魏　刘徽　注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释

粟米〔1〕以御交质变易〔2〕

粟米之法〔3〕凡此诸率相与大通，其特相求〔4〕，各如本率。可约者约之。别术然也。

粟率五十 粝米三十〔5〕

粺米二十七〔6〕 糳米二十四〔7〕

御米二十一〔8〕 小十三半〔9〕

大五十四〔10〕 粝饭七十五

粺饭五十四 糳饭四十八

御饭四十二 菽〔11〕、荅〔12〕、麻〔13〕、麦各四十五

稻六十 豉六十三〔14〕

飧九十〔15〕 熟菽一百三半

糵一百七十五〔16〕

【注释】

〔1〕粟米：泛指谷类，粮食。李籍云：“粟者，禾之未舂。米者，谷实之无壳。”粟，古代泛指谷类，又指谷子。下文粟率指后者之率。“粟米”作为一类数学问题是“九数”之二，明之后，常称作“粟布”。

〔2〕交质：互相以物品作抵押，即交易称量。方程章五雀六燕术“交易质之”，即此义。质，评量，后引申为称，衡量。　　变易：交易。“交质”、“变易”后人都有使用，但笔者未查到刘徽之前的例句。

〔3〕粟米之法：这里是互换的标准，即各种粟米的率。法，标准。

〔4〕特：特地。

〔5〕粝米：糙米，有时省称为米。《九章算术》及其刘徽注、李淳风等注释单言“米”，则指粝米。粝，李籍云：“粗也。”指粗米，糙米。

〔6〕粺米：精米。李籍云：“精于粝也。”《诗经·大雅·召旻》：“彼疏斯粺，胡不自替。”毛传：“彼宜食疏，今反食精粺。”

〔7〕糳米：舂过的精米。李籍云：“精于粺也。”糳，本义是舂。

〔8〕御米：供宫廷食用的米。李籍云：“精于糳也。供王膳之米也。蔡邕《独断》曰：‘所进曰御。御者，进也。凡衣服加于身，饮食入于口，皆曰御。’”

〔9〕小（zhí）：细麦屑。李籍云：“细曰小。粗曰大。”《说文》：“，麦核屑也。”，麦屑。

〔10〕大：粗麦屑。

〔11〕菽：大豆。又，豆类的总称。

〔12〕荅：小豆。《说文》：“荅，小尗也。”“尗”同“菽”。

〔13〕麻：古代指大麻，亦指芝麻。《正字通》引《素问》云：“麻麦稷黍豆为五谷。”此指芝麻。

〔14〕豉（chi）：又音shì，用煮熟的大豆发酵后制成的食品。《释名·释饮食》：“豉，嗜也。五味调和，须之而成，乃可甘嗜也。故齐人谓豉，声如嗜也。”李籍云：“盐豉也。《广雅》云‘苦李作豉’。”

〔15〕飧（sun）：熟食，夕食。李籍引《说文》曰：“也。”《六书故·工事》：“飧，夕食也。古者夕则馂朝膳之余，故熟食曰飧。”

〔16〕糵：粬糵。李籍引《说文》曰：“米芽。”

【译文】

粟米为了处理抵押交换问题

粟米之率这里的各种率都相互关联而广泛地通达。如果特地互相求取，则要遵从各自的率。可以进行约简的，就约简之。其他的术也是这样。

粟率50 粝米27

粺米27 糳米24

御米21 小

大54 粝饭75

粺饭54 糳饭48

御饭42 菽、荅、麻、麦各45

稻60 豉63

飧90 熟菽

糵175

今有此都术也〔1〕。凡九数以为篇名，可以广施诸率〔2〕，所谓告往而知来〔3〕，举一隅而三隅反者也〔4〕。诚能分诡数之纷杂〔5〕，通彼此之否塞〔6〕，因物成率〔7〕，审辨名分〔8〕，平其偏颇，齐其参差〔9〕，则终无不归于此术也〔10〕。术曰〔11〕：以所有数乘所求率为实〔12〕。以所有率为法〔13〕。少者多之始，一者数之母〔14〕，故为率者必等之于一〔15〕。据粟率五、粝率三，是粟五而为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟当先本是一〔16〕。一者，谓以五约之，令五而为一也。讫，乃以三乘之，令一而为三。如是，则率至于一〔17〕，以五为三矣。然先除后乘，或有余分，故术反之〔18〕。又完言之知〔19〕，粟五升为粝米三升；分言之知〔20〕，粟一斗为粝米五分斗之三。以五为母，三为子。以粟求粝米者，以子乘，其母报除也〔21〕。然则所求之率常为母也。　　臣淳风等谨按：宜云“所求之率常为子，所有之率常为母”，今乃云“所求之率常为母”知，脱错也〔22〕。实如法而一〔23〕。

今有粟一斗，欲为粝米。问：得几何？

荅曰：为粝米六升。

术曰：以粟求粝米，三之，五而一〔24〕。臣淳风等谨按：都术，以所求率乘所有数，以所有率为法。此术以粟求米，故粟为所有数。三是米率，故三为所求率。五为粟率，故五为所有率。粟率五十，米率三十，退位求之，故唯云三、五也。

今有粟二斗一升，欲为粺米。问：得几何？

荅曰：为粺米一斗一升五十分升之十七。

术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。臣淳风等谨按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。

今有粟四斗五升，欲为糳米。问：得几何？

荅曰：为糳米二斗一升五分升之三。

术曰：以粟求糳米，十二之，二十五而一〔25〕。臣淳风等谨按：糳米之率二十有四，以为率太繁，故因而半之，故半所求之率，以乘所有之数。所求之率既减半，所有之率亦减半。是故十二乘之，二十五而一也。

今有粟七斗九升，欲为御米。问：得几何？

荅曰：为御米三斗三升五十分升之九。

术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。

今有粟一斗，欲为小。问：得几何？

荅曰：为小二升一十分升之七。

术曰：以粟求小，二十七之，百而一〔26〕。臣淳风等谨按：小之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七，为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为所有率。凡本率有分者，须即乘除也。他皆放此。

今有粟九斗八升，欲为大。问：得几何？

荅曰：为大一十斗五升二十五分升之二十一。

术曰：以粟求大，二十七之，二十五而一。臣淳风等谨按：大之率五十有四，其可半，故二十七之，亦如粟求糳米，半其二率。

今有粟二斗三升，欲为粝饭。问：得几何？

荅曰：为粝饭三斗四升半。

术曰：以粟求粝饭，三之，二而一〔27〕。臣淳风等谨按：粝饭之率七十有五。粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十有五约其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。

今有粟三斗六升，欲为粺饭。问：得几何？

荅曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。

术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。臣淳风等谨按：此术与大多同。

今有粟八斗六升，欲为糳饭。问：得几何？

荅曰：为糳饭八斗二升二十五分升之一十四。

术曰：以粟求糳饭，二十四之，二十五而一。臣淳风等谨按：糳饭率四十八。此亦半二率而乘除。

今有粟九斗八升，欲为御饭。问：得几何？

荅曰：为御饭八斗二升二十五分升之八。

术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。臣淳风等谨按：此术半率，亦与糳饭多同。

今有粟三斗少半升〔28〕，欲为菽。问：得几何？

荅曰：为菽二斗七升一十分升之三。

今有粟四斗一升太半升〔29〕，欲为荅。问：得几何？

荅曰：为荅三斗七升半。

今有粟五斗太半升，欲为麻。问：得几何？

荅曰：为麻四斗五升五分升之三。

今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问：得几何？

荅曰：为麦九斗七升二十五分升之一十四。

术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一〔30〕。臣淳风等谨按：四术率并四十五，皆是为粟所求，俱合以此率乘其本粟。术欲从省，先以等数五约之，所求之率得九，所有之率得十。故九乘十除，义由于此。

今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问：得几何？

荅曰：为稻九斗三十五分升之二十四。

术曰：以粟求稻，六之，五而一。臣淳风等谨按：稻率六十，亦约二率而乘除。

今有粟七斗八升，欲为豉。问：得几何？

荅曰：为豉九斗八升二十五分升之七。

术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

今有粟五斗五升，欲为飧。问：得几何？

荅曰：为飧九斗九升。

术曰：以粟求飧，九之，五而一。臣淳风等谨按：飧率九十，退位，与求稻多同。

今有粟四斗，欲为熟菽。问：得几何？

荅曰：为熟菽八斗二升五分升之四。

术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。臣淳风等谨按：熟菽之率一百三半。半者其母二，故以母二通之。所求之率既被二乘，所有之率随而俱长，故以二百七之，百而一。

今有粟二斗，欲为糵。问：得几何？

荅曰：为糵七斗。

术曰：以粟求糵，七之，二而一〔31〕。臣淳风等谨按：糵率一百七十有五，合以此数乘其本粟。术欲从省，先以等数二十五约之，所求之率得七，所有之率得二。故七乘二除。

今有粝米十五斗五升五分升之二，欲为粟。问：得几何？

荅曰：为粟二十五斗九升。

术曰：以粝米求粟，五之，三而一。臣淳风等谨按：上术以粟求米，故粟为所有数，三为所求率，五为所有率。今此以米求粟，故米为所有数，五为所求率，三为所有率。准都术求之〔32〕，各合其数。以下所有反求多同，皆准此〔33〕。

今有粺米二斗，欲为粟。问：得几何？

荅曰：为粟三斗七升二十七分升之一。

术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

今有糳米三斗少半升，欲为粟。问：得几何？

荅曰：为粟六斗三升三十六分升之七。

术曰：以糳米求粟，二十五之，十二而一〔34〕。

今有御米十四斗，欲为粟。问：得几何？

荅曰：为粟三十三斗三升少半升。

术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲为粟。问：得几何？

荅曰：为粟一十斗五升九分升之七。

术曰：以稻求粟，五之，六而一。

今有粝米一十九斗二升七分升之一，欲为粺米。问：得几何？

荅曰：为粺米一十七斗二升一十四分升之一十三。

术曰：以粝米求粺米，九之，十而一〔35〕。臣淳风等谨按：粺率二十七，合以此数乘粝米。术欲从省，先以等数三约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。

今有粝米六斗四升五分升之三，欲为粝饭。问：得几何？

荅曰：为粝饭一十六斗一升半。

术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一〔36〕。臣淳风等谨按：粝饭之率七十有五，宜以本粝米乘此率数。术欲从省，先以等数十五约之，所求之率得五，所有之率得二。故五乘二除，义由于此。

今有粝饭七斗六升七分升之四，欲为飧。问：得几何？

荅曰：为飧九斗一升三十五分升之三十一。

术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。臣淳风等谨按：飧率九十，为粝饭所求，宜以粝饭乘此率。术欲从省，先以等数十五约之，所求之率得六，所有之率得五。以此故六乘五除也。

今有菽一斗，欲为熟菽。问：得几何？

荅曰：为熟菽二斗三升。

术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一〔37〕。臣淳风等谨按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽数乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得一十一半，所有之率得五也〔38〕。

今有菽二斗，欲为豉。问：得几何？

荅曰：为豉二斗八升。

术曰：以菽求豉，七之，五而一〔39〕。臣淳风等谨按：豉率六十三，为菽所求，宜以菽乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得七，而所有之率得五也。

今有麦八斗六升七分升之三，欲为小。问：得几何？

荅曰：为小二斗五升一十四分升之一十三。

术曰：以麦求小，三之，十而一。臣淳风等谨按：小之率十三半，宜以母二通之，以乘本麦之数。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得三，所有之率得十也。

今有麦一斗，欲为大。问：得几何？

荅曰：为大一斗二升。

术曰：以麦求大，六之，五而一。臣淳风等谨按：大之率五十有四，合以麦数乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得六，所有之率得五也。

【注释】

〔1〕都术：总术，总的方法，普遍方法。都，总，总共，见卷一方田术李淳风等注释注〔18〕。

〔2〕诸：之于的合音。

〔3〕告往知来：根据已经发生的事情，可以推知事物未来的发展趋势。中国古代的一种思维方法。语出《论语·学而》：“子曰：‘赐也，始可与言《诗》已矣，告诸往而知来者。’”

〔4〕举一隅而三隅反：根据某一事物的性质，可以推知与它同类的事物的性质。中国古代的一种思维方法。语出《论语·述而》：“子曰：‘不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也。’”

〔5〕诚：如果，假如。　　诡数：不同的数。诡，差别，不同。

〔6〕通彼此之否（pi）塞：通过“通分”等运算使各种阻隔不通的数量关系互相通达。否，闭塞。《周易·否》：“否之匪人。”陆德明释文：“否，闭也，塞也。”否塞，阻隔不通。

〔7〕物：这里指各种物品的数量。

〔8〕名分：地位，身份。《庄子·天下》：“《易》以道阴阳，《春秋》以道名分。”也泛指物品的所属关系。《商君书·定分》：“夫卖者满市，而盗不敢取，由名分已定也。”此谓各个物品在问题中的地位。

〔9〕平其偏颇，齐其参差：即“齐同”运算。偏颇，又作“偏陂”，本义是不公正。王符《潜夫论》：“内偏颇于妻子，外僭惑于知友。”

〔10〕刘徽将《九章算术》大部分术文，200余个题目归结为今有术。

〔11〕今有术：即今之三率法，或称三项法（rule of three）。一般认为，此法源于印度。但印度婆罗门笈多才通晓此法（628），所使用的术语的意义也与《九章算术》相近，参见钱宝琮主编《中国数学史》。

〔12〕所有数：今有术的重要概念，指现有物品的数量。　　所求率：今有术的重要概念，指所求物品的率。

〔13〕所有率：今有术的重要概念，指现有物品的率。

〔14〕少者多之始，一者数之母：1是数之母，在有理数范围之内无疑是正确的，但在实数内则不尽然。比如，边长为1的正方形，其对角线是2，1似不能说是之母，因为它们之间没有公度。这个命题显然是刘徽将《老子·第三十九章》的命题“无名天地之始，有名万物之母”与王弼说的“夫少者多之所贵也。寡者众之所宗也”（《周易略例·明彖》）与“一，数之始而物之极也”（《老子注·第三十九章》）结合起来提出的。

〔15〕为率者必等之于一：某物率的确定，必须以1为标准。多少数量的某物能化为1，则该物的率就是多少。对同一标准1，粟5化为1，粝米3化为1，故粟率是5，粝米率是3。

〔16〕粟当先本是一：粟本来应当先成为1。

〔17〕则率至于一：由率的本义，粟率5是说粟5为1，粝率3是说粝米3为1。从粟求粝米，粟数先除以粟率5，就是粟5变成了1，再乘以粝率3，粝米1又变成了3。如是，则率至于1。

〔18〕余分：剩余的分数。由上可见，做到“率至于1”的过程是先除后乘。实际上，此处既可以先乘后除，也可以先除后乘，即满足交换律：（a÷a）×b=（a×b）÷a。然而先除后乘，有时会除不尽，产生分数，运算繁琐，所以术文反过来，采取先乘后除。

〔19〕完言之：以整数表示之。此处即以整数5与3入算。“完言之”与下“分言之”对举。完，整数。　　知：训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔20〕分言之：以分数表示之。此处即以粟1斗与粝米斗入算。知：亦训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔21〕报除：回报以除。

〔22〕李淳风等所见到的刘徽注已有脱错。

〔23〕今有术就是：已知所有数a、所有率a和所求率b，求所求数b的公式为

b=ab÷a。（2-1）

〔24〕三之，五而一：与下文“以粟求稻”问“六之，五而一”、“以粟求飧”问“九之，五而一”、“以粝米求粟”问“五之，三而一”、“以稻求粟”问“五之，六而一”凡5处，因为有关的粟米之法都是10的倍数，故都是通过退位约简为率，得相与之率入算，而不必用10除，反映了十进位值制记数法的优越性。“三之，五而一”即乘以3，除以5，或说以3乘，以5除。这是今有术在以粟求米问题中的应用。余类此。

〔25〕十二之，二十五而一：与下文“以粟求大”问“二十七之，二十五而一”、“以粟求粺饭”问“二十七之，二十五而一”、“以粟求糳饭”问“二十四之，二十五而一”、“以粟求御饭”问“二十一之，二十五而一”凡5处，都是将有关的粟米之法以等数2约简，得相与之率，再入算。

〔26〕二十七之，百而一：与下文“以粟求熟菽”问“二百七之，百而一”凡2处，因有关的粟米之法中有，故以2通之，化为整数，以相与之率入算。

〔27〕“以粟”三句：此处粟50，粝饭75，以等数25约简，得2，3为相与之率。

〔28〕少半：即。

〔29〕太半：即。

〔30〕粟50，菽、荅、麻、麦45，以等数5约简，得10，9为相与之率。

〔31〕粟50，糵175，以等数25约简，得2，7为相与之率。

〔32〕准：依照，按照。北周宗懔《荆楚岁时记》：“今寒食准节气是仲春之末。”

〔33〕准：仿效，效法。左思《咏史八首》之一：“著论准《过秦》，作赋拟《子虚》。”

〔34〕此处亦将糳米率24与粟率50以等数2约简，得相与之率，再入算。

〔35〕粝米30，粺米27，以等数3约简，得10，9为相与之率。

〔36〕五之，二而一：与下文“以粝饭求飧”问“六之，五而一”凡两处，将有关的粟米之法以等数15约简，得相与之率。

〔37〕二十三之，十而一：与下文“以麦求小”问“三之，十而一”凡两处，有关的粟米之法中有，故以2通之。所得的结果又有等数9，故以9约简，为相与之率，再入算。

〔38〕《九章算术》将菽率45，熟菽率化成10与23，以相与之率入算，十分简省。唐中叶之后的乘除捷算法就是沿着这一方向发展的。李淳风等将其化成5与入算，反不如《九章算术》简省。

〔39〕七之，五而一：与下文“以麦求大”问“六之，五而一”凡两处，将有关的粟米之法以等数9约简，得相与之率。

【译文】

今有术：这是一种普遍方法。凡是用九数作为篇名的问题，都可以对它们广泛地施用率。这就是所谓告诉了过去的就能推知未来的，举出一个角，就能推论到其他三个角。如果能分辨各种不同的数的错综复杂，疏通它们彼此之间的闭塞之处，根据不同的物品构成各自的率，仔细地研究辨别它们的地位与关系，使偏颇的持平，参差不齐的相齐，那么就没有不归结到这一术的。术：以所有数乘所求率作为实，以所有率作为法。小是大的开始，1是数的起源。所以建立率必须使它等于1。根据粟率是5，粝米率是3，这是说粟5成为1，粝米3成为1。如果想把粟化成粝米，那么粟应当本身先变成1。变成1，是说用5约之，使5变为1。完了，再以3乘之，使1变为3。像这样，那么率就达到了1，把粟5变成了粝米3。然而，先作除法，后作乘法，有时会剩余分数，所以此术将运算程序反过来。又，如果以整数表示之，5升粟变成3升粝米；以分数表示之，1斗粟变成斗粝米，以5作为分母，3作为分子。如果用粟求粝米，就用分子乘，用它的分母回报以除。那么，所求率永远作为分母。　　淳风等按：应该说“所求率永远作为分子，所有率永远作为分母”。这里却说“所求率永远作为分母”，有脱错。实除以法。

假设有1斗粟，想换成粝米。问：得多少？

答：换成6升粝米。

术：由粟求粝米，乘以3，除以5。淳风等按：普遍方法：以所求率乘所有数作为实，以所有率作为法。此术由粟求粝米，所以粟为所有数；3是粝米率，所以3是所求率；5是粟率，所以5是所有率。粟率是50，粝米率是30。通过退一位约简之，所以只说5与3就够了。

假设有2斗1升粟，想换成粺米。问：得多少？

答：换成1斗升粺米。

术：由粟求粺米，乘以27，除以50。淳风等按：粺米率是27，所以直接乘以27，除以50。

假设有4斗5升粟，想换成糳米。问：得多少？

答：换成2斗升糳米。

术：由粟求糳米，乘以12，除以25。淳风等按：糳米率是24，以它作为率太繁琐，所以取其一半。也就是取所求率的一半，以它乘所有数。所求率既然减半，所有率也应减半。这就是为什么乘以12，除以25。

假设有7斗9升粟，想换成御米。问：得多少？

答：换成3斗升御米。

术：由粟求御米，乘以21，除以50。

假设有1斗粟，想换成小。问：得多少？

答：换成升小。

术：由粟求小，乘以27，除以100。淳风等按：小率是。是以2为分母。用2通分，得27，作为所求率。又用分母2通其粟率，得100，作为所有率。凡原来的率有分数的，必须做乘除化成整数。其他的都仿照此术。

假设有9斗8升粟，想换成大。问：得多少？

答：换成10斗升大。

术：由粟求大，乘以27，除以25。淳风等按：大率是54，它可以被2除，所以乘以27。这也像由粟求糳米那样，取二种率的一半。

假设有2斗3升粟，想换成粝饭。问：得多少？

答：换成3斗升粝饭。

术：由粟求粝饭，乘以3，除以2。淳风等按：粝饭率是75，由粟求粝饭，应当用此数乘。现在用等数25约简这二种率，所求率得3，所有率得2。所以乘以3，除以2。

假设有3斗6升粟，想换成粺饭。问：得多少？

答：换成3斗升粺饭。

术：由粟求粺饭，乘以27，除以25。淳风等按：此术与求大之术大体相同。

假设有8斗6升粟，想换成糳饭。问：得多少？

答：换成8斗升糳饭。

术：由粟求糳饭，乘以24，除以25。淳风等按：糳饭率是48。这也是取二种率的一半再做乘除。

假设有9斗8升粟，想换成御饭。问：得多少？

答：换成8斗升御饭。

术：由粟求御饭，乘以21，除以25。淳风等按：此术取二种率的一半，也与求糳饭之术大体相同。

假设有3斗升粟，想换成菽。问：得多少？

答：换成2斗升菽。

假设有4斗升粟，想换成荅。问：得多少？

答：换成3斗升荅。

假设有5斗升粟，想换成麻。问：得多少？

答：换成4斗升麻。

假设有10斗升粟，想换成麦。问：得多少？

答：换成9斗升麦。

术：由粟求菽、荅、麻、麦，皆乘以9，除以10。淳风等按：四种术中的率全是45，都是由粟所求，所以都应当用此率乘本来的粟。想使术简省，先用等数5约简之，所求率得9，所有率得10。所以乘以9，除以10，其义理源于此。

假设有7斗升粟，想换成稻。问：得多少？

答：换成9斗升稻。

术：由粟求稻，乘以6，除以5。淳风等按：稻率是60，也约简二种率再做乘除。

假设有7斗8升粟，想换成豉。问：得多少？

答：换成9斗升豉。

术：由粟求豉，乘以63，除以50。

假设有5斗5升粟，想换成飧。问：得多少？

答：换成9斗9升飧。

术：由粟求飧，乘以9，除以5。淳风等按：飧率是90，退一位，与求稻的方式大体相同。

假设有4斗粟，想换成熟菽。问：得多少？

答：换成8斗升熟菽。

术：由粟求熟菽，乘以207，除以100。淳风等按：熟菽的率是。的分母是2，所以用分母2通分。既然所求率乘以2，那么所有率应随着一道增加。所以乘以207，除以100。

假设有2斗粟，想换成糵。问：得多少？

答：换成7斗糵。

术：由粟求糵，乘以7，除以2。淳风等按：糵率是175，应当用此数乘本来的粟。想使术简省，先用等数25约简之。所求率得7，所有率得2。所以乘以7，除以2。

假设有15斗升粝米，想换成粟。问：得多少？

答：换成25斗9升粟。

术：由粝米求粟，乘以5，除以3。淳风等按：前面的术由粟求粝米，所以粟为所有数，3为所求率，5为所有率。现在这里由粝米求粟，所以粝米为所有数，5为所求率，3为所有率。按照普遍方法求之，都符合各自的数。以下所有的逆运算都大体相同，皆按照这一方法。

假设有2斗粺米，想换成粟。问：得多少？

答：换成3斗升粟。

术：由粺米求粟，乘以50，除以27。

假设有3斗升糳米，想换成粟。问：得多少？

答：换成6斗升粟。

术：由糳米求粟，乘以25，除以12。

假设有14斗御米，想换成粟。问：得多少？

答：换成33斗升粟。

术：由御米求粟，乘以50，除以21。

假设有12斗升稻，想换成粟。问：得多少？

答：换成10斗升粟。

术：由稻求粟，乘以5，除以6。

假设有19斗升粝米，想换成粺米。问：得多少？

答：换成17斗升粺米。

术：由粝米求粺米，乘以9，除以10。淳风等按：粺米率27，应当用这一数乘粝米。想使术简省，就先用等数3约简之，所求率得9，所有率得10，所以乘以9，除以10。

假设有6斗升粝米，想换成粝饭。问：得多少？

答：换成16斗升粝饭。

术：由粝米求粝饭，乘以5，除以2。淳风等按：粝饭率是75，应当用本来的粝米乘这一率的数。想使术简省，先用等数15约简之，所求率得5，所有率得2。所以乘以5，除以2。其义理源于此。

假设有7斗升粝饭，想换成飧。问：得多少？

答：换成9斗升飧。

术：由粝饭求飧，乘以6，除以5。淳风等按：飧率是90，从粝饭求飧，应当用粝饭乘这一率。想使术简省，先用等数15约简之，所求率得6，所有率得5。因此，乘以6，除以5。

假设有1斗菽，想换成熟菽。问：得多少？

答：换成2斗3升熟菽。

术：由菽求熟菽，乘以23，除以10。淳风等按：熟菽率。因为它有，各用分母2通分。应当用菽数乘这一率，想使术简省，先用等数9约简之，所求率得，所有率得5。

假设有2斗菽，想换成豉。问：得多少？

答：换成2斗8升豉。

术：由菽求豉，乘以7，除以5。淳风等按：豉率是63，从菽求豉，应当用菽率乘这一率。想使术简省，先用等数9约简之，所求率得7，而所有率得5。

假设有8斗升麦，想换成小。问：得多少？

答：换成2斗升小。

术：由麦求小，乘以3，除以10。淳风等按：小率是，应当用分母2通分，用来乘麦本来的数。想使术简省，先用等数9约简之，所求率得3，所有率得10。

假设有1斗麦，想换成大。问：得多少？

答：换成1斗2升大。

术：由麦求大，乘以6，除以5。淳风等按：大率是54，应当用麦的数量乘这一率。想使术简省，先用等数9约简之，所求率得6，所有率得5。

今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚〔1〕。瓴甓，砖也。问：枚几何？

荅曰：一枚，八钱九分钱之八。

今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问：个几何？

荅曰：一个，五钱四十七分钱之三十五。

经率〔2〕臣淳风等谨按：今有之义，以所求率乘所有数，合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实。但以一乘不长〔3〕，故不复乘，是以径将所买之率与所出之钱为法、实也。　　此又按：今有之义，出钱为所有数，一枚为所求率，所买为所有率，而今有之，即得所求数。一乘不长，故不复乘。是以径将所买之率为法，以所出之钱为实。故实如法得一枚钱。不尽者，等数而命分。术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一钱〔4〕。

今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升太半升〔5〕。欲斗率之〔6〕，问：斗几何？

荅曰：一斗，三百四十五钱五百三分钱之一十五。

今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺〔7〕。欲丈率之，问：丈几何？

荅曰：一丈，一百一十八钱六十一分钱之二。

今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问：匹几何？

荅曰：一匹，二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。

今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤〔8〕。欲石率之，问：石几何？

荅曰：一石，八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八。

经率〔9〕此术犹经分。　　臣淳风等谨按：今有之义，钱为所求率，物为所有数，故以乘钱，又以分母乘之为实。实如法而一。有分者通之。所买通分内子为所有率，故以为法。得钱数。不尽而命分者，因法为母，实余为子。实见不满，故以命之〔10〕。术曰：以所求率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一〔11〕

【注释】

〔1〕瓴甓（líng pì）：长方砖，又称瓴甋（dì）。《尔雅》：“瓴甋谓之甓。”

〔2〕《九章算术》有两条“经率术”。此条是整数除法法则。

〔3〕一乘不长（zhǎng）：以1乘任何数，不改变其值。长，增长，进益。《周易·泰》：“君子道长，小人道消也。”

〔4〕设所出钱、所买率、单价分别为a，a，b，则

b=a÷a。（2-2）

〔5〕斛：容量单位。1斛为10斗。一斛六斗七升太半升：。

〔6〕斗率之：求以斗为单位的价钱。下“丈率之”、“匹率之”、“石率之”、“斤率之”、“钧率之”、“两率之”、“铢率之”等同。

〔7〕缣：双丝织成的细绢。《说文解字》：“缣，并丝缯也。”　　匹：长度度量单位，1匹为4丈。一匹二丈一尺：丈。

〔8〕一石二钧一十七斤：石。石，重量单位，1石为120斤。钧，重量单位，1钧为30斤。

〔9〕此条经率术是除数为分数的除法，与经分术相同。

〔10〕此条李注，南宋本、《大典》本必有舛误，诸家校勘均不合理，暂不翻译。

〔11〕此处出钱数为所有数，所买率就是所有率，斗（丈，匹，石）率之为所求率，则归结为今有术。

【译文】

假设出160钱，买18枚瓴甓。瓴甓是砖。问：1枚瓴甓值多少钱？

答：1枚瓴甓值钱。

假设出13 500钱，买2 350个竹。问：1个竹值多少钱？

答：1个竹值钱。

经率淳风等按：根据今有术的意义，用所求率乘所有数，应当用瓴甓1枚乘160钱作为实。但是用1来乘，并不增加，所以不再乘，因此直接把所买率与所出钱作为法与实。　　又按：根据今有术的意义，出钱作为所有数，1枚作为所求率，所买物作为所有率，对它施行今有术，就得到所求数。用1乘并不增加，所以不再乘。因此直接把所买物的率作为法，把所出的钱作为实。所以实除以法就得到1枚的钱数。除不尽的，就用等数约简之而命名一个分数。术：以所买率作为法，所出钱数作为实。实除以法，得1枚的钱数。

假设出5 785钱，买1斛6斗升漆。想以斗为单位计价，问：每斗多少钱？

答：1斗值钱。

假设出720钱，买1匹2丈1尺缣。想以丈为单位计价，问：每丈多少钱？

答：1丈值钱。

假设出2 370钱，买9匹2丈7尺布。想以匹为单位计价，问：每匹多少钱？

答：1匹值钱。

假设出13 670钱，买1石2钧17斤丝。想以石为单位计价，问：每石多少钱？

答：1石值钱。

经率此术如同经分术。术：以所求率乘出钱数作为实，以所买率作为法，实除以法。

今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之〔1〕，问：各几何？

荅曰：

其四十八个，个七钱；

其三十个，个八钱。

今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之〔2〕，问：各几何？

荅曰：

其二钧八斤，斤五钱；

其一石一十斤，斤六钱。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢〔3〕。欲其贵贱石率之，问：各几何？

荅曰：

其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱；

其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问：各几何？

荅曰：

其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱；

其一石二钧二十斤八两二十铢，钧二千一十三钱。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤率之，问：各几何？

荅曰：

其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱；

其二十斤九两一铢，斤六十八钱。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两率之，问：各几何？

荅曰：

其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱；

其一钧一十斤五两四铢，两五钱。

其率〔4〕“其率”知〔5〕，欲令无分〔6〕。按：“出钱五百七十六，买竹七十八个”，以除钱，得七，实余三十，是为三十个复可增一钱。然则实余之数则是贵者之数〔7〕。故曰“实贵”也〔8〕。本以七十八个为法，今以贵者减之，则其余悉是贱者之数。故曰“法贱”也〔9〕。“其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其积数，余各为铢”知，谓石、钧、斤、两积铢除实，以石、钧、斤、两积铢除法，余各为铢，即合所问。术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一〔10〕。不满法者，反以实减法，法贱实贵〔11〕。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其积数，余各为铢。

【注释】

〔1〕大小率之：按大小两种价格计算，此问实际上是按“大小个率之”。

〔2〕贵贱斤率之：以斤为单位，求物价，而贵贱差1钱。下“贵贱石（钧、斤、两）率之”同。

〔3〕自此以下5个题目的题设完全相同，只是设问依次为石、钧、斤、两、铢“率之”，成为不同的题目。前4题钱多物少，用“其率术”求解，而“铢率之”者，将所买丝化成以铢为单位，物多钱少，用“反其率术”求解。　　两：重量单位，1斤为16两。　　铢：重量单位。1两为24铢。《孙子算经》曰：“称之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石。”李籍云：“八铢为锱，二十四铢为两。”

〔4〕其率：揣度它们的率。其，表示揣度。《左传·成公三年》：“子其怨我乎？”根据刘徽注“欲令无分”，显然要求整数解，而从答案看，还有贵贱单价之差是1的条件。设钱数为a，共买物b，a＞b，如果贵物单价a，买物m，贱物单价b，买物n，则其率术是求满足

m+n=b

ma+nb=a

a-b=1

的正整数解m，n，a，b。

〔5〕“其率”知：与下文“‘其求……余各为铢’知”之二“知”字，训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔6〕欲令无分：是说要求没有零分的正整数解。

〔7〕实余之数则是贵者之数：实中的余数就是贵者的数量。以买竹为例，576÷78=7（钱），实剩余30，则此30个每个增加1钱，为8钱。那么剩余的30，就是贵的个数。

〔8〕实贵：由实的余数得到贵的数。比如在买竹问中，贵的个数30，由“实余”产生，所以称为“实贵”。

〔9〕法贱：由法的余数得到贱的数。78-30=48（个），每个7钱。贱的个数48，由“法余”产生，所以称为“法贱”。

〔10〕“各置所买”三句：其方法是。

〔11〕“不满法者”三句：有不满法的余实，就以余实减法，法中的剩余就是贱的数量，实中的剩余就是贵的数量。亦即令a=b+1，n=b-m，则m，n分别是贵的和贱的数量，a，b分别就是贵的价钱和贱的价钱。

【译文】

假设出576钱，买78个竹。想按大小计价，问：各多少钱？

答：其中48个，1个值7钱；

其中30个，1个值8钱。

假设出1 120钱，买1石2钧18斤丝。想按贵贱以斤为单位计价，问：各多少钱？

答：其中2钧8斤，1斤值5钱；

其中1石10斤，1斤值6钱。

假设出13 970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。想按贵贱以石为单位计价，问：各多少钱？

答：其中1钧9两12铢，1石值8 051钱；

其中1石1钧27斤9两17铢，1石值8 052钱。

假设出13 970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。想按贵贱以钧为单位计价，问：各多少钱？

答：其中7斤10两9铢，1钧值2 012钱；

其中1石2钧20斤8两20铢，1石值2 013钱。

假设出13 970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。想按贵贱以斤为单位计价，问：各多少钱？

答：其中1石2钧7斤10两4铢，1斤值67钱；

其中20斤9两1铢，1斤值68钱。

假设出13 970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。想按贵贱以两为单位计价，问：各多少钱？

答：其中1石1钧17斤14两1铢，1两值4钱；

其中1钧10斤5两4铢，1两值5钱。

其率其率是想使答案没有分数。按：出576钱，买78个竹。用它除钱数，得到7。实还剩余30。这就是说，有30个，每个的价钱可再增加1。那么，实中剩余的数量就是价钱贵的物品的数量，所以说“剩余的实是贵的数量”。本来以78作为法，现在以贵的数量减之，那么它的剩余就是价钱贱的物品的数量，所以说“剩余的法是贱的数量”。如果求石、钧、斤、两，就用积铢的数分别除剩余的法和实，依次得到石、钧、斤、两的数，每次余下的都是铢数，就符合所问问题的答案。术：布置所买的石、钧、斤、两作为法，以所要计价的单位乘钱数作为实，实除以法。不满法者，反过来用剩余的实减法，剩余的法是贱的数量，剩余的实是贵的数量。如果求石、钧、斤、两的数，就用积铢数分别除剩余的法和实，依次得到石、钧、斤、两的数，每次余下的都是铢数。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢率之，问：各几何？

荅曰：

其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱；

其一石一钧七斤一十二两一十八铢，六铢一钱。

今有出钱六百二十，买羽二千一百翭〔1〕。翭，羽本也。数羽称其本，犹数草木称其根株。欲其贵贱率之，问：各几何？

荅曰：

其一千一百四十翭，三翭一钱；

其九百六十翭，四翭一钱。

今有出钱九百八十，买矢簳五千八百二十枚〔2〕。欲其贵贱率之，问：各几何？

荅曰：

其三百枚，五枚一钱；

其五千五百二十枚，六枚一钱。

反其率〔3〕臣淳风等谨按：“其率”者，钱多物少；“反其率”知〔4〕，钱少物多。多少相反，故曰反其率也。其率者，以物数为法，钱数为实；反之知，以钱数为法，物数为实。不满法知，实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱，而今以化钱减之，故以实减法。“法少”知，经分之所得〔5〕，故曰“法少”〔6〕；“实多”者，余分之所益，故曰“实多”〔7〕。乘实宜以多，乘法宜以少，故曰“各以其所得多少之数乘法、实，即物数”。“其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其数，余各为铢”者，谓之石、钧、斤、两积铢除实，石、钧、斤、两积铢除法，余各为铢，即合所问。术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一〔8〕。不满法者，反以实减法，法少实多〔9〕。二物各以所得多少之数乘法、实，即物数〔10〕。其率，按：出钱六百二十，买羽二千一百翭。反之，当二百四十钱，一钱四翭；其三百八十钱，一钱三翭。是钱有二价，物有贵贱。故以羽乘钱，反其率也。

【注释】

〔1〕羽：箭翎，装饰在箭杆的尾部，用以保持箭飞行的方向。《释名·释兵》：矢“其旁曰羽，如鸟羽也。鸟须羽而飞，箭须羽而前也”。　　翭（hóu）：羽根。

〔2〕簳（gàn）：李籍《音义》引作“干”，云：“干，茎也。一本作‘簳’。”李籍所说“一本”即南宋本的母本，他自己所用的抄本“簳”作“干”。

〔3〕反其率：与其率相反。盖其率术求单价贵贱差1，故以物数为法，钱数为实。反其率术亦是求两种单价，但要求1钱所买物的个数差1，故以钱数为法，物数为实。仍设钱数为a，共买物b，若a＜b，如果贵物单价a，买物m，贱物单价b，买物n，则反其率术就是求

的正整数解m，n，a，b。

〔4〕“反其率”知：与下文“反之知”、“不满法知”、“‘法少’知”之四“知”字，训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔5〕经分：《九章算术》中的分数除法，但李淳风等将其理解成“以人数分所分，故曰经分也”（见卷一经分术及其李淳风等注释），即包括整数除法在内的除法。比如在买羽问中，出钱620，买羽2 100翭。2 100÷620=3，余240。按照李淳风等的理解，3由经分得到。

〔6〕故曰“法少”：从上文看不出为什么说“故曰‘法少’”，李淳风等逻辑推理水平之低下可见一斑。

〔7〕故曰“实多”：从上文看不出为什么说“故曰‘实多’”。

〔8〕“以钱数为法”三句：此即。

〔9〕“不满法者”三句：有不满法的余实，就以余实减法，余法就是1钱买的少的钱数，余实就是1钱买的多的钱数。即余实p是1钱买a=b+1个的钱数。余法b-p就是1钱买b个的钱数。比如买羽问中，由2 100÷620=3，余实240，则240钱中每钱可增加1翭，为1钱4翭，就是“实多”。由法620钱中除去1钱4翭的240钱，则620-240=380钱，每钱3翭，就是“法少”。

〔10〕“二物各以所得”二句：两种东西分别以1钱所买的多、少的数乘余实，得m=ap就是1钱买的多的东西的数量，n=b（b-p）就是1钱买的少的东西的数量。在买羽问中，240钱中每钱4翭，那么共4×240=960翭。380钱中每钱3翭，共3×380=1 140翭。

【译文】

假设出13 970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。想按贵贱以铢为单位计价，问：各多少钱？

答：其中1钧27斤6两11铢，5铢值1钱；

其中1石1钧7斤12两18铢，6铢值1钱。

假设出620钱，买2 100翭鸟羽。翭，鸟羽的本。数鸟羽称本，就如同数草称根，数木称株一样。想按贵贱计价，问：各多少钱？

答：其中1 140翭，3翭值1钱；

其中960翭，4翭值1钱。

假设出980钱，买5 820枚箭杆。想按贵贱计价，问：各多少钱？

答：其中300枚，5枚值1钱；

其中5 520枚，6枚值1钱。

反其率淳风等按：其率术是出的钱数量大，而买的物品数量小；反其率术是出的钱数量小，而买的物品数量大；大与小的情况正好相反，所以叫作反其率术。其率，是以物数作为法，以钱数作为实；反过来，就以钱数作为法，以物数作为实。不满法的，就是实的余数。应当将余下的物品数量化为钱。法为总的钱数，而现在以余下的物品数量化成的钱减之，所以以实减法。“法少”，是由经分所得到的，所以叫作“法少”；“实多”，是余下的部分所增加的，所以叫作“实多”。乘实应该用多的，乘法应该用少的，所以说“分别用其所得多的与少的数量乘剩余的法、实，就得到贱与贵的物品的数量”。“如果求石、钧、斤、两的数量，就用它们化成铢的数量分别除法、实，分别得到它们的数量，余数分别作为铢”，这是说用石、钧、斤、两化成铢的数量分别除实，石、钧、斤、两化成铢的数量分别除法，余数分别作为铢，就符合所问的问题。术：以出的钱数作为法，所买物品作为实，实除以法。不满法者，反过来用剩余的实减法。剩余的法是买的少的物品的数量，剩余的实是买的多的物品的数量。分别用所得到的买的多少二种物品数乘剩余的实与法，就得到贱与贵的物品的数量。按：其率术是出620钱买2 100翭鸟羽。反过来，应当是其中240钱，1钱买4翭；其中380钱，1钱买3翭。这是出钱有两个价钱，物品有贵有贱。所以用1钱买的鸟羽数乘钱数，这就是反其率术。