[子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学

钦定四库全书

庄氏算学卷四

淮徐海道庄亨阳撰

曲线体

设长圆体径与高皆七尺问积几何

法以长圆体径七尺求得圆面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以高七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圆体之积也

又法以长圆体径七尺求得圆周数与高七尺相乗得数为长圆体之外面积以半径之三尺五寸乗之得数折半即长圆体之积也

又法以长方体积一○○○○○○○○为一率长圆体积七八五三九八一六三为二率现设之长圆体径七尺自乗以高七尺再乗得数为三率求得四率即长圆体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率三四二四率二六九三九一五六九九○九】

设尖圆体底径六尺中高六尺问积几何

法以底径六尺求得底面积数以高六尺乗之得数以三归之即尖圆体之积也

又法以尖方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积七八五三九八一六三为二率现设之尖圆径体底径六尺自乗以高六尺再乗得数三归之成尖方体积为三率求得四率即尖圆体之积也

【一率一○○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率七二　四率五六四八六六七七三六】

又法以长方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积二六一七九九三八八为二率现设之尖圆体底径六尺自乗以高六尺再乗得数为三率求得四率即尖圆体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率二六一七九九三八八三率二一六　四率五六五四八六六七八○八】

设尖圆体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之高几何

法以底周二十二尺求得底径数折半得半径为勾以自尖至底周之斜线五尺为?求得股数即中垂线之高也

【三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之高】

设圆球径二尺问外面积几何

法以圆球径二尺求得周数与径二尺相乗得数即圆球之外面积也

【一十二尺五十六寸六十三分七十厘有余即圆珠外面积】

设圆球径一尺二寸问积几何

法以圆球径一尺二寸求得圆面积数以圆球径一尺二寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即圆球之体积也

又法以圆球径一尺二寸求得圆球之外面积数以半径六寸乗之得数三归之即圆球之体积也

又法用方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也【一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率一七二八　四率九○四七七八六八三】

又法以圆球径一○○○○○○○○为一率正方边八○五九九五九七为二率现设之圆球径一尺二寸为三率求得四率数为与圎球积相等之正方体每边之数自乗再乗即圆球之体积也

又法以二十一分为一率十一分为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也

设圆球积六尺问径几何

法以球积一○○○○○○○○　为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之圆球积六尺为三率

求得四率数为与圆球径相等之正方边之正方体积开立方即得圆球之径也

【一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九二一七　三率六　四率一一四五九一五五九】

【○二】

又法以方边一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○○九八为二率现设之圆球积六尺开立方得数为三率求得四率即圆球之径也

【一率一○○○○○○○○　二率一二四○七○○九八三率一八一七一二○　四率二二五四五○二】

设撱圆体大径六寸小径四寸问积几何

法以小径四寸求得圆面积数以大径六寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即撱圆体之积也

又法以小径四寸自乗得数以大径六寸再乗得数为长圆方体积乃以方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现得之长方体积为三率求得四率即撱圆体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率九六　四率五○二六五四八二】设撱圆体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各几何

法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设撱圆体积五十寸为三率求得四率为长方体积乃以大径比小径多二寸为长圆与濶之较用带一纵开立方法算之得濶数即撱圆体之小径加大径比小径多二寸即撱圆体之大径也【五寸九分九厘二毫大径】

【一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九三一七　三率五○四率九五四九二九六五八五○】

设上下不等圆面体上径四尺下径六尺高八尺问积几何

法以上径四尺求得上圆面积又以下径六尺求得下圆面积又以上径四尺与下径六尺相乗得数开方得中径用径求圆面积法求得中圆面积数三数相并与高八尺相乗得数三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圆面体之积也

又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率高八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圆面体上补成一小尖圆体之共高乃以下径六尺求得圆面积数与所得共高数相乗得数三归为大尖圆体之积又以高八尺与共高二十四尺相减余数为上尖圆体之高以上径四尺求得圆面积与上高数相乗得数三归之为上小尖圆体之积与大尖圆体积相减余即上下不等圆面体之积也

又法以正方体积一○○○○○○○○为一率圆面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以高八尺乗之得数三归之成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圆面体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率二○二六六六六六六六六　四率一五九一七四○二七七○一】

又防法以一○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以高八尺乗之得数为三率求得四率即上下不等圆面体之积也

设上下不等撱圆面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺高十尺问积几何

法以上大径四尺与上小径三尺相乗得十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六三为二率三数相并为三率求得四率数与高十尺相乗得数三归之即上下不等撱圆面体之积也

又防法以一○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并以高十尺乗之得数为三率求得四率即上下不等撱圆面体之积也

设截球体一段高二寸底径九寸六分问积几何

法以高二寸为首率底径九寸六分折半为中率求得末率一尺一寸五分二厘为圆球之截径加高二寸为

圆球之全径折半为圆球之半径又以高二寸为勾底径折半为股求得?五寸二分作平圆半径用求圆面积法求得平圆面积数即为截球体一段之外面积与圆球半径六寸七分六厘相乗得数三归之余为自圆球中心所分球面尖圆体积又以截球体底径九寸六分用求平圆面积法求得截球体之底面积数于圆球半径六寸七分六厘内减去截球体之高二寸余数与截球体之底面积数相乗得数三归之余为自圆球中心至截球体底径所分平面尖圆体积与球面尖圆体积数相减余即截球体一段之积也

【七十六寸五百七十一分八百八十厘有余即截积数】

设空心圆球积二千寸厚三寸问内外径数各几何

法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之空心圆球积二千寸为三率求得四率为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得数与所得空心正方体积数相减余数六归之得数用厚三寸除之得内径相乗长方面积数乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三毫九丝七忽有余即空心圆球内径加较六寸即空心圆球外径也

【一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七　三率二○○四率三八一九七一八六三四】

设圆窖一座周二十四尺高十尺问盛米若干

法以周二十四尺求得圆面积数与高一丈相乗得数为圆窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圆窖体积四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米也

【一率二千五百寸　二率一石　三率四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余　四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余】

设圆窖一座盛米一百六十石高十尺问周径各几何

法以米一石为一率一石积数二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圆窖之积数以高十尺除之得四十尺为圆窖之面积乃以圆积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九

五四为二率现得之圆窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十毫有余开平方得七尺一寸三分六厘四毫九丝有余即圆窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九毫四丝有余即圆窖之周数也

【一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四　三率四○四率十五○九二九五八一六○】设积米一堆高五尺底周十四尺问米数几何

法以底周十四尺求得圆面积数为尖圆堆之底面积

与高五尺相乗得数三归之为尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之尖圆堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有余即所堆之米数也

【一率二五　二率一　三率二五九九五三○六八二　四率一○三九八一】

设倚壁积米一堆高四尺底周六尺问米数几何

法以底周六尺为半周倍之为全周以周求得圆面积数折半为倚壁尖圆堆之底面积以高四尺乗之得数三归之为倚壁尖圆堆之积数以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁尖圆堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七杪有余即倚壁所堆之米数也

【一率二五　二率一　三率七六三九四三六　四率三○五五七七】

设倚壁内角积米一堆高五尺周一十二尺问米数几何

法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周以周求

得圆面积数四归之为倚壁内角尖圆堆之底面积与高五尺相乗得数三归之为倚壁内角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁内角尖圆堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也

设倚壁外角积米一堆高六尺底周三十三尺问米数几何

法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周以周求得圆面积数四归三因得数为倚壁外角尖圆堆之底面积以高六尺乗之得数三归之即倚壁外角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为率一石为二率现得之倚壁外角尖圆堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有余即倚壁外角所堆之米数也

【一率二五　二率一　三率二三一九二九七二八八四率九二四三七一八】

各等面体

设四面体每边一尺二寸求积几何

法以每边一尺二寸为?每边折半得六寸为勾求得股数为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半为每一面之面积又以每边一尺二寸为?每一面之中垂线取其三分之二为勾求得股数为四面体自尖至底中心之立垂线或以每一面之中垂线数为?每一面之中垂线取其三分之一为勾亦得股为四面体自尖至底中心之立垂线以此立垂线与每一面之面积数相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也

又求自尖至底中心之立垂线防法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方即得自尖至底中心之立垂线

又以正方体积一○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率现设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗为三率求得四率即四面体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率一七八五一一二九三率一七二八　四率二○三六四六七五　○】设四面体体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘问每边数几何

法以四面体积一　一七八五一　一二九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也

【一率一一七八五一一二九　二率一○○○○○○○○　三率二○三六四六七五○　四率　一七二八】

又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三毫三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一辶也

【一率一○○○○○○○○　二率二○三九六四八九○三率二○三六四六七五○　四率一二】设八面体每边一尺二寸求积几何

法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共高即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也又法以正方体积一○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率现设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率四七一四○　四五二一　三率一七二八　四率八一四五八七○一二】设八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘问每边之数几何

法以八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也

【一率四七　一　四○四五二一　二率一○○○○○○○　○　　　三率八一四五八七○一二　四率一七三八】

又法以正方体之每一边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九毫二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也

【一率一○○○○○○○○　二率一二八四八九八二九　三率九三三九二六　四率一二】设十二面体每边一尺二寸求积几何

法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七毫八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现设之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六毫四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八毫二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八毫二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为?每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二毫一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也

【一率六一八○三三九九　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一九四一六四○七一率六一八○三三九九　二率一○○○○○○○○　三率九七○八二○三　四率一五七八○八二○二】

又法以正方体积一○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率现设之十二面体之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率七六六三一　一八九○三　三率一七二八　四率一三二四一　八六九四六四】

设十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每边数几何

法以十二面体积七六六三一　一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一边也

【一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○　三率一三二四一八六九四六四　四率一七二八】

又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率现设之十二面体积开立方得数为三率求得四率即十二面体之每一边也

设二十面体每边一尺二寸求积几何

法以正方体积一○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率现设之二十面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六厘有余即二十面体之积也

【一率一○○○○○○○○　二辛二一八一六九四九六九　三率一七二八　四率三七六九九六八九○六】

又法以二十面体之每边七七一○二五三四为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率现设之二十面体之每边数为三率求得四率为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗即二十面体之积也

【一率七七一○二五三四　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一五五六三六九】设二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边数几何

法以二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也

【一率二一八一六九四九六九　二率一○○○○○○○○　三率三七六九九六八九○六　四率一七二八】

又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率现设之二十面体积开立方得数为三率求得四率即二十面体之每一边也

【一率一○○○○○○○○　二率七七一○二五三四　三率一五五六三六九　四率一二】

庄氏算学卷四