钦定四库全书
新法算书卷九十二 明 徐光启等 撰测量全义卷六
论体
厯家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天各有最髙度最髙冲度其去人逺近也恒不等其自相去之逺近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者必于地体推之故有日与月与地三大之比例【别有本书】不用此比例何繇知交食之歳月日时地影【即闇虚】比于月体小大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几何大去人几何逺乎则何繇知日食旣之有无金环乎何繇知月食过分之闇虚几何大乎何繇定食限之几何时刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者又诸线之积也未能测线安能测面又测候七政行度皆以句股弧?诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步前步未行后步不可得进也是测量之全义也
体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同理同法
其界为面面居体之周【面截面生棱如线遇线生角也又棱为两面之共界】一面之体如球如卵
二面之体如半球半卵圆角圆堆
三面之体如剖球卵之一分
四面之体如三面角体而四面等
即三面角体第因各面俱等故属四面
五面之体如四面角体【因角体之面无定数故左方不列其名】六面之体如立方正立方斜立方
八面之体八面俱等
十二面之体十二面俱等
二十面之体二十面俱等【自四六八十二二十面之外不能为等面胥无法之体也】公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算简易者也
几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉
第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体扁圆体【因其上下为平行面亦属等面】公法以高乘底之积得其容【高深两名互用】其高之度则垂线也
几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同高两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正高为据不论体势直与不直
又本卷三十二题曰同类之体与体【凡比体者皆以其容积相比】为
其边与边三加之比例 解曰三加之比例者四几何为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四为三加也【五卷十界】此云三加者谓体之一与二若其边之一与四也如二 四 八 十六为四几何同理之连比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大边之十六也
系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得十八三加之得二七【其超法为一身有半】则初体与次体若八与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同
第二体名角体底广上锐如堆垜锥亭峰之类其法同也几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面体【即同高体】之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则底积八十一设髙十八以乘底积得一四五八以三为法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十二尺设高五尺则先求周之径得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之五底积也以高乗之得五七实尺又十一之三以三为法而一得十九又十一之一为圆堆之容【系凡委粟及?垣等角体皆求立体之容三除之为角体之容】
若不知其正高但知其底及棱则先求其正高
法曰若棱为偶数如上图得四甲乙
丙丁为底之四边各八又半甲丙对
角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊
丁戊丙为四棱各十而求次图之中
长线戊己【次图何物如上图戊甲丁丙乙为全体若从戊顶向
甲丙对角线平分之为二即所截之两面各成戊甲丙三角形甲丙底十】
【二弱戊甲戊丙各十以此三边求中长线戊已即角体之高】
法以半底甲已自之得三十六【句方】以减腰方一百【?方】余六十四【股方】开方得甲已八为角体之正高余如前若棱为竒数如五底之各边为十二棱之度为二十则先求一面之中长线【各体有底有面有棱底之边随体无定数面则恒各为三边形形之底线即底之一边两腰即棱也】依句股法半底边得六【为句】自之得三十六【句方】棱度自之得四百【?方】相减得三百六十四
【股方】开方得一十九又一十三之一【即股即面形之中长线】次求底形之中长线用正?法以五【底之边数】为法三百六十【全圈之周】为实【几何论凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各边】而一得七十二度为一边之弧半弧之正?【即底之半边】为五八七七九第一率也【内】半边之数六为二率【外】半弧之余?八○九○二为三率【内】算得八又四之一不尽【外】为五边底形从心所出之中垂线又正?【内】与半边【外】若全数【内】与半径【外】得一十又五之一强【形外圈之半径】两数并得一十八又二十之九强为五边形之中长线次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线相遇成一三角形【平分全体所分之两面】有三边之数求中长线得一十六又半不尽为所求元体之正高
底之周六十半之得三十以中垂线乗之得五七二又十三之四为底积以正高乗之得九四三八三而一为元体之容得三一四六也
若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长线求体之正高
论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上而下对角平分之为两堑堵毎一堑堵得正立方二之一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鼈臑得堑堵三之一则一正立方分之为堑堵得二阳马则三鼈臑则六角体者阳马也故得立面体三之一也【说见九章算】
又外切圈之半径为句棱数为?用句股法求股即元体之正高【此法甚简易但须各棱俱等乃可非公法也】
截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜截之与边平行截面为圭窦形【顶不锐近底之两腰稍平行】三也直
截之与轴平行截面为陶邱形【顶曲渐下渐直底两旁为锐角】四也无平行任斜截之截面为撱圆形五也内第一第二第五
【有本】论第三第四其面皆为一直线一曲
线两界之面所截体之一分皆为两平
面一曲面三界之体亚竒黙徳备论其
量法然非测量所必须又各截面皆有
底有轴【即中长线】有曲线若转轴环行即径
线为平底界曲线为曲面界生二界之
体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶
而下渐趋平也若以此体为空体则皆造作燧鉴之法以其浅深为光心之逺近亦非测天所用未及详焉
第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相似盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之体【凡置斗体大面居下本角体之截分角体欲自立底必在下也其置截分亦然】
法曰若知本角体之高即先求本
角体之容后求所阙截分之容相
减余为元体之容假如斗体之底
长方一边得八一边得九则其积
七十二以全高二十四乗之得一七二八以三为法而一得五七六全角体之容也次置斗体上面之一边四一边四又半其积十八【即阙分之底】以阙分之高十二乗之得二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全角体其较五○四斗体之容也
若不知全角体之高则截体分求之
法曰如甲乙丙丁斗体之大面也边
各二十四戊已庚辛小面也边各一
十八用垂线截斗体从戊已边向下
至午未底分元体为二从辛庚边向下至申酉底从庚已至戍亥从辛戊至子丑皆如之分元体为九一居中成立面体四边四体为堑堵【正二面一立一斜侧二面为句股】四隅四体为阳马【即角体亦名方锥】各以本法求其容并为斗体之容【堑堵以高乗底积二而一阳马以高乗底积三而一】
立面体上下两面等各边十八其积为三二四以高十五乗之得四八六○堑堵【一名句股体】其底长方辛子三【两面之较六折半得】
【三】辛庚为十八乗得五十四为底积以正高乗之得八
一二为法而一得四○五四倍之得一
六二○【四边四体故】阳马其底各三其积九
以正高乗之得一三五以三为法而一
得五四四倍之得一八○
若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从上
边向下截成众体如图甲皆为堑堵
乙皆为阳马其中间无法之形则以
形为底分之中作一立面体余为四
三边形各形有棱有高可知其容又
公法【上二法遇圆体而穷】设上下面之边与正高与两面之积法曰上下两面积各开方两根相乗得数并入两面积以正高乗之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积为三二四两根相乗得四三二与前两积并以高一五
乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗体之容也
又便法【小差而不逺】并两面之边半之自乗得数以高乗之得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得四二半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一五比前少四五其差为一四七之一耳
凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球相似【几何十一十二十二十四卷极论此理今稍引用为比例之法】
一曰四面体各面为三边等形用坚楮依图裁而合之
成一全体有六棱四隅
设各边一百因前法求
其容为一一七四七二
半 此下五则皆名法体求容凡同类之体皆依此为例以显推隐故下文称例体例边
二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其面
为正方形设各边一百
因前法求其容为十万
三曰八面等之体各面为三边等形有十二棱六隅各
边设一百因几何求其
容为四七一四二五有
竒
四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二十
隅边设一百其容为七
六八六三八九
五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十二
隅边设一百其
容为五二三八
○九
依几何之説得一体之容可推同类【同类者同若干面数也】万体之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方之比例等
假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两数各再自之得一百万与一二五○○○此两数为两体之容之比例而以大不等为一百万之一二五○○○约为八之一用三率法则命分数为一率得分数为三率前所立例体之容为二率得四率为所求他体之容
如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立方一百万为一率以所求小体边上立方为二率以大体之容为三率用法得一四六八四又四之一为小体之容【第三率大体之容于前法体求容五例内简其同类者即用之】
一率 一百万
二率 一二五○○
三率 一七七四七二半为前例所立大体之容四率得一四六八四又四之一为所求小体之容
又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体边再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五六二五如前推之
一率 一百万
二率 一五六二五
三率 七六八六三八九为前例所立十二面体之容四率 得一二○○九九为所求十二面体之容
又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此边上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根为五十即所求设体边数
一率 一一七四七二半【例容】
二率 一四六八四又四之一【设容】
三率 一百万【例边】
四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十为所求设体之边
量圆球之容
圆球之全体见亚竒黙徳圆球圆柱书并见几何一十四卷兹借数题明之
第一题
球上大平圜之积为本球圜面积四之一【此亚竒黙徳之一卷三十一题也大平圜者从大圏过心剖球体为二所分两平面是也圜面积者全球大曲面之平积也】系 凡周乗径生球圆面之积亦生大平圜积之四倍大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与其径 解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其径【与球径等】己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚
矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与
庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方
形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形
之一边则两矩方形必等夫己壬周
线上之方形也壬戊为大平圜之四倍而与球之圆面等则其比例如己辛与辛戊矣【五卷二周与径比例之数为二二三之七一或二十二之七】又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣
二系 球径上方形与球之圆面为一与三又七一之十或一与三又七之一
第二题
径三之二乗大平圜之积生球容之数【亚竒黙徳之一卷三十二题】解曰设大平圜之周一【凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之恒为一】其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈积也又以六六九之一四二【此大径三分之二】乗之约之为二九八三七四之五○四一得球容之数
又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球容之比例何者全数为母【即一几何谓之命分数】是周上之立方也子数【几何之得分数】为球容则球容与大圜周上立方之比例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得四九与二九○四
又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大积为十四分径上方之十一以径三之二乗之得四十二之二十二约之得二十一之十一为球之容又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二二三亦径上立方与球容之比例也【右径上立方与球容之比例】因前论置球之径 一求球之圜面以二十二乗径数以七除之以所得之径乗之得圆面之积【用二十二与七而盈用二二三与七十一则朒】 一求球之容以二十二乗径以七除之得数以径三之二乘之得球之容【右以径求圜面积及球之容】又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六与二二三则朒 置大圜之周大圜周上之立方与球容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四九则朒 置径置球之圆面相乗六而一
置径【四之一乗圆面三之二三之一乘圆面二之一】 乗大圜之积三而二或径乗积三分之二 或径三分之二乗积俱得球之容
或半径乗大圜积三分之二所得为球容之半 或大圜半积乘径三分之二所得亦半
量球一分之曲面
凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无
异【或半球或四之一或五之一俱同法】 若截球面不
过心为直面而曲面界为球上之圏
则借天球之界以明之
解曰甲丁己辛为子午圏甲比己南
丁辛为夏至之圏从夏至圏截之甲至丁作直线用此线为半径作甲丁别圏亚竒黙徳之一卷四十题曰甲丁别圏之积与丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直线为他圏之半径其圏之积亦与丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干
分则为无法之形
量球一分之容
取球之一分截面过心其曲面之界为圏亚竒黙德曰想圆角体其底之圏几何与所截凸面之一分等其高为球之半径此体之容与今所解之球分等
如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲半径倍之以二二乗之以七除之所得之
半以半径乗之为凸面之积次以甲庚半径乗之三而一为丁甲辛庚球分之容
若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先求甲丁辛凸面之积以径乗之六而一为丁甲辛庚体之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求其容以减丁甲辛庚体之容余为丁甲辛球分之容
量撱圆体之容
撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形之长径为轴旋转所生如一防直行生线一线横行生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端大一端小是为无法之体撱圆体则两端等亚竒黙徳之第一卷备解此体及分角体之理今略述之
凡截圆球生两圆面成两圏若平分之即过心过心之截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之则其面皆不等皆成长圆形
凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其体之容为撱圆体四之一
如甲乙为长径丙丁为小径
即丙戊丁甲半撱圆体倍大
于甲丙丁角体
解曰小径以二十二乗之七而一小径之周也得数以乗小径四而一小径之平圆面积也得数以乗半长径圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体
之容也
若截面与小径平行如庚己
壬求撱圆分体如庚甲壬之
容黙徳法曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙【大分之轴线】与戊乙【半长径线】甲己【小分之轴线】并若角体甲庚壬之容与撱圆小分庚己壬甲之容
若求大分之容先求角体庚
壬乙之容次用三率法甲己
【小分之轴线】与甲乙【长径】戊乙【半长径】
并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容
量无法之体
解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三
和灰涂其罅令不漏实之以水投所
量物其中则水溢取出物量水减几
何得物之容如减一寸而椟边设一
尺则得一百寸为物之容盖各边一
尺上面积为一百寸水减一寸则为
一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘之得物之容
新法算书卷九十二
