钦定四库全书
厯算全书卷三十一
宣城梅文鼎撰
筹算二之三
开平方法
勿庵氏曰自周髀算经特着开平方法其説谓周公受于商高矩地规天为用甚大然有实无法故少广之在九数别自为章今以筹御之简易直截亦数学之一乐也
解曰平方者长濶相等之形也其中所容古谓之幂积亦曰面幂西法谓之面面有方有圆此所求者方面也其法有方有亷有隅总曰平方也【幂音覔覆物中也】开亦除也以所有散数整齐而布列之为正方形故不曰除而曰开平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根
如后图方者初商也初商不尽则倍初商之根为亷法除之得两亷又以次商为隅法自乘得隅隅者以补两廉之空合一方两亷一隅成一正方形
如图一方两廉一隅除积仍不尽则合初商次商倍之为廉法除之以得次两廉又以三商为隅法自乘得隅合一方四廉两隅成一正方形【商四次以上仿此加之】
解曰上两位者自乘之积也假如方一十则其积一百方二十则其积四百以至方九十则其积八千一百也下一位者方根也假如积一百则其根一十积四百则其根二十乃至积八千一百则其根九十也平方筹式列左
开平方筹只用两位积数何也曰开方难得者初商耳平方积数虽多而初商所用者只两位次商以后皆亷积也亷积可用小筹除之开方大筹専为初商故积止两位
筹下一位单数也而实有百也万也百万也亿也百亿也万亿也百万亿也皆与单同理故独商首位者用下位之积数焉【其积自○一至○九其方根为一二三】
筹上一位十数也而实有千也十万也千万也十亿也千亿也十万亿也干万亿也皆与十同理故合商两位者用上下两位之积数焉【其积自一六至八一其方根自四至九】
用法曰先以实列位列至单位止实有空位作圏以存其位次乃作凡作之法皆从实单位实单位起作一毎隔位则之而视其最上一以为用首位有防者以实首一位独商之【乃补作一圏于原实之上亦成两位之形】
首位无在次位者以实首位合商之
皆视平方大筹积数有与相同或差小于实者用之以减原数而得方数即初商也
定位法曰既得初商则约实以定其位知其所得为何等【或单或十或百之类】以求次商
其法依前隔位所作之总计之视有若干防
假如只一者初商所得必单数也【自方一至方九】则初商已尽无次商矣
有二者初商所得必十数也【自方一十至方九十】初商十数者有次商
有三者初商所得必百数也【自方一百至方九百】初商百数者有次商又有三商
有四者初商千也有商四次焉
有五者初商万也有商五次焉
次商法曰依前术定位则知其宜有次商与否
若已开得单数虽减积不尽不必更求次商也虽未开得单数而初商减尽亦不必更求次商也惟初商未是单数而减积又有不尽是有次商矣次商者 倍初商为亷法用小筹以除之【初商一则用第二筹初商七则用第一第四两筹皆取倍数】视筹积数有小于余实者用之为亷积视亷积在小筹某行命为次商数
既得次商减去亷积即用次商数为隅法以求隅积隅积小平方也即隅法自乘之数也【可借开方筹取之】若隅积大于余实不及减者转改次商及减而止
以数明之 假如积一百其方根十即除实尽此独用方法无亷隅矣若积一百四十四初商十除实百余四十四则倍初商之根得廿为亷法【在初商之两旁故曰亷亷有二故倍之也】次商二以乘亷得四十为亷积又次商二为隅法自乘得四为隅积共四十四除实尽开其根得一十二也
商三次以上法曰次商所得尚非单数而减积又有不尽是有第三次商矣
商第三次者合初商次商数皆倍之为次亷法 如前用筹以除余实求得第三商以减亷积
又即以第三商之数为隅法以求隅积皆如次商
商四次五次以上并同第三商
命分法曰但开至单数而有余实者是不尽也不尽者以法命之法以所开得数倍之又加隅一为命分不尽之数为得分 凡得分必小于命分
亦有开未至单宜有续商而其余实甚少不能除作单一者亦如法命之而于其开得平方数下作圈纪其位如云平方每面几十○又几十几分之几 或平方每面几百○○又几百几十几分之几
若欲知其小分别有开除分秒法见第七卷
列商数法曰凡初商得数而书之有二法 其法依前隔位所作以最上一为主凡得数皆书于此之上一位五以上者又进一位故有二法也
其故何也五以上之亷倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同凡归除开平方须明此理不则皆误矣 大约所商单数必在亷法之上一位乃法上得零之理也平方有实无法亷法者乃其法也
凡次商列位亦有二法 次商用归除除法者皆书于筹之第一位故次商以之
看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商数对而书之对余实首一位是也
若第一位是圈即以次商数进位书之以暗对其圏余实上一位是也
知此则知空位矣次商有一定之位故空位亦一定也如次商与初商隔位则作圈隔两位作两圈是也
商三次以上书法并同
隅积定位法曰凡减隅积皆视其隅数为何等【隅数即次商之数也或单或十或百千等】以求其积
隅数是单其减隅积亦尽于单位
隅数是十其减隅积必尽于百位
隅数是百其减隅积必尽于万位
隅数千其隅积必百万
隅数万其隅积必亿
每隅数进退一位则隅积差两位【隅积小平方也故皆与初商同理】
还原法曰凡开方还原皆以所开得数为法又为实而自相乘之有不尽者以不尽之数加入即得原数
假如有积三百六十平方开之
列位【单位作圈】作防【从单位起】
视首位有以首位三百独商之乃视平方筹积数有小于○三者是○一也○一之方一故商一十【有二故初商是十】
于原实内减去方积一百余二百六十【初商是十知有次商】以上一为主凡得数皆书于此之上一位此常法也四以下用常法
次倍初商【一十】作【二十】用第二筹为亷法
视筹第九行积一八小于二六次商九于初商一十之下去亷积一百八十余八十【所减数在筹上一位不空故以商数九对余实首位书之】
次以次商九为隅法其隅积八十一大于余实不及减应转改次商为八视筹之第八行积数【一六】减亷积一百六十余一百【所减第一位下空故对位书之】
乃以次商八为隅法减隅自乘积【六十四】余【三十六】不尽
隅数单故减隅积亦尽于单位
初商【一十】次商【八】共【一十八】是已开至
单位也而有单位也以法命之 以平方【一十八】倍之又加隅【一】共【三十七】为命分
命为平方一十八又三十七分之三十六
还原法
以平方一十八用筹为法即以平方
一十八为实而自相乘之得三百二
十四加入不尽之数三十六共得三
百六十如原数
命分还原论详别卷
假如有积一十二万九千六百平方开之
列位 作
视首位无在次位以两位一
十二万合商之
乃视平方筹积有小于一二者是
○九其方三也于是商三百【三故初商百】减去方积九万余三万九千六百【初商百故知有次商】
次倍初商【三百】作【六百】用第六筹为亷法
视筹第六行积数【三六】小于【三九】次商六十于初商三百之下减去亷积三万六千余三千六百【所减首位不空故对书之】次以次商【六十】为隅法减隅积三千六百恰尽【隅数十故减隅积必尽于百位】
凡开得平方三百六十○ 开方虽未至单减积已尽是方面无单数也后仿此
还原法
以所得平方三百六十○为法为实而自相乘之得一十二万九千六百○○如原数
假如有积一千平方开之
列位 作防
视在次位以首二位一千○百合商之
乃视平方筹小于【一○】者【○九】也【○九】
之方三商作三十【二防故初商十】减方积九百余一百次以初商【三十】倍作【六十】用第六筹为亷法
视第六筹第一行是【○六】小于【一百】次商一千初商三十之下减亷积六十余四十【所减是○六首位空也故书于进位以对其○今虽对于余实以所减六十言之犹进位也列位之理明矣】
次以次商一为隅法减隅积一余三十九不尽【隅积尽单位】
所开已至单位而有不尽以法命之倍所商三十一又加隅一共六十三为命分
命为平方三十一又六十三分之三十九
此以上皆初商四以下列位之例 皆以最上之一为主而书其初商所得数于防之上一位乃常法也
假如有积四千○九十六平方开之
列位 作
视在次位以四千○百合商之
乃视平方筹积数有三六小于四○
其方六也商作六十【二防故初商十】减方积
三千六百余四百九十六【初商十故知有次商】
以最上一为主而书其得数于之上两位乃进法五以上用进法
次倍初商【六十】作【一百二十】为亷法【用第一第二两筹】视筹第四行积数【四八】小于余实次商四于初商六十之下减亷积四百八十余一十六【所减是○四八首位空也故次商四进位书之若初商不进则次商同位矣】
次以次商四为隅法减隅积一十六恰尽【隅数单故隅积尽单位】
凡开得平方六十四
假如有积八千○九十九以平方开之
列位 作
视在次位以八千○百合商之
乃视平方筹有【六四】小于【八○】 其方
八也于是商八十【二防故初商十】除实六千
四百余一千六百九十九【初商是十宜有次商】次以初商八十倍作一百六十为亷
法【用第一第六两筹】
合视两筹第一行积【一六】与余实同宜商【一十】因无隅积改用第九行【一四四】次商九于初商八十之下减亷积一千四百四十余二百五十九【所减第一位不空故对位书之】
次以次商九为隅法减隅积【八十一】仍余一百七十八不尽【隅数单隅积尽单位】
已开至单位而有不尽以法命之 应倍所商八十九又加隅一共一百七十九为命分
命为平方八十九又一百七十九分之一百七十八【因少一数故不能成九十之方】
假如有积二千五百四十八万二千三百○四平方开之列位 作
视在次位以二千五百万合商
之
乃视平方筹积有【二五】与实相
同其方五也商五千【四防故初商千】除方积二千五百万余四十八万二千三百○四【初商千有次商】
【又法既以四防知所得为五千倍之则为一万即亷法也法上一位便是单逆上三倍则五千位矣】
次倍初商【五千】作【一万】为亷法【用第一筹】
视筹第四行积四与余实同次商四十于初商五千之隔位减亷积四十万余八万二千三百○四【所减是○四故进位书之以对其○然与初商五千犹隔一位故知所得为四十此定位之法之妙也】次以次商四十为隅法减隅积一千六百余八万○七百○四【隅数十故减隅积尽于百位 商至十有末商】
次合初商次商倍之得【一万○○八十】为亷【用第一第八并二空位共四筹】
【大凡商五数以上则其亷法视所商方数必进一位不论初商次商皆然若四以下则其亷法视方数必同位亦初次商尽然】
合视筹内第八行积数【八○六四】小于余实又次商八于先商五千○四十之下减亷积八万○六百四十余六十四【此所减第一位亦是○故商数八亦进位书之以对其○】
次以末商八为隅法用减隅积六十四恰尽【隅数是单故减隅积亦必尽于单位】
凡开得平方五千○四十八
以上皆商五以上进书例也
常法中有初商得二或四者进法中有初商得七或九者并杂见开方分秒法并开方捷法中
开立方法【筹算三】
勿庵氏曰物可以长短度者泰西家谓之线线之原度一横一缩而自相乘之以得其羃积者平方也西法谓之方面方面与线再相乘而得其容积则立方也西法谓之体
解曰平方长濶相等形如碁局立方长濶高皆相等形如骰子细分之有方有平亷有长亷有小隅总曰立方
立方亦有实无法以所有散数整齐之成一立方形故亦曰开
立方长濶高皆等今所求者其一边之数故西法亦曰立方根
如图方者初商也初商不尽
则再商之于是有三平亷三
长亷一小隅共七并初商方
形而八合之成一立方形
如图方形者长濶高皆如初商之数
方形只一
如图平亷形者长濶相同皆如初商数其厚则如次商数 【平亷形凡三以辅于方形之三面】长亷者长如初商数其两头高与濶等皆如次商数 【长亷形亦三以补三平亷之隙】
小隅者长濶高皆等皆如次商数 【其形只一以补三长亷之隙】
商三位图
如后图一方三平亷三长亷
一小隅除实仍不尽则更商
又得次平廉次长廉各三
次小隅一合之共十五形凑
成一大立方形 次平亷之
长濶相等皆如初商并次商
之数厚如三商数其形三以
辅初商并次商合形之外 次长亷之长如初商并次商之数其濶与厚相等皆如三商数其形亦三以补次平亷之隙次小隅之长濶高皆等皆如三商数其形只一以补次长亷之隙
立方筹式【列后】
解曰上三位者自乘再乘之积也假如根一十则其积一千根二十则其积八千乃至根九十则其积七十二万九千也 次两位者自乘之积即平方也置于立方
筹者以为亷法之用假如初商一百则
其平亷亦方一百其积一万乃至商九
百则其平亷方九百而积八十一万也
又如次商一十则其长亷之两头亦必
方一十而积一百乃至次商九十则其
长亷之两头必方九十而积八千一百
也 下一位者方根也假如立积一千
则其根一十立积八千则其根二十乃
至积七十二万九千则其根九十也
立方筹三位何也自乘再乘之数止于三位也且以为初商之用故只须三位其余实虽多位皆亷积耳
用法曰先以积列位至单位止无单者作圈以存其位次作从单位起每隔两位作一【即满三位去之之法也】讫视最上一以为用
在首位者独商之以首位为初商之实
单数商法也 若千若百万若十亿若万亿若千万亿凡以三位去之余一位者皆与单法同
在次位者合首两位为初商之实
十数商法也 若万若千万若百亿若十万亿若兆凡以三位去之余二位者皆与十同法
在第三位者合首三位为初商之实
百数商法也 若十万若亿若千亿若百万亿若十兆凡以三位去之余三位者皆与百同法
又法视其在首位则于原实之上加两圈在次位者上加一圈皆合三位而商之
次以初商之实与立方筹相比勘视立方筹积数有与实相同或差小于实者用之以减原实而得其立方之数即初商也
定位法曰既得初商则约实以定位知所得立方为何等【或单或十百等】以知有续商与否 皆以前所作防而合计之视有若干之命之
假如只有一则商数是单 初商已得单数无次商
有二防者商数十 初商十数者有商两次焉有三者商数百 初商百数者有三三次焉四商千 五防商万 每多一防则得数进一位而其商数亦多一次皆以商得单数乃尽也
减积法曰凡初商减积皆止于最上之位
次商法曰依前定位若初商末是单而减积未尽是有次商也次商者有平亷法有长亷法有隅法【解曰平亷古曰方法长亷法古曰亷法以后或曰平亷长长亷从质也或省曰方法亷法从古也】
先以所得初商数三之为亷法
又以初商数自乘而三之为三法 以方法用筹除积以得次商【以列位之法定之其法见后】
既得次商用其数以乘方法为三平亷积
又以次商自乘以乘亷法为三长亷积
其次商即为隅法 以隅法自乘再乘得小立方积为隅积
乃并三平亷三长亷一小隅积为次商亷隅共积若此亷隅共积与余积适等或小于余积则减而去之视其仍余若干以为用【或续商或以法命之】
若共积反大于余实不及减转改次商及减而止【若次商单一而无减以法命之】
商三次法曰次商尚未是单而减积未尽是有第三次商也
第三次商者合初商次商得数而三之为亷法又合初商次商得数自乘而三之为方法 如前以方法用筹除余实求得第三商【亦以列位法详其所得】
既得第三商如前求得三平亷三长亷一小隅积以减余实其法并同次商
四次以上皆同法
命分法曰但商得单数而有不尽则以法命之 未商得单数而余实甚少不能商单一者亦以法命之其法以所商立方数自乘而三之【如平亷】又以立方数三之【如长亷】又加单一【如小隅】并三数为命分不尽之数为得分 其命分必大于得分
列商数法曰依前隔位作防以最上一为主而论之有三法凡商得立方一数者于此之上一位书之【或单一或一十或一百或一千并同】此常法也
若商得立方二三四五者于此之上两位书之【单十百千其法并同】乃进法也
若商得立方六七八九者于此之上三位书之【单十百千其法并同】乃超进法也
平方只有进法而立方有三法何也平方以亷法为法而平方只二亷故其亷法之积数只有进一位故止立进法与常法为二也立方以方法为法而立方有三平廉故其方法之积数有进一位进两位故立进法超进法而与常法为三也其预为续商之地使所得单数居于法之上一位则同
假如立方单一其方法单三 若立方单二则方法一十二变为十数进一位矣故单一用常法而单二即用进法也
又如立方单五其方法七十五 若立方单六则方法一百○八又变百数进两位矣故单五只用进法而单六以上必用超进之法也
假如立方一十其方法三百 若立方二十则方法一千二百变千数进一位矣故一十只用常法而二十即用进法也
又如立方五十其方法七千五百 若立方六十则方法一万○八百又变万数进两位矣故五十仍用进法而六十以上必用超进之法也
若宜进而不进宜超进而不超进则初商次商同位矣不宜进而进则初商次商理不相接矣此归除开立方之大法也
其次商列位理本归除以所减积数首一位是空不是空定其进退皆同平方 商三次以上并同
隅积法曰隅法单隅积尽单位 隅法是十隅积尽于千位
隅法百隅积尽百万之位 以上仿求 大约隅法大一位则隅积大三位
还原法曰置开得立方数为实以立方数为法乘之得数再以立方数乘之有不尽者加入不尽之数即得原实
假如有积一千三百三十一立方开之
列位 作【从单位起】
视首位有以○○一千为初商
之实
乃视立方筹有○○一其立方一
于是商一十【有二故商十】减去立方积一千余三百三十一【初商十者有次商也】
以最上为主商一数者书于防之上一位常法也次以初商一十而三之得三十为亷法
又以初商一十自乘而三之得三百为方法【用第三】
视筹第一行积数○三与余
实同次商一于初商一十之
下【减积首位是○故进位书于一十之下以暗对其○】
于是以次商一乘方法仍得三百为平亷积 又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十为长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积 并三
积共三百三十一除余实恰尽
凡开得立方一十一【还法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合原积】
假如有积一十二亿五千九百七十一万二千立方开之列位 作
视首位有以○○一十
亿为初商之实
乃视立方筹有○○一其方亦一于是商一千减立方积一十亿余二亿五千九百七十一万二千次以初商一千而三因之得三千为亷法
又以初商一千自乘得一百万而三之得三百万为方法【用第三筹】
视第三筹之第八行积数二四小于余实次商八十于初商一千之下一位【所减首位不空故次商八书本位而上一位作○因与次商隔位故知其是十】
就以次商八十乘方法三百万得二亿四千万为平亷积
又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十万为长亷积 又次商八十自乘再乘得五十一万二千为隅积 并三积共二亿五千九百七十一万二千除实尽
凡开得立方一千○八十○【初商千次商○八是十而除实已尽是所商单位亦○也此列位之妙】
以上皆商得一数例也 皆以最上一为主而以初商得数书于之上一位乃常法也惟商得一数者可用常法一十一百一千一万并同
假如有积九千二百六十一立方开之
列位 作
视在首位以○○九千命为初商之实
乃视立方筹积有小于○○九者
○○八也其立方二于是商二十
【二故初商十】减立方积八千余一千二
百六十一
以最上一为主而以得数书于防之上两位乃进法也商二至五之法也
次以初商二十用三因之得六十为亷法
又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百为方法【用第一第二两筹】
合两筹第一行积一二与余实相同次商单一于初商二十之下【所减首位空宜进书也若初商不先用进法则无以处次商矣故进法自商二始】
就以次商一乘方法仍得一千二百为三平亷积又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十为三长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积 并三积共一千二百六十一除实尽凡开得立方二十一
假如有立方积三万二千七百六十八立方开之问得若干
列位 作
视在次位以○三万二千为初
商之实乃视立方筹积小于○三
二者是○二七其立方三也于是
商三十【二防故初商十】减商三十【二故初商十】减立方积二万七千余五千七百六十八
次以初商三十用三因得九十为亷法
又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为方法【用第二第七两筹】
合视两筹第二行积○五四小于余实次商单二于初商三十之下【所减首位○宜进书以对其○】
就以次商单二乘方法得五千四百为平亷积 又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十为长廉积又以次商自乘再乘得八为隅积 并三积共五
千七百六十八除实尽凡开得立方三十二
假如有立方积一十一万七千六百四十九立方开得若干
列位 作
视在第三位以一十一万七千为初商之实
乃视立方筹积有小于一一七者
○六四也其立方四于是商四十
【二故初商十】减立方积六万四千余五
万三千六百四十九 次以初商四十用三因之得一百二十为亷法
又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百为方法【用第四第八两筹】
合视两筹第九行积数四三二小于余实次商九于初商四十之下【所减首位不空故本位书之】
就以次商九乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十为长亷积 又以次商九自乘再乘得七百二十九为隅积 合计亷隅三积共五万三千六百四十九除实尽
凡开得立方四十九
假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方开得若干
列位 作
视在第三位以一千六百六十亿为初商之实
乃视立方筹有小于一六
六者是一二五其立方五
也商作五千【四商千】除立方
积一千二百五十亿余四百一十三亿七千五百万次以初商五千用三因之得一万五千为亷法又以初商五千自乘得二千五百万三因之得七千五百万为方法【用第七第五两筹】
合视两筹第五行积三七五小于余实次商五百于初商五千之下【所减首位不空故书本位】
就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平亷积又以次商五百自乘得二十五万用乘亷法得三
十七亿五千万为长亷积 又以次商五百自乘再乘得一亿二千五百万为隅积 并三积共四百一十三亿七千五百万除实尽 凡开得立方五千五百○○
以上乃商得二三四五之例也 皆以最上一为主而以初商所得进书之上两位进法也初商得二三四五者用进法单十百千并同
假如有积二十六万二千一百四十四立方开之列位 作
视在第三位以二十六万二
千为初商之实
乃视立方筹有小于二六二者
二一六也其立方是六商六十【二防商十】减立方积二十一万六千余四万六千一百四十四
以最上一为主而以得数书于之上三位超进法也乃商六至九之法也
次以初商六十用三因之得一百八十为亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一万○八百为方法【用第一空位第八三筹】
合视筹第四行积四三二小于余实次商四于初商六十之下【所减首位是○故进位书之以对其○】
就以次商四乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十为长亷积 又以四自乘再乘得六十四为隅积 并三积共四万六千一百四十四除实尽凡开得立方六十四
假如有积三十七万三千二百四十八立方开之列位 作
视在第三位以三十七万三千为初商之实
乃视立方筹积有小于三七三
者是三四三其立方七也商七
十【二商十】减立方积三十四万三
千余三万○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十为亷法
又以初商七十自乘得四千九百三之得一万四千七百为方法【用第一第四第七三筹】
合视筹第二行积二九四小于余实次商二于初商七十之下【所减首位空故进位书之以对其○】
就以次商二乘方法得二万九千四百为平亷积又以二自之得四用乘亷法得八百四十为长亷积又以二自乘再乘得八为隅积 并三积共三万
○二百四十八除实尽凡开得立方七十二
假如有积五十三万一千四百四十一立方开之列位 作
视在第三位以五十三万一千为初商之实
乃视立方筹积有五一二小于
五三一其方八也商八十【二商十】减立方积五十一万二千余一
万九千四百四十一
次以初商八十用三因之得二百四十为亷法又以八十自乘得六千四百三之得一万九千二百为方法【用第一第九第二三筹】
合视筹第一行是一九二小于实次商一于初商之下 就以次商一乘方法为平亷积 又以一自乘用乘亷法为长亷积 又以一自乘再乘为隅积并三积共一万九千四百四十一除实尽
凡开得立方八十一
假如有积九十七万○二百九十九立方开之
列位 作
视在第三位以九十七万○为初商之实
乃视立方筹有七二九小于九七○其方九也商九
十【二商十】减积七十二万九千余
二十四万一千二百九十九
次以初商九十三之得二百七十为亷法
又以九十自之得八千一百而三之得二万四千三百为方法【用第二第四第三三筹】
合视筹第九行是二一八七小于余实次商九于初商九十之下【所减首位不空故本位书之】
就以次商九乘方法得二十一万八千七百为平亷积 又以九自乘得八十一以乘亷法得二万一千八百七十为长亷积 又以九自乘再乘得七百二十九为隅积 并三积共二十四万一千二百九十九除实尽凡开得立方九十九
此以上皆初商六七八九之例也 皆以最上一为主而以得数书于之上三位乃超进法也初商六七八九用超进之法单十百千并同
命分例
假如有立方八百一十尺问立方每面各若干
列位 作
在第三位以八百一十○尺为
初商之实
视立方筹有小于实者为七二九
其立方九商九尺减积【七百二十九尺】余【八十一尺】
此商数已至单尺而有不尽当以法命之
法以商数九自乘【八十一】而三之得【二百四十三】如平亷又置商数九而三之得【二十七】如长亷 加小隅一共【二百七十一】为命分
命为立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一此商得单数而有不尽以法命之例也
又如有立方积一亿二千五百七十五万尺问立方若干
列位 作
在第三位以一亿二千五百万
尺为初商实
视立方筹有【一二五】恰与实合商【五百尺】减实【一亿二千五百万尺】余【七十五万○○○○尺】
有三故知所商是【五百尺】宜有第二商第三商也乃以初商【五百尺】自乘【二十五万尺】而三之得【七十五万尺】为平亷法又以初商【五百尺】三之得【一千五百尺】为长亷法视余实【七十五万尺】仅足平亷之数而无长亷知第二商第三商皆空也补作两圈而以法命之
法以平亷法长亷法合数加小隅一共【七十五万一千五百○一尺】为命分
命为立方每面五百尺又七十五万一千五百○一分尺之七十五万○○○○
此商数虽未至单而余实甚少不能成一整数亦以法命之例也
厯算全书卷三十一
