隋唐时期，由于农业、手工业和商业的发展，以及编制历法、开凿大运河和大规模城市建设等实际需要，数学在前代成就的基础上继续向前发展。这一时期，见于记载的数学著作已明显增多，如《隋书·经籍志》著录有27种，宋初编纂的《新唐书·艺文志》著录有35种。数学教育制度的确立、李淳风等对于十部算经的整理和注释、王孝通《缉古算经》关于三次方程的工作、二次内插法的创立、实用算术的发展和计算技术的革新，以及数学知识的普及、中外数学交流的扩大等等，在中国古代数学史上都具有重要意义。
第一节数学教育
据历史记载，早在西周时期“数”作为“六艺”之一，成为贵族子弟必修的一门课程，在一定程度上受到统治阶级的重视。当时还有世代相传掌管天文历法和通晓数学的所谓“畴人”。但是数学知识的延续和发展，主要依靠私授家传。如著名数学家祖冲之就称得上是数学世家。隋唐时期，在数学教育方面的一项重要举措是在国子监内设立算学馆，并相应地在科学考试中设有明算科。如隋朝国子寺设立“算学”，置有博士二人，助教二人，招收学生八十人，进行数学教育。唐沿隋制，国子监亦设置“算学”，但其设于何时则有两种说法。一说为贞观二年（628），“是岁大收天下儒士..其书算各置博士学生，以备众艺”1。《唐会要》也有类似记载，并且提到唐太宗多次亲临国子监视察，“国学之盛，近古未有”。另一说则称，“唐废算学，显庆元年复置”2。从唐初百废待兴到社会稳定、经济繁荣和文化发达的总体情况来看，大致应是，贞观初设“算学”，后曾一度撤销，而在显庆元年（656）又在国子监内重新添设算学馆。
唐代算学馆由算学博士“掌教文武八品以下及庶人之子为生者”3，共招收学生三十人，分为两组，学制均为七年。学习内容主要是十部算经，其中一组十五人学习《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《周髀算经》和《五经算术》，另一组十五人学习《缀术》和《缉古算经》。按当时规定，《孙子》和《五曹》共限习一年，《九章》和《海岛》共三年，《张丘建》和《夏侯阳》各一年，《周髀》和《五经算》共一年，《缀术》四年，《缉古》三年，此外还要兼习《数术记遗》和《三等数》。
与此相应科举取士还设置了明算科，考试内容主要从十部算经中选题，考试合格者可分配从九品以下的官职。然而，终唐之世数百年间，封建统治者对于数学教育兴废无常，算学馆有时设置有时停办，隶属关系也常有改变，有时属于国子监，有时又属于秘书局或太史局，如显庆元年（656）设算学馆，仅过两年多，于显庆三年（658），因算学等“事唯小道，各擅专门，有乖故实，并令省废”1，取消了算学馆，并把算学博士以下人员转属太史局。龙朔二年（662）又重设算学馆，而学生人数减为十人，翌年再使“算学隶秘书局”2。此后，“算学”仍时有兴废，大约在晚唐时，明算科考试也被取消了。这种情况当然对数学发展是不利的。隋唐以后在国子监创设算学馆，进行专业数学教育，科举考试中设立明算科选拔数学人才，这毕竟是我国历史上的创举。但由于封建思想的束缚，重经史轻理工的风气长期盛行，因而数学教育并没有受到应有的重视。例如，在唐代国子监中，有国子、太学、四门、律学、书学、算学六个学馆，其中国子学有学生三百人，太学、四门各有学生五百人，而算学仅有学生三十人，后来又减为十人，并且只招收社会地位不高的人家的子弟。明算科科举及第以及学数学的人又只能得到很低的官职，如国子博士是正五品上，而算学博士却是品位最低的从九品下，算学博1《贞观政要》卷七。
2《新唐书》卷四六《百官志》。
3《旧唐书》卷四四《职官志》。
12《唐会要》卷六六。
士与助教也只能拿到最低的月俸，因此“士族所趋唯明经、进士二科而已”3，“明经”和“进士”仍然是多数知识分子追求的目标。
3《通典》卷十三《选举》。
第二节算经十书
唐代国子监算学馆采用的教材，是由国家统一编订的。据《旧唐书·李淳风传》载：初唐时，“太史监候王思辩表称《五曹》、《孙子》理多踳驳，淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注《五曹》、《孙子》十部算经。书成，高宗令国学行用”1。《唐会要》广文馆条则称，显庆元年（656）十二月十九日尚书左仆射于志宁等奏置，“令习李淳风等注释《五曹》、《孙子》等十部算经，分为二十卷行用”2。李淳风曾任朝议大夫、将士郎、承务郎、轻车都尉、太史丞、太史令、秘阁郎中等官职，著有《晋书》和《隋书》中的《天文志》、《律历志》、《五行志》，以及《典章文物志》，《乙巳占》，《秘阁录》，《法象志》等。
据新旧《唐书》和《宋史》等史籍记载，李淳风等编订和注释的十部算经，有《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，后世称为“算经十书”。后来北宋元丰七年（1084）秘书省刻印算书时，《缀术》已经失传，因而只刻印了九部，并且据考证，其中《夏侯阳算经》并非原著，而是唐代中期的《韩延算术》。由于此书卷上第一章引用了夏侯阳的一句话而被误认为《夏侯阳算经》。南宋嘉定六年（1213），鲍澣之在福建汀州学校主持翻刻北宋本九部算经时，又补入从杭州七宝山宁寿观所藏道书中发现的徐岳《数术记遗》一卷，并且辗转流传到现在。1963年中华书局出版钱宝琮校点本《算经十书》。
现在有传本的《算经十书》每卷的第一页上都题有“唐朝议大夫、行太史令、上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释”字样，实际上只有《周髀》、《九章》、《海岛》、《张丘建》和《五经算术》五种还保留有李淳风等的注释，并且已非全貌，其他几种都已失传了。在李淳风等关于算经十书的校订和注释工作中，就天算内容而言，其《周髀算经注》水平较高，特别是修正了经文和赵爽、甄鸾注中的一些缺陷，作出了较大贡献。例如，根据实际观测，指出《周髀》等古代天算家认为南北相距千里、日影长度相差一寸的传统说法不符合实际情况，据此推算得出的天文数据自然也是错误的；提出用两根标竿（古人称为“表”）测量时，应根据地势高低不同对日高公式作适当的修正并提出了相应的计算方法；指出赵爽所修改的二十四节气八尺高表的日影长度，用等差级数计算也与实际不合；逐条校正了甄鸾对赵爽《勾股圆方图注》的种种误解，这对于后世读者有很大帮助。
李淳风等对其他算经的注释有不少值得称道之处，如在《九章算术》“少广章开立圆术”中，引用了祖暅关于球体积计算的研究成果，保存了珍贵的史料。《缀术》失传之后，幸有李淳风等的记述，才使后人能够了解到祖氏父子的球体积公式和祖暅公理等中国数学史上的重要成就。对《海岛算经》的注解，则详细指明了解题中的演算步骤，在一定程度上为当时及后人的学习和研究提供了方便。李淳风等人的注释工作也存在不少缺点，例如，赞扬祖冲之圆周率“更开密法”，而没有充分认识到刘徽割圆术的重要意义，认1《旧唐书》卷七九《李淳风传》。
2《唐会要》卷六五。
为“徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也”1；在《九章算术》有关圆面积的问题答案下，添加“按密率”计算所得答案，结果使后来不少人误认为“约率”22/7是祖冲之的“密率”；总的来说，李淳风等人对算经十书进行系统的整理和注释，这些算书又被采用为数学教材，从而使这些反映唐代以前中国古代数学发展情形的最重要的原始文献得以流传至今。
1《九章算术》方田章圆田术李淳风等注。
第三节《缉古算经》与三次方程
唐代立于学官的十部算经中，王孝通《缉古算经》是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通主要活动于六世纪末和七世纪初。他出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，隋朝时以历算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做过算学博士（亦称算历博士），后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。唐武德六年（623），因行用的傅仁均《戊寅元历》推算日月食与实际天象不合，与吏部郎中祖孝孙受命研究傅仁均历存在的问题，武德九年（626）又与大理卿崔善为奉诏校勘傅仁均历，驳正术错三十余处，并付太史施行。王孝通所著《缉古算术》，被用作国子监算学馆数学教材，奉为数学经典，故后人称为《缉古算经》。全书一卷（新、旧《唐书》称四卷，但由于一卷的题数与王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十题。第一题为推求月球赤纬度数，属于天文历法方面的计算问题，第二题至十四题是修造观象台、修筑堤坝、开挖沟渠，以及建造仓廪和地窖等土木工程和水利工程的施工计算问题，第十五至二十题是勾股问题。这些问题反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要。
王孝通在《上缉古算经表》中说：“伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭邪之法，凡二十术，名曰《缉古》。”1这段话清楚地说明了他写作本书的目的和研究成果。《缉古算经》涉及到立体体积计算、勾股计算、建立和求解三次方程x3＋ax2＋bx＝a（a、b和a，非负），建立和求解双二次方程x4＋ax2＝a（a、a，为正，这是一种特殊形式的四次方程）等数学内容。这类问题与解法大多相当复杂，就当时数学水平而言是相当困难的，因此，在国子监算学馆要学习三年，学习年限仅次于祖氏父子的《缀术》。例如该书第三题，假如从甲、乙、丙、丁四县征派民工修筑河堤，这段河堤的横截面是等腰梯形，已知两端上下底之差，两端高度差，一端上底与高度差，一端高度与堤长之差，且已知各县出工人数，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距离、负重运输效率和筑堤土方量，以及完工时间等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤体积）和这段河堤的长度、两端高度、两端上下底宽度，以及各县完成的堤段长度等。前两个问题是比较简单的算术问题，后两个问题则要经过较复杂的推导和几何变换归结为建立和求解形如x3＋ax2＋bx＝a的三次方程。在《缉古算经》第十五题至二十题等属于勾股算术的问题中，王孝通还创造性地把勾股问题引向三次方程，并与代数方法结合起来，扩大了勾股算术的范围，发展了勾股问题的解题方法。在中国数学史上，《缉古算经》是我国现存最早介绍开带从立方法的算书，它集中体现了中国数学家早在公元七世纪在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，虽然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圆锥曲线的图解法，一直到十三世纪意大利数学家菲波那契才有了三次方程的数值解法，这比王孝通晚了六百多年。王孝通对自己的研究成果十分得意。他在《上缉古算经表》中批1王孝通：《上缉古算经表》，钱宝琮校点《算经十书》，中华书局1963年版。评时人称之精妙的《缀术》，“曾不觉方邑进行之术全错不通，刍甍方亭之问于理未尽”，由于《缀术》已经失传，王孝通的说法是否正确，已无从查考，但想来恐有失偏颇。他还宣称，“请访能算之人考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金”，这又未免有些过于自信。以后，宋元数学家创立了天元术、四元术和高次方程数值解法等，取得了更加辉煌的成就。
第四节二次插值法
二次插值法（又称二次内插法）的创立，是隋唐数学的又一项重大成就。插值法是根据两个自变量的已知函数值求这两个自变量之间各自变量对应函数值的近似计算方法。这种方法是很有实用价值的。例如，在天文观测中，人们不可能每时每刻都进行观测，因此只能得到日月五星某些时刻在天球上的位置。利用这些观测记录推算日月五星在其他时刻的位置，就要用到插值法，这对于天文计算特别是日月交食的推算是十分重要的。实际上在《周髀》和《九章》中就已有了一次插值（或称线性插值）公式。东汉末天文学家刘洪制订《乾象历》，为计算月球在近地点后n＋s日的共行度数，采用了一次插值公式：f（n＋s）＝f（n）＋s△，其中n为月球在近地点后运行的整日数，f（n）为对应的月球位置函数，0＜s＜1，△＝f（n＋1）－f（n）。此后，曹魏杨伟、姚秦姜岌、刘宋何承天、南齐祖冲之等各家历法计算月行度数时也都采用了这种算法。随着天文学的发展和观测精度的提高，天文学家不仅发现了月球视运动的不均匀性，而且也发现了太阳和五星视运动的不均匀性，也就是说，日月五星的视运动并非是时间的一次函数。为了编制更好的历法，特别是为了精确计算合朔和交食时刻，何承天、祖冲之以前所长期采用的一次插值法，误差太大，已经不能满足这种要求，于是中国天算家开始了新的探索。
隋开皇二十年（600），天文学家刘焯在他所编制的《皇极历》中，在推算日月五星视运动度数时，首先创用了等间距二次插值公式：fnlsfnlslslsl()()()()(),+=++++--2212122212△△△△△△其中l为相等的时间间隔，求太阳视行度数时，l是一个节气的平均日数，求月行度数时，l为一日，0＜s＜l，f（t）是时间t的函数，表示日月五星的运行度数。当l＝1时，上式可化为：fnsfnsssl()()(),+=++-△△22其中△＝△1，△2＝△2为各时间点上相应的一级差分和二级差分。这个公式实际上就是后来著名的牛顿插值公式的前三项。这种方法比以前所用的一次插值法精密，利用这个公式计算所得到的历法精确度也有所提高。可惜的是刘焯《皇极历》这部较先进的历法当时并未颁行，直到唐代李淳风才将其计算方法引入《麟德历》中。
由于各个节气之间的时间长短实际上并不相等，即历法中的各个节气是不等间距的，日月五星的视运动也不是匀变速运动，因此用刘焯公式计算的结果仍然存在较大的误差。为了解决这一问题，进一步提高历法的精确度，唐代著名天文学家一行又在此基础上大胆创新，在《大衍历》（727）中创立了不等间距二次插值公式：ffsftsllsllsllll()()()+=++++--+-.è...÷△△△△△△121211222121122其中f（t）为已知值，l1，l2表示不同的时间间隔。此外，有些学者认为一行还提出了等间距三次差插值法的近似公式1，而有些学者则认为就插值算法本身而言，一行算法与刘焯算法实质完全相同，其分别仅在于以平气或定气为时间间隔的不同2。这些看法究竟是否合适，尚有待于更深入的研究。刘焯和一行的二次插值法影响很大，并且继续有所发展，如晚唐天文学家徐昂编制《宣明历》，在推算太阳和月亮行度时提出了更为简便的插值公式，在一定程度上简化了一行和刘焯的结果。后来宋元数学家又相继创立三次插值法和高次插值法（招差术），在公式内容与形式上已与牛顿插值公式完全一致，更加圆满地解决了与之相关的数学和天文计算问题。
1严敦杰：《中国古代数理天文学的特点》，《科技史文集》（第1辑），上海科学技术出版社1978年版。2王荣彬：《中国古代历法中的插值法构建原理》，见曲安京、纪志刚、王荣彬：《中国古代数理天文学探析》，西北大学出版社1994年版。
第五节实用算术的发展与敦煌算书
唐代中期以后，普遍推行“两税法”的赋税制度，经济情况得到一定程度的复兴，农业、手工业和商业有了较大的发展。与此相应，人们在日常生活中需要进行计算的机会大量增加，从而产生改进和简化筹算算法的迫切要求，促进了实用算术的发展，并且取得了显著的成就。例如，以《夏侯阳算经》名义流传至今的《韩延算术》，是一部可供地方官吏和平民百姓学习数学知识和计算技术的实用算术书。全书共三卷八十三题，书中收集和征引各家算法及当时法令，保存了宝贵的数学史料。其中记载有将筹算多位数乘除转变为单位数乘除的算法，把要摆放上中下三层的筹算简化为在一个横列里演算。如乘数为35，就可以先乘5，然后乘7。除数为12，可以先折半，然后再除以6。当乘数首位是1时，又可以“以加代乘”。如乘数是14，可用“身外添四”法，即被乘数不动（这相当于该数乘以10），然后再退一位加上该数的4倍；乘数是102，可用“隔位加二”法，除数是12，可用“身外减二”法，等等，都在被乘数或被除数筹式本身上进行演算。对于更多位数的乘除，可用类似的方法去处理。如果乘数或除数的首位数不是1，还能采用各种方法将它化为1，然后再来计算。这种算法叫做“求一”或“得一”算法，当时曾受到不少数学家的关注。据史籍记载，晚唐天文学家边冈“用算巧，能驰骋反复于乘除间。由是简捷、超径、等接之术兴，而经制、远大、衰序之法废矣”1。这也从一个侧面反映了唐代学者在简化数字计算方面的成果及其影响。中唐以后乃至宋元时期，改革和简化筹算算法的工作一直在继续着，并且不断有所进展，其中许多成果还被后来的珠算术所吸收，直到珠算完全代替筹算，这一工作方告结束。涉及筹算改革的专门书籍，除《韩延算术》外，还有陈从运《得一算经》七卷，“其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数”1，江本《一位算法》2卷，龙受益《算法》2卷、《求一算术化零歌》1卷、《新易一法算范要诀》1卷等，但可惜的是这些著作都已失传了。
据史籍记载，庸宋之际数学著作为数不少，而传留至今者则不多。十九世纪末在敦煌莫高窟藏经洞发现了大批历史文献。在这批文献中包含有四种写本算经2：《算经（并序）》1卷、《算书》和《算表》，这三种现藏法国国立巴黎图书馆；另两部《算经（并序）》1卷，其内容与巴黎藏本完全相同，实际上是同一本书，此外还有《立成算经》一卷，这三部书现藏英国伦敦大不列颠博物馆。以上四种算书大致说来可能成书于中晚唐或五代时期，是研究这一时期数学的重要史料。《算经》序中提到“凡算者正身端坐”，“盖意明情乐者，安有不成哉”，等等，在战乱时期一般不会有如此平和的心境，书中还有“又据大唐令文”字样，关于大数记法和度量衡制度与《孙子算经》相同，另外此书有三个抄本，可见在当时是比较流行的，因此《算经（并序）》有可能是唐中期的作品。《算表》标明是五代时后周太祖广顺二年（952）写本。《算书》载有男丁给米，养马给粟，造袍用绵，城楼用兵，石车钩弩，领军出征等问题，显然适应于军事计算的需要，因此这部书可能1《新唐书》卷二八《历志》。
1《新唐书》卷五九《艺文志》，《宋史·律历志》。
2详见李俨：《中国古代数学史料》，上海科学技术出版社1963年版。以下敦煌算书引文，均转引自此书。写于战乱频仍的五代时期。《立成算经》关于大数记法和度量衡制度趋于简约，与《孙子算经》和《算经（并序）》有所不同，所列算法表也很简明扼要，便于查索，因此可能也是五代时的作品。敦煌藏经洞发现的这四种算书所包含的数学内容主要有算筹记数法、大数记法、度量衡制，以及乘法口诀、四则运算、面积、体积计算和算表等，其中所载算题及乘法、乘方、累加和田亩等计算用表，有些很有实用价值，为唐以前算书所未见。这些来自民间的算书，反映了唐宋之际民间数学教育和数学知识应用的真实情况。
第六节中外数学交流
南北朝和隋唐时期，随着佛教的流传，印度的一些天文学和数学著作也传入中国，并且有了中文译本。《隋书·经籍志》著录有《婆罗门算法》3卷，《婆罗门阴阳算历》1卷，《婆罗门算经》3卷，但这些书早就失传了，现已无法查考其具体内容。唐代还有一些印度天文学家在当时的司天监工作，主要有瞿昙、迦叶和俱摩罗三家，尤以瞿昙家族的成就最为突出。如著名天文学家瞿昙悉达，曾担任过太史监等官职，编撰有《开元占经》120卷。在这部书所收的《九执历》中，他所介绍的印度数学知识有印度数码，如用9个数码符号表示9个数字，用点表示空位或零，但该书仅用方框表示而没有写出这9个数码的具体写法，以致印度数码未能在中国流传下来。印度数码亦于中世纪传入阿拉伯国家，后又传入欧洲，经过书写形式上的演变，从而形成了现在世界通用的印度—阿拉伯数码。瞿昙悉达介绍的印度数学知识还有圆弧量法、间隔为3°45′的正弦函数表等。其圆弧量法是把圆周分为360度，每度分为60分，与古希腊人的弧度量法相同，而与中国古代天文学家把周天分为度不同。但是，这些较先进的印度天36514文算法，与中国传统的算法体系难以协调，中国学者中具有代表性的看法是“其算皆以字书（笔算），不用筹策。其术繁碎，或幸而中，不可以为法。名数诡异，初莫之辩也”1。因而这些内容都没有被中国数学家和天文学家所采用。传入中国的印度数学，后来仅有大数记法与小数记法，对中国数学有所影响，如元代数学家朱世杰《算学启蒙》中的“极”、“恒河沙”、“无量数”、“虚”、“空”、“弹指”等大数与小数名称，都来自佛教经典。另一方面，在钱宝琮主编的《中国数学史》中，列举了十进位值制记数法、四则运算、分数、三率法、弓形面积与球体积、联立一次方程组、负数、勾股问题、圆周率、重差术、一次同余组、不定方程问题、开方法和正弦表的造法等14项数学内容，用以说明有些与中国数学极其相似的问题和算法，后来又出现在印度的数学著作中，因此印度数学的这些内容很可能受到了中国数学的影响。当然这还需要寻找更确切的证据，中印数学之间的关系是一个值得深入探讨的课题。
中国与朝鲜、日本之间的文化交流，源远流长。中国数学是朝、日两国早期数学发展的基础，其影响之大是可想而知的。在朝鲜，据《三国史记》记载，新罗早在七至八世纪，便曾在“国学”（相当于中国的国子监）内设立算学科，置“算学博士若助教一人，以《缀经》、《三开》、《九章》、《六章》教授之”1。其中所说《缀经》，当是祖冲之《缀术》，《九章》即《九章算术》，而《三开》、《六章》为何书则在我国古籍中未见记载。总的来说，其数学教育制度与所用教材，均与唐朝国子监算学馆相类似。十至十四世纪的高丽王朝也建立了类似的制度。他们还多次派人来华采购各种书籍，其中也包括数学书籍。在日本，早在公元三世纪，日本就开始吸收中国的数学知识，而从六七世纪日本的飞鸟、奈良时代起，中国的历法和数学就更多地直接或经由朝鲜间接地传入日本。日本于八世纪初设立学校，讲授数1《新唐书》卷二八《历志》四下。
1金富轼：《三国史记》卷三八《职官》上。
学，据日本养老二年（718）公布的《养老令》及其释义书《令义解》（833）记载，可知当时所用教材有《孙子》、《五曹》、《九章》、《海岛》、《六章》、《缀术》、《三开》、《重差》、《周髀》、《九司》等十部算书。其教职人员的设置、学生人数、学习内容和考试方法等也与唐朝国子监算学馆的制度相类似。宽平年间（889—897）藤原佐世奉敕编撰《日本国见在书目》，记录了当时在日本可以见到的各种书籍。在其中的“历数家”一门中，除记载了《周髀》、《九章》等秦汉以来的算书外，还记录了《六章》、《三开》等见于朝鲜书目的算书，此外也还有一些中国和朝鲜厉代书目都未载而仅见于日本的算书，如《九章私记》、《六章私记》、《新集算例》、《元嘉算术》、《要用算例》、《五行算术》等。这些著作中有些是中国人的作品，有些则可能是日本数学家在中国数学影响下而自行创作的作品。日本在相当长的时期内直接行用中国历法，如《元嘉历》、《麟德历》、《大衍历》和《宣明历》等，这些历法中所包含的数学方法加二次插值法等自然也相应地传入了日本。
