第一节 同余运算
[一]
在易学中，我们讨论八卦的排列规律，首先想到的往往就是先天八卦的爻象对称排列，有了这种先入之见，我们自然会用先天八卦的规律来判断后天八卦的规律。
欲摆脱成见，我们必须引入新的思想来平等的定义先后天八卦的共同规律--众所周知，“圆”是一个形式与内容的完美的象征，它的构成只要满足下面两个条件中的任何一种就可以了。它们是：
条件一：在某个“环形物”中，而此“环形物”的边界上的任何一点距中心点的距离如果完全相等，那么，此物即为“圆”--具体地说：“圆”的直径处处相等。
我们如欲用某种分立的、离散的结构来模似一个“圆”，那么，只要满足此条件即可称之为“圆”--很显然，先天八卦和洛书是可以满足上述条件的。
在洛书的数阵中，无论是用哪一条直线〔即直径〕把三组离散的洛书数连起来，其直线上的数字和皆为“15”。故洛书是“圆”的一种数值模拟结构。
先天八卦也是一样，只是操作略有不同。我们知道，同一直径的两个半径，实际上是两个矢量，其绝对值〔模〕虽然相等〔等於半径r〕，但其极性却截然相反。若此二矢量相互作用，将会泯灭极性。先天八卦即有此特性：把两对待之卦相互作用，则各爻极性完全泯灭，所以先天八卦也是“圆”的一种符号模拟结构。
条件二：在某个“环状物”中，如果此“环状物”的边界是一种连续的光滑的过渡状态，即此物体的边界没有非连续性的凹凸出现，那么该物体就一定是“圆”，因“圆”边界处处光滑，比如，我们常见的“平面几何圆”的边界就是光滑无凹凸的。
后天八卦是用五行的连续相生来体现“条件二”的，故后天八卦也是一种“圆”的模拟结构，并且二八易位后的洛书也是一种满足条件二“模拟圆”。
[二]
大家可能会警惕地说，后天八卦的五行连续相生在八宫是非连续的过渡态，也就是说它是有破缺的；在形态上此处非凹即凸，它绝不是完美的模拟“圆”，因为它没有最彻底的对称性存在。
可问题是：虽然先天八卦以一种局域对称的形式来模拟了“圆”，但是，如果反过来用“条件二”中的规则来要求先天八卦，先天八卦也会明显地出现破缺--即先天八卦的男女长幼秩序是不光滑的、非连续性的，它在“震、巽”二卦上有了破缺，正如我们在《理部·第一章》所见到的那样。
如果我们在实践运用中只采用后天八卦〔或先天八卦〕这一种机制来操作的话，是肯定不行的。比如，在卜筮中对某种事物作出吉凶判断，一般都是用后天的五行生克的“旺、相、休、囚”来决定的，但纯粹的五行生克能否完全描述事物吉凶是肯定不完全的，故后天逻辑在分析事物吉凶中的不完全是可用先天数理逻辑来补救的--这就是我们需要引入“刑、冲、合、害”的由来。
学易的人都知道，“刑、冲、合、害”是一种超越五行生克的运算规则；也就是说“刑、冲、合、害”规则同五行生克规则没有联系，它是对五行生克规则的补充，其原理来自於先天八卦的数理思维。
现在，我们想问的是：作为与五行生克对待的补充性的运算规则应有多少种才合理呢？根据在前文中提到的公理极限原理，作者认为一共得有五种，即：刑、冲、合、害、比。此五种地支中的相互作用的运算规则，我们称之为“肆互壹局”，即“肆互”--互刑、互冲、互合、互害；“壹局”--比和之局。
我们说肆互壹局是一种先天数理化逻辑运算规则，这一结论是完全可以从数理化的运算规则中得到证明的。
冲--
在《六壬大全》有云：“冲者动也，格也。其法以十二支环列，阴阳各相为冲。凡冲主动移，反复不宁。”六冲配洛书图如下：
[图，地支六冲与洛书]
地支六冲用加法运算可得：
子午相冲→1+9＝10
丑未相冲→8+2＝10
寅申相冲→8+2＝10
卯酉相冲→3+7＝10
辰戍相冲→4+6＝10
巳亥相冲→4+6＝10
六冲相加俱化“10”，相当于化“零”〔即以10为模同余0〕。“10”为中宫之数。也就是说，两支互冲之后，两支都进入了中宫而“消失”“空亡”，也即两支相互格斗而“散”。作为八卦的整数化二维坐标图洛书来说，中宫之数“5”、“10”和“零”是等价的，它们都代表坐标的中心原点。六冲所化之数同余“零”，“零者”气散之象，泯灭之象。此外，六冲在此几何图中是旋转对称之象；象数俱对称，故具有共同的“格斗”、“中和”的性质。
合--
六合指两种阴阳和五行所属都不相同的地支相互合二为一，此地支六合关系可以用图5.2示之。
[图，地支六合与洛书]
地支六合有很多平行线，是“平行对称性”的体现，而能够满足“平行对称性”的各种组合之间是平行等价关系。其等价的作用量，须先将二数相乘，然后求同余：
子丑合→1x8＝8 →化8
寅亥合→8x6＝48 →化8
卯戌合→3x6＝18 →化8
辰酉合→4x7＝28 →化8
巳申合→4x2＝8 →化8
午未合→9x2＝18 →化8
六合用洛书数相乘化“8”〔即以“10”为模同余“8”〕，“8”为艮八宫生门之数，而艮八宫是后天八卦的奇点，奇点有“自我相关、自我缠绕、合二为一”之义，故称相合。又生门为创生之门，吉由此生，凶亦由此生，故卜筮中喜事宜合，越合越好；凶事忌合，合则经久难散。
天干也有相合现象。由於天干与地支是对立的逻辑系统，故其化合的几何形式与地支的化合形式相对立，即天干以“对冲为合”。见图。
[图，天干之六合与六冲]
图注：1甲己相合、乙庚相合、丙辛相合、丁壬相合、戊癸相合；2在图表，甲戊同体为自我相关、合二为一，而甲庚、乙辛、丙辰、丁癸之相互作用与此相同，照理也应当是相合，但恰恰相反，而为相冲；反之亦然。3图中天干连线上俱有一组相冲，唯“戊、己”两干没有对冲--左图“甲戊”同体，右图“己、辛”同宫，这是由“戊、己”在“二、八”宫之奇性所造成的。
对於天干系统与地支系统的对立性，看来古人是有深刻理解的。如在六爻纳甲中的地支运算，四季与爻的旺衰关系是：同我者旺，我生为相，我克者为死，克我者休，生我者囚。如春季为木，逢木支为旺，逢火支为相，逢土支为死，逢金支为休，逢水支为囚。见图。
[图，五行旺衰表]
而奇门遁甲“九星”的旺衰正如与上述规定相反，却是：我生者旺，同我者相，生我者死，我克者囚，克者我囚。
[图，九星之旺衰]
这种不同的规定就是对立逻辑所造成的。
害--
害者，阻害、妨害之义。它与合不同，合是指两物体相互合在一起，而害则是指两量相互妨害。其义与合相反，其数理表现也不同，它与相合是相互垂直的。见图。
[图，六害与洛书]
图注：如果我们从更深的层去理解，相害也是一种“相合”。六合化艮八宫生门之数，六害化坤二宫死门之数，“阳之所生，阴之所死；阴之所生，阴之所死”。所谓生和死并不是极性的泯灭，而是纯阳和纯阴两种极性的转换。真正的极性泯灭是冲，故古以合与冲互相对立，而不是合与害对立。易学逻辑为扶阳抑阴的阳手征，故取化生门之数的组合关系为相合，而化死门之数的相互关系为相害。严格地讲六合是合在一起滋生阳气而疏泄阴气，六害是合在一起疏泄阳气而滋生阴气。故害也可称之为“畸合”。
相害也是一组平行对称图。依数理析之：
[图]
子未相害→1x2＝ 2 →化2
丑午相害→8x9＝72 →化2
寅己相害→8x4＝32 →化2
卯辰相害→3x4＝12 →化2
申亥相害→2x6＝12 →化2
酉戌相害→7x6＝42 →化2
相害同化坤二宫死门之数，故为“妨害”。
从人类的功利观点出发，吉爻宜合不宜害，凶爻宜害而不宜合。六合和六害若逢冲，其生死之合俱散。
刑--
刑者伤也，残也。地支中的两刑只有子卯无礼之刑，三刑有巳申寅恃势之刑，丑戊未无恩之刑。此外还有辰午酉亥自相刑。
根据对称性原理，两刑除了子卯相刑之外，还应当有五对相刑，共凑成六刑，如图所示。
[图，地支之“六刑”]
为什么只取“子卯相刑”而不取“丑寅相刑、亥辰相刑、戌巳相刑、酉午相刑”及“申未相刑”呢？这得从自洽条件定则说起。
我们把肆互壹局看成是一种完备的运算体系，也就是说，肆互壹局可以把地支中所有超越五行生克的相互作用关系全部补充完备。
肆互壹局自身实际上也是一种“五行自洽系统”，在本篇第一章里我们已经指出了这个道理。既然肆互壹局被看成是自洽的，那么此系统内部一定会有“遁甲现象”，即系统中的某种运算规则的数理来由很难用一种特定的逻辑解释彻底--在五行生克中是木和土，而在肆互壹局里则是刑和比，其中刑的奇性是由比带来的。
所谓比，即指比肩、比和。如寅与寅，申与申、巳与巳等都称比。因此我们可以把“相比”看成是一种“得中”的五行关系。
从某种意义上来讲，“相比”不是五行运算--它既不能用五行的相生、相克来解释，又不能通过洛书数理运算来解释。很显然，元素之间的运算出现了的“相比”，就等于是出现了某种“自我相关”关系。
“相比”欲成为一种真正的五行运算，必须通过中道极化原理分化成两种对立的地支运算规则--三刑和三合局，肆互壹局的奇性就是由此引出的。
我们已得知，四种相互作用关系是不可能形成一个自洽系统的，换言之，四种相互作用关系不够，但如果引进第五种相互作用又会显得过多，且奇性因此而出现。
我们可以用前文中的根号矩形来作比方。假定我们手中基本的“ 、 、 、 、 矩形”，我们欲用此四种矩形来构成无限多种连续变化的任一矩形，但肯定不够。我们可以增添第五个根号矩形〔 〕来补充，但这样一来，根号矩形就会显得多了，并且最奇怪的事必定会发生：由於引进了 矩形，於是在 中有了“五行”中的黄金分割所带来的奇性，第四种根号矩形〔 〕就得换成黄金矩形才能完备自洽。於是你的完备的自洽的矩形就变成了 矩形、 矩形、 矩形、黄金矩形、 矩形。
故此逻辑理论中的四种就变成了五种。但我们却说：黄金矩形是 矩形的替身，在模拟无限种矩形时，有时是 、 、 和黄金矩；有时是 矩形、 矩形、 矩形和 矩形，这就是说，你得有五个矩形，而在具体使用中你只用四个就够了。黄金矩和 矩形的关系就相当於甲戊同体或曰甲遁於戊。可用下图示意：
[图，基本矩形与出入互补]
这个比方，我们可以借来理解四五壹局中刑与比之间的关系。
我们知道，在冲、合、害、刑中，互冲、互害、互合各是六组，且数理上的来由也基本相同，互刑虽也可以组成六组，但数理规律不一致，如下：
丑寅刑→8x8＝64 →化4〔杜门数〕
子卯刑→1x3＝3 →化3〔伤门数〕
亥辰刑→6x4＝24 →化4〔杜门数〕
戌巳刑→6x4＝24 →化4〔杜门数〕
酉午刑→7x9＝63 →化3〔伤门数〕
申未刑→2x2＝ 4 →化4〔杜门数〕
而比肩本身无法断定它是一种什么性质的运算，故比肩可由中道极化成两种运算规则：一种是三合化局，一种是“三刑”〔包括巳申寅恃势之刑、丑戌未无恩之刑、辰午酉亥自相刑〕用三刑代替了所谓的“寅丑、亥辰、戌巳、酉午、申未”之类的两两相刑。三刑和三合化局似乎不遵守“肆互”的数理规则：三刑是数理的变异之数，而三合局是几何三角式作用力关系的取用。且三合局即为“比和”之义，它是指三个地支放在一起相互作用，就可以把三个地支看成是一个地支，或曰“合三为一”。
比局〔即三合化局〕就好比是 矩形，把它引入就导致了两两相刑的变化。当然，相刑现在还是两两相刑的一种，而比局却有三合局，因此欲有“得中”之性，必得有一种东西同它相对立，它就是三刑。刑者，道不同必相异、必相残之意，与三合局之合意正相反。有了三刑组合之后，两两相刑的组合就如同 矩形一样被替代，只是此处是用三刑来替代两两相刑组合。这时，两两相刑只剩下子卯相刑一组，於是奇性被消除，自洽系统得以建立，肆互壹局的真实面孔即成了这种重组关系。
肆互壹局之间的转化关系可用图示意。
[图，肆互壹局出入互补]
三合局--
三合局也是一组旋转对称的正三角形，见图。
[图，三合局与洛书]
三合局可以看成三个作用力的合力，而在力学中，正三角形是最稳定的合力。而所合成三局的五行属性之所以相当於四正的属性是由於四正之支“气纯”，而四隅之支“气杂”。四正之卦有一支，故气纯，四隅之卦各配两支故其气杂。
三合局除了可以用唯象的手法解释外，还有数理上的规律：
申子辰合水→2x4x1＝8→化8宫
寅午戌合火→8x9x6＝432 →化2宫
亥卯未合木→6x3x2＝36 →化6宫
巳酉丑合金→4x8x7＝224 →化4宫
上面三合局之化数所在之宫之五行与各局的五行不同，这是有原因的。我们在前面的运算可以看出，能够形成有对称规律的化数只有四个，即“2、4、6、8”。这是为什么？这是因为数理运算属於先天逻辑；先天逻辑中的木火金水居四正，土在中宫，而土干戊己的数理运算要寄宫之后才得以实现，所以先天之数理运算只有四种，即金木水火。
六冲、六合、六害里有三种运算结果：六冲进入中宫，六合和六害进入二八宫，中宫为未分化的原始奇点，二八宫为分化之后的奇点，所以六冲、六合、六害里不存在着什么五行化数的区别，古人虽有子丑合化土、寅亥合化木、卯戌合化火、辰酉合化金、巳申合化水、午未为太阳太阴之说，但在具体运用中却形同虚设，从来没有人去真正理会它。这本来就是一种错误的拼凑，换言之六合的地支之间根本不存在着什么五行的区别。
三合局则不同，四土支已经分别寄入了四个合局，四个合局是有五行区别的，也就是说个四合局是典型的先天数理关系；而后天八卦的宫位本身体现不出先天数理关系，它只体现在太乙进位后的太乙八卦的宫位上。太乙宫位为什么有先天数理关系呢？因为先天奇点为震卦，后天奇点为艮卦，太乙八卦左旋一宫，艮卦进入震宫，艮震之宫位合一，故有了先天之数理关系。
明白此理之后，三合局之化数〔即移宫〕就好理解了。
申子辰合局，化“8”宫之数，太乙宫位八宫为坎，为水局；
寅午戌合局，化“2”宫之数，太乙式宫位二宫为离，为火局。
亥卯未合局化“6”宫之数，巳酉丑化“4”宫之数。太乙宫位里“6”宫为乾为金，“4”宫为震为木，金木之局正好相反，这是为什么呢？
这是因为震木为奇点，必须反相颠倒方能保证其逻辑的一致性，故四六宫之五行互换方可吻合四个合局之五行，这一原则将贯穿在本书整个数理分析之中。我们在“三会局”和四柱神煞的取用中可看到这一原则的应用。
三会局--
[图，三会局与洛书]
亥子丑会水局→6x1x8＝48 →化8宫为水行
巳午未会火局→4x9x2＝72 →化2宫为火行
寅卯辰会木局→8x3x4＝96 →化6宫为金行
申酉戌会金局→2x7x6＝84 →化4宫为木行
三会局之化数与三合局全部相同，也是金木局需反相方可一一对应〔肆互壹局的数理规律在下文中的“复数散阵”有进一步的说明〕。
三刑--
如果把三刑的相互作用全部配到洛书中，可以得到一个诡异的对称图象见图。
[图，三刑与洛书]
从此图可以看出，三刑的相互作用是以二八宫为对称轴形成的对称图，每一个三支相刑各支，再加上子卯刑和自刑，则把十二地支全部刑完，故三刑是三合局的反动。
三支相刑的各支主要集中在二八宫，这是有原因的。一则，二八宫是奇点之宫，奇点处被搅动就会引起整个局势的强烈反响；二则，其化数也有规律：
巳申寅三刑→8x4x2＝64 →化4
丑戌未三刑→8x6x2＝96 →化6
太乙宫位中“4”宫为震卦，“6”宫为兑卦，如果震兑归位，则震为伤门，兑为惊门，故它们俱有刑伤之象。
[二]
八卦对冲--
肆互壹局中的数理规律，因其属先天逻辑，故我们可以再用先天八卦去分析。
我们前面已提到，地支之六冲俱化中宫之数“10”或是“零”，这在后天八卦中是看不出这种“化中宫”的迹象的。若在先天八卦里则十分明显了。因为先天八卦对待之卦各爻极性全部相反〔 对 、 对 、 对 、 对 〕，相互作用时阴阳极性全部泯灭变成中和“零态”。阴阳极性泯灭，意味着没有信息出入，处於死寂状态。也可认为两卦对冲后离开了八宫而进入中宫，从而消失，灭亡，“冲散”。
八卦之合--
先天八卦相合，我们可以仿六合六害之法作出下图：
[图，先天八卦的相合关系]
八卦之合有四组：震坤相合，离艮相合，兑坎相合，乾巽相合。它们的化数也是“8”；换言之，是奇点震卦，为创生之象。从卦象上看，的确也有合而为一的自我相关之象。
我们知道，两个卦相互作用就会各自产生变化，而八卦之变是从初爻变起的。相合之卦都有一个共同特点：上两爻全同，而初爻相异。若各卦初爻阴阳极性发生变化，便会马上变为相合之卦。以坤震相合为例：
震卦之初爻由阳变阴即成坤卦；坤卦之初爻由阴变阳即成震卦 。
余可类推。
此外，地支六合中巳申合被称为“刑合”；为什么它既刑又合？这是有原由的，因为四隅之卦都配上了两个地支，从地支的角度看，地支似乎是十二个量，而从八卦的角度看，却只允许有八个量，只不过是四隅各卦分别被配上了两个地支。如果地支六合按八个量构成对称图，则“巳申”相合和“寅亥相合”便会出现不协调的杂音，见图：
[图，巳申刑合与洛书]
从十二地支各自分立的角度看，巳申、寅亥是标准的相合，即数理相合图像也相平行；而从八卦分立的角度看，巳申、寅亥数理相合而图像产生了歧变。所以，真正的刑合应当包括“巳申”刑合和“寅亥”刑合。由此我们可以得知，巳申寅为恃势之刑就不难理解了--恃什么势？恃的是相合之势也。
从卦理上分析“巳申寅”为三刑，“寅亥申”也应当为三刑。但三刑是对三合局的反动，是“歧异之象”，每支只取一次，故不可滥推。
八卦相害--
按地支六害的规律，先天八卦也有相害之象，包括兑离相害、乾震相害、巽坤相害、地艮相害。
[图，先天八卦与相害]
图注：在先天八卦里，卦之相合是阴阳两个阵营之间的关系〔即一、二、三、四与五、六、七、八之间相合〕；而相害则是自家阵营之间〔即一、二、三、四内部和五、六、七、八内部〕的关系。
八卦相害也有一个共同特征：上两爻极性相反，而初爻极性相同。相害之卦相互作用，则初爻最先产生变化，初爻一变，相害之卦则变成对冲之卦。以兑离二卦为例：
兑初爻变即成坎，与离对冲；
离初爻变即成艮，与兑对冲。
余可类推。
在此还要讨论一个问题：肆互壹局的组合是否具有唯一性？
三合局和六冲具有组合的唯一性自不必说，三刑是由奇性带来的组合，并不具有唯一性，这是奇点性质所给予的，但六合六害是否有唯一性呢？
十二地支的平行组合还有两组，见图。
[图，其他的地支之平行组合]
从洛书之化数可知，这两组相互关系有不一致之缺陷：
子乘亥→1x6＝6 →化6
丑乘戌→8x6＝48 →化8 →歧异
寅乘酉→8x7＝56 →化6
卯乘申→3x2＝6 →化6
辰乘未→4x2＝8 →化8 →歧异
巳乘午→4x9＝36 →化6
上述算式中，辰戌丑未之化数歧异，丑戌未土为三刑即由此而出。
寅乘卯→8x3＝24→化4
丑乘辰→8x4＝32→化2 →歧异
子乘巳→1x4＝4 →化4
亥乘午→6x9＝54 →化4
戌乘未→6x2＝12 →化2 →歧异
酉乘申→7x2＝14 →化4
此组乘式中，也是辰戌丑未为歧异之数。辰戌丑未本为中土，地支中分列於木火土金之四季，故多有歧异之性。
从上面的分析我们可以看出，肆互壹局的组合是严密的逻辑的产物。
[三]
肆互壹局各自的等价是建筑在象的平行对称等价和数的同余等价之上的。这一计算方法并不偶然，因为“同余”本是易学最根本、也是最常用的计算方法。
同余式属于数论中的不定分析，据刘钝氏的研究：它的起源就是《周易》和古代的制历。现将刘钝氏的论述引用于下：
同余概念的一个来源是《周易》中的占筮方法。关于这一方法的细节，历代学者解说不一，但本质上都是反复将一定数目的蓍草或筮策均分后剔除所余，以期求得事先约定好的与爻符对应的数字。现在我们采用多数易学著作对《系辞传上》“大衍之数”一节的解释，具体说明这一过程：
“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于仂以象闰，五岁再闰，故再仂而后挂→是故四营而成易，十有八变而成卦。”
蓍策总数为50根，去其一以象征太极，实际用于占筮的是49根，故称“大衍之数五十，其用四十有九。”随意将49根蓍策分成两堆分置案面左右，象征太极生两仪，故称“分而为二以象两”；然后从左边一堆蓍策中取出一根仂在左手四、五指间，称为“挂一以象三”，象征造分天地后又生出人，合为三才；继而将左、右两堆蓍策每4个为一组地数出，这叫做“揲之以四以象四时”，象征一年中四季的运行；左、右两堆所剩蓍策之数称为“奇数”，“奇数”必为1、2、3、4四个数字之一，将它们仂在左手三、四指间，称为“归奇于仂以象闰”，象征闰日；左、右两“奇”各“ 仂 “一次，则附会古历五年置二闰月的制度，故称”五岁再闰，故再仂而后挂“。以上过程称为一变，包括”分二“、”挂一“、”揲四“、”归奇“四个步骤，故曰”四营而成易“，”易“就是变化的意思。经此一变，左手上所仂策数非5即9，案面则还剩44或40根蓍策参与二变。
何以一变后左手所仂数目非5即9呢？这里暗用了同余式的一个重要性质：
若a≡r1〔mod m〕，b≡r2〔mod m〕，
则a+b≡r1+r2〔mod m〕
在以上一变过程中，a、b分别代表”挂一“后左、右两堆的策数，a+b≡48，r1、r2分别代表两次”归奇“的策数，m=4，因此有
r1+r2≡48〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
这表明r1+r2是4的倍数，又因为每一”奇数“必为1、2、3、4四个数字之一，所以两次”归奇“的总数等于4或8；再加上先前的”挂一“，一变后左手所仂策数必为5或9，而所乘策数为44或40。
从第二变起不再”挂一“，经过”分二“、”揲四“、”归奇“三个步骤，可得
r1+r2≡44〔mod 4〕≡40〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
同理可知二变”归奇“的总数等于4或8，将它们仂 于左手二、三指间，则案面所乘参与三变的策数必为以下三者之一：44－4＝40，44－8＝40－4＝36，40－8＝32。
仿此，在三变中”归奇“之数有
r1+r2≡40≡36≡32≡0〔mod 4〕
总数也应等于4或8，仂于左手一、二指间。此时左手所仂策数最多为25，案面所剩策数则为以下四者之一：40－4＝36，40－8＝36－4＝32，36－8＝32－4＝28，32－8＝24。
以上四数俱为4的倍数，以4来除商数分别是9、8、7、6。三变的目的就在于获得这四个数字之一；其中9、7对应于阳，8、6对应于阴，三变占得一爻。同样的程序重复六次即得一卦，故曰”十有八变而成卦“。这就是《周易》筮法的成卦过程。十分显然，这一方法的创造者是具有原始形态的同余概念并通晓其某些性质的。
由于《周易》在中国古代文化中的特殊地位，其筮法受到力图借数学”通神明、顺性命“的数学家的重视就不足为奇了。高度机械化的成卦过程是否对中国古算产生影响姑且不论，仅就同余概念的发展布而言，《周易》确实是一个重要的来源。秦九韶不但将自己最得意的成果命名为”大衍求一术“，而且借着卦发微题引进一个不同于《周易》筮法的占筮程序就是一个明证。〔刘纯《大哉言数》辽宁教育出版社〕
……
同余概念的另一个来源是古代制定历法的需要。古代历家根据长期的观测记录，已能推算日、月、五星的运动周期并由此规定各自的起点，例如回归年即以冬至时刻为起点，朔望月即以平均合朔时刻为起点，而干支记日则以甲子日夜半零时为起点，它们一般并不同时。为了推算上的方便，古代历家引进了一个叫做上元的概念，即假定远古某一时刻各种天文周期恰好处于同一个起点上，这一起点就是上元。自上元到本年经过的年数叫做上元积年，在测得本年相关周期的起点后求上元积年的问题，就是一个解同余式组的问题。例如已知a为回归年日数、r1为本年冬至距其前一个甲子日零时的时间、b为朔望月日数、r2为冬至距前一个平朔的时间，那么上元积年x满足下面的一次同余式组
ax≡r1〔mod 60〕≡r2〔mod b〕
实际计算中要对上式中的a、b、r1、r2进行通分以使所有数字化为整数。如果再假定月球的近地点和升交点以及五星运动周期的起点均在上元，那么上元积年的计算就要考虑更多的同余式。
这一结论得到了历代史志和天文学史研究的支持。新近的研究表明，早在西汉末年刘歆编制《三统历》的时候就已引入了上元的概念，并实际计算了《三统历》和古四分历的上元积年数据，其计算过程有赖于一类特定的一次不定方程或同余式组的求解。东汉刘洪的《乾象历》首先将上元积年数据列为历法第一条：“上元乙巳以来至建安十一年〔206〕丙戌岁，积七千三百七十八年。”以甲子为上元则始于西晋刘智的《正历》：“推甲子为上元，至泰始十年〔274〕，岁在甲午，九万七千四百一十一岁，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星纪，得元首之端。”其后王朔之《通历》、后秦姜岌之《三纪甲子元历》都有关于甲子上元的记载，而祖冲之的《大明历》更是在考虑了9个同余关系的基础上计算出上元积年来的。因此成书于南北朝时代的《孙子算经》中的物不知数问题，绝不会是作者向壁虚构的智力游戏，而很有可能是对当时历家推算上元积年问题的数字概括。
从刘歆直到元代郭守敬以前，中国的历家往往把毕生心血倾注在上元积年的推算上，埋头于各种天文周期的测验；因而从某种程度上来讲，一部中国古代的历法史，几乎就是上元积年的演算史。与此密切相关的一次同余式组的理论和算法，就是在这种背景下发展起来的。
其实，同余计算在易学中很常见，因为只要是周期性循环的运算，大都要应用到同余，而易学特别是术数部类中的周期性循环计算和操作特别多，几乎每一术数分支都是以同余运算为基本运算方法，甚至可以说离开了同余运算，此分支就不复存在。诸如六十甲子、六十纳音、四柱中的起大小运和星神取用、奇门遁甲的飞宫、三元地理的飞星、六爻的配六兽，大六壬的起课，紫微斗数的排宫，等等等等，无一不运用同余计算。例如六十甲子就是两种同余计算的组合，天干是以10为模求余，地支是以12为模求余。此外，梅花易数的数字起卦法，也是以8为模求余，而求动爻之法，则是以6为模求余。
第二节复数散阵
[一]
洛书数不是孤立的三阶幻方和数阵，我们还可以运用一种“相反极性”的逻辑来重新理解洛书的“平行对称性”和“平行等价性”。
若要利用“相反极性”的数理模型给洛书建立一种新的解释方法，还必须遵循两条原则：
1、新的数理模型必须同洛书是处於同一层次的数理模型；因为洛书是最简幻方，故新模型也必须是某种最简的数理模型。
2、由于“相反极性”的逻辑有相反的手征性，故新数理模型必须进行手征性反相。
在此，我们建立的最简“复数散阵”则是满足上述条件的“新洛书方阵”。
我们已经知道：八卦本是圆上的八个矢量，故八卦图实际上是一种平面复数的坐标图，其坐标原点是圆心〔即中宫〕，洛书则是用正整数模拟圆的一个坐标方阵。但是，现在我们可以更直接地用复数平面坐标图来标示此图：
[图，复数平面坐标图]
图注：此图左东右西、下北上南。我们之所以用横轴表虚数而纵轴表实数，下、左为正而上、右为负，是根据上述原则来予以手征性反相的。此外，复数的排列也严格按照坐标图实部和虚部的实际顺序排列，也没有按照西方数学中强行规定的左实右虚的排列方式。这一手征性的反相，是东西方文化比较学中被人忽视但至关重要的一环，结论之正误往往因此而导出。
上图排入九宫格，即成“复数散阵”：
[图，复数散阵]
此图亦有若干与洛书相同的性质：
1、过中宫之连线上的三数之和相等，具有圆之象；
2、冲、合、害和其他类似的运算之得数与洛书相同，而且更直截了当。
我们按这两条性质一一分析。
相冲--
[图]
相冲之化数直接等於中宫之数。它意味着中宫之数“五”与“零”等价。
相合--
[图]
相合也直接计算出了八宫之数。
相害--
相害俱直接得“2”宫之数。
子卯相刑--
[图]
子卯刑得伤门之数。
其他化数--
[图]
上述运算不仅可以直接求出所化之宫数，而且在多项式的计算过程，连交换律都无须使用，可以直接计算出各宫数的原貌。洛书三合局和三会局之计算，还要通过太乙宫位的转换，而复数散阵却可以直接计算出所对应之宫。
三合局--
申子辰合水局：
[图]
震兑二宫反相，则各局化数与宫位吻合。
三会局--
亥子丑会水局：
[图]
奇点之震兑二宫互换，则其化数与会局五行吻合。
上面是按八个矢量〔即八卦〕计算的，下面我们还要进一步从十二地支的角度予以考察。我们认为，从数理的角度考察，十二地支是对於复数散阵的一种模拟。我们的理由是：
一、十二地支是一群模棱两可的单元；它们似乎是十二个矢量，可以指代十二月、十二时辰、十二经脉等，但它们又似乎是八个矢量，其中四隅各自以两支合成一个矢量〔卦〕而指代西南方、东南方，西北方、东北方，十二支一共只指代八方。这一点与复数之性质相同，因为四隅之 、 、 ， 既是一个数，又像是两个数。
二、如果把复数散阵里的八个数看成是十二个数，配上十二地支可得下图：
[图，复数散阵与十二地支]
肆互壹局中若干计算和歧异现象都可从此得到直接显现：
六冲--
[图]
诸对冲之支所配之数相加全部等於零，为中宫之数。读者可自行计算。
六合--
[图]
子丑合
寅亥合 →歧异
卯戌合
辰酉合
巳申合 →歧异
午未合
上述乘积俱得 ，可以认为是丑支或艮宫之数〔丑艮俱为土〕，其中唯有巳申合、寅亥合歧异，其积是复数散阵中没有的数，故为“刑合”。这里之所以认为是丑支之数，当然还要与前面的计算合参，这也是易学整体性理论的特点，不能孤立地看问题。
六害--
[图]
酉戌害
申亥害 →歧异
子未害
丑午害
寅巳害 →歧异
卯辰害
六害之化数为 ，可以认为是未支或坤宫之数〔坤宫与未支俱属土〕，唯寅亥、巳申之化数歧异。巳申、寅亥之刑合以及巳申寅三刑之特异之象由此可以得到直接的证明。
子卯相刑--
[图]
三合局与三会局--
[图]
申子辰合水→一宫数之一半
寅午戌合火→九宫数之一半
亥卯未合木→七宫数之一半
巳酉丑合金→三宫数之一半
我们在地支式的运算中，四隅之数都只取了一半，故化数也为各宫数的一半。
再看三会局：
[图]
亥子丑合水→一宫数之一半
寅亥戌合火→九宫数之一半
亥卯未合木→七宫数之一半
巳酉丑合金→三宫数之一半
上述各种运算，无一不与肆互壹局的相互作用之化宫数相吻合。
其他平行对称图中的化合关系--
1、一六宫连线之平行图：
[图]
子亥乘
丑戌乘 →歧异
寅酉乘
卯申乘
辰未乘 →歧异
巳午乘
此平行图中，唯丑戌乘和辰未乘之积歧异，正与洛书计算及完整的复数相乘之结果相同。此外，其共同之乘积可视为亥支之数，为乾宫属金，但此宫无属金的地支，这也是此组的相互关系不被“肆互壹局”选用的原因之一。
2、三八宫连线之平行图：
[图]
寅卯乘
丑辰乘 →歧异之数
子巳乘
亥午乘
戌未乘 →歧异之数
酉申乘
此组乘积中，也是丑辰、戌未之积化歧异之数。这两组乘积也证明了丑戌未三刑的歧异的数理性质。此外，此化数也可以认为是巳支之数，巳为火而巽宫为木，五行不同，这也是此组相互作用不入肆互壹局的原因之一。
结论，从上面七种分析比较，可看出十二地支之特性与复数散阵中的十二个“数码”的特性如此吻合，不可能用偶合来解释。我们认为，十二地支数目的安排规定，不仅是对物理世界中自然现象〔如一年有十二个月、人体的十二经脉等等〕的简单模拟，而且是有更深刻的数理本原。
[五]
我们还要进一步探讨：为什么洛书被称之为乘除之原？为什么六合、六害的相互作用能够用乘法求余表达？为什么六冲的相互作用却要用加法？这几种计算方法有何深刻的内涵？这些“原问题”若不彻底解决，是不能证明“化数原则”〔同余计算〕的正确性的，充其量只是证明了古人是这么计算的，而没有说明为什么要这么计算，仍然是知其然而不知其所以然！。
这些问题，我们可以从两种洛书的等价模式中得到启发和解释。
一、洛书的平面坐标作用。
洛书是一种特定的非线性平面坐标系统。从本质上讲，八卦是八个最简单的离散系，是八个矢变量，因此任何事物的任何变化只能固定在坐标图的八个矢量加上坐标原点的九个点〔即九宫〕上，换言之，这九个点是万事万物的运动轨迹--即，地支与地支、天干与天干、天干与地支、八卦与八卦相互作用产生的新矢量，也只能在此八个矢量位置加上原点九个位置上跃跹，而不能逃逸到九个点之外去。
或问：为什么八卦可以相互转化？
因为八个矢量的绝对值〔在复数中称为“模”〕是等价的，它们都等价於圆半径r，也可以说是等价於单位“1”，仅仅是各自的极性不同或曰在复数平面上的幅角 〔指矢量与正实轴的夹角〕不同。这正是离散系的基本特征。这八个矢量虽然极性不同，但又是旋转对称性的。我们知道：在物理学上的对称不仅仅指几何图形上的对称，而且指各对称单元可以协变出某种等价的值。由於八卦是一种高度抽象的数理模式，故同时有形和数的两种对称性显示。前文中肆互壹局的分析中，仅有平行图象而无等价的协变量，或仅是有等价的协变量而无平行图象都够不上对称的标准。
又问：为什么洛书被称为乘除之原？
因为洛书八宫表示的是八个绝对值都等於圆半径或的值，“1”和“1”相乘或相除仍然是“1”，其绝对值不变，唯幅角发生改变，所以在洛书运算中必须用是乘法；为什么洛书乘法所得之积只留下尾数〔即西方数学中的以“10”为模的“同余数”〕？因为洛书九个数并不代表矢量的绝对值，只表示矢量的方向、极性和宫位，所以只留尾数就够了；其同余尾数能否正确反映矢量的实际方向呢？前文我们已有初步证明，下文中将进一步彻底证明。
为什么某些特殊情况下要改用加法呢？因为乘法永远得不出“5”或“零”，即反映不出八卦跃跹进入中宫，所以要改用加法。这种加法是否能够正确反映八卦的真实运动状态，也是我们所要证明的。
二、八卦的相互作用的洛书运算。
八卦系统各矢量的相互作用只有两种情况，第一种，相互作用之矢量处於同一直径上，即两矢量的连线过中宫，第二种，不过中宫即两矢量不在同一直线上。
试分别讨论。
对待之宫的相互作用--
当两卦或两地支处於过原点的同一直径上时，两矢量之模相等而极性截然相反，此二矢量若相互作用，则阴阳极性抵消泯灭，处於中性状态，用力学的观点是其合力为零。在力学中是用求代数和的方法计算合力的，以乾卦与坤卦相互作用为例，在复数散阵中是〔+1〕+〔-1〕＝0，在洛书中为1+9＝10，此两种计算方法等价。
由此我们也可悟出，所谓八卦入中宫，实际上并没有入中宫，只是其合力等於零，其作用点在中宫上，见图。
[图]
为了简化运算规则，洛书计算可全部换成乘法，只要补充一条：凡连线过中宫者必须乘上中宫之数；因为任何正整数乘以5，其积不为10 即为5，仍然是中宫之数而等价於零。我们在以后的计算中即采用此法。
非对待之宫相互作用--
[图]
两矢量不处於同一直径上而相互作用时，它们的模数相等，唯方向不同，但又不是截然相反，仅有偏角的差别。我们不能用加法，因为按照复数的加法法则，其和用几何表示法时表现为此二矢量所构成的平行四边形之对角线。以一八宫相加为例，见图。
[图]
oa为一宫之矢量，ob为八宫之矢量，其和为：
oa+ob=oc
矢量■已不在八宫之上，亦即不在八卦系统之内，没有任何意义。故此种情况下加法运算没有任何理论和实践意义。
八卦系统两个矢量的相互作用就好比同一罗盘上两枚磁针相互作用，只会造成磁针的旋转而不会逃逸到罗盘之外或缩到罗盘之内去。
而乘法则不然，我们说过，洛书或复数散阵内两矢量相乘，且绝对值永远等於“1”，仅方向发生改变，就像上面说的磁针。复数的乘法还有一种几何表示法，两复数的乘积之模数〔即绝对值〕等於它们的模数之乘积，且幅角〔指x轴的正方向与此矢量之间的夹角〕相加。见图表118。
[图]
复数相乘本来就有旋转之义，由於此八个矢量之模均等於“ 1 “，故其乘积就只可能在太极图的圆周上旋转；又由於相邻两矢量之间的夹角均为 45°〔记为 〕，故两矢量相乘之积必定准确地落在八卦原有的八个固定位置之上。换言之，两矢变量相乘，其模〔绝对值〕不变，仅产生移宫现象。例如： 乘以 〔即六三宫相乘〕时，积之模数〔1x1＝1〕不变，而幅角 则有：
换成洛书相乘法就是：
6x3＝18→化8
换成复数散阵相乘法就是：
[图]
由此可证，通过洛书数的乘法运算，可以正确而简捷地反映八卦系统内部的相互作用关系。虽然洛书的计算有不直观之处，我们仍可以通过复数散阵相互发明、相互弥补。
[六]
洛书方阵的三维空间坐标作用。
洛书方阵不仅可以反映两维平面中最简离散对称系之相互关系和相互作用，还可反映三维空间任何最简离散对称系之间的关系和相互作用。
[图，三维空间与八卦]
八卦在三维空间中的矢量关系就是正八面体八个角上的矢量，其坐标原点即中宫就是各对角线之交点，也就是此正八面体外接球体的球心。至此，洛书所表现的”圆象“就变换成”圆球“之象了。洛书亦能反映此球体模式中八个对称之矢量的相互关系和相互作用。
1、1+5+9＝2+5+8
＝3+5+7
＝4+5+6
＝2r 〔r为球体半径〕
1+8+6＝8+3+4
＝4+9+2
＝2+7+6
＝两棱之和〔或一棱加一表面之对角线〕
2、对待之宫两矢量相互作用，亦有极性消失之象，可用乘法加乘中宫之数计算；由於正八面体的八角顶点俱在外接球体之上，非对待之宫之矢量相互作用时，也会产生类似於复数平面上的相变〔即移宫〕现象，我们也同样可以用洛书的乘法进行计算移宫之走向。二八易位后，亦会形成男女卦族之对待之象，此图中同样有对称性自发破缺现象。见图。
[图]
由此图可以看出，二八易位的前后，”阴部洛书数“与”阳部洛书数“形成整体的非局域性对称。
[七]
洛书方阵与复数散阵，对八卦系统数理的诠释与发挥，各有其不足，也各有彼此不可替代的优势。
洛书的主要缺点为：
1、各矢量数本身不能直接体现该矢量的极性、方向、幅角；
2、各矢量数不能直接准确地表达该矢量真实的绝对值〔模〕；
3、作为坐标原点的中宫数不是”0“，而是”5“或”10“，很容易使人产错误的理解。
洛书虽然有缺点，但由於有太极图、八卦、天干、地支与洛书互为表里，其不足已在实际运用中被不自觉地得到了弥补。例如，我们提到”9“宫之数时，自然明白此数是指南方、且与”1“宫数的极性相反，而且知道这里配有先天的乾卦、后天的离卦、八门中的景门、时间是午月，等等，并不把它当成是自然数”9“；又如中宫之数”5“，我们也知道它在圆中心；再次，八个卦与圆心的距离为圆半径也有直观的显现，等等。
复数散阵的最大优势是精确地表达了两维平面中各矢量的极性和模，而且清晰地解释了八卦以及十二地支间的相互关系和运算方法，并直接解释了为什么平行对称性〔即洛书中的同余运算〕会等价，加深了我们对洛书方阵的理解。
