钦定四库全书
句股矩测解原卷下 余姚黄百家撰
以影测高
以矩度承日使其光穿两耳而过视权线垂于何度何分若权线垂于对角则影与物等【即前句股无较第一图】量其影长即得物高在直影则影短于物【即前股长句短第二图】以直表乗物影以直影除之在倒影则影长于物【即前股短句长第三图】以倒影乗物影以横表除之
假如权线在直影五度物影二十尺即以直表【十二】度与物影相乗得二百四十为实以直影【五度】为法除之得物高四十八尺
解曰物与物影为大句股矩度为小句股大股不可知而大句可知大句可知而大句之长短原出于大股则大股亦可知立一法焉以矩度一定之小股【直表】因大?以定小句小句定则小句小股之比例犹大大句大股之比例也于是遂以一定之小股入于大句中而与之相乗使不可知之大股遂与小股之十二相当而后以小句之五度除之而大股得焉葢十二人所任设者也于十二而得五度则本乎大股者也以十二乗大句而五度代二十【物影】以除幂【相乗总数】则大股亦遂因五度而化为十二也大股之四十八其有合于十二者何小句五度其为五分者十积五分而至二十四则为十二大句二十尺其为二尺者十积二尺而至二十四则为四十八也
假如权线在倒影七度五分度之一物影六十尺即以倒影通作三十六分【七度五分度之一毎度即通作五分七度五七三十五分又度之一共三十六分】与物影相乗得二千一百六十为实以横表十二通作六十分为法【亦毎度通作五分】除之得物高三十六尺
解曰倒影与直影相反直影为句倒影为股故直影之度自一而至十二引而逺之句渐长也倒影之度自十二而至一引而逺之股渐短也前权线在直影股长句短由股以截句今在倒影句长股短由句以截股其理一也以倒影乗物影者所求在股以小股乗大句以小句除之与前无二也倒影通作三十六分横表通作六十分者以有五分度之一即以毎度通作五分【如三分度之一即毎度可通作三分余仿此】也葢矩度之妙用借权线以测句测股而得其比例其分度则固任人通变也
重矩
单矩须用量自足至物之数方可入算此句与小句股求股也今不用句止以小句股求股故设重矩
假如立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影五度次退后立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影十度相减得影较五度次量二表相去十尺即以矩度十二与表间十尺相乗得一百二十为实以影较五度除之得二十四加表四尺为物高二十八尺解曰后直影为句目平行至物为句矩度直表为股物高为股其比例一也前直影之比例于前表平行至物矩度之比例于物高亦一也今以影较为矩度股之句表间为物高股之句何以知其一哉葢前表平行至物数不可知后表至前表其数可知然前表至物之数虽不可知而已见于两直影互异之中今于后直影减去前直影则将其不可知者置之影较则已移物之股近至前表其表间之数同单矩测高术量足至物之数故与矩度相乗而得物高此减句不减股以凖之于?也?之为凖即在直影假如物高股二十四尺【表四尺不入算】试截句至一尺直影必五分算之仍得二十四如物高股十二尺试截句至一尺直影必一度算之得十二故曰?之为凖即在直影
以目测高
不取日光而用目光别立一表若干尺以审自足至目之数目切矩度乙耳以甲耳向上使物顶从甲耳窍透乙耳窍斜见之视权线在何度分次量自足至物之数其算法与以影测高术同不另具假令与图
解曰目光斜见即物影之?也然物不能常有影即有影有不能摄入耳窍者切矩以目其法更防凡目光所及不论高深广逺俱可入算不爽毫厘
变影
前矩在直影后矩在倒影者亦以矩度乗表间为实以倒影变直影相较为法除之前后矩俱在倒影者将两倒影俱变直影两影较乗表间为实以矩度为法除之如两影在防分度之防者以矩度照分分之自乗得幂如法变影乗表积如法除之【有防分度之防者测时亦可或前或后使其正当某度无有零分】
假如前矩直影十一度后矩倒影九度表间二十尺法以矩度【十二】乗表间【二十】得二百四十尺为实积又以矩度自乗之幕一百四十四以倒影之九度为法除之得十六变作直影十六度两影较余五度为法除之得四十八尺加表四尺得五十二尺
陈言?曰有物于前立两表望之后表之小句必多于前表之小句此视差之理也而今之之前矩在直影之十一度后矩在倒影之九度若不计其直影倒影之何以变通而第执度分之多寡以为法则后表之视差反少于前表之视差有是理乎故必变倒为直而后可以两影较也
假如前矩倒影九度后矩倒影二度表间二十尺法以矩幕【一百四十四】先以前影【九】除之变为十六次以后影【二】除之变为七十二两影较五十六乗表间【二十】得一千一百二十以矩度【十二】为法除之得九尺三寸又一百二十分尺之四【三分】加表四尺得全高一十三尺三寸三分
陈言?曰两矩测物有前直影而后倒影者矣未有前倒影后直影者也葢矩愈逺则愈平平则必切于倒影之度故止有前直后倒之法而不及前倒后直之影也至于两影俱倒其影为同类似可不变而亦必变者何也曰其故有二一则倒影之度少于纵矩之小句假如倒影二度以矩度之甲乙纵之则退望之处其人目与物影相叅者必不止于矩度十二分之二而为矩度十二分度之七十又十二分度之二也故必变也一则倒影之度前表多后表少不合于立表之小句假如矩度之甲乙纵之至顶则为一度渐逺则渐为二度三度四五度不等其前少后多直影与小句同也其在倒影则否如以甲丁之矩而纵之其望高之线之在倒影者始而近也反切于丙丁之十二度渐逺则十一度或十度九度不等愈退则愈逺愈逺则愈平愈平则倒影之度愈少殊非小句渐逺渐长之理故两倒不可不变也变之而倒影之一度变为一百四十四矣【矩幕原数一度无殊】倒之二度变为七十二逓变至倒影之十二度以之为法除幕而仍存原度十二岂非愈逺而愈平愈平而变影愈多不失小句近少逺多之至理乎立法至此亦云宻矣或者曰景之变固因小句之多寡而变然使权线之在一度者其小句虽应多而非一百四十四之多权线之在十二度者其小句虽应少而非犹然十二度之少则是多寡之转移西人亦约略其法而未必有确然之数也不知立法者必穷于法之源必晰于法之委未有悬空拟合而可云法也试先立一平方形其矩之下丙角作平行线如地平如人目望高然后以矩之甲角渐运渐高其权线之切于一度者必矩之甲角高于乙角一度矣由是而因甲乙之渐低者作斜直线引之令切合于地平必在一百四十四也如在十二度则甲角高于乙角亦十二度矣其斜?切合于地平者亦必在十二度两角形相等凡少于十二度多于一度者推之无不有确然之数也且设有物焉高十二尺如甲角之高一度【有原矩度十二】离十二尺以立表表之高亦十二如乙丙角之高其离表退望之处为一百四十四如一度之变影以表乗逺得一四四也即矩幕也以退立之一四四为法除而仍得表上之高一尺即甲角之高一度也亦即权线之影高一度也无不合也然其变影之合于小句既有然矣而变影之必以权度除矩幕者何也曰是不难知夫容方求余句余股者以容方自之以余句为法除之而可得余股以余股为法除之而可得余句今矩幕非即容方之自乗乎以权为法其实以甲角之高为法非以余股求余句乎故立表亦容方法也变影亦容方法也无二法也至甲角之高十二则成斜方句股等形故倒影十二则其变影亦十二甲角愈低而后斜线之切于地平愈长其几何长者法也其所以长者理也其所以防何长者穷理以立法而非悬空拟合之为也因创为后图可以作变影观亦可以作立表测高观亦可以作容方求余句余股观【言?图未载】
解曰变影之法言?之论辨矣今取其言之未尽者再为悉之夫矩度之测高于倒影何以必变哉葢矩度之倒影股也故分度自十二而至一【已详前论影测高中】今所求在股其影为句乃股短句长权线逾直影之句而至倒影则此倒影亦为句也此变法之所由立也然倒影为股究不可为句今云变倒为直者葢矩度止为十二度之平方直影既穷权线侵股而上在倒影十一度在直影则当为十三度又一百一十分之一也在倒影十度在直影则当为十四度又一百分度之四也股渐低则线渐高而句愈逺以至倒影一度在直影则当为一百四十四度也【详前论两影消长中】此借倒影以推直影而为之凖耳
测深测广
用矩度须以甲耳切目乙耳向外测深线在直影深过于广以矩度乗面之广以影度除之倒影广过于深以影度乗广以矩度除之其测广反是
假如测深水面十二尺直影三度以矩度【十二】乗广【十二】得【一百四十四】为实积以直影【三】除之得四十八尺如在倒影三度即以【三】乗广【十二】得【三十六】为实积以矩度【十二】除之得三尺
假如测广水深四十八尺直影三度则以直影【三】乗【四十八】得【一百四十四】为实积以矩度【十二】除之得广十二尺水深三尺倒影三度则以矩度【十二】乗【三】得【三十六】以倒影【三】除之得广十二
解曰测深亦以小句股与句求股也故与测高同广即逺也故与测逺同【或云从下望高测逺为逺从高望逺测逺为广】
测逺
从高测逺先定自地至目之数以甲耳切目乙耳向逺线在直影者以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗高以影度除望高测逺先以重矩测高得高数视后矩影度线在直影者亦以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗高以影度除其前矩俱不必推算
假如高六丈测逺权线在直影九度即以【九】与【六】相乗得【五十四】为实以矩度【十二】为法除之得逺四丈五尺假如高九丈倒影八度以矩度【十二】与高【九】相乗得【一百八丈】以倒影【八】为法除之得逺十三丈五尺
右二则俱从高测逺其望高测逺须除矩度乙角下表数【或四尺】如高六丈除去表四尺得高五丈六尺与矩度影度相乗其乗除法直影倒影与从高测逺同不另立假如
解曰测逺者以小句股与股求句也视测高之以句求股正相反故此直影视彼倒影之法此倒影视彼直影之法所得逺数俱平行句数非从高至逺斜望?数也
句股矩测解原卷下
