钦定四库全书

新法算书卷八十六　　明　徐光启等　撰几何要法

界説章第一【凡八则】

第一界

方形者四直线两纵两横相遇所成亦谓之四边形如上甲图

第二界

四边形之四线等而四直角者为直角方形如上甲图

第三界

四边两两相等而俱直角者为长直方形如上乙图

第四界

四边等但非直角者为斜方形如上丙图

第五界

四边两两相等但非直角者为长斜方形

如上丁图

第六界

已上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形如上

戊图等本卷多以直方形为论为其多有用也

第七界

凡形毎两边有平行线为平行线方形如上已图

第八界

凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形如甲乙丙丁方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊巳线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊巳庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬巳丙及戊壬辛

乙谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形

审矩章第二

凡作方形必欲用矩故先论审矩法后论弃矩求方之法矩以两尺纵横而成然必成直角方准若稍出入必为鋭钝两角而不成矩今欲审直角先审两尺之棱如首卷第

一法后于他坚体上作半圜中画径线次以矩角倚半圜之界视二尺棱正切径线与圜相交处则矩准而可用矣若有出入则当更改或于坚体上作一直线更作一垂线四边作直角以一矩准四直角不爽则至准矣

一直线上求立直角方形章第三

如甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等次作丁丙线相联即得所求

有直线形求作直角方形与之等章第四

甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙丁形与甲等【本卷第五第六章】而直角次任用一边引长之如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚防或在丙防或在丙防之外若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚在丙外即以庚为

心丁己为界作丁辛己半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等如上图丙辛壬癸

有三角形求作平行方形与之等而方形角又与所设角等章第五

设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平分如乙丙边平分于戊次作丙戊己角与丁角等次自甲作直线与乙丙平行而与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为

丙庚而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等而有丁角

有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角又与所设角等章第六

设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等而有丁角先分五边形为甲乙丙三【三角】形次依前章法作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与

乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑平行方形与丙等而有丁角即此三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无竆俱仿此法

有多直角方形求并作一直角方形与之等章第七

如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任等不等求作一直角方形与五形等先作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线

旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线而己子线上所作直角方形即所求

有平行方形求作三角形与之等而三角形角如所设角等章第八

如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角与戊等遇甲丙线于己次以乙丁线引长之为庚取丁庚度与乙丁等

末作己庚直线乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求

一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角又与所设角等章第九

设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚

平行方形与乙角形等而戊己庚角与

丙角等次于庚己线引长之作己辛线

次作辛壬线与戊己平行次于丁戊引

长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作

对角线引出之又自丁庚引长之与对

角线遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲线立形则先依本章法作己辛子丑方形次于甲线一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求

设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等章第十

先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角

而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末

于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半

于直角己戊己丁两腰相遇于己而等

即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁上所作两直角方形等

两直线形不等求相等之较几何章第十一

甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁

丙辛庚平行方形与乙等即得辛庚戊

己为相减之较矣

有圜求作一直角方形与之等章第十二

方圆圆方之法自古名贤究折而未准

吾师丁先生几何六卷之末设此神法

其法之用甚广今撮其要以推作方圆

圆方之法先设甲乙丙丁直角方形次

以乙为心以甲为界作甲丁限象任分

为若干度今姑分为九十度又分甲乙丙丁两线如前数为九十次自乙心至象限逐度皆作虚线次从甲乙丙丁两线对望作平行线其与限象线交处俱作?次从甲作曲线贯诸防贯诸防之线则甲戊线为方圆圆方之根线而乙甲为边乙丁为底次自甲至戊作一直线若乙戊直线与所设欲方之圜半径等则甲乙线为所设圜限象之界线若圜半径长则于乙丁线上截乙己与半径等引长甲乙线作己庚与戊甲线平行庚至乙即长径圜限象之界线若圜半径短则于乙丁线上截乙辛与半径等作辛壬线与戊甲平行则壬至乙即短径圜限象之界线今有

子丑圜或大或小其半径与乙辛等先

作一寅卯直线立一辰己垂线次从己

起取己午午未各与乙壬等次取己申

与乙辛等次两平分申未于酉以酉为

心以申或未为界作半圜切垂线于辰

末取己辰作直角方形之一边则此方

形与所设圜等以此可推不特一方与一圜即方之一边线与圜一限象等方之半边线与圜半限象等

有直角方形求作一圜与之等章第十三

如有甲线为方之边先取一圜依前法

求其作方之线如前度得申己次作辰

申直线次截戊己如所设甲线等次自

戊作戊卯线与辰申平行末以己卯为

半径之度作一圜即得所求

推用一法

依两章方圆圆方之法可推任有直线形可作一圜与之等又任设一圜可作直线形与之等须先依前章法求多边直线形作一方形与之等次依本章法作一圜形与直角方形等则得一圜与所设直线形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方与所设圜等次依前法作三角形如所设方形等则所作三角形如原设圜等

新法算书卷八十六