歸之，每盞得一十八銖。又以三停乘之，得五十四 銖，為盞之法。另又置油四兩，以二十四銖乘之，得九 十六銖。以三甌歸之，每甌得三十二銖。又以二停乘 之，得六十四銖。為甌之法。併甌盞二法共一百一十 八為總法。除實七千零八十銖，得六十為則。以二停 因得一百二十為甌數。以每甌油三十二銖乘之，得 三千八百四十銖。以每斤三百八十四銖除之，得十 斤為甌油總數。另以則六十，以三停因之，得一百八 十，為盞總數。以每盞油一十八銖乘之，得三千二百 四十銖。以每兩二十四銖除之，得一百三十五兩。以 斤法一十六兩除之，呼見一無除作九，一無除，起一 下還一六八除四十八，餘七兩不可除，即是八斤七 兩為盞油總數。併甌總油，共一十八斤七兩。《合問》
以碗知僧歌
「巍巍古寺在山中，不知寺內幾多僧？三百六十四隻 碗，恰合用盡不差爭，三人共餐一碗飯，四人共嘗一 碗羹，請問高明能算者，算來寺內幾多僧？」 答曰：「六百二十四人，飯碗二百零八隻，羹碗一 百五十六隻。」
法曰：以三人四人相乘，得一十二人，以乘總碗三百 六十四，隻得四千三百六十八為實。另以三四併之， 得七為法，除之得僧數。用三歸得飯碗，用四歸得羹 碗。《合問》：
河邊洗碗歌
婦人洗碗在河濱，試問「家中客幾人？」答曰：「不知人數 目，六十五碗自分明，二人共餐一碗飯，三人共喫一碗羹，四人共肉無餘數。」請問布算莫差爭？ 答曰：「客六十人，飯碗三十隻，羹碗二十隻，肉 碗一十五隻。」
法曰：以二人乘三人，得六人；又以四人乘之，得二十 四人。以乘總六十五碗，得一千五百六十為實。另列 維乘。〈得六 得一十二〉先以二乘三得六，次
以三乘四得一十二，又以四乘二得八，併之，得二十 六，為法。除實得六十人，各列。以二歸得飯碗，以三歸 得羹碗，以四歸得肉碗。《合問》。
書生分卷歌
《毛詩》春秋《周易》書，九十四冊共無餘。《毛詩》二冊三人 共，《春秋》一本四人呼。《周易》五人讀一本，要分每樣幾 多書。就見學生多少數，請君布算莫躊躕。
答曰：「《毛詩》四十本，《春秋》三十冊，《周易》」二十四本。 學生各經一百二十名，總計三百六十人。
法曰：列置三人、四人、五人維乘。以三人乘四人，得一 十二。又以四人乘五人，得二十。又以五人乘三人，得 一十五。併之得四十七，為法。另以共書九十四本在 位。以《詩》三人乘之，得二百八十二本。再以《易》四人乘 之，得一千一百二十八本。又以《書》五人乘之，得五千 六百四十本，為實。以法四十七除之，得各經學生一 百二十名，列三位，以三人歸之，得《詩經》四十本，以四 人歸之，得《春秋》三十本，以五人歸之，得《易經》二十四 本，併三經學生共三百六十人，合問。
僧分饅頭歌
一百饅頭一百僧，大和三箇更無爭。小和三人分一 箇，大小和尚得幾丁。
答曰：「大和尚二十五人，該饅頭七十五箇；小和尚 七十五人，該饅頭二十五箇。」
法曰：置僧一百名為實。以三箇、一箇併得，四箇為法。 除之，得大僧二十五人。以每人三箇因之，得饅頭七 十五箇。于總僧內減大僧，餘七十五為小僧。以三人 歸之，得饅頭二十五箇。《合問》。
歌
一千官軍一千布，一官四匹無零數，四軍纔分布一 匹，請問官軍多少數？
答曰：「官二百員，該布八百匹。軍八百名，該布二百 匹。」
《法》曰：置官軍共一千為實。以四匹、一匹併得五匹為 法。除之，得官二百員。以每員四匹因之，得布八百匹， 於總官軍內減二百，餘八百名為軍，以四軍歸之，得 布二百匹。合問。
歌
「今有千文買百雞，五十雄價不差池。」草雞每箇三十 足，小者十文三箇知。
答曰：「公雞八隻，價錢四百文；母雞十一隻，價錢三 百三十文；小雞八十一隻，價錢二百七十文。」
《原法》曰：置錢千文為實。另置公雞一、母雞一，各以小 雞三因之，得公雞三、母雞三、小雞三，共得九，為法。除 實得十一，為母雞數。不盡，一返減下法九，餘八為公 雞數。另列總雞一百隻，減去公雞八隻，母雞一十一 隻，餘八十一隻，為小雞數。各以價錢因之合問。
又引前法，置所答數，公雞八隻，增四作十二；母雞十一，減七為四；小雞八十一，益三為八十四，共百雞千文也。此乃張丘建云：「雞公增四，雞母減七，雞雛益三。」 又細參之，仍置原數，卻將雞公八隻，減四得四隻，雞母十一，增七得一十八隻，雞雛八十一，減三得七十八隻，亦得百雞千文也。其一法而生三，故在變通之意也。
水仙子
元宵十五鬧縱橫，來往觀燈街上行，我見燈上下紅 光映，遶三遭數不真，從頭兒三數無零。五數時四甌 不盡，七數時六盞不停，端的是幾盞明燈。
《解題》初以三算之恰盡，次以五算之餘四盞，再以七算之餘六盞。問共燈若干。
答曰：「六十九盞。」
法曰：此如孫子物，不知總法也。先置三數無零，不必 下五數剩四，每一下二十一數四，共該下八十四數； 七數剩六，每一下十五數六，共該下九十數。併之，共 得一百七十四，減去滿法一百零五，餘得六十九盞。 合問。
