钦定四库全书

数度衍卷七

桐城　方中通　撰

测量【勾股之六】

容方与余勾求余股法

式容方径为丁乙一百五十余勾为丁丙三十问甲戊余股防何曰七百五十术以容方径自乗得二万二千五百为实以余勾为法除实

得七百五十为余股

容方与余股求余勾法

式容方径一百五十余股七百五十问余勾防何曰三十术容方径自乗得二万二千五百为实以余股为法除实得三十为余勾

又式邑方二百步四面居中开门东门外十五步有木问出南门防步见木曰六百六十六步六分步之一术半邑方为容方东门外为余勾南门外为余股

测高式欲测甲乙之高去乙二十五尺立表于丙为丁丙高一丈却后五尺立戊戊己高四尺使目在己视表末丁与甲为一直线问甲乙高防何曰四十尺术以丁丙表高十尺减戊巳目高四尺余丁辛六尺以乗庚辛二十五尺【与乙丙等】

得一百五十尺为实以丙戊五尺为法除实得甲壬三十尺加表高十尺得四十尺为甲乙之高

通曰丁辛容长方径也丁壬庚辛容长方形也辛巳【与丙戊等】余勾也甲壬余股也容方则径自乗容长方则横径直径相乗也

测深式甲乙丙丁井欲测其深井径甲乙五尺立戊甲表于井口高五尺従戊视丙截甲乙径于己甲已四寸

问井深防何曰五丈七尺五寸术以

井径五尺减甲巳四寸余己乙四尺

六寸以乗戊甲五尺得二千三百寸为实以甲已四寸为法除实得甲丁深五丈七尺五寸

通曰己乙容长方径也戊辛余勾也乙丙余股也测逺式欲测甲乙之逺立乙丙巳丁四表成直角方形

丁乙与甲为直线每表相去一丈

乃于己表之右戊上视丙表与甲

为直线戊巳三寸问逺几何曰三十三丈三分丈之一术乙丙自乗得一万寸为实以戊巳三寸为法除实得甲乙逺三十三丈三分丈之一

通曰乙丙容方径也戊已余勾也甲乙余股也

又式欲测甲乙之逺立丙乙表高十尺目従戊过丙视甲作直线目去表末为戊巳三寸人离表为己丙十尺问逺几何曰三十三丈三分丈之一术以人离表一百寸乗表高一百寸得一万寸为实以目去表三寸为法除实得逺此与右法同但彼用四

表此用一表为防耳丙乙容方径也戊巳余勾也甲乙余股也

余勾余股求容方法

式丙丁余勾三十甲戊余股七百五十问丁乙容方径几何曰一百五十术余勾余股相乗得二万二千五百为容方积开平方得一百五

十为丁乙径

又式邑不知大小四中开门北门外三十步有木出西门七百五十步见木问邑方防何曰三百步术通曰北门外为余勾西门外为余股半邑方为容方径也

两余勾与股求容方法

式丙丁余勾二十戊乙余勾十四甲乙股一千七百七十五问丁戊容方径几何曰二百五十术以丙丁余勾乗股得三万五千五百倍之得七万一千为实并二余勾得三十四为从方开之横

得二百八十四为乙丙勾直得二百五十为丁戊容方径

又式邑方不知大小边东开门北门外二十步有木出南门十四步折而西行一千七百七十五步斜见木问邑方几何曰二百五十步术通曰北门外二十步一余勾也南门外十四步一余勾也西行股也邑方容方径也

小勾股与大勾求大股法

式丙丁小股一百丁戊小勾二十五乙丙大勾三百一十二五问甲乙大股防何曰一千二百五十术以大勾为实以小勾为法除实得大

股

通曰小股一百此法极便如二百三百者先以小股乗大勾为实用异乗同除法也【见九章外法】

测高式塔不知高量其影従塔心至影末长三丈一尺二寸五分别立一表高一丈影长二尺五寸问塔高防何曰十二丈五尺术通曰塔影大勾也表小股也表影小勾也塔大股

又式八尺之表以测日影表去日下六万里表影长六尺问日高几何曰八万里术通曰六万里大勾也以里法三百六十步步法五尺通之得一亿八百万尺表八尺小股也表影六尺小勾也日高八万里大股也用异乗同除法【即三累法】以小股乗大勾为实以小勾为法除之或以大勾为实以小股除小勾得每尺影七寸五分为法除实皆得日高也

又式欲测甲乙之高以平镜依地平线置丙人依地平线立丁目在戊见甲在镜中心丙处丙至乙十尺丙至丁二尺目高四尺问甲乙高几何曰二丈术通曰乙丙大勾也丙丁小

勾也戊丁小股也

测广式日逺人十万里不知日径以径寸长八尺竹筒对日于竹筒视之空正掩日问曰径几何曰一千二百五十里术通曰日逺人大勾也径寸小勾也筒长八尺小股也

测逺式欲测甲乙之逺立一丙两表从丙斜退至丁目望丁丙甲成一直线乃作丙丁戊直角以此测之术通

曰丁角与乙角等直角也

乙丙线与丁戊线相遇于

戊故以丙丁小勾比乙丙

大勾戊丁小股比甲乙大股也

两余勾两破股小股求大勾大股法

式戊已丁丙两余勾各十二【相等】丙庚小破股六十己辛

火破股一百己丙小股八十问甲乙

勾几何乙丙股几何曰大勾三十六

大股一百二十术通曰以小股八十

乗余勾十二得九百六十为勾实以

小股八十乗小破股六十得四千八百为股实小破股六十与大破股一百相减余四十为法以法除勾实得二十四加余勾十二得三十六为大勾以法除股实得一百二十为大股

测高逺式欲测甲乙之高乙丙之逺用重表法先立丁丙表高十尺却后立于戊去丙五尺目在己已戊高四尺视表末丁与甲为直线次从前表丙却后十五尺立癸壬表亦高十

尺【两表等】又却后立于子去壬八尺目在丑丑子亦高四尺【两目等】从目视癸甲亦直线问甲乙高几何乙丙逺几何曰高四十尺逺二十五丈术以表高十尺减目高四尺余六尺即丁寅【癸辛等】与两表相去之壬丙十五尺相乗得九十尺为高实以两次人去表之己寅丑辛相减余卯辛三尺为法除高实得甲辰三十尺加表高十尺得甲乙高四十尺以丙戊五尺与两表相去之壬丙十五尺相乗得七十五尺为逺实以法三尺除之得乙丙逺二十五尺

通曰丁丙癸壬两余勾也丙戊小破股也壬子大破股也壬丙小股也高大勾也逺大股也

测深广式有甲乙丙丁壁立深谷欲测甲乙之广乙丙之深用重矩法先立辛甲表与甲丁参直又立癸己表两表甲巳相去六尺从辛甲表视己丙作直线截表于庚庚甲高五尺又従辛甲表视辛癸丙作直线两表相较得辛壬高八尺壬甲高一丈五尺问深广各几何曰乙丙深二

十五尺甲乙广三十尺术以小表一丈五尺乗两表相去甲己六尺得九十尺为广实庚甲与辛壬相减余辛子三尺为法除广实得甲乙广三十尺以小表一丈五尺乗庚甲五尺得七十五尺为深实以法三尺除之得乙丙深二十五尺

通曰甲巳癸壬两余勾也庚甲小破股也辛壬大破股也壬甲小股也广大勾也深大股也

测高逺式树二表各高八尺南北相去二千里以测日影夏至之日南表影长六尺北表影差二寸问曰高逺各几何曰高八万里日下去南表六万里南表之端斜至日十万里术

二表两余勾也北表影南表影两破股也南北相去小股也日下去南表大股也日高大勾也斜至曰?也

测勾破勾两测股求大勾大股法

式丙丁测勾四十三二丙巳破勾十丙戊小测股十四

八丙壬大测股六十四八问大勾大

股各几何曰甲乙大勾二千五百乙

丙大股三千六百八十五二术通曰以测勾四十三二减破勾十余三十三二乗小测股十四八得四千九百一十三六为勾实以大测股六十四八乗破勾十得六千四百八十以测勾四十三二除之得十五为景差又以大测股六十四八减景差十五余四十九八以小测股十四八乗之得七千三百七十○四为股实以小测股减景差余二为法以法除勾实得二千四百五十六八加测勾四十三二得二千五百为大勾以法除股实得三千六百八十五二为大股

测广逺式方城不知大小立两表东西相去四十三步

二分齐人目处以索连之令东表与

城东南隅东北隅参直従东表退北

行去表十四步八分遥望城西北隅入索东端十步若从东表退北行去表六十四步八分遥望城西北隅适与西表相参合问城方防何城去表几何曰城方二千五百步城去表三千六百八十五步二分术以两表相去减入索余三十三步二分以乗东表退行十四步八分得四千九百一十三步六分为广实以东表大退行六十四步八分乗入索十步得六千四百八十步以两表相去四十三步二分除之得一十五步为景差又以大退行六十四步八分减景差十五步余四十九步八分以退行十四步八分乗得七千三百七十步零四分为逺实以退行十四步八分减景差十五步余二分为法以法除广实得二千四百五十六步八分加两表相去四十三步二分得二千五百步为城方【西至束】以法除逺实得三千六百八十五步二分为城去表也

通曰城方大勾也城去表大股也两表相去测勾也入索破勾也小退行小测股也大退行大测股也

四余勾两破股小股破勾求上勾下勾大股法

式戊丁壬癸两大余勾皆一百五十庚辛子丑两小余勾皆四十癸丁小股四千戊已破勾五十六丁辛小破股一千五百癸丑大破股二千五百问上勾下勾大股

各防何曰甲乙上勾二百八十乙丙

下勾三百一十丙丁大股六千术通

曰以小股四千乗破勾五十六得二

十二万四千为上勾实以大余勾一

百五十减小余勾四十及破勾五十六余五十四乗小股四千得二十一万六千为下勾实以小破股一千五百与大破股二千五百相减余一千为法以法除上勾实得二百二十四加破勾五十六得二百八十为甲乙上勾以法除下勾实得二百一十六加大余勾一百五十得三百六十六减破勾五十六得三百一十为乙丙下勾又以大余勾减小余勾余一百一十乗小股得四万四千为大勾实以法除之得四百四十加大余勾得五百九十为甲丙大勾以小股乗小破股得六百万为大股实以法除之得六千为丙丁大股

通曰此测两高与逺也与前两余勾两破股小股求大勾大股法相同但多上勾下勾耳两大余勾两表也两小余勾两人目至足也勾高也股逺也

两测股两破勾测勾求大勾法

式丙丁测勾九百丙戊小测股六百丙庚大测股一千

三百五十己丙大破勾四百零二

辛丙小破勾一百二十问大勾防

何曰甲乙大勾三万术通曰以大

测股一千三百五十乗大破勾四百零二得五十四万二千七百以测勾九百除之得六百零三为景差以与小测股六百相减余三为法以小测股与大测股相减余七百五十又乗小破勾一百二十得九万为实以法除实得三万为甲乙大勾

通曰此测广也与前测勾破勾两测股求大勾大股法相同但多乙戊直线耳丙丁两表也戊庚两目望也勾广也

勾股互求高深广逺图説

通曰直为高深横为广逺勾可以为股股可以为勾以小知大以此知彼惟善测者善用之耳甲乙为股则乙丙为勾酉丙为股则甲酉为勾午丙为股则午庚为勾庚丑为股则丙丑为勾如求甲乙之高金水作表丙作目求丑丙之逺木土作表甲作目求未丙之深木火作表甲作目求甲酉之广日月作两表丙丁为目斜望用异乗同除三率之法高深广逺虽分而合矣

附法

用矩尺测两广法

式登山临邑邑在山南不知广縦偃矩山上勾高三尺

五寸与邑东南隅东北隅

参合从勾端望东北隅入

下股一丈二尺随于入股

处横设一矩从勾端望西

北隅入横股五尺若望东

南隅入下股一丈八尺又重设矩于上相去四丈从勾端望东南隅入上股一丈七尺五寸问邑广纵几何曰东西广二万寸南北广二万四千寸术以勾高戊子三十五寸乗东南隅入下股庚子一百八十寸得六千三百寸以入上股癸丑一百七十五寸除之得三十六寸与勾高戊子三十五寸相减余一寸为法以东南隅入下股庚子一百八十寸与东北隅入下股己子一百二十寸相减余六十寸以乗两矩相去丑子四百寸得二万四千寸为南北实以法除之得南北广以西北隅入横股辛已五十寸乗两矩相去丑子四百寸得二万寸为东西实以法除之得东西广

用矩尺测逺法

式欲测甲乙之逺先于甲立丁甲表以矩尺置表末丁矩戊对乙成丁戊乙直线问甲乙逺几何曰八尺术须视矩丙对何处今对巳为丁丙己直线乃量己甲二尺为法表高四尺自乗得十六尺为

实以除之得八尺为逺

用交表测逺法

式欲测乙戊之逺先立甲乙表后于庚斜加小表为丙丁以丁对戊为度成庚丁戊直线问乙戊逺几何曰八尺术须丙丁小表族转又于丁对

处已成庚丁已直线自乙至巳得八尺必与乙戊等

用表测斜高法

式欲测甲至丙从丁视甲丙作直线丁乙八尺丁甲十尺乙戊十二尺问甲丙斜高几何曰十五尺术以丁乙八尺为法以丁甲十尺与乙戊十二尺相乗得一百二十为实以法除之得十五尺为甲

至丙也

器测【勾股之八】

矩度

甲丁与甲乙等甲丙斜分乙

丙为直景丁丙为倒景以甲

乙相对测际眼穿戊己两耳

与其际作直线视权线垂何

景何度也今止分十二度若

细分更精其两景别有论解

测高法

权线垂丙式高如己庚景在地平上为庚辛以矩度测之甲对己两耳与辛巳作直线权线垂丙为高防何术凡权线垂丙者景与高必等也今辛庚四十五尺则己庚亦四十五尺

权线垂直景边式高如己庚景如庚辛权线垂乙丙边之戊乙戊八度庚辛景三十为高防何术以表度十二与庚辛三十相乗得三百六

十为实以乙戊八度为法除之得四十五为己庚之高权线垂倒景邉式高如己庚庚辛景六十七五权线垂丁丙边之壬丁壬八度为高防何术以庚辛与丁壬相乗得五百四十为实以表度

十二为法除之得四十五为己庚之高

通曰高大于景权线必垂直景边高小于景权线必垂倒景边

测逺法

权线垂丙式高如己庚景如庚辛权线垂丙为景防何

术己庚四十五则辛庚亦四十五

通曰景测高以甲对高高测景以乙对景景逺也

权线垂直景邉式己庚高四十五权线垂戊八度为庚辛景几何术以己庚与乙戊相乗得三百六十为实以表度十二为法除之得三十为庚

辛景

权线垂倒景邉式己庚高四十五权线垂壬八度为庚辛景防何术以表度十二与己庚相乗得五百四十为实以丁壬八度为法除之得六十七五为庚辛景

以目测高法

于矩度外又用一有度分之表人目切表端矩度亦切表端穿两耳向测处作直线为度也

权线垂丙式高如己庚表如乙辛高四尺表端人目从矩度乙甲视巳为直线权线垂丙为高几何术乙壬四十五卽巳壬加表高四尺得四

十九为己庚之高

权线垂直景边式庚辛三十权线垂戊八度为己庚高几何术以表度十二乗庚辛得三百六十为实以乙戊八度为法除之得己壬四十

五加表高四得四十九为己庚之高

权线垂倒景边式庚辛六十七五权线垂壬八度为己庚高防何术以庚辛乗丁壬八度得五百四十为实以表度十二为法除之得己癸四十五加表高四得四十九为己庚之高

通曰地平线上任意前后至权线直丙而止较便

以目测逺法

权线垂丙式逺如己庚表如甲巳目在甲权线垂丙为逺几何术表高甲巳四尺则己庚亦逺四尺也

权线垂直景边式甲已表高四尺权线垂戊九度为己庚逺防何术以乙戊九度乗表高四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺

即己庚之逺

权线垂倒景边式甲巳表高四尺权线垂壬八度为己庚逺防何术以表度十二乗表高四得四十八为实以丁壬八度为法除之得六尺即己庚之逺

通曰测高目在矩之乙测逺目在矩之甲

以目测深法

权线垂丙式深如己壬目在甲视甲乙己辛为直线己庚口四尺权线垂丙为深几何术己壬与己庚等亦四尺也

通曰此不另用表而量己庚口者即口濶为表长是前用直表而此用横表也

权线垂直景边式己庚四尺权线垂戊六度为己壬深几何术以表度十二乗己庚四得四十八为实以乙戊六度为法除之得八尺即己

壬之深

权线垂倒景边式己庚四尺权线垂癸九度为己壬深几何术以丁癸九度乗己庚四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺即己壬之深

倒景变直景图说

通曰十二其十二得一百四十四以矩度为准也故一度变为一百四十四度以此一百四十四度为实以所值度为法除实即得变度也

度线皆起甲端渐移至丁

至乙各分十二也

通曰倒景过丙丁边抵丙

戊线则变为直景犹之直

景过乙丙边抵丙巳线则

变为倒景也倒景十一度

直景则为十三度一分倒

景十度直景则为十四度四分倒景九度直景则为十六度倒景八度直景则为十八度倒景七度直景则为二十度五分七厘倒景六度直景则为二十四度倒景五度直景则为二十八度八分倒景四度直景则为三十六度倒景三度直景则为四十八度倒景二度直景则为七十二度倒景一度直景则为一百四十四度也以直景推之亦然

重矩测高法

通曰测高而不知逺此求无股之勾也法皆用直景即权线在倒景边亦变为直景用之

皆直景式欲测己庚之高先立乙辛表目在辛上乙权

线垂戊五度又立乙癸表目在癸上

乙权线垂子十度两表相去十尺表

高四尺为高防何术以两度相减余

五度为法以表度十二乗两表相去

十尺得一百二十为实以法除实得二十四尺即己至壬加表高四尺得二十八尺为己庚之高

通曰辛表为直景癸表或有倒景之时癸表为直景辛表无不直景矣

有倒景式欲测己庚之高先立乙辛表权线垂戊十一度又立乙癸表权线垂子九度乃倒景也今变作直景为十六度两表相去二十尺表高四尺为高防何术以十六度减十一度余五度为法以表度十二乗两表相去

二十得二百四十为实以法除实得四十八尺即己至壬加表高四尺得五十二尺为己庚之高

数度衍卷七