钦定四库全书

数度衍卷四

桐城　方中通　撰

筹算

九筹

通曰珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为防数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无又无用之用也

开方筹

通曰筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰

立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数

乘法

术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数

一位法式有五十九人每人八两问共若干曰四百七

十二两　以五十九人为实八

两为法先依实数查第五筹第

九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两

二位法式有五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两　以五十四人为实六十四两为法

依实查五四两筹齐列先依法

尾四查第四格曰六曰一○曰

二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一回进一位列数

通曰九格内凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在数中者説详后式

筹内斜方有○无数式有五十四人每人二十八两问

共若干曰一千五

百一十二两　以

五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格

曰八曰○曰一进一位列之加得合问

通曰斜方之中有数有○则去○不用若无数有○则湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也筹内斜方倂数进十式有八十七人每人六两问共若

干曰五百二十二两

以八十七人为实查筹

并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四

八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣

用零筹式有六百零八人每人三十四两问共若干曰

二万零六百七十

二两　以六百零

八人为实查六筹

零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四

曰二○曰八曰一进一位列之加得合问

通曰实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也

除法

术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹从左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或略少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或略少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘初商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之

一位商式有三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两术别列三百二十五两为实以六十五人为法

查六五两筹左右齐列

查九格内何格数与实

相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二

五适等即五为商数矣

二位商式有三千三百二十五两九十五人分之问各

若干曰三十五两术

列三千三百二十五

两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位湏截实左三位曰三三二作三

百三十二于格内查之至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五略少于实数四格则多矣用三爲初商相减余四十七再以余实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七【二五并七】五适等用五爲次商

商当有○式有三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两术列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作

三千二百二十八略

少于实数七格则多

矣用六爲初商相减

余一十以余实一○及截七六作

一千零七十六此乃次位无实也

次商当作○竟不除实余实仍是一千零

七十六查至二格一○七六?等用二爲三商

通曰次位三位俱无实者卽一连两商皆当作○也实不尽式有三千三百三十六两九十五人分之问各

若干曰三十五两

余实一十一两

列实查筹二筹横数止三位截实左

三位曰三三三查至三格自左向右

曰二八五略少于实数用三为初商相减余四八以余实四八及截外六作四八六查至五格四七五略少于余实用五为次商相减尚余一十一为不尽数也

开平方法

术曰有积数【即实数】有商数商有方法有亷法隅法置积数从末位下作防向左隔一位作一防有一防知有一商也视平方筹内自乘之数与实相等或略少者取以除实但自左一防为始防前无位则自乘止于零数防前有位则自乘应有十数而此乘数在筹内第几格即用其格数为初商也有二防者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此数在几格即用为次商也实不尽者以法命之或实右加○再开之详少广章

通曰开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乘数也次商亷积之数处初商与隅积之问也

第一?求初商之根为方法乙为

方积也不尽求二防之商倍初商

根为廉法甲丙两长邉也隅法丁

方一角也此甲乙丙丁为平方二

商之形如三商则加戊巳亷及庚

隅也

式有积三万二千○四十一平方开之问邉得若干曰

一百七十九

别列积为实从

末位一下作防

向左隔一位○

下作?三下作

防共得三防知商有三位

也防左无实三作零数视

方筹内自乘无三近少为

一平行取一为方法为初

商乃于实三内减去一格

自乘之一存二以共次防

实曰二二○为余实次倍初商根得二为亷法【倍一为二】取二号筹列方筹之左于两筹横行内求二二○无则用近少者一八九在第七格即七为次商为隅法乃以一

八九减余实二二○余三

一以共三防之实曰三一

四一为次余实再倍初次

两商之一七得三四【初商一作】

【一十次商七共为十七倍为三十四】为次廉法乃去次商所列之第二筹又取三号四号两筹自左向右俱列方筹之左于横行内求三一四一在第九格即九为三商为次隅法减实无余即三次所商为平方邉一百七十九也

开立方法

术曰有积数有商数商有方法有平廉法长亷法隅法置积为实从末位作防向左隔二位作防每一防有一商视立方筹内再乘之数有与实相等或近少者用以除实也但自左一防为始防前无位则再乘止于零数防前有一位则再乘应有十数防前有二位则再乘应有百数而此乘数在第几格即用作初商也有二防者以初商自乘而三倍之为平亷法以初商三倍之为长亷法却以平亷法数查筹列立方筹左以长亷法数查筹列立方筹右乃视左筹与方筹之横行内数查其或等或少于余实者取格数为约数即以此为次商以次商自乘之数与长亷法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方邉也不尽者依法命之详少广章

其一作六面方体诸面线角皆相等

此名方法体成甲乙丙丁形

通曰此初商形也凡边皆初商之

数

其二作六面扁方体其上下面各与

方法等旁四面之高少于方法之高

而四棱线皆等此名平亷法体成戊

己庚辛形

其三作六面长方体其上下左右四

面与平廉之旁面等两端之四界线

皆与平廉之高等此名长廉法体成

壬癸形

其四作六面小立方体六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体成子丑形

通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉后加一平廉故三倍初商之自乘为平廉法也上与后之边齐右加一长廉上与左之边齐前加一长廉左与后之边

齐下加一长廉故三倍初商为长廉法也上与左与后三角加隅法而立方形成矣

式有积九百一十二万九千三百二十九立方开之问边得若干曰二百零九术别列积数为实从末位九下

作防向左隔二位

作?凡三防知商

有三位也防前无

实则实首九为零

数视立方筹内再

乘之数无九三格

二七过实用二格

八实之近少数也

即取二为方法为

初商九内减八存一以

共次?之实曰一一二

九为余实将初商二自

乘得四又三倍得十二

为平廉法取一号二号

两筹列方筹左又将初

商二三倍得六为长廉

法取六号筹列方筹右

乃于立方与平廉共三筹

内之横行数取其少于余实者为约数视筹内无近少数即第一格之一二○一亦多于余实之一一二九遇此则知商有○位矣竟于初商下作○以当次商而实数不动复开第三防之实一一二九三二九将初次两商之二○【此作二十】自乘之得四○○【此作四百】又三倍之得一二○○【此作一千二百】为次平廉法乃取一号二号○号○号之四筹列方筹左而去次商所列之平廉两筹又将初次两商之二○【此作二十】三倍之得六○【此作六十】为次长廉法取六号○号两筹列方筹右而去次商所列之长廉筹

乃于立方与次平廉共

五筹内之横行数取其

少于余实者为约数至

第九格曰一○八○七

二九另列之向立方筹

右平行取九格之自乗

数八十一以乗次长廉

六○【此作六十】得四八六○

【此八十一回六十也】进一位列约

余实之一　一二九三二九恰尽乃以约数之格数九爲二商也三次所商曰二曰○曰九是爲立方根二百零九也

通曰长亷筹止用其号数格内诸数皆无用卽不列筹而止列数亦可开方宜入少广章因有此二筹故立式于此

数度衍卷四