<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷四十二
宣城梅文鼎撰
方程论卷三
致用
笇之用惟防其説惟详详説之斯能捷用省笇列位诸法由是以生也故致用次之
致用有二一者省笇一者列位【例襍见诸卷中故不具列而备论其理】省算法亦有二一者行有空则省算一者数偶同则省乗
凡方程之法去繁就简同者去之异者存之归于一法一实而已矣故三色以上有空位则可径求
若三色方程无空位者必湏乗减得数变为二色以求之此常法也若内有一行中空一位则以所空之位列于首而先以其余两行不空者如法乗减得数即重列之与原有空位者相对如二色方程也【以两行无空者相乗对减则减去一色惟余二色其有空者原只二色故可相对如二色也】则省一笇【原法乗减三次今只两次故曰省一笇】
凡三色方程不论一行有空或两行各有空或三行各有空皆只省一算何也其各行中虽有空位而不相对故也何以知其不相对若两行有空而又相对则径可以二色算之矣即不成三色方程 三色有空例襍见前卷
凡四色五色以至多色有几行空位者如上省算径求最为简防若中行无空则必如法乗减以五色变四色四色变三色三色又变二色渐次求之不可径求而省算也今诸书所载皆其各位之有空者耳非通法也而欲以此尽方程可乎
凡四色方程有乗减六次者常也 若有一位空则省一算 一行中空两位或两行各空一位而相对则省二算 若一行空两位又一行空一位则省三算止矣 或有四行中各空一位而不相对亦只省一算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空在下数位则乗减之后自然补实不能省矣 亦有两行各空两位而只省二算者亦以空位相左乗后补实耳故虽四行中各空两位亦只省三算也
假如四色中有一行空两位则将此无空之三行如法乗减变为两行又将此两行如法乗并变为一行此减余一行却有二位恰兴空两位之行相对矣便以重列如二色方程取之此最方程中要法而诸书未及也故详论之
若四色方程有两行各空一位而又相对则将其无空之两行如法互乗而减去此不空之位变为一行与空位之两行同列如三色法而之尤为易见
其四色各行空两位而省三算即今诸书中所载是也可无更赘然但欲知其为省算方程而非常法耳
其四色无空乗减六次者竟无其式故误以省算为常然既明其理亦不必一一为式矣
凡五色方程无空则有乗减十次者常法也【五色变四色则有四算四色又变三色则有三算三色又变二色则有二算二色又一算乃得法实合之为十算】故五色而为四图者亦常法也【原列一图以减余重列为四色而三色而二色又各一图合之为四图】
若有空一位则省一算 或空两位而省二算【湏两位空在一行或两行俱空首位乃可】 空三位而省三算【湏空在一行或三行同空首位或一行首位空一行首次两空则可】 空四位而省四算【湏一行空三位而一行又空一位恰与空三位者同或二行俱空首位而一行又空首次两位乃可或两行俱空首次亦可】 空五位而省五算【湏两行空首位而一行空首次三位或两行空首次而一行空首位或一行空首次而一行空首次三之位乃可】 空六位而省六算【湏一行空首位一行空首次一行空首次三行位乃可】
省至六算止矣六算以上虽多空位无闗省算也
今诸书有载五色方程者皆其各行空三位者耳总计之有空十五位而其为法亦必用四算然后得数则所省者亦只六算而竟不知其为省算之法则习而不察也
假如五色方程内只有行空三位法当以有空之三色列于上而先以其无空之四行如法乗减变为四色者三行又以乗减变为三色者二行又以乗减变为二色者一行则恰与空位之行相对矣再乗减一次得所求矣故曰省三算也【变四色时省一算变三色时省一算变二色时省一算共省三算】
假如五色方程内有两行各空二位而相对法当以有空之二色列于首次而先以其无空之三行如法乗减变为四色者二行又以乗减变为三色者一行则恰与空位之两行相对矣于是以三色法取之得所求矣故曰省四算也【变四色时省二算变三色时亦省二算】
假如五色方程内有两行空首位又一行空首次三之三位法当以无空之两行如法乗减变为四色者一行则恰与空首位之两行相对矣 乃以原数两行减余一行相并列之用相乗减变为三色者两行又相乗减变为二色者一行则又恰与空三位者相对矣 乃以原空三位者与减余列而求之即得之矣故曰省五算也【变四色时省三算变三色与二色又各省一算】
若五色方程内有两行各空三位者即如一行空两位一行空三位也法以无空之三行先用乗减变为四色者两行又以乗减变为三色者一行则恰与空首位次位者对矣取出原空两位者与减余列而求之变为二色者一行又恰与空三位者相对矣又取出与减余列而求之即得所问故亦省五算也【变四色三色时各省二算变二色时又省一算共五】其两行虽各空三位而不相对故也【若各空三位而相对即成二色方程矣】
若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省二算一行空首次三之位而省三算其余空位必不相对不能省算与无空同也
其法先以不空之两行乗减得数变为四色与空首位者相对又乗减变为三色与空首次者相对又乗减变为二色与空三位者相对再乗减即得所求诸列不能悉具智者反隅可也
论曰常与变相待而成告方方程省算而特详其不省之算者欲穷其变先得其常也
以上所论虽止五色引而伸之若六色七色八色九色乃至多色其理一也
以常言之 二色者一算 三色者三算 四色者六算 五色者十算 六色者十五算 七色者二十一算 八色者二十八算 九色者三十六算十色者四十五算 十一色五十五算 十二色者六十六算
以空位言之 三色者有省一算 四色者有省一算至三算 五色者有省至六算 六色者有省至十算 七色者省十五算 八色有省二十一算九色有省二十八算 十色有省三十六算 十一色有省四十五算 十二色有省五十五算
以省算所用而言之 三色者有只用二算 四色者有只用三算 五色有只用四算 六色有只五算 七色有只六算 八色有只七算 九色有只八算 十色有只用九算 十一色有只十算 十二色有只十一算
总而言之 二色则只一算 三色则有二算或三算 四色则有三算以至六算 五色则有四算以至于十算 六色则有五算至十五算 七色则自六算至二十一算 八算则自七算至二十八算九色则自八算至三十六算 十色则自九算至四十五算 十一色自十算至五十五算 十二色则自十一算至六十六算
扩而充之犹举一隅耳然其法不外于和较与和较之襍与变愚故不欲以四色五色等分为之目也 必如此则方程之法乃为通法若诸书所列四色者必各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所以御襍糅正负也而必逓空相等乃可用算是法有所不及而穷于问也岂古人立法之意哉
此以上论空位省算省算者乗减并俱省之也非若省乗者但省互乗而不省减乗
凡方程互遍乘者取其首位齐同耳故乘减一次则少一色以首位之齐同必减而尽也然亦有其首位之数偶尔相同者法当径以对减而省其互乗此虽省其乗而不省其减并故与前论省算同而微异也
假如和数方程首位同则径减矣 若较数者又湏论其正负之名 同数矣而又同名径对减矣 同数而不同名则更其一行之正负以相较而后减并焉此要诀也不则首位虽减去而其下之同异淆则加减皆误矣
若和较襍者首位之数同亦必以较数首位之名名其和数之一行而后减并之但省其互乗可也
以上论同数省乗
亦有首位数虽不同而可以分数相命者则以其分数改其一行之数以从一行则首位齐同而可以对减省其互乗焉可矣
若较数或和较襍皆如前法齐同其首位之名斯减并无误耳【较数首位同名则仍之异名者改一行以相从和较襍者以较首位之名名其和数之一行】
假如两首位为五与十是倍数也则半之盖五与十互乗各得五十而其下诸数从之而溢矣今但以首位十半之为五而其下诸数皆半之以相减并则五之之行可无乗而数亦简明殊散人怀也
若两首位为二十与二是十之一也则以退位之法乗之使二十之一行皆为十之一 若为八为四亦倍数也 若为八与二是四之一也四除其八之行则得矣 若九与三则三之一也以三除九则亦三而其一行皆三除之则可减倂矣然三除多有不尽不如只以三因其三之行也 若为五与三则六因其五之行而退位 五与二则四因退位 五与四则八因退位皆同 若六十四与八则八之一也八除其六十四之行犹互乗也 若此类者不可枚举得其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名亦有不可强齐者如七与二九与四之类只用互乗为无弊也省乗者为省事而设也强齐之反多事矣此以上论分数省乗
此外又有不拘首位者但数同则径以对减施之二色为宜盖二色方程只湏减去一色其所余即一法一实矣然亦湏同名方可减去若异名者改而齐之可也
假如较数方程其中一色同名而又同数径减去矣若但同数而不同名则更其一行之正负乃减去之
假如和较杂其中一色同数则以之为主使和数一行皆与此一色同名乃减去之
若和较则不湏尔但同数者即减去之此二色捷法
合此三者省算之理备矣
问田粮七则起科甲有上田一亩上次田一亩输粮七斗乙有上田一亩上次四亩上中一亩粮一石八斗丙有上次上中田各一亩粮五斗丁有上中田中田各二亩粮五斗戊有中田三亩中次五亩中下五亩已有中下八亩下田十三亩庚有中下田下田各十亩皆粮五斗问各则若何
法曰此方程防续法也以甲乙丙借作三色己庚借作二色各如法求得田则则其中两色自知
先以甲乙两行徧互乗减去上田 余上次田三亩上中田一亩 粮一石一斗 用与丙行乗减 上次田减尽 余上中田二亩为法 粮四斗为实法除实得二斗为上中田则例
就以上中田则减丙粮五斗余三斗为上次田则例以上次田则减甲粮七斗余四斗为上田则例【以上三色法也】
又以上中田则例乗丁田二亩得四斗以减丁粮五斗余一斗以二亩除之得五升为中田则例
又以戊中田三亩乗其则例得一斗五升以减戊粮五斗余三斗五升为戊田中次中下各五亩之共数因此处防而不属故又先求末两行
再以二色法用己庚两行如法遍乗减去中下田余下田五亩为法粮一斗为实法除实得二升为下田则例【以八因庚行而退位省乗法也】
以庚下田十亩乗其则例得二斗以减庚粮五斗余三斗以中下田十亩除之得三升为中下田则例【以上二色法也】
乃以戊中下田五亩乗其则例得一斗五升以减戊中下中次共三斗五升余二斗以戊中次五亩除之得四升为中次田则例
计开 上田每亩粮四斗 上次田每亩粮三斗上中田每亩粮二斗 中田每亩粮五升中次田每亩粮四升 中下田每亩粮三升下田每亩粮二升
论曰此虽七色因行中防续即非七色借三色二色之法知其首尾而中行亦见焉所省良多然非省乗其势则然也以其疑于省算也故附之其末
又有数偶相同不论三色四色但一减之后即得一法一实者非省算也然亦省算之类故亦附録一条以见其例
假如縀纱绢不知价但云以縀一匹纱五匹易绢九匹余价二两六钱又以縀二匹绢八匹易纱四匹余价六两八钱又以縀三匹易纱六匹绢七匹少价一两二钱
畣曰縀每匹价银三两纱每匹一两 绢每匹六钱
法列位
因中左纱减尽只余一色即以绢十九为法 除十一两四钱得绢价每匹六钱 以绢余二十六匹乗价得十五两六钱同减负一两六钱余十四两纱价也以纱余十四匹除之得纱价每匹一两【用中右减余得之】以原左行纱六匹【价六两】绢七匹【价四两二钱】共价十两
二钱同减负一两二钱余九两縀三匹价也三除之得縀价每匹三两
论曰此方程之变例也一减之后即得其数 若多色方程除首位外有减尽者先虽无空而减余重列即成有空方程矣【例见本卷齐军列陈条】
若三色俱减尽则不能成算 或三色方程中左三色俱减尽中右只减一色则所余者二色而无相较乗减无因不能别其二色亦不能成算也
假有问水银三斤硃砂二斤共价四两四钱又水银九斤硃砂六斤共价十三两二钱问各价若干
畣曰此不可以方程算何也彼虽两宗而其后一宗之物价皆三倍于先一宗互乗之后必湏减尽故也
凡左行之物俱倍于右行或俱半俱四之一等互乗之后得数齐同不能分核具如前论方程立法正以诸物襍糅多寡错居同异参伍而得其端倪也
又或三色方程而问只二宗则减余仍有二色不能分别故问三色必有三宗问四色必有四宗五色六色以上悉同何也方乗立法乗减一次始能分去一色若少一行则少一次乗减而不能得其一法一实矣故行中可有空位而不可有空行
行中有空者分一行言之也若总列为图则位皆无空凡此皆治方程者所当知
知其有不可算斯无疑于算知其有必不可省斯善为省矣
列位之法亦有二
一者更其上下之位以互求也 或为省算之计
凡方程立法务湏首位齐同以便减去故每遍乗一次则减去一色逓减之则一法一实矣今行中有空则是不待遍乗而其一色已先减去也故取而列之于上位则能省算不则上位不空而下反空则对位无减补成不空而不能省算矣
其法于列位时覆视之有横列中空位多者取作首位首位空一行则省一算矣
若首位原有空位而欲更定次位者不必改列但于重列减余时检防更定之可也
又横列中有数偶相同或可以分相命者取作首位亦省遍乗或横列中有单一数多者取作首位省乗【单一数则不湏乗故也】
以上论上下之位
一者更其前后之行也
凡首位多空而其不空者隔逺则更而聨之便乗减也其各行空位不等者不必更列但以与减余相对
者取出对列而乗减之【例见前诸卷】
若各行首位有可以分相命或数偶相同而为他行所隔亦可更置使之相接
又多色方程有各行中对位总空者取出另列而先乗其他行之不空者乃于重列之时渐次添入可免细书局蹐【例见后卷】
以上论前后之行
法曰凡多色方程先任意列位竟乃覆视之若首位有空而下则无之此不必更置也或首位多空而下则少亦不必更置也
惟首位不空而下反有或首位空少而下反多则更而置之故上下可以互居前后亦可易位或云以末行为主者非也
问古今厯术屡更其所用日法无一同者如以汉太初厯日法十有一外加四十九则如殷厯日法也若以太初日法二殷厯日法三再加五十八则如唐大衍厯日法也若太初日法十有四大衍日法二相并以比宋纪元厯日法仍少七十六若太初日法九十倍之即纪元日法其各数若干
法以正负列位
甲太初十一【正】殷七一【负】○ ○ 负四十九乙太初二【正】殷六三【正】大衍一【负】○ 负五十八丙太初十四【正】 ○ 大衍二【正】 纪元一【负】 负七十六丁太初九十【正】 ○ ○ 纪元一【负】 适足如右图太初厯横列皆满须用遍乗对减者三而后能减去太初之一色其余虽多空位自然有无减之对位相补不能省算
如法改列
以最多不空之太初列下爲第四位则殷厯居上而成有空位之方程矣
先如法以甲乙两行互乗减并殷厯各正十五对减尽大衍负一无减太初异并负三十五下数异并正二百○五【因异并故并从甲行之名而大衍在乙行与下数同名亦改负为正】
乃重列之【取出丙行与减余相对】
如法互乗减倂 大衍各正二对减尽 纪元负一无减 太初异倂得正八十四下数异并得负四百八十六
又重列之【以减余与丁行相对】
首位同名同数省互乗 纪元各负一对减尽 太初同减余六为法 负四百八十六无减为实法除实得八十一分为太初日法 以丁行太初九十乗其日法【八十一分】得七千二百九十分为纪元日法 以甲行太初十一乗其日法【八十一分】得八百九十一异加负四十九得九百四十分为殷厯日法 以乙行殷厯三乗日法【九百四十】得二千八百二十又太初二乗日法得【一百六十二】又异加负【五十八】共得三千○四十分为大衍日法
计开
殷厯日法 九百四十分
汉太初厯日法 八十一分
唐大衍厯日法 三千○四十分
宋纪元厯日法 七千二百九十分
又按列位之法原与省乗省算之法相生故共为一卷合观之可也今以六色无空者为例如后
问齐军千乗其陈有先驱申驱为前军有启与胠为两翼有戎车贰广为中军有大殿为后军各不知数但以前军居余陈七之三合两翼二广与殿多余陈四十乗合前军两翼与中后较则多二十乗前军合殿与翼中军较则少二十乗先驱大殿居与陈二之一而少五乗各若干
畣曰前军共三乗
内先驱一百四十乗
申驱一百六十乗
两翼共二百一十乗
内启与胠各一百○五乗
中军共三百乗
内戎车一百八十乗【帅】
贰广一百二十乗【副】
后军一百九十乗是为大殿
法以和较襍列位
有七之三二之一依变零为整以分母各乗而后列之
如法互乗减倂变为五色有空而重列之
空者偶也若不空亦俨然变为五色矣
前三行减余首位申驱皆空故不湏乗减但以末二行乗而减之减去申驱即变四色矣又以申驱数本同故不湏乗而竟以对减乃以四色法重列之四色无空法也虽有空而非首位不能省算与无空同
因首末两行之翼数皆倍于中两行故省互乗但以首末两行皆半之使其翼数齐同乃原数对减而变为三色又重列之
因次行末行戎车同但首行多于次行二之一故省互乗但以次行二分加一与首行对减其次行与末行竟以原数对减变为二色而重列之
贰广同故省互乗竟以对减尽 大殿异名并得五为法 车同名减余九百五十乗为实 法除实得一百九十乗为大殿车数 以大殿车数异加正五十乗共二百四十乗以贰广二除之得一百二十乗为二广车数【用末次右行数】 二乗大殿车数同减负二十乗戎车二除之得一百八十乗为戎车公卒数【用第四次三色中行数也】 二乗戎车异加正六十乗两翼二除之得二百一十乗为两翼共数【用第三次所列四色之次行】又半之即启与胠数 合计两翼【二百一十】戎车【一百八十】贰广【一百二十】共数【五百一十】同减负三十乗余【四百八十】以申驱三除之得一百六十乗为申驱数【用第二次所列五色之第四行】 合计申驱【一百六十】两翼【二百一十】戎车【一百八十】贰广【一百二十】共【六百七十】同减负十乗余【六百六十】又减去大殿二计【三百八十】余【二百八十】以先驱二除之得一百四十乗为先驱之数【用原列六色之第五行数】
试细攷之合计两翼【二百一十】戎路【一百八十】贰广【一百二十】大殿【一百九十】共七百乗合计先驱【一百四十】申驱【一百六十】共三百乗三七差分也故曰前军为余阵七之三
合计两翼【二百一十】贰广【一百二十】大殿【一百九十】共五百二十乗其余前军【共三百】戎路【一百八十】共四百八十乗故曰翼广殿多余阵四十乗
合计前军【共三百】两翼【二百一十】共五百一十乗以较中军【共三百】后殿【一百九十】共四百九十乗则多二十乗故正二十乗与前军翼同名
合计前军【三百】大殿【一百九十】共四百九十乗以较两翼【二百一十】中军【三百】共五百一十乗则少二十乗故负二十乗与前军殿异名合计先驱【一百四十】后殿【一百九十】共三百三十乗又合计申驱【一百六十】中军【三百】两翼【二百一十】共六百七十乗其二之一为三百三十五乗故曰先驱大殿居余阵二之一而少五乗【以全当其半而少五乗则以倍当其全而少十乗矣此与第一行皆变零为整详见带分条】总计之则千乗矣故以和数参焉
论曰此一例中能兼数法皆省算之捷诀也
其第二图五色变四色当有互乗减并者四次今以申驱空位省其三次此空位径求省算之法也其申驱偶尔数同径以对减与第五图二色之贰广数同径以对减皆省乗定法也但皆和较之襍故虽不乗必以较行首位之正负补于和数之行不然则减并误矣此要诀也
其第三图四色之首位偶有倍数故半其倍者以相从此亦省乗法也
其第四图三色之首位为三与二故加二为三是二加一也故其下皆二分加一则如遍乗矣然亦首位正负偶同也若不同者湏更其一行以同之首位虽同数又必同名然后可减而去之尤省乗之要诀
又论曰方程无空者常法也如第一图六色是也若不减并五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦能省乗然虽省乗不能省减并矣其有空位者偶然也如第二图五色有空是也空位多若更置列之所省尤多虽不更置而减倂之余自然能补其空亦可见方程之有常法矣
若更置之则自五色起如后图
因五色始有空也如此图则省六算 戎翼不空故更之下位后行不空者更之前行以先乗
正负列位
甲乙行如法减去申驱以其余四位重列之与丙行相对【一和一较也】
重列
如法减去贰广又重列之与丁行相对【皆较数也如后】
如法半减余数以从丁行乃对减而重列之与戊行相对【又以翼同故更置之】
上 中 下
如法径以对减余戎路五为法
倂得正负九百乗为实
法除实得戎路数
既得戎路数以次得余重之数
合问
又术以一图而为减并如后所列
依法先得戎路亦同但其间和较交变错然襍陈非深知猝不能了不如前术之为安穏明白也
歴算全书卷四十二
