钦定四库全书

晓庵新法卷一

吴江王锡阐撰

勾股

置四方形从两隅斜分之损半为三边之形形之两边从横相遇其隅中矩曰勾股横为勾从为股

旧法短为勾长为股今不论短长但以从横为定

斜行以两端属於勾股之端者曰弦

此为勾股之弦与割圜法中全正较三弦异理

勾股各为幂

自因曰幂

相从平方开之得弦数弦为幂

勾股两幂相从即弦幂

以勾幂消弦幂为股幂

即股自因数

股幂消弦幂为勾幂

即勾自因数

各以平方开之得勾股之数

假如勾数三股数四勾数自因得九为勾幂股数自因得一十六为股幂两幂相从得二十五为弦幂平方开之得五为弦数余仿此

割圜

置全圜四分之曰象限

日度九十一度少强爻限九十六爻平限九十限

六分之曰纪限

日度六十一度弱爻限六十四爻平限六十限

十分之曰专限

日度三十六度半强爻限三十八爻四十策平限三十六限

参分象限之一曰辰限

日度三十度半弱爻限三十二爻平限三十限

四分纪限之一曰气限

当辰限之半日度一十五度少弱爻限一十六爻平限一十五限

参分专限之二曰髀限

日度二十四度强爻限二十五爻六十策平限二十四限

三百八十四分圜周之一曰爻限

全周三百八十四爻其一爻当日度之九十五分有奇平限之九十三分太

三百六十分圜周之一曰平限

全周三百六十限其一限当日度之一度一分半弱爻限之一爻又三十分爻之二

以岁周分圜周曰度限

亦曰日度全周三百六十五度少弱其一度当爻限之一爻五策有奇平限之九十八分半强

割圜周之一曰正弧

即用弧随所用大小不拘度分

正弧与象限之较曰较弧

置象限内减正弧得较弧

弧之对边与两端属於弧之两端者曰全弦全弦之半为其半弧之正弦

正弦亦曰正半弦既得正弦复置半弧为正弧

正弦与半径为勾弦求股为较弧之正弦亦为正弧之较弦较弦损半径为矢矢与正弦为勾股得全弦置半径内减较弦得矢矢为勾正弦为股勾股求弦得正弧全弦半之又为半弧之正弦用此法可以递损半弧求其正弦

圜之全径为半周全弦

二度

半径为象限正弦亦为纪限全弦

一度

自为勾股得象限全弦

一度自因倍为实平方开之得一度四十一分四十二秒一十三微半强即象限全弦

全径为幂四分去一

三度

平方开之得倍纪全弦

倍纪当日度之一百二十一度太弱爻限之一百二十八爻平限之一百二十限其全弦得一度七十三分二十秒五十微太强

半之为纪限正弦

八十六分六十秒二十五微半弱

四分全径之一为勾

五十分

半径为股求弦去勾为专限全弦

六十一分八十秒三十四微弱

其幂与半径之幂相从平方开之得倍专全弦

倍专当日度之七十三度强爻限之七十六爻八十策平限之七十二限其全弦得一度一十七分五十五秒七十微半强

半之为专限正弦

五十八分七十七秒八十五微少强

纪限专限正弦相损为股

两正弦数俱见上相损存二十七分八十二秒四十微弱

较弦相损为勾

纪限较弦五十分专限较弦八十分九十秒一十七微弱相损存三十分九十秒一十七微

得髀限全弦

勾股求弦得四十一分五十八秒二十三微半弱即髀限全弦

有不齐之两弧互以正弦因较弦相从为两弧相益之正弦相消为两弧相损之正弦倍正弦因较弦为倍弧之正弦

各随用弧大小不拘度分

中分纪限全弦为辰限正弦

五十分

置辰限求全弦

五十一分七十六秒三十八微强

半之为气限正弦

二十五分八十八秒一十九微强

以弦矢术递损其半至四分爻限之一之正弦而止四分爻限之一得二十五策其正弦四十秒九十微半强

以二十五为法分之为百分爻限之一之正弦

百分爻限之一即一策其正弦一秒六十三微半强

用两弧损益之术得三百八十四爻及诸策之正弦又法置髀限以弦矢术递损其半至二十分爻限之一【即五策】之正弦而止其数八秒一十八微强为实五策为法而一亦得百分爻限之一之正弦

半径因正弦为实较弦为法而一得外切圜分

省曰切分

半径自因为实较弦为法而一得割圜界分

省曰界分

较弧损半其切分如正弧切分即正弧界分较弧损半其切分减正弧界分即正弧切分

命半径为一度

诸率以半径为法因之者可免因法以半径为法而一者可免分法後俱从省

当日度之五十八度有奇爻限之六十一爻有奇平限之五十七限少强其一分当日度之五十八分有奇爻限之六十一策有奇平限之五十七分少强

径一则围三有奇围三则径一不足命全径为二度得围法六度二十八分三十二秒不足用分全周得本文诸数

变率

正弧过一象限者与半周相消

设有正弧一百爻是为过一象限之弧与半周初减存九十二爻余仿此

过半周者内损半周

设有正弧二百爻是为过半周之弧内减半周存八爻余仿此

至三象限已上者与全周相消

设有正弧三百爻是为三象限已上之弧与全周相减存八十四限

各以所存之弧代正弧求弦矢诸数

割圜器表止一象限而全周之为象限者四故正弧过一象限已上者与全周半周相减以所存之弧求正较弦矢切分界分

通率

有日度求爻限者以爻限周因之如岁周而一

爻限周三百八十四每度得一爻五策一十三分五十七秒少弱

有爻限求平限者以平限周因之如爻限周而一平限三百六十每爻得空限九十三分七十五秒

有平限求日度者以岁周因之如平限周而一

每限得一度一分四十五秒六十一微半强

若反求者以因法为分法分法为因法

有日度求平限者以平限因之如岁周而一每度得空限九十八分五十六秒四十七微少强有平限求爻限者以爻限周因之如平限周而一每限得一爻六策又参分策之二有爻限求日度者以岁周因之如爻限周而一每爻得空度九十五分一十一秒五十一微半强

自一度以上因陟而上分降而下自一度以下因降而下分陟而上

假如一度以上者以三度因四度得一十二度故曰因陟而上以四度分三度得百分度之七十五故曰分降而下又如三度之幂得九度四度之幂得一十六度因陟而上也置九度平方开之得三度置一十六度平方开之得四度分降而下也余仿此

假如一度以下者以百分度之二十因百分度之一十得百分度之二故曰因降而下以百分度之一十分百分度之二十得二度故曰因陟而上又如百分度之五十其幂得百分度之二十五因降而下也置百分度之二十五平方开之得百分度之五十分陟而上也余仿此

晓庵新法卷一