欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第一百二十八卷目錄
算法部總論
隋書〈律曆志備數〉
明唐順之本集〈句股測望論 句股容方圓論 弧矢論 分法論 六分論〉
算法部藝文
明算 冊府元龜
測圓海鏡序 李冶
算法部紀事
曆法典第一百二十八卷
算法部總論
隋書
律曆志備數
五數者，一、十、百、千、萬也。《傳》曰：「物生而後有象，滋而後 有數。」是以言律者云：數起於建子。黃鐘之律始一，而 每辰三之，歷九辰至酉，得一萬九千六百八十三，而 五數備成，以為律法。又參之終亥，凡歷十二辰，得十 有七萬七千一百四十七，而辰數該矣。以為律積以 成法，除該積得九寸，即黃鐘宮律之長也。此則數因 律起，律以數成，故可歷管萬事，綜覈氣象。其算用竹， 廣二分，長三寸。正策三廉，積二百一十六枚成六觚， 乾之策也。負策四廉，積一百四十四枚成方，坤之策 也。觚方皆經十二，天地之大數也。是故探賾索隱，鉤 深致遠，莫不用焉。一、十、百、千、萬，所同由也。律、度、量、衡、 歷、率，其別用也。故體有長短，檢之以度，則不失毫釐； 物有多少，受之以器，則不失圭撮；量有輕重，平之以 權衡，則不失黍絲；聲有清濁，協之以律呂，則不失宮 商；三光運行，紀以曆數，則不差晷刻；事物糅見，御之 以率，則不乖其本。故幽隱之情，精微之變，可得而綜 也。夫所謂率者，有九流焉：一曰方田，以御田疇界域； 二曰粟米，以御交質「變易；三曰衰分，以御貴賤廩稅； 四曰少廣，以御積冪方圓；五曰商功，以御功程積實； 六曰均輸，以御遠近勞費；七曰盈朒，以御隱雜互見； 八曰方程，以御錯糅正負；九曰句股，以御高深廣遠。 皆乘以散之，除以聚之，齊同以通之。今有以貫之，則 算數之方，盡於斯矣。」古之九數，圓周率三，圓徑率一， 其術疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設 新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之更開密 法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數二丈一尺四寸一 分五釐九毫二秒七忽。朒數，三丈一尺四寸一分五 釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑 一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十 二。又設開差冪。開差立，兼以正圓參之，指要精密，算 氏之最者也。所著之書，名為《綴術》，學官莫能究其深 奧，是故廢而不理。
明唐順之本集
句股測望論
句股所謂矩也。古人執數寸之矩，而日月運行，朓朒 遲速之變，山谿之高深廣遠，凡目力所及，無不可知， 蓋不能逃乎數也。句股之法，橫為句，縱為股，斜為弦。 句股求弦，句股自乘相併為實，平方開之，得弦。句股 求股，句弦自乘相減為實，平方開之，得股。股弦求句 同法。蓋一弦實藏一句一股之實，一句一股之實，併 「得一弦實也。數非兩不行，因句股而得弦，因股弦而 得句，因句弦而得股。」三者之中，其兩者顯而可知，其 一者藏而不可知，因兩以得三，此句股法之可通者 也。至如遠近可知，而高下不可知，如卑則塔影，高則 日影之類。塔影之在地者可量而人足，可以至於戴 日之下，而日與塔高低之數不可知，則是有句而無 股。弦三者缺其二，數不可起，而句股之法窮矣。於是 有立表之法。蓋以小句股求大句股也。小句股每一 寸之句，為股長幾何？則大句股每一尺之句，其長幾 何可知矣。此以人目與表與所望之高三相直而知 之也。人目至表，小弦也；人目至所望之高，大弦也。又 法：表為小股，其高幾何？與至塔下之數相乘，以小句 除之，則得塔高。蓋橫之則為小股，至塔之積，縱之則 為小句，至塔頂之積，縱橫之數恰同，是變句以為股， 因橫而得縱者也。句股弦三者，有一可知，則立表之 法可得而用。若其高與遠之數皆不可知，而但目力 可及，如隔海望山之類，則句、股弦三者無一可知，而 立表之法又窮矣。於是有重表之法。蓋兩表相去幾 何？為影差者幾何？因其差以求句、股，亦可得矣。立表 者以通句、股之窮也；重表者以通一表之窮也。其實 重表一表也，一表句股也，無二法也。
句股容方圓論
凡奇零不齊之數，準之於齊圓，準之於方。不齊之圓， 準於齊之圓，不齊之方，準於齊之方。句股容圓，準於 句股容方。假令句五、股五、弦七有奇，此為整方均齊， 無較之句股，其容方徑該得句之半。蓋容方積得句 股全積四分之一。其取全積時，句、股分在兩廉，則句 五、股五。五五二十五內，一半為句積，一半為股積。其求容方，則併句股為縱。一廉得十，為長之數，得闊二 五，與原句相半。蓋始初則一半句積，一半股積，橫列 之而為正方。及取容方，則股積在上，句積在下，而為 長方矣。其容方所以止得半句者，則以句、股之數均 也。若句短股長，則容方以漸而闊，不止於半句矣。故 大半為股積，小半為句積。其始橫列時，句積與股同 長而不同闊，其從列時，則股積之闊如故，而句積截 長以為闊，則闊與股積同，而長與股積異，與橫列正 相反。此變長為闊，而取容方之法也。其謂之句積、股 積者，從容方徑與句股相乘之數而名之也。若取容 圓徑，則用句股自之，而倍其數，以句股與弦併為法。 蓋容圓之徑多於容方，方有四角，與弦相礙，故其數 少；圓循弦宛轉，故其數多。若以求容方與求容圓相 比，則積中恰少一段圓徑與半弦和較相乘之數。弦 和較者，勾股併與弦相較之數也。假令勾五股五相 乘，亦倍之，得五十。如求容方，則亦倍勾股為法，得二 十，亦恰得二寸五分之徑。如求容圓，則不用倍勾股 為法，而用一句股併與一弦，是以一弦代一句股併 也。以一弦代一句股併，恰少一弦和較。加一弦和較， 則亦兩句股矣。假令一句股得十，倍句股得二十，是 取容方之徑。一句股得十一，弦得七，恰少一弦和較 三，是取容圓之徑。其所以少一弦和較者，圓徑多於 方徑也。假令取容圓，不用句股倍積，而止用句股本 積，則宜用句股併為廉，而除去半弦和較，亦得。或約 得圓徑之後，與半弦和較相乘添積，而以句股併為 廉，不除亦得。或用句股倍積，用兩句股相併為廉，而 以全弦和較與約得圓徑相乘，添積，亦得。此改方為 圓之妙，其機括只寓之於弦和較間也。至於句股積 與弦積，亦只於句股較中求之，蓋數起於參伍，參伍 起於畸零不齊也。假令股五句五齊數之句股，則句 股冪倍之，即得弦冪，蓋兩句股積而成弦積也。至於 句短股長相乘之積，則成一長方，倍之而弦側不當 中徑，亦不成弦冪。惟以一句股較積補之，乃能使長 方為一正方，而得弦積。蓋句股之差愈遠，則長方愈 狹，長方愈狹，則句股之差積愈多。故句股差者，所以 權長方，不及正方之數，以相補輳，此《補狹為方》之法 也。
弧矢論
凡弧矢算法，準之於矢，而參之於徑、背徑。求矢之法， 先求之背弦差，而半背弦差藏之矢冪與徑相除之 中，倍矢冪與徑相除，則全背弦差也。半法簡捷，故用 其半。冪者，方眼也。自乘之數必方，故謂之冪。假令徑 十寸，截矢一寸，一寸隅無開方，即以一寸為矢冪，而 以十寸之徑除之，該得一分，是半背弦差一分。若二 寸矢開方得四寸，是為一寸者四，半背弦差得四分， 三寸矢開方得九，是為一寸者九；半背弦差得九分。 皆準之於十寸之徑，故一寸之冪而差一分，遞而上 之，視其冪以為差之多少。又假令徑十三寸矢冪一 寸，則以十三寸之徑與一寸相除，每寸該差七釐七 毫，弱以為半背弦差。若二寸矢開方得四，該四箇七 釐七毫，併之得三分八毫，以為二寸矢半背弦差。此 準之，十三寸之徑，亦遞而上之，視其冪以為差之多 少。蓋徑長則背弦之差減，故一寸矢而差止七釐有 奇。徑短則背弦之差增，故一寸矢而差及一分。雖其 數有增減，而準之於一寸之冪，與徑相除，而以漸開 之，每得一寸，則得元差，而相併以為背弦之差，則其 法之一定不可易者也。背徑求矢，矢背求徑諸法，《消 息管》於是矣。至於徑積求矢一法，古法以倍截積自 乘為實，四因截積為上廉，四因直徑為下廉，五為負 隅，與矢相乘以減下廉，而以上下廉與矢除實。今立 一法，但以截積自乘為實，而遂以截積為上廉，直徑 為下廉。每一寸矢帶二分五釐，二寸矢則帶五分四 分，而增其一以減徑，其倍積《四因》之法，悉去不用，頗 為簡捷。蓋徑積求矢，準於矢徑之差。矢徑差者，矢徑 互為升降也。矢一寸則該減徑一寸二分五釐，矢二 寸則該減徑二寸五分，而矢徑之差起於積數之不 足。且夫圓準於方，而畸零之圓又準於均齊之圓。以 方為率，徑十寸，矢一寸，則積必是十寸，矢二寸，則積 必是二十寸。但得積為實，只約矢與徑為從平方開 之足矣，蓋方無虛隅也。又以整圓為率，徑十寸，矢五 寸，則圓積必居方積四分之三，而以四之一為虛隅 足矣，蓋雖有虛隅，而其數易準也。惟是矢以漸而短， 則積以漸而減，有不能及四分之三；虛隅以漸而加， 有不止於四分之一者矣。於是平方法與四分而一 為虛隅之法，皆不可用。惟是乘平方之積為三乘，而 以四分之矢減五分之徑，則不問矢之長短積與虛 隅之多寡，而其數皆至此而均齊。猶之平方之法，數 有多寡而減來減去，必得一均齊之數以為準，而後 不齊者皆齊，此天然之妙也。夫積自乘而為三乘方 之實，則一整方耳，而矢數藏焉。及立法求矢，則分為 上下兩廉，而矢數著焉。蓋整方所以聚積，而分廉所以散積，補短截長，而方圓斜直通融為一，此亦天然 之妙也。假令徑十寸，矢一寸，積該三寸五分，自乘該 十二寸二分五釐，上廉三寸五分，下廉十寸，以三乘 方開之，而一寸無開方，則上下廉如元數，共得十三 寸五分為廉法。與一寸矢相乘，除實恰少一寸二分 五釐，是為負隅之數。所以用每矢一寸則帶二分五 釐為準，以減徑，然後法實相當也。又如徑十寸矢二 寸，積該十寸，自乘該百寸上廉十寸，下廉亦十寸，以 三乘方開之，則須以矢數乘上「廉，上廉該得三十寸。」 蓋長十寸而高二寸之數，以矢數自乘，得四而乘下 廉，下廉該得四十寸。蓋高十寸而闊四寸之數，上下 廉共得六十寸。又以矢二寸為方面，與上下廉相乘， 除實共二箇六十寸，該得一百二十寸，其數乃足。而 元數止得百寸，恰少積二十寸，所以用二寸五分以 除下廉，則該止得七寸五分為下廉。其下廉減去高 二寸五分，中闊該四寸，則四箇二寸五分，該得十寸。 方面二寸，與十寸相乘，共二十寸，恰勾負隅之數，所 以二寸矢則用二寸五分減法也。遞而上之，每寸以 二分五釐為準，蓋雖徑有極長極短，而一寸寸矢帶 二分五釐減徑之法，則定數也。徑積求矢，矢積求徑， 「徑矢求積」，諸法《消息管》於是矣。然此二法者，背弦之 差，則隨徑而不隨矢，所以均為一寸之矢，而其差則 有多寡之不齊，矢徑之差，則隨矢而不隨徑，所以但 得一寸之矢，則不問徑之長短，而一例為差。此二法 之異也。若以今法與舊法相通，今法不倍積，所以不 用四因，四因者，生於倍積也。古法之五為負隅，即今 之一寸帶二分五釐也。蓋以五乘之矢，除四因之徑， 則亦一寸矢而減一寸三分五釐之徑也。然有廉而 無方隅者，蓋截積止得廉數也。即此二法，可見截弧 截積之法，皆從邊起，而準之於邊，以漸消息之矣。既 得一寸之定差，則雖倍蓰十伯，錯綜變化，而皆不能 出乎範圍之外，此天然之妙也。故曰：「握其機而萬事 理矣。」其弦矢求徑法，半弦自乘為實，而以矢除之，加 矢得徑，是徑之數藏於半弦冪，與矢相除而加矢之 中也。今環而通之，以為背弦求矢諸法。背弦求矢，其 半背冪中藏一箇半弦冪，與矢相除而加矢之徑數 藏一箇矢冪，以徑數相除為背弦差之數。二數消息， 恰得半背冪本數，則矢數見矣。假令徑十寸，矢一寸， 半背弦差一分，半背數三寸一分，自乘，得九寸六分 一釐，其九寸為弦冪，所謂「中藏。」半弦冪與矢相除而 加矢之徑數，其六分一釐乃是兩半背冪，而空其一 差，亦名差與半背相開方之數，即以與其差一分相 乘之數，所謂一箇矢冪，以徑數相除，為背弦差之數 也。二數消息，以盡背冪，而法可立矣。其背矢求弦法， 若背矢先求出徑，而後以矢徑求弦，則為簡捷。蓋半 背冪中所藏弦冪，與背弦差冪，今以矢冪約徑，而以 徑除矢冪，為背弦差。又以矢截徑，以矢乘之，為半弦 冪。二數消息，恰得半背冪本數，則徑數見矣。得徑而 弦在其中矣。其矢弦求背，亦須先得徑而後得背。蓋 半弦冪為實，乃以矢約徑，以矢減之，以矢乘之，恰得 半弦冪本數，則徑數見矣。得徑而背在其中矣。假令 矢一寸，半弦三寸，自乘九寸，為半弦冪為實，以矢約 寸得十寸，以矢一寸減之得九寸，以矢一寸乘之得 九寸，恰與半弦冪相同，則為徑十寸矣。此背、弦、矢徑 四者相乘除，循環無窮之妙也。至於徑積求矢，則既 然矣。因而通之，積矢求徑，假令徑十寸，矢一寸，積三 寸五分，自乘，該十二寸二分五釐，乃以原積三寸五 分為上廉，一寸之矢為下廉，以除自乘之積餘數，得 八寸七分五釐，加矢帶數一寸二分五釐，則為徑十 寸矣。又如徑十寸，矢二寸，積十寸，自乘寸百為實。矢 乘積得二十寸，為上廉；再矢自乘，得八，為下廉。以二 乘上廉，消積四十，以八消餘，積六十，得七寸五分，加 入矢帶數二寸五分，則徑十寸矣。徑積求矢，則積為 上廉，而徑為下廉；矢積求徑，則亦積為上廉，而矢為 下廉。此其縱橫往來相通之妙。而一乘上廉，再乘下 廉，則三乘《開方》之定法也。積矢求弦，則倍其積，以矢 除積而減矢。弦矢求積，則并矢於弦，以矢乘積而半 其積，蓋矢弦并之為長，以矢乘之而得兩積，故半之 而積可見也。「倍之則為矢弦相併之積」，以矢除之而 得矢弦相併之本，數，除矢而弦可見也。徑矢求積，則 先得弦而後得積，蓋以矢減徑，以矢乘之，四因得數， 面弦冪藏於其中，平方開之得弦。乃以矢自乘，以矢 與弦相乘，合二數而半之，則得積矣。此又積矢、徑、弦 四者相乘除，循環無窮之妙也。其徑背求矢法，則以 半背自乘為實，而約矢以減徑，以矢乘之，為半弦冪。 而平方開之以減背。其減餘之數，恰與矢之背弦差 數相當，則矢數見矣。蓋半背數中藏一，半弦數藏一， 背弦差數，故合二數而消息之也。徑十寸，矢一寸半， 背三寸一分。十寸之徑，每一寸，矢該差二分，二寸矢 該差四分，為定差。今約矢一寸以減徑，得九寸，以矢 乘，亦得九寸，平方開之，得三寸為半弦。以除半背而餘一分，恰勾一寸差數，則矢之為一寸也無疑矣。又 如徑十寸半，背四寸四分，約得矢二寸，以減徑，餘八 寸。以矢乘，得十六寸，為弦冪。平方開之，為四寸。以減 半背四寸，而餘四分，恰得二寸矢之定差，則矢之為 二寸也無疑矣。又法：半背冪自乘為實，中藏一箇半 弦自乘之數。一箇背弦差與兩半背而空出一差相 乘之數，亦名背弦差與背相開方之數。以此兩數與 實相消，而矢數見矣。假令徑十寸半背三寸一分，其 半背冪該九寸六分一釐，約矢一寸，與徑相減相乘， 如前法，得九寸，以除實九寸。而以一寸之差一分與 兩半背而空出一差之數，得六寸一分，與上差一分 相乘，得六分一釐。并二數九寸六分一釐，除實恰盡。 以是知矢之為一寸也。又如半背四寸四分，自乘，得 十九寸三分六釐為實。約矢二寸，與徑相減相乘，如 前法，得十六寸。以除十六寸，而以二寸之差四分與 兩半背而空出一差之數，得八寸四分，與上差四分 相乘，得三寸三分六釐，併二數十九寸三分六釐，除 實恰盡。以是知矢之為二寸也。此其法亦始於先得 定差，而約矢與徑兩相消息以得矢也。其徑數有長 短，差數有多寡，亦準此法而通之也。在先得定差而 已。又法：半徑自乘為徑冪，半背自乘為背冪，二冪相 乘為實。乃約矢以減徑，以矢乘之，為半弦冪，與徑冪 相乘以除實。又以徑冪除其餘實，恰得矢數之定差， 則矢可得矣。蓋二冪相乘，中藏一箇徑冪，與弦冪相 乘之數，藏一箇徑冪，與半背弦差冪相乘之數。而背 弦差者，矢之所藏也。假令徑十寸，矢二寸，背差八分， 半徑自乘，得二十五寸；半背自乘，得十九寸三分六 釐，相乘得四百八十四寸，為實，及約矢，得二寸，以減 徑而乘之，得十六寸，為弦冪。與徑冪相乘，得四百以 除實，餘八十四寸，又以徑冪除之，得三寸三分六釐， 恰與二寸矢之定差相合。然二寸矢之定差四分，而 乃有三寸三分六釐者，蓋始求背冪之時，以兩背數 相乘，則四分寓其間，恰得此數，所謂差與背相開方 之數也。以四分與八寸四分相乘，得三寸三分六釐， 故定差四分，而其積則三寸三分六釐也。以八寸四 分除之，則定差本數也。夫背弦差者，矢之所藏也。以 差立法，古未有之，而實求矢之大機也。差徑求矢，以 差與徑相乘，平方開之，得矢差。矢求徑，矢自乘，以差 為從。平方開之，得徑。而差與弦亦可以求矢徑半弦 之冪。矢除徑而矢乘徑之數也。差者，矢冪而徑除之 之數也。先約徑，矢數與弦冪相同，而又以徑除矢冪 與差數同，則得矢徑差。與背求矢徑，減差則得弦，即 差弦求矢徑也。積者，矢與弦并，以矢除而半之之數 也。積弦求矢，倍積為實，約矢而加之，於弦，為從方，以 矢為法除之，則得矢也。矢積求弦，矢自乘而置虛積， 與元積相當，然後減去矢自乘之冪，而以矢除其虛 積，與元積之并，則得弦也。假令矢一寸，積三寸五分， 矢自乘得寸，添積二寸五分，乃與元積相當，然後減 去矢自乘之，寸餘六寸，以矢除之，得弦六寸也。矢二 寸積十寸，矢自乘得四寸，加虛積六寸，與元積相當， 減去矢自乘之，寸餘十六寸，以矢除之，得弦八寸也。 如不以矢徑求弦得積而遂以矢徑求積，則矢每寸 截徑寸二分五釐，而以矢自乘，再乘、以乘截餘之徑， 為徑積，然後以徑約積，而以積與矢自乘之數相乘， 添入徑積合為積冪，而復以約積自乘，亦與前積冪 同數，則積亦可得矣，然不如得弦而後得積之為簡 捷也。至於殘周與弦求矢，則亦用半弦自乘為實，而 約出矢數，以除半弦冪，而加矢為徑。乃以徑補出全 周之數，而以半背數除半弦數，餘為半背弦差，恰得 矢之定差，則矢可得矣。假令弦六寸，殘周二十三寸 八分，則以半弦自乘，得九為實，而約出矢一寸。以除 實而加之，得十寸為徑，該周三十寸，除殘周數，得半 背三寸一分，除半弦三寸而餘一分，恰得一寸矢之 定差，則矢一寸也。又如弦八寸，殘周二十一寸二分， 半弦自乘，得十六為實，約出矢二寸。以除實而加之， 得十寸為徑，該周三十寸。除殘周數，得半背四寸四 分。除半弦四寸而餘四分，恰得二寸。矢之定差，則矢 二寸也。數雖如是，而起筭極周折，惟求之弦、矢徑三 相權，則其數可準。蓋徑矢求弦，則以矢減徑，以矢乘 之，為半弦冪。徑弦求矢，則以半弦自乘，為實，而以徑 為益方，以矢減益方而相乘除實，亦是以矢減徑，以 矢乘之，而得半弦冪也。弦矢求徑，則以半弦自乘，以 矢除之，加矢而得徑。由是三者輾轉求之，則是半弦 冪中藏卻以矢減徑、以矢乘之之定數。以是約出矢 徑，而因徑以為周，減其殘周而得背。以半背與半弦 相較而得差，恰與矢之定差相同，則矢數「無所失矣。 其有不合，則更約之。」此數雖若眇茫，然準之於以矢 減徑，即以矢乘，必須與半弦冪相當，則亦未嘗無繩 墨也。此意元之又元也，至神莫知也，積也，矢也，徑也， 弦也，背也，殘周也，差也，凡七者，轉相為法而轉相求， 共得三百二十六法而後盡渾然一圓圈，而中含錯綜變化，乃至於此。嗚呼，豈非所謂至妙至妙者哉？
分法論
差分方程，盈朒粟米，總是一分法也。物有多寡，價有 貴賤，兩物相形，已知物之孰貴孰賤，各有定價矣。若 使兩物總共若干，兩價亦總共若干，則兩物混雜。雖 則兩物混雜，而總價固相差也。於是以價權物，則因 價之貴賤而差之也。未知兩物之孰貴孰賤，而但知 兩物相參伍之總價。若使此三而彼五，則價共增若 「干；此五而彼三，則價共減若干；則兩價混雜而物數 固相形也。於是以物權價」，則因物之參伍而推出價 之貴賤，謂之方程。方程者，言物價相檢括，有定式而 不可亂也。《差分方程》之所不能盡，於是有盈朒。盈者 有餘，朒者不足。「盈朒」者，因其外露畸零可見之數，而 推知其中藏隱雜不可見之數，以據末穎而窺全錐 也。假令物共若干兩，價共若干兩，兩物混雜而法有 不盡於差分也，於是而盈朒之。假令總是貴物，則原 總價不足若干；總是賤物，則原總價有餘若干。於是 推乘以齊其數，以不足之數乘賤物，以有餘之數乘 貴物。兩物各得其所乘之數以為實，而并有餘、不足 之數以為法而各歸「之，則物之多寡可得矣。」此差分 之盈朒也。未知兩物之孰貴孰賤，而但知此三而彼 五，則價共增若干，此五而彼三，則價共減若干，兩價 混雜，而法有不盡於方程也。於是而盈朒之。假令此 賤若干，彼貴若干，則原總價有餘幾何；此貴若干，彼 賤若干，則原總價不足幾何？於是維乘以齊其數，以 有餘乘此貴彼賤，亦以不足乘彼貴此賤，令兩賤自 相減，兩貴自相減為實，有餘不足亦自相減為法，則 價之貴賤可得矣，此《方程》之盈朒也。差分以價權物， 方程以物權價。差分露價而混物，方程露物而混價。 露價而混物，故以價相轄；露物而混價，故以物相參， 而盈朒通乎其間矣。至於物有以多而易寡，價有以 貴而易賤，於是有粟米，則乘除互換之間，而多遂與 寡相當，賤遂與貴相當，而其數齊矣。以粟易米，則以 粟率乘，以米率除。以米易粟，則以米率乘，以粟率除； 以貴物易賤物，則以貴率乘，以賤率除。以賤物易貴 物，則以賤率乘，以貴率除。以賤物易：皆以本率乘，以 所易之率除。謂之「粟米」者，因粟米以名諸物也。
六分論
數，欲以繁而從簡，而數之有分者，不可以常法約也， 於是有約分之法，則以子減母，以母減子，至於等而 後止。等數者，母子之數所共止齊也，必相減而後得 之，所謂減損求原也。然後以等約母，以等約子，而繁 者簡矣。數有以少而合，多以聚其零散，亦有以少而 減，多以較其多寡，而數之有分者，不可以常法合而 「減也。」於是有合分、課分之法。分母不同，分子亦異，於 是母互乘子，以齊其數。假令二分之一與三分之一 相乘，二分之母，數本少也，與子之二數相乘而為四， 則雖少而多。三分之母，數本多也，與子之數相乘而 為三，則雖多而少。一互乘而裒多益寡之義著矣。諸 分皆母互乘子而合分，則相併以為實，所以為合也； 課分則相減以為實，所以為減也。其實有相乘、相減 之異，而其法則皆以母相乘。蓋其始皆母互乘子以 為實，則其母亦互相乘以為法也。「合分觀其所總，而 聚散著矣；減分觀其所餘，而多寡著矣。數有多寡，損 益以取平，而數之有分者，不可以常數平也。」於是有 平分之法，亦母互乘子而副置之。其一相併以為平 實。其不相併而據諸分之位數凡幾謂之「列數」，名以 列數乘其不相併之分子以為列元。是三位相併，則 以三為列數。原是四位相併，則亦以四為列數。以三 數乘不相併，則亦與三數相併相當矣。以四數乘不 相併，則亦與四數相併相當矣。但相併則諸分總得 其相乘之數；不相併，則諸分各得其相乘之數耳。以 各較總，而有餘不足見矣。故平實者總也，列實者各 也。非總無以準各，非各無以自準。有總有各，而有餘 不足見矣。列實有餘者，以平實準之而得其減數；列 實不足者，以平實準之而得其益數。減有餘之列實， 益不足之列實，皆齊於平實而後止，是若齊於總也。 於是以諸母相乘，猶之母互乘子也。亦以列數乘諸 母之相乘者，猶之列數乘諸分子也。則分母恰與分 子相當以為法，以命平實，而諸分平矣。乘分者，乘法 之有分者也；除分者，除法之有分者也。其乘分、除分， 皆用通分法。假如有銀十兩三分兩之二，則無分之 全數，與有分之零數相礙而不相通。於是以分母三 乘全，兩其十兩，得三十分，帶分子二，共三十二分，所 謂分母乘其全分子從之也。通分則全數與零數均 為一法而不相礙。通分之後乘分則以各通分相乘 為實，分母相乘為法。除分則以實分母乘法，以法分 母乘實，而法與實之數始相當而無偏，亦所謂變而 通也。《算經》曰：「學者不患乘除之為難，而患分法之為 難。」然必精於無分之乘除，而後能通於有分之乘除， 非二致也，法有淺深而已矣天地之間，聚散分合而已。天氣下降，地氣上騰而天 地合，天氣上騰，地氣下降而天地判，合則氣發洩於 其外，判則氣凝結於其中，其分所以為合也。兵之用， 聚散分合而已矣。分不分謂之縻軍，聚不聚謂之孤 旅。然聚易而分難，其分所以為聚也。韓信「多多益辨」， 兵家以為分數明也。數之用，聚散分合而已矣。聚小 以為大謂之乘，散大以為小謂之除。聚小以為大則 無畸零不盡之數，散大以為小則多有畸零不盡之 數矣。是以乘法省而除法繁，乘法易而除法難也，可 知矣。
算法部藝文
明算 冊府元龜
自隸首作算，容成造曆，後之學者，不絕英華。或玅盡 其能，或略窮「其理，忘寢廢食，精騖心游，耳不聞於雷 霆，行或墜於坎窞，嘗齠齔而耽味，射隱伏以冥符，小 則括毫釐之形，大則周天地之數，聊屈指而洞明，運 隻著而無爽。」若非苦志名山，尋師遠道，則何以臻此 哉！
測圓海鏡序 李冶
數本難窮，吾欲以力強窮之，彼其數不惟不能得其 凡，而吾之力且憊矣。然則數果不可以窮耶？既已名 之數矣，則又何為而不可窮也？故謂數為難窮，斯可， 謂數為不可窮，斯不可。何則？彼其冥冥之中，固有昭 昭者存。夫昭昭者，其自然之數也，非自然之數，其自 然之理也。數一出於自然，吾欲以力強窮之，使隸首 復生，亦末如之何也已。苟能推自然之理以明自然 之數，則雖遠而乾端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合 者矣。予自幼喜算數，恆病夫考圓之術，例出於牽強， 殊乖於自然，如古率、徽率、密率之不同，截弧、截矢、截 背之互見，內外諸角，析會兩條，莫不各自名家，與世 作法，反反覆研究，而卒無以當吾心焉。老大以來，得 《洞淵》、九容之說，日夕玩繹，而鄉之病我者始去之而 無遺餘。山中多暇，客有從余求其說者，於是乎又為 衍之，遂累一百七十問，既成編，客復目之《測圓海鏡》， 蓋取夫「天臨海鏡」之義也。昔半山老人集唐百家詩 選，自謂廢日力於此，良可惜。明道先生以上蔡謝君 記誦為玩物喪志。夫文史尚矣，猶之為不足貴，況九 九賤技能乎？嗜好酸鹹，平生每痛自戒敕，竟莫能已。 類有物憑之者，吾亦不知其然而然也。故嘗私為之 解曰：「由技進乎道者言之，石之斤，扁之輪，庸非聖人 之所予乎？覽吾之編，察吾苦心，其憫我者當百數，其 笑我者當千數。乃若吾之所得，則自得焉耳，寧復為 人憫」笑計哉。
算法部紀事
《通鑑前編》：「黃帝有熊氏命。」隸首作「數。」〈注〉《外紀》曰：「帝命 隸首定數，以率其羡，要其會，而律度量衡由是而成 焉。」
《史記》：「張蒼明習天下圖書計籍，又善用算律曆，故令 蒼以列侯居相府，主領郡國上計者。」
《冊府元龜》：「漢許商為博士，治《尚書》，為算能度功用，嘗 著《五行論曆》。」〈注〉《藝文志》有「《許商算術》二十六卷，《杜忠 算術》十六卷。」
桑弘羊武帝時以計算羊年十三為侍中。
耿壽昌宣帝時為大司農丞以善算為算工得幸於 帝。
《後漢書馮勤傳》：「勤為司徒，八歲善計。」〈注〉計算術也。 《冊府元龜》：「張衡為尚書，尤致思於天文、陰陽曆算。 王子山與父叔師到泰山，從鮑子真學算。」
《西京雜記》：漢安定皇甫嵩真、元菟曹元理，並善算術， 皆成帝時人。真嘗自算其年，壽七十三，於綏和元年 正月二十五日晡時死，書其屋壁以記之。二十四日， 晡時死，其妻曰：「見算時常下一算，欲以告之，慮脫有 旨，故不告，今果先一日也。」真又曰：「北邙青塚上，孤檟 之西四丈所，鑿之入七尺，吾欲葬此地。」及真死，依言 往掘，得古時空槨，即以葬焉。
曹元理，嘗從真元菟友人陳廣漢，廣漢曰：「吾有二囷 米，忘其石數，子為吾計之。」元理以食箸十餘轉，曰：「東 囷七百四十九石二斗七合，西囷六百九十七石八 斗。」遂大署囷門。後出米，西囷六百九十七石七斗九
升，中有一鼠，大堪一升，東囷不差圭合。元理後歲復考證遇廣漢，廣漢以米數告之，元理以手擊狀曰：「遂不知
鼠之食米，不如剝面皮矣。」廣漢為之取酒鹿脯數臠， 元理復算曰：「甘蔗二十五區，應收一千五百三十六 枚；蹲䲭三十七畝，應收六百七十三石。千牛產二百 犢，萬雞將五萬雛。」羊豕鵝鴨，皆道其數。果蓏殽核，悉 知其所。乃曰：「此資業之廣，何供具之褊？」廣漢慚曰：「有 倉卒客，無倉卒主人。」元理曰：「俎上蒸肫一頭，廚中荔 枝一盤，皆可以為設。」廣漢再拜謝罪，入取，盡日為歡。 其術後傳南季，南季傳項滔，項滔傳子陸，皆得其分 數而失其元妙焉。
《後漢書鄭元傳》：元以永建二年七月戊寅生，八九歲 能下算乘除。年十一二隨母還家。臘日宴會，同時十 許人，皆美服盛飾，語言通了，元獨漠然，狀如不及。母 私督數之，乃曰：「此非元之所志也。」
《異苑》：鄭元在馬融門下，三年不相見，高足弟子傳授 而已。常算渾天不合，問諸弟子，弟子莫能解。或言元 融召令算，一轉便決，眾咸駭服。及元業成辭歸，融心 忌焉。元亦疑有追者，乃坐橋下，在水上據屐。融果轉 式逐之，告左右曰：「元在土下水上而據木，此必死矣。」 遂罷追，元竟以免。一說：鄭康成師馬融，三載無聞，融 鄙而遣還。元過樹陰假寐，見一老父，以刀開腹心，謂 曰：「子可以學矣。」於是寤而即返，遂精洞典籍。融歎曰： 「《詩》《書》《禮》《樂》皆已東矣。」潛欲殺元，元知而竊去。融推式 以算元，元當在土木上。躬騎馬襲之。元入一橋下，俯 伏柱上，融踟躕橋側，云：「土木之間，此則當矣，有水非 也。」從此而歸，元用免焉。
《冊府元龜》：鄭元造，太學受業，師事京兆第五元。先始 通《春秋》《三統曆》、九章算術，又因盧植事馬融，融素貴 元，在門下，三年不得見。會融集諸生考論圖緯，聞元 善算，乃召見元，因質諸疑義。後徵大司農，不起。〈注〉《三 統曆》劉歆所撰，《九章算術》，周公作，凡有九篇。方田一， 粟布二，差分三，少廣四，均輸五，方程六，旁要七，盈不 足八，鉤股九。
《三國魏志王粲本傳》：「粲子仲宣，山陽高平人也。性善 算，作算術略盡其理。」
《冊府元龜》：「吳顧譚為左節度，每省簿書，未嘗下籌，徒 屈指心計，盡發疑謬，下吏以此服之。」
趙達明算術，事大帝，帝令達算作天子之後，當復幾 年，達曰：「高祖建元十二年，陛下倍之。」帝大喜，左右稱 萬歲，果如達言。黃武三年，魏文帝在廣陵，大帝令達 算之，曰：「曹丕走矣。雖然，吳衰庚子歲。」帝曰：「幾何？」達屈 指而計之，曰：五十八年。帝曰：「今日之憂，不暇及遠，此 子孫事也。」達治九宮一算之術，究其微旨，是以能應 機立成。對問若神至計飛蝗射隱伏，無不中效。或難 達曰：「飛者固不可校，誰知其然？此殆妄耳。」達使人取 小豆數斗，播之席上，立處其數驗覆，果信嘗過，知故 知故，為之具。食畢，謂之曰：「倉卒乏酒，又無佳肴，無以 敘，意如何？」達因取盤中隻箸，再三縱橫之，乃言：「卿東 壁有美酒一斛，又有鹿肉三斤，何以辭無時適坐有 他賓內得主人情。」主人慚曰：「以卿善射，有無欲相試 耳。」竟效如此。遂出酒酣飲。又有書簡上作千萬數，著 空倉中封之。令達算之，達處如數云：「但有名無實，其 精微若是。」達又閒居無為，引算自較，乃歎曰：「吾筭訖 盡，某年月日其終矣。」達妻數見達效，聞而哭泣。達欲 弭妻意，乃更步算，言：「向者謬誤耳，尚未也。」後如期死， 大帝聞達有書，求之不得，乃錄問其女。及發達棺，無 所得，法術絕焉。
宋關康之字伯愉河東楊人世居京口寓屬南平昌 少而篤學筭術妙盡其能太宗詔徵不起。
祖沖之為長水校尉善算注九章造綴術數十篇 後魏安豐王猛子延明為尚書右僕射以河間人信 都芳工筭術引之在館共撰古今樂事九章十二圖 高允為太常明算法為筭術三卷。
殷紹長樂人少聰敏好陰陽術數游學諸方達九章 七曜太武時為算生博士。
《北齊書信都芳傳》：「芳，河間人，少明算術，為州里所稱。 有巧思，每精研究，忘寢與食，或墜坑坎。嘗語人云：『算 之妙，機巧精微。我每一沉思，不聞雷霆之聲也』。其用 心如此。以術數干高祖，為館客，授參軍。丞相倉曹祖 珽謂芳曰：『律管吹灰，術甚微妙。絕來既久，吾思所不 至，卿試思之』。芳遂留意十數日，便云：吾得之矣，然終 須河內葭莩灰。」後得河內葭莩，用其術，應節便飛，餘 灰即不動也，不為時所重。竟不行，故此法遂絕云。 《冊府元龜》：信都芳初為魏安豐王延明所館，延明家 有群書，欲抄集五經算事為五經宗，又聚渾天欹器、 地動銅烏候風諸圖為器準，並令芳算之。會延明南 奔，芳乃自撰注。芳注重差句股，撰史宗，仍自注之，合 數十卷。
北齊許遵明易善算高祖引為館客後文宣無道日 甚遵語人曰：「多折算來吾筮此狂夫何時當死」遂布 算滿床大言曰：不出冬初我乃不見遵果以九月死隋蕭吉字文休為上儀同博學多通尤精陰陽算術 劉炫為旅騎尉撰算術一卷行於世。
唐傅仁均為太史令善曆算。
李淳風為太史令尤明天文曆算陰陽之學與算學 博士梁永太學助教王真儒等注釋五曹。《孫子》等十 部算經分二十卷顯慶元年左僕射于志寧等奏之 付國學行用。
僧一行姓張氏，公謹之孫也。初求訪師資，以窮大衍， 至天台山國清寺，見一院古松數十，門有流水。一行 於門屏間聞院僧於庭布算聲，而謂其徒曰：「今日當 有弟子自遠求吾算法，已合到門，豈無人導達也？」即 除一筭。又謂曰：「門前水當卻西流，弟子亦至。」一行承 其言而趨入，稽首請法，盡授其術，而門前水果卻西 流。
《稽神錄》：後唐表弘禦為雲中從事，尤精算術。同府令 筭庭下桐樹葉數，即自起量樹，去地七尺圍之，取圍 徑之數布筭，良久曰：「若干葉。」眾不能覆，命撼去二十 二葉，復使算，曰：「已少向者二十一葉矣。」審視之，兩葉 差小，止當一葉耳。節度使張敬達有二玉碗，弘禦量 其廣深，算之曰：「此碗明年五月十六日巳時當破。」敬 達聞之曰：「吾敬藏之，能破否？」即命貯大籠，藉以衣絮， 鎖之庫中。至期，庫屋梁折，正壓其籠，二碗俱碎。太僕 少卿薛文美同府親見。
《宋史徽宗本紀》：「大觀三年冬十一月丁未，詔算學以 黃帝為先師，風后等八人配饗，巫咸等七十人從祀。
