a. 解释弁言

这里的解释分以下两条：1.关于符号；2.关于推论。

1. 关于符号。

以下的符号不必有以下的意义，可是事实上我们给它们以以下的意义。“p，q，r…”解释成未解析的命题。在本书我们不说它们是最初级的命题。“最初级的命题”这一名称似乎有困难。如果命题要解释，如果我们免不了要用解析的方法以研究命题的意义，则是否有“最初级的命题”，颇发生疑问。即有这样的命题，我们也不容易举例。我们手指一物说“这是红的”。“这是红的”是否最初级的命题颇不易说；但只要我们不解析它，它总是未解析的命题。

“├”表示断定。每一命题都有断定的成分在内。假如我向窗外一望说“今天天晴”，“今天天晴”是一命题，有断定成分夹在里面；假如我讨论命题，说“即以‘今天天晴’”为例，严格地说，“今天天晴”不是命题，因为它没有断定的成分。“├”既表示断定，有此符号的命题，均为此系统断定为真的命题。

“～”表示“非”“负”“假”。它可以视为运算（operation），也可以视为真假两值中的假值。有时运算与值一样，有时不一样。有此符号的命题有时此符号表示此命题之为假，有时无此表示。即以本系统的矛盾律而论，“├：～（p·～p）”，括弧外面那个“～”表示括弧里面的命题是假的；可是括弧里面那个“～”，严格地说，只能视为运算；因为假设p代表一真命题，则括弧里的“～”不过表示p的反面而已。但系统的推行既没有因此发生什么困难，我们也不必多所计较。

”表示“或者”， 表示“p是真的或者q是真的”。这里的“或者”是相容的或者，所以p、q皆真也是一可能，所排除的不过是二者皆假而已。 也可以读成“p、q之中至少有一为真”。负p或负q的情形同样，“～p ～q”可以读成“～p、～q之中至少有一为真”。～ 即“‘p、q之中至少有一为真’是假的”，那就是说“p是假的，q也是假的”。

“=……df ”表示定义，例如 。定义不是本系统的命题，它不过表示符号的用法而已。等号之后，加上“df ”，即表示定义；那就是说，左边符号的意义就是右边符号的意义。定义既是以比较简单的符号代替比较复杂的符号，所以严格地说来，系统无定义也可以推行，不过不甚方便而已。

表示“蕴涵”或“如果——则”， 表示“如果p是真的，则q是真的”。照定义，这句话的意义就是“p是假的或者q是真的”，或者“‘p是真的而q是假的’是假的”。这样的“如果——则”很受了些批评。它是否普通的“如果——则”，颇发生问题；普通的“如果——则”，究竟是怎样的“如果——则”也不见得容易认清楚。但普通的“如果——则”的诸意义中有这里的“如果——则”的意义，同时这里的“如果——则”，在本系统范围之内，似乎没有不清楚的地方。

“·”表示“与”或“和”，或“而且”，或“既——又”；“p·q”表示“p与q都是真的”。这命题所要求的是p与q无一是假。基本定义说“p·q”的意义就是 的意义。点尚有另外用法，详见下述。

“≡”表示命题的真假值相等，“p≡q”表示“p与q或者同真，或者同假”。它的定义是 。这就是说“p·q”或者“～p·～q”，因为 取消“p·～q”，而 取消“～p·q”。在p. m.（ principia mathematica之简称）中 “·”“≡”是分开来的，本书把它们的推演集为一部。

点除表示“与”“和”……之外，尚有以之为括弧的用法，点的数目表示括弧的大小，数目愈大，则所包括的愈多；而断定符号“├”后之点表示断定的范围。兹以下式为例：

断定符号后之两点表示所断定者为整个公式所表示的命题；命题中左右俱有一点的“ 为命题中的主要蕴涵关系。表示“与”的点例如“p·q”力量最小；在 两旁虽仅有一点，与表示“与”的点的数目相等，然因其力量大， 仍为此命题中之主要符号。

每一命题均有号数表示，而证明所根据的命题仅写其号数。假如证明中有［1.1·1.2］这样的符号，此符号表示所引用以为证明的根据的命题为“1.1”与“1.2”两基本命题。

表示以“～p”代替“p”，例如 ，此符号表示“1.2”

那一基本命题—— ——以“～p”代替“p”，成所要引用的命题 。

2. 关于推论。

p. m. 中基本命题共有十个，本书仅抄六个。其余四个一方面在本书不甚重要，另一方面它们所应付的问题，本节不预备提出，所以根本没有抄写的必要。

此处所谓“推论”是英文里的inference，推论原则即principle of inference。推论原则是非常之麻烦的原则，我们在第四部讨论它一方面的困难问题，此处不谈到。

本节的推论约有以下诸点我们应注意。

以下系统是现在所称为自足系统的系统，它有它本身所备的推论原则。既然如此，它的基本命题不仅是前提，而且是推论的方式。命题虽只有一套，而用法不只一样。有些前提只是前提，不能以之为推论方式，例如：

所有的人都是有理性的动物，

孔子是人，

所以孔子是有理性的动物。

这里的前提均不是推论的方式，前提的真假与推论的对不对不相干。设有下例，则情形不同：

所有真命题所蕴涵的命题都是真命题，

“q”是真命题所蕴涵的命题，

所以“q”是真命题。这里的推论方式与以前的一样，其不同之处即此推论方式亦同时为其本身之一例。在此处我们承认大小前提为真命题，也承认大小前提蕴涵结论，也承认结论是真命题；可是，我们没有明白地说这里的结论就是小前提所说的“q”那样的命题。我们可以换一方法表示此意：设以此种推论方式为“a”方式，这里由大小两前提而达到结论的推论方式也是“a”方式；可是，我们虽知此方式为“a”方式，而没有明文表示它是“a”方式。所有的推论都有这里所说的情形，这情形不是推论原则的问题，是引用推论原则的问题。推论原则可以明文表示，而推论原则的引用，严格地说，不能以明文表示；因为推论原则的引用总是特殊的，而承认此引用为普遍方式之一例，也是特殊的。我们虽欲以明文表示推论方式的引用，每次所表示的虽在明文范围之内，而那一次的表示不在明文范围之内。换句话说，总有一次的引用是直接的；既然如此，我们不如干干脆脆、一刀两断，承认推论原则的引用是直接的。在第四部我们对于此困难问题，稍加讨论，此处不再提及。

照以上所说的看来，头一例中的前提仅是前提，后一例中的前提不仅是前提，而且也是推论的方式。本系统中的基本命题不仅是前提，而且是推论原则；这不过是说，它们有两种用法。以它们为前提是把它们当作结论的根据，由它们所能得到的结论是本系统所能承认为真的命题；以它们为推论原则是把它们当作推论的根据；合乎此原则的推论是本系统所承认为对的推论。

在解释符号的时候，我们曾举 ，说这符号表示 ，这一基本命题，以“～p”代替“p”之后，即为 。这里就有以基本命题为原则，直接断定后一命题即为前一命题的例。本系统中的“p，q，r…”既均为任何未解析的命题，则“～p”亦可为“p”之一例，（“～p”也是未解析的命题，这一点本书没有明文表示），所以我们能以“～p”代替“p”；所要求的是，如果在一处以“～p”代替“p”，则一公式中所有的“p”，均须以“～p”代替之。

本系统的基本命题之中，我们写上了：“真命题所蕴涵的命题是真命题”这一命题。原书中有两个类似的基本命题，一引用于未解析的命题，一引用于命题函量。但如果本书所抄的系统仅用以下的“1.1”已经尽职（是否如此颇有问题），我们不必有两个类似的基本命题。

b. 基本概念与基本命题

1. 基本概念：

a.“ p，q，r…”表示未解析的命题；

b. 表示“或”； 表示p、q中至少有一为真；

c.“ ～”表示“非”或“假”；“～p”表示“非p”，或“p是假的”。

2. 基本定义：

3. 基本命题：

l.1，真命题所蕴涵的命题是真命题。

c. 命题的推演

（这命题说：如果一命题p是真的蕴涵它自己是假的，则它是假的。右角的号数是原书中此命题的号数。）

（这命题说：任何命题蕴涵一真命题。请注意此处的蕴涵是所谓真值蕴涵。此点在第四部会提出讨论。）

（这命题说：如果p是真的蕴涵q是假的，则q是真的蕴涵p是假的。前一部分为一假言命题，如果p真则q假；后一部分亦为一假言命题，但对于前一部分等于说否认前一部分的后件，亦即否认前一部分的前件。）

（这命题说：如果在p真条件之下，q蕴涵r；则在q真条件之下，p蕴涵r。在真值蕴涵的情形之下，前后两部分的p、q可以更换位置。参见g. moore，philosophical studies一书中关于外在关系的讨论。）

（此处最后一行括弧内的数目表示（1）（2）皆真，（2）既为（1）之前件，则根据（1.1）（1）之后件亦真，而（1）之后件即为所欲证明之命题。以上2.05，2.06，在p. m. 称为三段论原则。以后的“bardara”三段论即由它们推出。）

（此为同一原则。在p. m. 中同一原则与同一律不同。本书不讨论这一点。）

（在此证明中请注意以下诸点：设以 为p1 ，以 为 为p3 ， 为p4 ；以上（3）行表示p1 蕴涵p2 ，（4）行表示p2 蕴涵p3 ，（6）行表示p3 蕴涵p4 。最后证明的命题为p1 蕴涵p4 。为使推论的层次严谨起见，此证明利用2.05所表示的三段论原则，证明p1 既蕴涵p2 ，p2 既蕴涵p3 ，（8）行表示p1 蕴涵p2 蕴涵p1 蕴涵p3 ，（9）行的结论是p1 蕴涵p3 ，（10）行的推论是p3 蕴涵p4 蕴涵p1 蕴涵p3 蕴涵p1 蕴涵p4 ，而此最后即为所要证明的命题。

此证明中有连锁推论；若从简便，由（3）（4）（6）已可以得p1 蕴涵p4 的结论。

同时如果利用“ ”的定义，则第四基本命题即为此处所要证明的命题。）

（以上2.14、2.15、2.16与2.03那一命题相似，属于一类。它们都是表示否认后件亦即否认前件。至于前件与后件单独地究竟为真为假与它们当然无关。在p. m. 中这四个命题称为principles of transportation。）

（2.17与2.01成一对。2.01说：如果p是真的蕴涵p是假的，则p是假的；2.17说：如果p是假的蕴涵p是真的，则p是真的。这里前后两部分仅说是“真”或是“假”，但“则”字后之“真”，可以有必然的意义，“则”字后之“假”，同时也可以有不可能的意义。）

（此命题与2.02成对，均为真值蕴涵的特别情形。2.02说：任何一真命题被任何命题蕴涵；2.19说：一假命题蕴涵任何命题；这一点在第四部还要提及。）

（此证与原书中的证明不同。因为我们抛开了好些命题，我们不能用原来的证明。可是，一个证明用不着这样长，读者可想方法求短的简单的证明。此后有好些证明都不是原书中的证明，但本书没有特别表示它们不是。）

（此命题说：如果p不蕴涵q，则q蕴涵p。如果所谓独立的命题是彼此没有蕴涵关系的命题，则本系统的命题没有独立的。）

（这命题说：如果p是真的，则q是真的蕴涵p与q都是真的。这命题可以是一种推论的方式，至少在本系统范围之内，我们可以利用它把两个分别断定的真命题，合起来断定其为真。例如2.28与2.29可以使我们得“├：p·q·≡·～（～p ～q）”的结论。）

［（2）·（6）·1.1］├：～（p·～ p）

（此为“矛盾律”：“p是真的又是假的是假的。”我们以“与”的思想表示矛盾律，以“或”的思想表示排中律；“或”的思想出现在前，所以排中律先矛盾律而出现。这不过是说在本系统的成文秩序中，排中律在前，矛盾律在后，这与它们彼此的重要问题没有关系。

在此证明中，我们利用排中律去证明矛盾律，这当然纯是根据于成文的先后；设成文的先后反转过来，我们也可以利用矛盾律去证明排中律。）

（此两命题均为三段论原则之另两种表示，以后亦利用之以为推论。这两个命题与传统的三段论比之2.05、2.06更为切近，2.40使人想到“barbara”。情形当然不同，因为这里的p、q、r、 、 、 ，不必是传统三段论中的a、e、i、o那样的命题。）

（此命题说：如果p是真的，而p蕴涵q也是真的，则q是真的。

请注意在此证明中，由（5）（6）而得（7）的结论，其推论与2.41这一命题相似；我们可以把它写成：

不同之点如下：

（一）在证明中的推论，（5）与（6）两前件本系统均断定其为真，而在2.41这一命题中，p与p　q两前件，我们仅假设其为真，究竟为真与否，无从说起；2.41所断定的是整个的命题，而不是前面那一部分。

（二）在证明中的是推论，是inference。而在这命题中的是蕴涵，是implication。推论说得通的时候，定有蕴涵关系；但有蕴涵关系的时候，不必有推论。在证明中，我们可以说（5）是真的，（6）是真的，“所以”（7）是真的；2.41这一命题虽是真的，而我们既不能说前件是真的，我们也不能说“所以”后件是真的。

（三）证明中的推论的根据是1.1那一基本命题，由此可以知道1.1与2.41为不同的命题。）

（此命题所表示的可以用所谓anti-syllogism为例。设有以下甲乙两组的命题，以普通的三段论的形式表示之，2.42说甲组蕴涵乙组。

请注意以上的例有很不妥当的地方；2.42这一命题没有断定p、q、r之为真为假；用普通语言表示，它不过是说如果甲组是对的，乙组也是对的。）

（此命题与第六基本命题成对，第六基本命题表示“或”方面的关系，而此命题表示“与”方面的关系。）

（以上2.54、2.55、2.56，三命题表示命题的真假值相等有自反质（self-reflexive）、对称质（symmetrical）、传递质（transitive）。蕴涵仅有自反与传递质。）