钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷六
线部四
和数比例
较数比例
和数比例
比例之中有合率而复有和数者将几比例之率合为一比例故谓之合率至于有总数又有分数以分数合而与总数相比则谓之和数其在九章总名差分而其实总不越比例之理故今质名之曰和数比例其立法有以实数与实数比者如合众人数与总物数之比即若每人数与每物数之比是也有以所立衰数与实数比者如合众衰数与总物数之比即若每人衰数与每物数之比是也又或以加倍数成率者其得数亦为加倍之数或以两数相乗而成率者其得数亦为两数相乗之数要之皆以比例而得故于各条详加解説以明其故焉
设如南北二商合本贸易南出本银一百五十两北出本银二百五十两共得利银一千两按各人所出本银之分分之问二人各得利银几何
法以南出本银一百五十两与北出本银二百五十两相并得四百两为一率利银一千两为二率南出本银一百五十两为三率推得四率三百七十五两即南所分利银数于共利一千两内减三百七十五两余六百二十五两即北所分利银数也如以二人本银共四百两为一率二人共利一千两为二率北出本银二百五十两为三率推得四率六百二十五两即北所分利银数也此法盖以二人共本比共利即如每人各本比各利而为相当比例四率也又捷法以二人共出本银四百两归除二人共得利银一千两得每一两之利为二两五钱乃与各人本银数相乗即得各人所分利银数此又以每一两之利与各人所出本银之利相比而得也
设如赵周冯三人合伙生理赵出本银一千两周出本银八百两冯出本银六百两共得利银一千二百两按各人所出本银之分分之问三人各得利银几何
法以三人各出本银相并得二千四百两为一率三人共得利银一千二百两为二率三人所出本银数各为三率推得各四率赵五百两周四百两冯三百两即为各人所得利银数也若用捷法则以三人所并本银二千四百两归除共得利银一千二百两得每一两之利为五钱按各人本银数乗之即各人所得利银数也
设如甲乙丙三商共出本银一千五百二十两得利银一百九十两甲分一百二十两乙分四十两丙分三十两问各人原本银若干
法以共利银一百九十两为一率共本银一千五百二十两为二率每分利银各为三率推得各四率甲本银为九百六十两乙本银为三百二十两丙本银为二百四十两如用捷法则以共利银一百九十两归除共本银一千五百二十两得每一两利银之本银为八两乃以八两乗各人利银分数即得各人本银之数矣
设如甲丙戊三人合本贸易共得利银三千二百二十两甲本银三千六百两丙本银五百一十两戊本银不知其数但知该分利银四百八十两问其本银若干
法以三人共得利银三千二百二十两内减戊之利银四百八十两余二千七百四十两为一率甲丙二人本银相并得四千一百一十两为二率戊利银四百八十两为三率推得四率七百二十两即戊之本银数也此法于总利中减去戊利银所余者即甲丙二人之利银故以甲丙二人之共利银与甲丙二人之共本银相比即若戊一人之利银与戊一人之本银相比也
设如甲乙丙三商共出本银一千五百二十两今得本利共银一千七百一十两甲分本利共银一千零八十两乙分本利共银三百六十两丙分本利共银二百七十两问三人所分本利各若干法以三人所得本利共银一千七百一十两为一率共出本银一千五百二十两为二率各人所分本利共银各为三率推得各四率甲本银九百六十两乙本银三百二十两丙本银二百四十两即为各人本银数以各人本银减各人共银甲得利银一百二十两乙得利银四十两丙得利银三十两即各人利银数也
设如有三人合本贸易第一人出本银五百两系七成第二人出本银一千两系八成第三人出本银一千五百两系九成共得利银二千两皆系十成问每人应得利银若干
法以各人所出本银数与各银成色相乗第一人得三百五十两第二人得八百两第三人得一千三百五十两三数相加共得二千五百两为一率共得利银二千两为二率毎人所得相乗之数【第一人三百五十两第二人八百两第三人一千三百五十两】各为三率推得各四率第一人得二百八十两第二人得六百四十两第三人得一千零八十两即各人应得之利银数也此法以各银成色乗各人银数者是将各银成色俱变作十成银也如第一人七成银五百两变作十成银止得三百五十两第二人八成银一千两变作十成银止得八百两第三人九成银一千五百两变作十成银止得一千三百五十两并之得十成银二千五百两故以总十成银二千五百两与共利银二千两之比即若毎人十成本银与每人应得利银之比也
设如甲丙戊三商合本贸易其所出本银多寡不同时日亦不同甲出本银六百两系八个月丙出本银四百五十两系六个月戊出本银五百两系十个月共得利银一千两问各人应分利银几何法以各人本银与各人月分相乗甲得四千八百两丙得二千七百两戊得五千两三数相并得一万二千五百两为一率共利银一千两为二率各人本银乗各人月分之数为三率推得各四率甲得三百八十四两丙得二百一十六两戊得四百两即为各人应得之利银数也此法先以各人本银乗各人月分者葢以各人所出本银按月分以加倍也三人本银各有月分则行利亦按月加倍也
设如乙丙丁三人合伙生理乙出本银二百两系八个月出本之两月后又添本银四十两丙出本银三百二十两系六个月出本之一月后又添本银八十两丁出本银一百六十两系十个月共得利银三百六十两问每人各该利银几何
法以乙本银二百两与八个月相乗得一千六百两又以后添四十两与六个月相乗【因出本之两月后又添银故用六月】得二百四十两此两数相加得一千八百四十两为乙之衰数以丙本银三百二十两与六个月相乗得一千九百二十两又以后添八十两与五个月相乗【因出本之一月后又添银故用五月】得四百两此两数相加得二千三百二十两为丙之衰数以丁本银一百六十两与十个月相乗得一千六百两即丁之衰数乃以三人衰数相加得五千七百六十两为一率三百六十两为二率各人衰数各为三率推得各四率乙得一百一十五两丙得一百四十五两丁得一百两即各人应得之利银数也此法因出银前后各不同故以各人出银节次乗各人月分而得各人衰数既得各人衰数则相加而与总利银为比即如各人衰数与各人利银相比也
设如甲乙丙三商合本贸易共得利银一千两甲本银三百两系十个月乙本银六百两丙本银四百两俱不知月分其利银则甲分五百两乙分三百两丙分二百两问乙丙二人出本银月分各几何法以甲之利银五百两为一率甲之本银三百两与十个月相乗得三千两为二率乙之利银三百两为三率推得四率一千八百两为乙之本银六百两与月分相乗之数以乙之本银六百两除之得三个月即乙出银之月分如以丙之利银二百两为三率则得四率一千二百两为丙之本银四百两与月分相乗之数以丙之本银四百两除之得三个月即丙出本银之月分也
设如乙丙丁三人合本贸易共得利银三百八十两丙得利银为乙三分之一丁得利银为乙四分之一乙之本银为八十两收利十二个月丙丁二人本银不知数但知丙收利银系八个月丁收利银系四个月问乙丙丁利银各若干丙与丁本银各若干
法以十二分为乙之衰数【两分母相乗之数】取其三分之一得四分为丙之衰数又取其四分之一得三分为丁之衰数将三衰数相并得一十九分为一率共利三百八十两为二率以各人衰数各为三率推得各四率乙之利银得二百四十两丙之利银得八十两丁之利银得六十两三宗利银相并共三百八十两以合前数又用乙利银二百四十两为一率乙本银八十两与十二个月相乗得九百六十两为二率丙利银八十两为三率推得四率三百二十两为丙本银八个月之共分以八个月除之得四十两即丙之本银数复以乙利银二百四十两为一率乙本银九百六十两为二率丁利银六十两为三率推得四率二百四十两为丁本银四个月之共分以四个月除之得六十两即丁之本银数也
设如甲丙戊三家每日派一人当差论各家田数定日之多少甲田八十亩丙田六十亩戊田五十二亩问各人一年内连闰月应该当差之日几何法以甲丙戊三家田数【甲八十丙六十戊五十二】相并得一百九十二亩为一率一年连闰月作三百八十四日为二率各家田数各为三率推得各四率甲当差一百六十日丙当差一百二十日戊当差一百零四日并之得三百八十四日合一年连闰月之数也
设如二人居住相隔一千四百里同日起身一人日行八十里一人日行六十里问途中几日相防法以八十里与六十里相并得一百四十里为一率一日为二率一千四百里为三率推得四率十日即相防之日也此法以八十里六十里相并为一率者毎一日之内两人共行一百四十里也一百四十里行一日则一千四百里行十日矣盖日行八十里者十日行八百里日行六十里者十日行六百里并之以合原数也
设如有银四百八十六两籴米麦豆三色其石数相等米每石价银一两二钱麦每石价银九钱豆每石价银六钱问石数若干
法以米价一两二钱麦价九钱豆价六钱相并共得二两七钱为一率一石为二率总银四百八十六两为三率推得四率一百八十石即各色之石数也此法盖因三色之石数既相等故三色每石之共价与每一石之比即同于三分之共价四百八十六两与每一分之一百八十石之比也
设如有银一千二百两买绫绢二色绢一分绫二分绫每疋价银三两六钱绢每疋价银二两四钱问绫绢与价银各几何
法以绫价三两六钱二因之【绫二分故用二因】得七两二钱与绢价二两四钱相加共得九两六钱为一率绢一疋为二率总银一千二百两为三率推得四率一百二十五疋为绢数倍之得二百五十疋为绫数以绢每疋价银二两四钱与绢一百二十五疋相乗得三百两为共绢价以绫每疋价银三两六钱与绫二百五十疋相乗得九百两为共绫价也此法盖因绢为一分绫为二分故将绫价二因之与绢价相加即绫二疋绢一疋之共价以绫二疋绢一疋之共价与绢一疋之比即同于绫二分绢一分之共价一千二百两与绢一分一百二十五疋之比也
设如有银三百三十六两买罗八十疋绢一百二十疋罗每疋价比绢每疋价加一倍问罗价绢价各几何
法以罗八十疋倍之得一百六十疋与绢一百二十疋相加得二百八十疋为一率绢一疋为二率总银三百三十六两为三率推得四率一两二钱即绢毎一疋之价倍之得二两四钱即罗每一疋之价也此法盖因罗价比绢价加一倍故将罗疋数倍之与绢疋数相加为罗二倍绢一倍之共数而以罗二倍绢一倍之共数与绢一疋之比即同于罗二倍绢一倍之共价三百三十六两与绢一疋之价一两二钱之比也
设如有银七百八十五两令甲乙丙丁四人分之乙得甲银十分之七丙得乙银十四分之三丁得丙银十二分之九问各分银几何
法以一千六百八十分【三分母连乗之数】为甲衰数取甲十分之七得一千一百七十六分为乙衰数取乙十四分之三得二百五十二分为丙衰数取丙十二分之九得一百八十九分为丁衰数乃以四人衰数相并得三千二百九十七分为一率总银七百八十五两爲二率以甲衰一千六百八十分为三率得四率四百两即甲所分之银数以乙衰一千一百七十六分为三率得四率二百八十两即乙所分之银数以丙衰二百五十二分为三率得四率六十两即丙所分之银数以丁衰一百八十九分为三率得四率四十五两即丁所分之银数四人所得银数并之得七百八十五两以合原数也此法因各分母不同恐难度尽故以分母连乗为甲衰数次各按分取其衰数乃并各衰数为共衰数以共衰数与总银数之比即同于各人衰数与各银数之比也
设如东西中三村共纳粮一千零三十六石东村一百二十戸每戸该纳七分西村八十戸每戸该纳五分中村六十戸每戸该纳四分问各村纳粮若干每戸纳粮若干
法以七分与东村一百二十戸相乗得八百四十分为东村衰数以五分与西村八十戸相乗得四百分为西村衰数以四分与中村六十戸相乗得二百四十分为中村衰数乃以三村衰数相并得一千四百八十分为一率共纳粮一千零三十六石为二率各村衰数各为三率推得各四率东村共该纳粮五百八十八石西村共该纳粮二百八十石中村共该纳粮一百六十八石再以各村戸数归除各村所纳粮数则东村每戸该纳粮四石九斗西村每戸该纳粮三石五斗中村每戸该纳粮二石八斗如以三村共衰分数归除共纳粮数得每一分所纳粮数而以各村分数乗之即得各村共纳粮数以各戸分数乗之即得各村每戸所纳之粮数也
设如乙丙丁三人共纳地租银十一两五钱乙田长一百二十丈寛四十丈丙田长二百丈寛六十丈丁田长八十丈寛二十丈问每人该租银若干法以乙田长一百二十丈与寛四十丈相乗得四千八百丈丙田长二百丈与寛六十丈相乗得一万二千丈丁田长八十丈与寛二十丈相乗得一千六百丈三数相并共得一万八千四百丈为一率共地租银十一两五钱为二率各田长寛相乗之数各为三率推得各四率乙该银三两丙该银七两五钱丁该银一两并之为十一两五钱以合原数也
设如孙郑褚三家买货共载一船逺近船价不同孙家货物九十五担每担船价六分郑家货物八十五担每担船价四分褚家货物五十六担每担船价二分五厘因中途拨浅共贴银二两五钱二分欲照船价分派问各该若干
法以孙货九十五担与每担六分相乗得五两七钱以郑货八十五担与每担四分相乗得三两四钱以褚货五十六担与每担二分五厘相乗得一两四钱乃以三家船价相并共得一十两五钱为一率共贴银二两五钱二分为二率一两为三率推得四率二钱四分即为每一两应贴之数复以各家船价银乗之所得一两三钱六分八厘即孙应出之数所得八钱一分六厘即郑应出之数所得三钱三分六厘即褚应出之数也
设如甲丙戊三县共纳米四千石论县之大小米之贵贱运之逺近分之甲县有三千三百六十戸每米一石价银八钱运至六十里丙县有一千二百戸每米一石价银一两运至三十里戊县有二千四百戸每米一石价银六钱运至八十里问每县该米若干
法以甲县米价八钱与六十里相乗得四百八十用此数归除甲县三千三百六十戸得七为甲县之衰数又以丙县米价一两与三十里相乗得三百用此数归除丙县一千二百戸得四为丙县之衰数以戊县米价六钱与八十里相乗得四百八十用此数归除戊县二千四百戸得五为戊县之衰数乃以此三衰数相并得一十六为一率总米四千石为二率各县衰数各为三率推得各四率甲县为一千七百五十石丙县为一千石戊县为一千二百五十石三数相并共四千石以合原数也
设如甲乙丙丁戊五处共输粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟价之贵贱均输之甲田一万三千零六十亩粟每石价银二两自输本处乙田一万二千三百一十二亩粟每石价银一两至输所二百里丙田七千一百八十二亩粟每石价银一两二钱至输所一百五十里丁田一万三千三百三十八亩粟毎石价银一两七钱至输所二百五十里戊田五千一百三十亩粟每石价银一两三钱至输所一百五十里每石每里车价四厘问各处所输若干
法以甲粟毎石价二两归除甲田一万三千零六十亩得六百五十三为甲衰数次以乙输所二百里与每石车价四厘相乗得八钱并入乙粟毎石价一两共一两八钱归除乙田一万二千三百一十二亩得六百八十四为乙衰数次以丙输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱并入丙粟每石价一两二钱共一两八钱归除丙田七千一百八十二亩得三百九十九为丙衰数次又以丁输所二百五十里与每石车价四厘相乗得一两并入丁粟每石价一两七钱共二两七钱归除丁田一万三千三百三十八亩得四百九十四为丁衰数次又以戊输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱并入戊粟每石价一两三钱共一两九钱归除戊田五千一百三十亩得二百七十为戊衰数乃合五衰数共二千五百为一率共粟二千石为二率五处各衰数各为三率推得各四率甲为五百二十二石四斗乙为五百四十七石二斗丙为三百一十九石二斗丁为三百九十五石二斗戊爲二百一十六石五数相并共二千石以合原数也此法盖因地亩以定粟数故粟可以均然粟之价既有贵贱而道里又有逺近故取粟价以除地亩正所以均其贵贱而取车价并入粟价以除地亩又所以均其逺近也
设如买米八十四石每米一石价一两四钱七分运价一钱三分今欲抽米作运价与之问正米与运价米各几何
法以每石米价一两四钱七分与每石运价一钱三分相加得一两六钱为一率总米八十四石为二率每石米价一两四钱七分为三率推得四率七十七石一斗七升五合即正米数如先求运价米数则仍以一两六钱为一率总米八十四石为二率每石运价一钱三分为三率推得四率六石八斗二升五合即运价米数也既得正米数与运价相乗得十两零三分二厘七豪五丝为共运价而以运费米数与米价相乗亦得十两零三分二厘七豪五丝其数适相当也此法盖因八十四石为正米与运价米之总数今抽米作运费故以米价与运价相并亦为米价与运价之总数以总价与总米之比即同于米价与正米之比又以总价与总米之比即同于运价与运米之比也此法即和数差分之变体旧算书名为就物抽分因其以总米内抽运价故为抽分然要以米价运价之和与总米为比例故附于和数比例之后
设如有丝四十三斤十二两每织绢一疋用丝一斤与织工丝四两问织绢丝与织工丝各几何法以织绢丝一斤通为十六两与织工丝四两相加得二十两为一率总丝四十三斤十二两通为七百两为二率织工丝四两为三率得四率一百四十两收为八斤十二两即织工丝与总丝相减余三十五斤即织绢丝也此亦就物抽分法也以毎疋织绢丝及织工丝之共数与总丝之比即同于每疋织工丝与总织工丝之比也
较数比例
比例之中有和数而复有较数者以数相合而为比例故谓之和数若夫因数之相较而成比例则谓之较数在九章谓之匿价差分其立法盖以每一物与较数之比即若共物与共较之比或以共物之较与每一物价之较为比即若共物与每一物价之比也又或有以实数相比者或有以各物分数相比者虽未有一定之规然而总不越以彼此相差之较数为比例故今质名之曰较数比例焉
设如有钱买绫罗二色绫七尺罗九尺两价相等但知绫每尺比罗每尺价多三十六文问二色毎尺价钱几何
法以绫一尺为一率绫比罗每尺价多三十六文为二率绫七尺为三率推得四率二百五十二文即绫七尺共多之数又以绫七尺与罗九尺相减余罗二尺为一率绫七尺共多二百五十二文为二率罗一尺为三率推得四率一百二十六文即罗一尺之价加多三十六文得一百六十二文即绫一尺之价以一百二十六文乗罗九尺得一千一百三十四文以一百六十二文乗绫七尺亦得一千一百三十四文两价相等也此法盖因绫一尺多三十六文则绫七尺共多二百五十二文也夫绫价多二百五十二文罗多二尺而其价相等则二百五十二文即罗二尺之价罗二尺价二百五十二文则罗一尺价一百二十六文也既得罗价则绫价亦可推矣又法以绫七尺与罗九尺相减余二尺为一率绫比罗每尺价多三十六文为二率绫七尺为三率推得四率一百二十六文即罗毎一尺之价加多三十六文得一百六十二文即绫每一尺之价如以罗九尺为三率推得四率一百六十二文即绫每一尺之价减多三十六文余一百二十六文即罗每一尺之价也此法共绫与共罗之较为二尺绫每尺与罗每尺之较为三十六文凡共物之较与共价之较相比即同于共物与共价之比而共物之较与每一物价之较相比亦必同于共物与每一物价之比故以绫共少二尺与罗每尺价少三十六文之比即同于绫共七尺与罗每尺价一百二十六文之比也又以罗共多二尺与绫每尺多三十六文之比亦即同于罗共九尺与绫毎尺价一百六十二文之比也
设如有银买驼马二色马十匹驼六匹两价相等但知驼每匹比马每匹价多八两问二色每匹价银若干
法以驼一匹为一率驼比马每匹价多八两为二率驼六匹为三率推得四率四十八两即驼六匹共多之数又以马十匹与驼六匹相减余马四匹为一率驼六匹共多四十八两为二率马一匹为三率推得四率十二两即马一匹之价加多八两得二十两即驼一匹之价以二十两乗驼六匹得一百二十两以十二两乗马十匹亦得一百二十两两价相等也此法盖因驼一匹多八两则驼六匹共多四十八两也夫驼价多四十八两马多四匹而其价相等则四十八两即马四匹之价马四匹价四十八两则马一匹价十二两也
又法以驼六匹与马十匹相减余四匹为一率驼比马每匹价多八两为二率驼六匹为三率推得四率十二两即马每匹之价加多八两得二十两即驼毎匹之价如以马十匹为三率推得四率二十两即驼每匹之价减多八两余十二两即马每匹之价也盖驼共少四匹与马每匹价少八两之比即同于驼共六匹与马每匹价十二两之比又马共多四匹与驼每匹价多八两之比即同于马共十匹与驼每匹价二十两之比也
设如有稻一十八石稷二十二石两价相等如交换五石则两边俱差银一两六钱问每石价与共价各若干
法以交换五石为一率相差一两六钱为二率稻一十八石为三率推得四率五两七钱六分即稻一十八石共多之数又以稻一十八石与稷二十二石相减余稷四石为一率稻一十八石共多五两七钱六分为二率稷一石为三率推得四率一两四钱四分即稷一石之价以稷二十二石乗之得三十一两六钱八分即稷之共价亦即稻之共价以稻十八石除之得一两七钱六分即稻一石之价也如交换五石则一为稻十三石稷五石稻十三石价二十二两八钱八分稷五石价七两二钱相加得三十两零八分比共价三十一两六钱八分少一两六钱一为稷十七石稻五石稷十七石价二十四两四钱八分稻五石价八两八钱相加得三十三两二钱八分比共价三十一两六钱八分则多一两六钱是两边俱差一两六钱也此法盖因稻五石多一两六钱则稻十八石共多五两七钱六分也夫稻多五两七钱六分稷多四石而其价相等则五两七钱六分即稷四石之共价稷四石价五两七钱六分则稷一石价必一两四钱四分而稷二十二石价必三十一两六钱八分与稻十八石之价相等故以十八除之得稻每一石之价也
设如有金球八银球十二两重相等今移换三则银球边多六十两问金球银球各重几何
法以移换之三为一率多六十两折半得三十两【即三金球比三银球所多之数】为二率金球八为三率推得四率八十两即金球八共多之数又以金球八与银球十二相减余银球四为一率共多八十两为二率银球一为三率推得四率二十两即银球一之重数以十二乗之得二百四十两即银球十二之共重数亦即金球八之共重数以金球八除之得三十两即金球一之重数也此法盖因移换三而差六十两即三金球比三银球多三十两三银球比三金球少三十两其总差为六十两故折半为三金球多于三银球之重数也三金球多三十两则八金球共多八十两夫金球多八十两银球多四而其重相等则八十两即四银球之重数四银球重八十两则一银球重二十两而十二银球必重二百四十两与八金球之重相等故以八除之即得金球之重数也
设如甲乙丙三人合本为商共得利银四百两乙比甲多分十二两丙比乙又多分十六两问各分利银几何
法以共利银四百两内减乙比甲多十二两又减丙比甲多二十八两【丙比乙多十六两则比甲多二十八两】余三百六十两乃以甲乙丙共三人为一率三百六十两为二率甲一人为三率推得四率一百二十两即甲应得利银数加十二两得一百三十二两为乙应得利银数又加十六两得一百四十八两为丙应得利银数也此法减去乙丙共多于甲之数所余者即三人均分之数故以三人与三百六十两之比即同于甲一人与一百二十两之比也
设如有银七百四十两共买马驴一百匹马八十匹驴二十匹其马每匹价比驴每匹价多三两问马驴每匹价各得几何
法以马驴共一百匹为一率马每匹多三两与马八十匹相乗得二百四十两于总银内减之余五百两为二率驴一匹为三率推得四率五两即驴一匹之价加马每匹多三两得八两即马一匹之价以马价八两乗马八十匹得马共价六百四十两以驴价五两乗驴二十匹得驴共价一百两也此法盖因马每匹多三两则马八十匹共多二百四十两于总银内减去马共多之价则马价皆同于驴价矣故以总数一百匹与银五百两之比即同于驴一匹与银五两之比也
设如有银二千九百九十六两二钱买上等田一百六十亩中等田三百亩下等田四百六十亩其上等田比中等田每亩价多四钱七分中等田比下等田每亩价多一两三钱五分问三等田每亩价银几何
法以上中下三等田数相并得九百二十亩为一率将中等田三百亩用中等比下等每亩多一两三钱五分乗之得四百零五两为中等比下等共多之数又以上等田一百六十亩用上等比下等每亩多一两八钱二分乗之【上等比中等每亩多四钱七分中等比下等每亩多一两三钱五分共为一两八钱二分】得二百九十一两二钱为上等比下等共多之数爰并两数共六百九十六两二钱与总银二千九百九十六两二钱相减余二千三百两为二率下等田一亩为三率推得四率二两五钱即下等田每一亩之价加多一两三钱五分得三两八钱五分即中等田每一亩之价再加多四钱七分得四两三钱二分即上等田每一亩之价也此法盖因中等田比下等田每亩多一两三钱五分则三百亩共多四百零五两上等田比下等田毎亩多一两八钱二分则一百六十亩共多二百九十一两二钱于总银内减去两等共多之数则上等田价中等田价皆同于下等田价矣故以三等田共九百二十亩与银二千三百两之比即同于下等田每一亩与银二两五钱之比也
设如二人行路疾徐不等疾行者日行九十五里徐行者日行七十五里今令徐行者先行八日问疾行者追及之日数几何
法以徐行七十五里与疾行九十五里相减余二十里为一率一日为二率徐行七十五里与先行八日相乗得六百里为三率推得四率三十日即追及之日数也此法盖因徐行者先行八日以日行七十五里计之则已多行六百里今疾行者日行九十五里则比徐行者每日多行二十里多二十里为一日追行之数多六百里则为三十日追行之数可知矣
设如二人自乡上城一人步行一人骑马使步行者先行三十七里骑马者追至一百五十四里尚不及二十三里问追及之里数几何
法以不及二十三里与先行三十七里相减余一十四里为一率追至一百五十四里为二率不及二十三里为三率推得四率二百五十三里即追及之里数也此法盖因步行者已先行三十七里今骑马者追之止不及二十三里是已追过十四里也追过十四里必须一百五十四里今尚不及二十三里则必须二百五十三里方能追及也
设如一人行路步行则三十日可到骑行则二十日可到今行二十六日到问步行骑行日数各几何法以三十日与二十日相减余十日为一率步行三十日为二率今行二十六日与骑行二十日相较多六日为三率推得四率十八日为步行之日数与共二十六日相减余八日即骑行之日数也如以十日为一率骑行二十日为二率今行二十六日与步行三十日相较少四日为三率推得四率八日即骑行之日数也此法盖因步行三十日可到骑行二十日可到则步行比骑行迟十日即骑行比步行早十日也步行比骑行迟十日而步行为三十日今步行比骑行迟六日则步行为十八日可知矣骑行比步行早十日而骑行为二十日今骑行比步行早四日则骑行为八日可知矣
设如有上下二等酒上等酒每斤价银五分下等酒每斤价银三分今以二等酒相合一处共重一百二十斤每斤价银三分六厘问二等酒各几何法以上等酒价银五分内减下等酒价银三分余二分为一率二等酒共一百二十斤为二率二等酒相合毎斤价银三分六厘与下等酒价银三分相较得多六厘为三率推得四率三十六斤为上等酒数于二等酒共一百二十斤内减三十六斤余八十四斤即下等酒数也如以二等酒相合毎斤价银三分六厘与上等酒价银五分相较得少一分四厘为三率则得四率八十四斤即下等酒数也此法上等酒价五分下等酒价三分是上等比下等多二分即下等比上等少二分也若二等酒相合价比下等酒价多二分则一百二十斤皆上等酒矣因二等酒相合价比下等价多六厘故知上等酒有三十六斤也又二等酒相合价比上等酒价少二分则一百二十斤皆下等酒矣因二等酒相合价比上等价少一分四厘故知下等酒有八十四斤也
设如有布三百一十疋每疋长四十尺但知每疋扣运费二尺共扣去一十六疋复找囘钱六百文问布毎疋价钱几何
法以毎疋扣运费二尺与总布三百一十疋相乗得六百二十尺又以每疋长四十尺与共扣布一十六疋相乗得六百四十尺两数相减余二十尺为一率找囘钱六百文为二率每疋长四十尺为三率推得四率一千二百文即每一疋之价也此法盖以每疋扣运费二尺计之则总布三百一十疋当扣六百二十尺今乃抽去十六疋则扣去六百四十尺是多扣去二十尺也多扣去二十尺而找回钱六百文是六百钱即二十尺之价二十尺价六百文则四十尺【一疋之数】价必一千二百文也
设如有银一千零八两买线一分丝二分绵三分共重三百六十斤俱不言价但知绵二两当线一两之价线一两当丝一两六钱之价问三色各重若干三色每斤价银若干
法以线一分丝二分绵三分相并得六分为一率共重三百六十斤为二率线一分为三率推得四率六十斤即线一分之重数二因之得一百二十斤即丝二分之重数三因之得一百八十斤即绵三分之重数既得各色之重数即以线重六十斤为线之衰分绵二两当线一两之价即将绵一百八十斤二归之得九十斤为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价即将丝一百二十斤用一六除之得七十五斤为丝之衰分并三衰分共二百二十五斤为一率总银一千零八两为二率线一斤为三率推得四率四两四钱八分即线每斤之价二归之得二两二钱四分即绵每斤之价一六除之得二两八钱即丝每斤之价也此法先求各色之重数以共分与共重数之比即同于线一分与线重数之比又以各分数因之即得各重数也次求各色之价数既以线重六十斤为线衰分则丝价与绵价必俱变为与线相当之数而后可以为比例盖绵二两当线一两之价则绵一百八十斤必当线九十斤之价故以九十为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价则丝一百二十斤必当线七十五斤之价故以七十五为丝之衰分既得各衰分并之与总银相比即同于线每斤与每斤之价相比也既得线每斤之价以二除之得绵每斤之价者绵价居线价二分之一也既得线每斤之价又以一六除之得丝每斤之价者丝价居线价十六分之十也
设如李王二人合本生理不知二人本银之数但知李本银比王本银多一倍零八两共得利银二十二两李分十六两王分六两问二人各出本银若干
法以王利银六两加一倍【因李本银比王本银多一倍故加一倍也】得十二两与李利银十六两相减余四两为一率所零八两为二率王之利银六两为三率推得四率十二两即王之本银数加一倍又加八两共三十二两为李之本银数也盖李之本银比王之本银多一倍又多八两李之利银比王之利银多一倍又多四两是四两即为八两所得之利银数利银四两知本银为八两则王之利银六两即知其本银为十二两也
设如买缎一千疋不言出银之数但知每疋卖价七两二钱则比原出银少十分之一问原出银若干法以分母十与分子一相减余九分为一率以七两二钱与一千疋相乗得七千二百两为二率十分为三率推得四率八千两即原出银之数也此法盖因每疋卖价七两二钱比原出银少十分之一则今卖价止得原出银十分之九故以九分与今卖价之比即同于十分与原出银之比也
设如甲丙丁三人合本贸易丙之本银为甲本银五分之四丁之本银为甲本银三分之二丙之本银比丁之本银多十两问三人本银各若干
法以十五分为甲之衰数【两分母相乗之数】取甲五分之四得十二分为丙之衰数取甲三分之二得十分为丁之衰数乃以丁十分与丙十二分相减余二分为一率多十两为二率甲十五分为三率推得四率七十五两为甲本银数如以丙十二分为三率则得四率六十两为丙本银数如以丁十分为三率则得四率五十两为丁本银数以丁银与丙银相减余十两即丙多于丁之数也
设如有银赏三等人一等八人二等六人三等九人二等每人所得为一等每人三分之二三等每人所得为二等每人四分之一二等比三等共多得三百两问每等每人各得几何
法以十二分为一等每人之衰数【两分母相乗之数】取十二分中之三分之二得八分为二等每人之衰数又取八分中之四分之一得二分为三等每人之衰数乃以一等十二分与一等八人相乗得九十六分为一等八人共衰数二等八分与二等六人相乗得四十八分为二等六人共衰数三等二分与三等九人相乗得十八分为三等九人共衰数乃以三等共衰十八分与二等共衰四十八分相减余三十分为一率二等比三等共多得三百两为二率一等每人衰数十二分为三率推得四率一百二十两为一等每人所得之数以一等八人乗之得九百六十两即一等八人所得之共数如以二等每人衰数八分为三率则得四率八十两为二等每人所得之数以二等六人乗之得四百八十两即二等六人所得之共数如以三等每人衰数二分为三率则得四率二十两为三等每人所得之数以三等九人乗之得一百八十两即三等九人所得之共数以二等共得四百八十两与三等共得一百八十两相减余三百两即二等共多于三等之银数也
设如有田一百二十亩一人一日耕四亩一人一日种六亩欲令二人同日完工问耕者该先起工几何
法以四亩与六亩相乗得二十四亩以
四亩互乗一日得四日以六亩互乗一
日得六日乃以二十四亩为一率四日
六日相减余二日为二率一百二十亩
为三率推得四率十日即是耕者该先
起工十日也此法盖因四亩与六亩不
同故用互乗以齐其分一得二十四亩
耕六日一得二十四亩种四日欲令同
日完工则耕者当先起工二日然则田
二十四亩当先起工二日今田一百二
十亩则当先起工十日也
御制数理精蕴下编卷六
