本章分以下各节：a.具一表面任指词的命题的推演；b.具两表面任指词的命题的推演；c.具相同思想的命题的推演；d.具叙述词的命题的推演；e.类词的发现与关系词的发现。本节的宗旨在介绍原书中一步一步的推演办法。

a. 具一表面任指词的命题的推演

1. 解释弁言。

兹假设未解析的命题是“这（指一东西）是红的”，或“这（指一东西）比那个（指另一东西）大”这样的命题。这样的命题可以解析成“个体词（数目不定）——谓词（此处的谓词非第一部的宾词）”。如以“x，y，z…”表示个体，为个体词；以“φ，ψ，χ…”表示“性质”，为谓词；则未解析的命题可以容纳到“φx”或“φ（x，y）”等等的命题；而“φx”“φ（x，y）”等等，本书称之为命题函量。

“x，y，z…”“φ，ψ，χ…”均称之为任指词。所谓任指词者，是说“x，y，z…”等虽指个体，而不指某一个体；“φ，ψ，χ…”虽指性质，而不指某一属性或某一关系质。这里的任指词似乎可以称为“变词”，但无论“任指词”这一名词是否有毛病，而“变词”这一名词总有毛病。词无所谓变，而“x，y，z…”“φ，ψ，χ…”也无所谓变。说它们变者在此处似乎是定与不定的问题。任指词一方面“定”，因为“x，y，z…”定指个体；另一方面“不定”，因为它们不定指某某个体。普通指必有所指，而所指者大都是能以“某一”相称的东西或情形。任指词既不指出一能以“某一”相称的东西或情形，而同时又有一固定的范围，所以“x，y，z…”指个体范围之内的任何一个，而“φ，ψ，χ…”指性质范围之内的任何一性质。

“x，y，z…”所表示的个体，可以是，而不必是我们经验方面的“具体的东西”。个体两个字仅有相对的意义，它们所代表的不是性质，不是命题，不是函量；可是在一公式内是个体者在另一公式内不必是个体。此处所要求的个体不过是在一范围之内或不是那一范围之内的性质或命题或函量而已。

“φ，ψ，χ…”为“谓词”，它们所代表的是性质。照此处的用法，性与质不同；性为质，而质不必为性；性属于一个体，所以称之为属性；质可以兼存于多数个体之间。兹以性质二字总其和。代表性质之词称之为“谓词”。谓词在此处与第一部所谈的宾词不同；在那里的宾词可以说是完全代表属性，此处的谓词也代表关系。“φ，ψ，χ…”均为谓词，均代表性质，不过没有指出某一性质而已。

“φx”为命题函量，而非命题。“x”既未指出某一个体，“φ”也没有指出某一性质，“φx”无所谓真假，所以不是命题。它也是任指词，它虽未指出某一命题，而代表具某种形式的命题。假设“φ”所指者为“是红的”，则“x”的范围受限制；假设“x”所指者为我们所称为“书”的个体，则“φ”受限制。这里有能有意思与不能有意思的问题，本篇不提出讨论。

我们可以用符号表示“φx”总是真的。如果我们遵照p. m. 的办法用“（x）”表示“任何”或“所有”或“凡”x，则“（x）φx”表示“一切都是φ”，或“φx总是真的”。如果我们用 表示“有x”或“至少有一x”，则 表示“有x是φ”，或“至少有一x是φ”。在p. m.中，（x）φx与 均视为命题，这或者是对于“φ，ψ，χ…”之所指，p. m. 根本没有兴趣。无论如何，假设我们写出这样一句话来，“（x）x是红的”；这句话是一命题，因为这等于说“一切都是红的”，而这里的x已经不是货真价实的任指词，而是p. m.中的apparent variable，本书称之为表面任指词。

p. m. 中一部分的推论是（x）φx、 ，这样命题的推论，而这样命题的推论中也有（x）φx　φx这样的命题。这一部分就是本段的具一表面任指词的推论，它也有几个基本命题，可是在本书我们可以不必提出。本段仅抄出几个命题。证明的方式与上节的一样。我们在此处所注意的既仅是命题，而不是它们排列的系统化，我们不必抄写旧证明，也不必发现新证明。各命题的号数均为原书中的号数。

2. 本段所选的几个命题。

（这命题看起来似乎就是传统演绎法里的由a到i的推论，其实有问题。传统逻辑中的 a、e、i、o，不是（x）φx、 这样的命题，但蕴涵关系相似。）

（此与10.25有同样的情形，它很像由e之真推到a之假。）

（10.252好像是说i命题的假等于e命题的真，10.253好像是说a命题的假等于o命题的真。可是，我们还是要记在心里（x）φx、 等等不是传统逻辑中的a、i等等命题。）

（此即普通三段论之一种。设“φz”代表“z是人”，“ψz”代表“z是会死的”，“x”代表任何一个体；则此命题说“如果任何一个体z是人蕴涵z是会死的，而x这一个体是人，则x是会死的”。通常引用的“所有的人都是会死的，孔子是人，孔子是会死的”是这样的三段论，其推论的根据就是这个命题。可是这命题与10.3那一命题不同。严格地说，只有那一命题才是aaa，这一命题不是，因为如果 是“a”命题，则φx不是“a”命题，而ψx的结果也不是“a”命题。同时我们也可以注意：传统演绎法既把三命题分开来，使人注重到它们在事实方面个别的真假问题；p. m. 系统没有说 是真的，也没有说φx是真的，也没有说ψx是真的；p. m. 只说10.26这一整个的命题是真的。）

（此两命题是一对，10.27说如果凡φ是ψ，那么，如果一切是φ，则一切是ψ。10.28说如果所有的φ都是ψ，则有φ即有ψ。）

（这就是说：说凡φ是ψ，凡φ是x，等于说凡φ既是ψ又是χ。）

（此命题实即传统演绎法里的“aaa”，不过三个命题的位置稍有不同而已。传统的“aaa”的排列为大前提、小前提，而后结论；若照那样排法，此命题中的第二命题应该摆在最前面。可是，我们要知道，这命题前件中的两命题，哪一在前哪一在后，在本系统没有关系。

在原书中，此命题的证明利用第一节中已证明的三段论的原则。

这没有什么毛病，因为上节的命题是未解析的命题，所以是另外一套。兹以下例表示：

2.39，那一命题如下，

设以“p”代表“孔子是中国人”

“q”代表“孔子是人”

“r”代表“孔子是会死的”

那么，2.39说：“如果孔子是中国人蕴涵孔子是人，而孔子是人又蕴涵孔子是会死的；则孔子是中国人蕴涵孔子是会死的。”我们若不用以上三命题，用另外意义无关的三命题，只要它们有以上真值蕴涵的关系，2.39那一命题仍为三段论原则。可是它没有表示：“如果凡中国人是人，凡人是会死的；则凡中国人是会死的。”这个，在本系统中，到10.3这一命题才表示出来，而这个推论才是真正的“aaa”。）

（此两命题中头一个表示相等有传递质，第二个表示相等有对称质。）

10.412，├：（x）·φx ≡ ψx·≡·（x）·～ φx ≡～ ψx

（此命题与传统的直接推论的换质法相似，可是传统演绎法中的“a”命题不是“（x）·φx≡ψx”这样的命题。这样的命题，用普通语言表示，可以说是“所有的φ是所有的ψ”，或“无论哪一件东西说它是φ等于说它是ψ”，或“凡φ是ψ，凡ψ是φ”。

l0.412说“说所有的φ是所有的ψ，等于说所有的非φ是所有的非ψ”，或“说凡φ是ψ，凡ψ是φ，等于说凡非φ是非ψ，凡非ψ是非φ”。）

（此命题与10.42那一命题表示“或”与“与”的分别。那一命题的等号不仅表示前一部分蕴涵后一部分，而且后一部分蕴涵前一部分。10.5则不然，它说：“如果有x是φ与ψ（此一部分暂视为传统逻辑的“i”命题，“有φ是ψ”），则有x是φ，而且有x是ψ。”举例来说，“如果有x是四方桌子，则有x是四方的，而且有x是桌子”；但反过来可不成，如果有x是中国人，而且有x是外国人，我们不能跟着就说有x是中国外国人（既中国且外国的人）。在“或”一方面，前部与后部相等；在“与”一方面，前件与后件不相等。可是，我们要知道在普通言语中，有些用“或”的话也是不能反过来的，例如“杀人者一定是张三或李四”不等于“杀人者一定是张三或杀人者一定是李四”。）

（此命题可以视为对待关系中由“i”假而得“e”真，由“e”真而得“i”假的推论；“有φ是ψ是假的等于无φ是ψ是真的”。此命题也可以视为由“e”到“a”的换质：“无φ是ψ等于凡φ是非ψ。”）

（这命题表示第三部的讨论是相干的讨论，因为这命题差不多明明白白地说 不是ac ，也不是ah ，而是an 。它的前件说没有是“φ”的x，或“φ”不存在；既然如此，则设 ，后件为假命题，设 为ah ，后件无意思。此命题既说如果无φ，则凡φ是ψ是真的，则所谓“凡φ是ψ”者只能是an 。而不能是ac 或ah 。）

（此命题可以视为disamis，第三格三段论之一式：

有 φ是 χ，

凡φ是ψ，

所以有ψ是χ。

不同之处就是：（x）·φx　ψx不是传统的“a”命题， 也不是传统的“i”命题，它们的位置也不是传统三段论大小前提的位置。）

b. 具两表面任指词的命题的推演

1. 解释弁言。

在原书中，本段有好几个定义，有一个基本命题。我们在此处仍用a段的办法，抄写几个命题。本书所选的命题不一定就是原书中所认为重要的命题。这情形不限于本段，本节各段均有。

表面任指词的数目可以很多，但在具多数表面任指词的命题中，仅举具两个表面任指词的命题以为例，已经够了。

这里的“φ，ψ，χ…”仍为谓词，但个体词的数目增加，谓词所指的情形与以前的不一样，而谓词的解释也受影响。最容易使人想到的就是关系，可是φ（x，y）在此处仍为命题函量，关系词尚未出现。

2. 本段所选择的几个命题。

（此命题与a段的10.252、10.253那样的命题相似。本段的命题在普通的语言方面都有表示的困难。若必欲以普通语言表示，我们似乎可以说“说有是φ的（x，y）是真的（x，y不必代表两个个体）等于说无是φ的（x，y）是假的”。（x，y）虽不必代表两个个体，而可以代表两个个体。在普通语言方面，对于一个体x，说x“是”什么，似乎不发生问题；对于两个个体（x，y），说它们“是”什么，就有问题；至少在中文方面，有时用“是”，有时不用。）（这就是上面那个命题，把它反过来说而已。）

（这是很重要的命题。我们可以举例如下：如果有x是任何y的上帝，则任何y有x是他的上帝；可是反过来不成，如果任何y有x是他的上帝，不见得有x是任何y的上帝；因为不仅所有的y可以有他们的共同的上帝，而且任何的y可以有他的个别的上帝。说这命题重要，不是说它包藏特别的大道理，是因为有好些人的反感以为它的后件真，前件亦真；没有这命题的明白表示，这反感或者不容易取消。）

（这两个命题与10.27相似，不过前一命题表示蕴涵，后一命题表示相等而已。1l.32说：“如果凡是φ的（x，y）都是ψ的（x，y），那么，如果一切（x，y）是φ，则一切（x，y）是ψ。”11.33说：“如果凡（x，y）说它们是φ等于说它们是ψ，那么，如果说凡（x，y）是φ等于说凡（x，y）是ψ”。）

（这与以上两命题差不多，不过后件不是具（x，y）这种表面任指词之命题，而是具 这种表面任指词的命题而已。这两种表面任指词的解释与a段一样。）

（这命题与10.3一样，也是三段论原则，不过它是两个表面任指词的三段论而已。以关系为例或者容易清楚一点：“如果对于任何的（x，y），x是y的哥哥，则x与y有共同的父母；对于任何（x，y），x与y有共同的父母，则x与y有共同的祖宗；那么，对于任何（x，y），如果x是y的哥哥，则x与y有共同的祖宗。”）

（以上命题可以说表示蕴涵有传递质，这个命题表示相等有传递质。同时它也是三段论原则之一。）

（这命题与10.42那一命题一样。这可见它所表示的道理不限于表面任指词的数目的多少。“说有是φ的（x，y）或有是ψ的（x，y）等于说有是φ或是ψ的（x，y）。”还是以关系为例容易清楚一点，我们可以说，如果有比y长的x，或者有比y大的x，则有比y长或比y大的x；反过来我们也可以说，如果有比y长或比y大的x，则有比y长的x，或者有比y大的x。由前到后、由后到前既均可以说得通，则照定义，前后相等。）

（此命题与10.5那一命题相似。它与11.41的分别也就是10.42与10.5的分别。即以上面的例也可以证实此命题。“如果有既比y长又比y大的x，则有比y长的x，也有比y大的x。”反过来可不成了。如果有比y长的x，也有比y大的x，不见得有既比y长又比y大的x，因比y长者不必比y大，比y大者不必比y长。）

（此命题与11.41差不多，分别仅在（x，y）与 而已。）

（此命题分三部分：头一部分说“有x，对于它‘无论任何y，φ（x，y）’是假的”，第二部分说“‘无论任何x，y，φ（x，y）’是假的”，第三部分说“有不是φ的x，y”。本命题说“说第一部分等于说第二部分等于说第三部分”。举例颇不容易。设第一部分为“有整数x，对于其他任何整数y，x大于y是假的”，这等于说“任何一整数大于另一整数是假的”，而这又等于说“有不大于y整数的 x整数”。）

（这命题的形式与10.252差不多，但复杂多了。我们可以说，说有x无论任何y，x小于y，等于说无论任何x，有y，x不小于y是假的。）

（此命题与“i”真等于“e”假差不多，但复杂多了。说有φ是ψ的（x，y），等于说无φ是ψ的（x，y）是假的。设φ（x，y）代表x与y同姓，ψ（x，y）代表x与y结婚，这命题说：说有同姓结婚者等于说同姓不婚是假的。）

（11.52那一命题与“i”真等于“e”假差不多，11.521这一命题与“o”假等于“a”真差不多。）

（这命题在语言方面前后两部分的分别很少。“它说有φx与ψy等于说有φx与有ψy。”此命题与11.42及10.5的不同处就是x与y无论代表一个体或不同的个体，它们总是两个个体词；此命题把φ、ψ两谓词分别地引用于两个体词，无论事实上分与合，前后两部分的真假值相等。举例言之，盼望能清楚一点。先就分言，设（x，y）代表两个体，例如有椅子与笔，则有椅子与有笔；而有椅子与有笔，则有椅子与笔，照定义，前后两部分相等。再就合言，请注意在此处我们先假设（x，y）代表一个体，在所谈的是一个个体的假设之下l0.5那一命题的前后两部也相等；例如有红脸与穿绿袍的“关云长”，则有红脸的“关云长”，有穿绿袍的“关云长”；而有红脸的“关云长”，有穿绿袍的“关云长”，则有红脸与穿绿袍的“关云长”。此处利用“关云长”以为个体者，不过是要表示所谈的是一个个体而已。在10.5的后一部分， ，我们无法知道是φ的x是否即为是ψ的x；如果是一个体，则那一命题的前后两部分的真假值相等，如果不是，则它们不相等。在本命题的前后部分，x与y事实上虽可以代表一个体，而在形式上它们本来是分开来的；无论是一个体也好，两个体也好，前后两部分的真假值总是相等。）

（此命题与10.53相似。如果把 （x，y）：φ（x，y）· ·ψ（x，y）视为“a”命题那样的命题，则它不是ac ，不是ah ，而是an 。）

c. 具相同的思想的命题的推演

1. 解释弁言。

p. m. 中这一部分的命题在本书中有解释方面的困难。相同的定义在原书中利用predicative function与axiom of reducibility两思想。本书因为种种理由，这两个思想根本没有介绍。所以原来的定义，本书不能直抄。同时用另外方法解释此定义，又为作者才力之所不能及。

这里的同，本书说是“相同”，因为它是否即为我们在知识论方面所能承认为同一律之“同”颇有问题。为便利起见，我们分“同”为以下四种：

甲、φ与φ同

乙、φ与ψ同

丙、x与x同

丁、x与y同

以上四种，甲乙为一类，丙丁为一类。甲乙是谓词方面的同，概念方面的同，关系方面的同，共相方面的同；丙丁的（x，y）虽不必是我们经验中的具体的东西，而可以是具体的东西，所以丙丁的同可以说是个体的具体的东西方面的同。

有些人的主张是把同一律的同限制到甲乙类，因为甲乙类的同不发生变的问题，而丙丁类的同免不了变的问题。本书的作者，不仅主张把同一律之同限制到头一类，而且主张把同一律之同限制到甲种；如此则同一之同是完全的、绝对的，而事物的变化无论如何的快，绝不至于影响到这样的同，因为这样一来，同一律对于具体的东西，没有肯定的积极的主张。照此看法，表示同一律的命题在p. m. 中可以是 那一命题，或“├：p≡p”那一命题，而不是“x，y，z…”出现之后的“├：x=x”那一命题。

但p. m. 那本书的主张不是这样。它的同是丙丁类的同，是“x，y，z…”出现之后才有的同，而表示同一律的那一命题在原书中是“├：x=x”那一命题。这样的同，照本书的作者看来，只是相同。“x，y，z…”虽不必代表我们经验中的具体的东西，而可以代表那样的东西；如果代表那样的东西，则“├：x=x”免不了变迁的问题，除非把这命题的效力限制到时点上去。

无论如何，本段所谈的同是原书中的同，不是本书作者所要求于同一律之同。

2. 本段所选择的几个命题。

（这就是说：如果x与y相同，那么，如果x是ψ，则y也是ψ（或y有x所有的性质）。根据以上的讨论“性质”二字，照a段的解释，就发生问题。）

（这命题比以上的更进一层。如果x与y相同，则说x是ψ等于说y是ψ。x与y间的等号“=”是个体的同，ψx与ψy间的“≡”是命题的真假值的相同。）

（这就是说：如果ψx是真的，而x与y同，则ψy也是真的。这里的证明是很容易的，读者可以试试。）

（如果ψx是真的，而ψy是假的，则x与y不同。这命题的证明也是很容易的。13.101，13.13，13.14，这三命题可以视为一套。）

13.15，├：x=x

（此即原书中的同一律。）

13.16，├：x=y·≡·y=x

（说x与y同等于说y与x同。）

（这个命题说：如果x与y同，y与z同，则x与z同。这里的三个命题也成一组。头一命题表示相同有自反质，第二命题表示相同有对称质，第三命题表示相同有传递质。）

（这两个命题表示凡与一物相同者彼此亦相同。这两命题与13.17那一命题实在表示一样的情形。）

（这两个命题表示凡与一物不相同者与其相同者彼此亦不相同。）

（这里头一个命题说：如果x与y相同，则说任何z与x相同等于说z与y相同。第二命题更进一步说：说x与y相同等于说，任何z，说它与x相同等于说它与y相同。）

（这命题说：如果任何y与x相同，则φy是真的等于说φx是真的。这是显而易见的理。说任何与x相同的东西是圆的等于说x是圆的，其他形形色色同样。）

（这命题在下段有用。它说：有c（c指某一个体，b亦然）说任何个体与b相同等于说它与c相同，而ψc是真的，这一句整个的话等于说ψb是真的。）

（这命题与13.191成一对。根据那一命题的例，我们可以说有与x相同的东西而它是圆的，等于说x是圆的。其他性质同样。）

（这个命题就是引用于两个表面任指词的13.195。）

d. 具叙述词的命题的推演

1. 解释弁言。

p. m. 的作者对于“美国皇帝是胖子”这样的话，很费了一番解析的工夫。这样的话一方面有存在的问题，另一方面又有所谓叙述词的问题。所谓叙述词者在原书中为description。“叙述词”这一名词很不好，可是如果我们改用“形容词”或“摹状词”结果恐怕更坏。

在此处我们稍微谈谈存在方面的困难。“龙不存在”这样一命题有什么困难呢？如果龙存在，那么就有那样存在的东西，我们不能先假设这样存在的东西，而又否认它的存在。如果龙不存在，我们的困难更大，我们不能提出一不存在的东西，叫它作龙，说它不存在。这样看来，龙存在，有困难；龙不存在，也有困难。照p. m. 的作者的解析，龙根本不是逻辑上的主词，仅是文法上的主词；不是命题的主词，而是一句话的主词。照他们的解析，“龙不存在”等于“‘有x，而x是龙’是假的”。这样一来，主词的龙已经消灭。

以上存在的问题，发生于叙述词。p. m. 曾举“author of waverley”以为叙述词的例。从这个例看来，原书中的“description”不便称之为摹状词，或形容词。我们可以用“孔子是《春秋》的作者”为例。这命题中的“《春秋》的作者”就是所谓叙述词。在英文里这种词都有“the”字在前面，很容易识别，在中文里似乎不容易；即以以上“龙不存在”那一命题中的“龙”字而论，它可以解释成叙述词，而不必作如是的解释。但“《春秋》的作者”是p. m.中所讨论的叙述词，它就是“（τx）（x作《春秋》）”。“孔子是《春秋》的作者”这一命题表示孔子与《春秋》的作者是一个人。但如果“《春秋》的作者”是某甲的名字，则此命题成为“孔子是某甲”；如果某甲不是孔子，则此命题是假的；如果某甲是孔子，则此命题成为“孔子是孔子”，而此绝非原来命题的意义。“《春秋》的作者”这样的叙述词，p. m. 称之为不完整的符号，其所以认为是不完整的符号的道理，因为它们似乎没有独立的意义。它们虽没有独立的意义，而具叙述词的命题仍有真假。单就“《春秋》的作者”而言，我们或不至于发生此处所提出的问题，但如果所讨论者为“法国的国王姓赵”“美国的皇帝是胖子”“帝尧是冬夏的作者”等等，则此处所提出的问题就会发生。

叙述词既无独立的意义，而只有具叙述词的命题的意义，我们所要解释的当然是后者，仍以“孔子是《春秋》的作者”为例，我们所要解释的不是“《春秋》的作者”这样的叙述词，而是“孔子是《春秋》的作者”这样的命题。解析起来，这一命题所肯定的有以下三命题：

a. 有一个x作《春秋》

b. 只有一个x作《春秋》

c. 作《春秋》的x是c，而c是孔子

如果三个命题之中有一为假，则“孔子是《春秋》的作者”为假。如第一命题为假，则根本就没有《春秋》的作者。如第二命题为假，即有《春秋》的作者，而作者不止一人；如第三个命题为假，则《春秋》的作者即有其人，而且即只有一人，那个人也不是孔子。兹以“φ”代表作《春秋》，“f”代表是孔子，“孔子是《春秋》的作者”可以有以下的表示：

在此表示中，叙述词已经消灭。“孔子是《春秋》的作者”看起来是简单的命题，其实不是。

p. m. 以（τx）（φx）代表叙述词，那就是说，满足φ的x。这种叙述词有时叙述存在的个体，有时叙述不存在的个体。前者的问题以上的讨论已经很够，后者的问题尚有应该补充的地方。例如“英国的国王不是胖子”，假设这一命题是假的，其根据是英国的国王事实上不满足“胖子”的定义，而不是没有英国的国王。但是，如果我们的命题是“美国的皇帝不是胖子”，则这一命题的假有不清楚的地方。我们可以把它解释成“有美国的皇帝，而他不是胖子”；但我们也可以把它解释成“有美国的皇帝，而他是胖子”是假的。“美国皇帝不是胖子”照第一解释是假命题，因为根本就没有美国的皇帝；照第二解释是真命题，因为美国皇帝是胖子是一假命题。这两种不同的解释要有符号方面的分别才行。p. m. 有以下不同的表示，其不同之处根据于叙述词力量所及的范围，而这个范围以叙述词右旁的点的多少表示之。例如以下甲乙两公式：

在甲公式中，（τx）（φx）的力量仅及于ψ（τx）（φ·x）而已，不达到p；如果（τx）（φx）叙述一不存在的东西，则 之前的命题既是假的，照以前已经证明 所有的含义看来，整个的命题是真的。在乙公式中，（τx）（φx）的力量及于整个的命题，如果（τx）（φx）叙述一不存在的东西，则此整个的命题是假的。这里甲乙两式的分别完全在叙述词右旁的点的多少。举例或者能使我们清楚一点，设（τx）（φx）叙述美国的皇帝，ψ代表是胖子，p代表“我不是人”。甲说“如果有美国的皇帝而他是胖子，则我不是人”；乙说“有美国的皇帝，如果他是胖子，则我不是人”。前一命题是我们日常生活中打赌的时候常说的话，它不过表示前件为假而已；所以如果前件是假的，则整个的命题是真的。后一命题中，美国皇帝的存在不是假设，所以如果没有美国的皇帝，则整个的命题是假的。

上面所说的“美国皇帝不是胖子”那一句话的两个解释有同样的问题，不过在此处与其从叙述词的力量的范围方面着想，不如从“不”的力量的范围方面着想。第一解释“有美国的皇帝，而他不是胖子”可以有以下的表示：

丙，（τx）（φx）·～ ψ（τx）（φx）；

第二解释“‘有美国的皇帝，而他是胖子’是假的”可以有以下的表示：

丁，～（（τx）（φx）·ψ（τx）（φx））。

在丙式中“不”的力量仅及于美国皇帝的“胖”而无关于美国皇帝的存在；所以只要美国皇帝不存在，这一命题就是假的。在丁式中“不”的力量及于美国皇帝是胖子这一整个命题；所以只要美国的皇帝不存在，这一命题就是真的。

2. 本段所选择的几个命题。

（这就是利用具叙述词的命题的定义说它与某样不具叙述词的命题真假值相等。前一部的写法可以从简仅写ψ（τx）（φx）。）

（这不过是具两个叙述词的命题，其他情形与以上的一样。）

（这里表示如果满足φ的x存在，则凡满足φ的（x，y）都相同。这里的叙述词是唯一的叙述词。）

（上段13.16那一命题说：x=y·≡·y=x，本命题不是由那一命题直接推论出来的，因为“a=（τx）（φx）”不是“a=y”的值，因为叙述词无独立的意义。）

14.131，├：a（τx）（φx）=（τx）（ψx）·≡·（τx）（ψx）=（τx）（φx）

（以上的注解在此处亦同样引用。）

（这段里的“a，b，c…”都指具体的个体而言。这两个命题所表示的情形一样，不过方法不同而已。如果某甲是《伯夷列传》的作者，而《伯夷列传》的作者是《货殖列传》的作者，则某甲是《货殖列传》的作者。前一命题不过少一叙述词而已。）

（这与14.142那一命题的分别不过是那一命题的“a”在这一命题中也以一叙述词表示之。这三个命题表示叙述词有传递质。）

（举例来说：“如果《伯夷列传》的作者就是《货殖列传》的作者，则说前者是汉朝人等于说后者是汉朝人。”这里的“等于”是真假值的等于。）

（如果一叙述词所叙述的东西存在，则如果所有的东西是ψ，这东西也是ψ。p. m. 的意见是以叙述词的存在为它有无性质的条件；如果它不存在，则存在东西所有的最普遍的逻辑方面的情形，它也没有；例如法国皇帝（现在的）既不胖也不不胖。这里的意见是否为治逻辑者所能赞成为另一问题。）

（这是一极显而易见的命题。如果有是φ的x，则有x的φ。“是”字不妥当，举实例时常用不着它。）

14.202，├：（x）·φx·≡·x=b：≡：（τx）（φx）=b：≡：（x）：φx·≡·b=x：≡：b=（τx）（φx）

（说“任何东西是φ等于说它是b”，这一整个的命题等于说“是φ的x是b”……）

（这个也很易见，读者自己可以给它以语言方面的解释。）

（举例来说：说《春秋》的作者是圣人等于说有某甲，他是《春秋》的作者而他是圣人。）

（这命题表示叙述词的存在至为重要。存在是具叙述词的命题的必要条件。如果我们能说《春秋》的作者是圣人，则《春秋》的作者存在。）

（这命题也表示叙述词的存在的重要。说《春秋》的作者存在等于说《春秋》的作者作《春秋》。“《春秋》的作者作《春秋》”，照p. m. 看来，不是必然的命题，因为如果没有《春秋》的作者，则这句话是假的。）

（14.13与14.131，两命题可以说是表示叙述词有对称质；14.14、14.142与14.144，三命题均表示叙述词有传递质。本命题表示在叙述词这一方面自反质与其他两质不同，叙述词的自反质须以存在为条件。“《春秋》的作者是《春秋》的作者”这一命题以“《春秋》的作者”的存在为条件，它不是必然命题；“美国的皇帝是美国的皇帝”是一假命题。）

e. 类词与关系词的出现

1. 类词的出现。

每一“φx”这样的命题函量有时有“x，y，z…”等个体满足它的要求，而满足一命题函量的个体就是那一命题函量所定的类。类是一命题函量的外延函量。如果两命题函量的真假值相等——那就是说，如满足这两命题函量的命题或者同真或者同假——则这命题函量所定的类是一类。

关于类，1910年版的p. m. 说，须有以下情形，才能尽类所要尽的职务。

（一）类的分子，其数目可以无量，可以等于一，可以等于零；设等于零，那一类就是空类。

（二）两真假值相等的命题函量所定的类是一类。例如“x是无毛的两足动物”，与“x是人”，无论x所指的是什么；头一命题是真的，后一命题也是真的；头一命题是假的，后一命题也是假的；在这样情形之下，无毛的两足动物类就是人类。

（三）反过来，定一类的两个命题函量，其真假值相等。这不过是表示一类的分子就只有那一类的分子，不属于一类的个体不成一类。

（四）不仅个体有类，类亦有类。

（五）在任何情形之下，一类不能视为它自己分子之一。所谓不能视为它自己分子之一者，是说断定它为自己分子之一的那一命题是无意思的话。

以上（四）（五）两条各有它的特别情形，（四）条可以说是数学基础之一，（五）条可以说是避免矛盾的原则。关于这一点以后如有机会还要提及。

在p. m. 类词与叙述词相似，它也是不完整的符号，这就是说它没有独立的意义。p. m. 说我们不必假设类的存在。这部书的作者只承认具类词的命题是有意义的命题，而类称在工具方面给我们以很大的便利。

在本书范围之内，类词的定义与摹状词一样有很大的困难。所要下定义的不是类词，而是具类词的命题。具类词的命题的定义也牵扯到axiom of reducibility与predicative function，而这都是本书没有提及的思想；所以对于定义，本书根本就不说什么。关于类的命题都是关于能满足一命题函量的个体的命题。设以 代表所有满足（px命题的个体，则关于类的命题或具类词的命题都是 式的命题。p. m. 给 下定义，而“f（ （φz））”是一具类词的命题函量。

满足一命题函量的个体就是一类， 就是满足φx的类。以后除少数命题外，在大多数命题中，我们用a、b、c、d等替代z^（φz）符号。

2. 关系词的出现。

在本书的a段，我们已经表示，φ、ψ、χ等谓词任指词表示性质。性为属性，质为关系质。本书以为x有一种关系质，就是x与另一个体有某种关系（此意见不必是原书作者的意见）。属性属于一个体，而关系质存于多数个体之间。既然如此，引用于一个体词的谓词表示属性，引用于多数个体词的谓词的表示关系。属性定类，凡满足φx命题函量的个体为一类；关系质定关系，凡满足φ（x，y）的个体有一种关系。

类与关系均有两方面，一为内包，一为外延。类的内包兹以类概念名之，类的外延就是类的分子。对于类，我们似乎很容易注重外延；可是对于关系，通常不大注重它的外延。本书的类是外延的类，那就是说，属于一类的个体；本书的关系是外延的关系，那就是说，有某种关系的个体。引用于一个体的谓词表示属性，所以φx这一命题函量所定的是类，而 表示类；引用于多数个体的谓词表示关系，所以φ（x，y）这命题函量所定的是关系，而， 表示关系。p. m. 不给类词下定义，给具类词的命题函量 下定义；不给关系词下定义，给具关系词的命题函量 下定义。