魏　刘徽　注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释

衰分〔1〕以御贵贱禀税〔2〕

衰分衰分，差也〔3〕。术曰：各置列衰〔4〕；列衰，相与率也〔5〕。重叠，则可约〔6〕。副并为法〔7〕，以所分乘未并者各自为实〔8〕。法集而衰别〔9〕。数本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除适足相消。故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，所分为所有数〔10〕。　　又以经分言之〔11〕，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者〔12〕，则当列置人数，以一人所得乘之。今此术先乘而后除也〔13〕。实如法而一〔14〕。不满法者，以法命之〔15〕。

今有大夫〔16〕、不更〔17〕、簪〔18〕、上造〔19〕、公士〔20〕，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之〔21〕，问：各得几何？

荅曰：

大夫得一鹿三分鹿之二；

不更得一鹿三分鹿之一；

簪得一鹿；

上造得三分鹿之二；

公士得三分鹿之一。

术曰：列置爵数，各自为衰。爵数者，谓大夫五，不更四，簪三，上造二，公士一也。《墨子·号令篇》以爵级为赐〔22〕，然则战国之初有此名也。今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿数为所有数，而今有之，即得。副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿〔23〕。

今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之〔24〕，问：各出几何？

荅曰：

牛主出二斗八升七分升之四，

马主出一斗四升七分升之二，

羊主出七升七分升之一。

术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰。副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗〔25〕。臣淳风等谨按：此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。

今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关〔26〕，关税百钱〔27〕。欲以钱数多少衰出之，问：各几何？

荅曰：

甲出五十一钱一百九分钱之四十一，

乙出三十二钱一百九分钱之一十二，

丙出一十六钱一百九分钱之五十六。

术曰：各置钱数为列衰。副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱〔28〕。臣淳风等谨按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。

今有女子善织〔29〕，日自倍〔30〕。五日织五尺，问：日织几何？

荅曰：

初日织一寸三十一分寸之十九，

次日织三寸三十一分寸之七，

次日织六寸三十一分寸之十四，

次日织一尺二寸三十一分寸之二十八，

次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。

术曰：置一、二、四、八、十六为列衰。副并为法。以五尺乘未并者，各自为实。实如法得一尺〔31〕。

今有北乡算八千七百五十八〔32〕，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡发徭三百七十八人〔33〕。欲以算数多少衰出之，问：各几何？

荅曰：

北乡遣一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七，

西乡遣一百一十二人一万二千一百七十五分人之四千四，

南乡遣一百二十九人一万二千一百七十五分人之八千七百九。

术曰：各置算数为列衰。臣淳风等谨按：三乡算数，约、可半者，为列衰。副并为法。以所发徭人数乘未并者，各自为实。实如法得一人〔34〕。按：此术，今有之义也。

今有禀粟〔35〕，大夫、不更、簪、上造、公士凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问：各几何？

荅曰：

大夫出一斗四分斗之一，

不更出一斗，

簪出四分斗之三，

上造出四分斗之二，

公士出四分斗之一。

术曰：各置所禀粟斛斗数，爵次均之，以为列衰。副并，而加后来大夫亦五斗，得二十以为法。以五斗乘未并者，各自为实。实如法得一斗〔36〕。禀前“五人十五斗”者，大夫得五斗，不更得四斗，簪得三斗，上造得二斗，公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫，即与前来大夫同。据前来大夫已得五斗，故言“亦”也。各以所得斗数为衰，并得十五，而加后来大夫亦五斗，凡二十，为法也。是为六人共出五斗，后来大夫亦俱损折。今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五斗为所有数，而今有之，即得。

今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问：各几何？

荅曰：

三人，人得一斛一斗五升十三分升之五，

二人，人得七斗六升十三分升之十二。

术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各自为实。实如法得一斛〔37〕

【注释】

〔1〕衰（cui）分：按一定的等级进行分配，即按比例分配。衰，由大到小按一定等级递减。《管子·小匡》：“相地而衰其政，则民不移矣。”尹知章注：“衰，差也。”李籍在引用尹知章注之后云：“以差而平分，故曰衰分。”衰分是“九数”之三，郑玄引郑众“九数”作“差分”，是为衰分在先秦的名称。

〔2〕禀：赐人以谷。《说文解字》：“禀，赐谷也。”　　税：本义是田赋。引申为一切赋税。李籍云：“供谷曰禀。或曰廪，非是。”知李籍看到的抄本中有一本讹作“廪”。

〔3〕差（ci）：次第，等级。《孟子·滕文公上》：“爱无差等，施由亲始。”赵岐注：“当同其恩爱，无有差次等级亲疏也。”

〔4〕列衰：列出的等级数，即各物品的分配比例，设为ai，i=1，2，…，n。

〔5〕计算中所使用的列衰都是相与率。

〔6〕重叠：重复叠加。这里实际上指有等数。如果有等数，可以约简。

〔7〕副并为法：在旁边将列衰相加，作为法，即将作为法。

〔8〕所分：被分配的总量，设为a。　　未并者：没有相加的列衰。这是将没有相加的列衰与被分配的总量相乘即aia分别作为实，i=1，2，…，n。

〔9〕法集而衰别：法是列衰集中到一起，而列衰ai是有区别的。

〔10〕刘徽将列衰ai作为所求率，副并作为所有率，所分a作为所有数，从而将衰分术归结为今有术。

〔11〕经分：从以下的内容看，这里的经分指整数除法。

〔12〕逐家：一家一家依次（求之）。逐，依次，挨着次序。

〔13〕此术先乘而后除：指衰分术是先乘后除。盖其算理，应该先以法除实，即，然后乘列衰：，i=1，2…，n，得到答案。然而先除可能出现分数，计算会繁琐，故采用交换律，先乘后除。

〔14〕设各份是ai，则

〔15〕以法命之：如果实有余数，便用法命名一个分数。

〔16〕大夫：官名，起自殷周。又，爵位名，据《汉书·百官公卿表》，秦汉分爵位二十级，大夫为第五级。此指后者。李籍云：“夫，以智率人者也。大夫，则以智率人之大者也。”

〔17〕不更：爵位名。秦汉爵位之第四级。《汉书·百官公卿表》注：“言不豫更卒之事也。”李籍云：“次大夫，取其不与戍更。”

〔18〕簪（niǎo）：亦作簪袅。爵位名，秦汉爵位之第三级。《汉书·百官公卿表》注：“以组带马曰袅。簪袅者，言饰此马也。”《后汉书·百官志》注引刘邵《爵制》：“三爵曰簪，御驷马者。要，古之名马也。驾驷马者其形似簪，故曰簪也。”李籍云：“次不更，取其缨冠乘马。”

〔19〕上造：爵位名，秦汉爵位之第二级。《汉书·百官公卿表》注：“造，成也。言有成命于上也。”李籍云：“次簪，取其为造士而居上。”

〔20〕公士：爵位名，秦汉爵位之第一级。《汉书·百官公卿表》注：“言有爵命，异于士卒，故称公士也。”李籍云：“次上造，取其为士而在公。”

〔21〕爵次：爵位的等级。“爵”本是商、周的酒器，又引申为贵族的等级。《周礼·天官·大宰》：“以八柄诏王驭群臣，一曰爵，以驭其贵；二曰禄，以驭其富。”

〔22〕以爵级为赐：现存《墨子·号令篇》无此语。孙诒让《墨子间诂》认为此指“疾斗者，对二人赐上奉。而胜围城周里以上，封城将三十里地，为关内侯。辅将如令，赐上卿。丞，及吏比于丞者，赐爵五大夫。官吏豪杰与计坚守者十人，及城上吏比于五官者，皆赐公乘。男子有守者，爵人二级”。

〔23〕列衰为：大夫:不更:簪:上造:公士=5:4:3:2:1。在旁边将列衰相加5+4+3+2+1=15作为法。大夫得之实：5鹿×5=25鹿；不更得之实：5鹿×4=20鹿；簪得之实：5鹿×3=15鹿；上造得之实：5鹿×2=10鹿；公士得之实：5鹿×1=5鹿。故大夫得：25鹿÷15=鹿；不更得：20鹿÷15=鹿；簪得：15鹿÷15=1鹿；上造得：10鹿÷15=鹿；公士得：5鹿÷15=鹿。

〔24〕衰偿：按列衰赔偿。偿，偿还。李籍云：“还也。”

〔25〕此谓羊食=马食，马食=牛食，故列衰为：牛:马:羊=4:2:1。在旁边将列衰相加4+2+1=7作为法。牛食之实：5斗×4=20斗；马食之实：5斗×2=10斗；羊食之实：5斗×1=5斗。故牛主偿：升。马主偿：升。羊主偿：升。

〔26〕关：本义是门闩，引申为要塞，关口。《孟子·尽心下》：“古之为关也，将以御暴。”

〔27〕关税：指关卡征收赋税。税，作动词，指征收或交纳赋税。

〔28〕此谓列衰为：甲:乙:丙=560:350:180。在旁边将列衰相加560+350+180=1 090作为法。甲税之实：100钱×560=56 000钱；乙税之实：100钱×350=35 000钱；丙税之实：100钱×180=18 000钱。故甲出：钱。乙出：钱。丙出：钱。

〔29〕《算数书》、《孙子算经》亦有此问。秦简《数》、《算书》有类似的题目。

〔30〕日自倍：第二日是第一日的2倍。若第一日织1尺，则第二日织1尺×2=2尺，第三日织2尺×2=4尺，第四日织4尺×2=8尺，第五日织8尺×2=16尺。

〔31〕列衰为：第一日织:第二日织:第三日织:第四日织:第五日织=1:2:4:8:16。在旁边将列衰相加1+2+4+8+16=31作为法。第一日织之实：5尺×1=5尺；第二日织之实：5尺×2=10尺；第三日织之实：5尺×4=20尺；第四日织之实：5尺×8=40尺；第五日织之实：5尺×16=80尺。故第一日织得：；第二日织得：；第三日织得：；第四日织得：；第五日织得：。

〔32〕算：算赋，汉代的人丁税。《汉书·高帝纪》载，四年（前203）八月“初为算赋”。如淳曰：“《汉仪注》民年十五以至五十六出赋钱，人百二十为一算，为治库兵车马。”李籍云：“算者，计口出钱。汉律：人出一算。一算百二十钱。贾人与奴婢倍算。”

〔33〕徭：劳役。李籍云“役也”。

〔34〕列衰为：北乡:西乡:南乡=8 758:7 236:8 356。在旁边将列衰相加8 758+7 236+8 356=24350作为法。北乡徭之实：378人×8 758；西乡徭之实：378人×7 236；南乡徭之实：378人×8 356。故北乡遣：人。西乡遣：人。南乡遣：人。

〔35〕禀粟：赐人以谷曰禀。《汉书·文帝纪》元年诏曰：“今闻吏禀当受鬻者，或以陈粟，岂称养老之意哉！”

〔36〕列衰为：大夫:大夫:不更:簪:上造:公士=5:5:4:3:2:1。在旁边将列衰相加5+5+4+3+2+1=20作为法。大夫出粟之实：5斗×5=25斗；不更出粟之实：5斗×4=20斗；簪出粟之实：5斗×3=15斗；上造出粟之实：5斗×2=10斗；公士出粟之实：5斗×1=5斗。故大夫出粟：斗；不更出粟：20斗÷20=1斗；簪出粟：斗；上造出粟：斗；公士出粟：斗。

〔37〕列衰为：3:3:3:2:2。在旁边将列衰相加3+3+3+2+2=13作为法。三人组一人得粟之实：5斛×3=15斛，则一人得粟：15斛÷13=；二人组一人得粟之实：5斛×2=10斛，则一人得粟。

【译文】

衰分为了处理物价贵贱、赐予谷物及赋税等问题

衰分衰分，就是按等级分配。术：分别布置列衰。列衰是相与之率。如果有重叠，就可以约简。在旁边将它们相加作为法。以所分的数量乘未相加的列衰，分别作为实。法是将列衰集合在一起，而列衰是各自的。这个所分的数量本来是一个整体，现在用所分的数量乘布置在上方的各自的列衰，用布置在下方的集合在一起的法除之，一乘一除恰好相消，所以所分的数量仍然存在，只是分别对应于各自的率而有所区别罢了。对于今有术，列衰分别是所求率，在旁边将它们相加的结果是所有率，所分的数量是所有数。　　又用经分术来表述之：假设甲家有3人，乙家有2人，丙家有1人，相加为6人，共同分12，就是每人得到2。想再得到一家一家的数量，则应当列出各家的人数，以1人所得的数量乘之。现在此术是先作乘法而后作除法。实除以法。不满法者，用法命名一个分数。

假设大夫、不更、簪、上造、公士总计5人，共猎得5只鹿。想按爵位的等级分配，问：各得多少？

术：列出爵位的等级，各自作为衰。爵位的级数，是说大夫是5，不更是4，簪是3，上造是2，公士是1。《墨子·号令篇》说按照爵位的等级进行赏赐，那么战国初期就有这些名号了。对于今有术，列衰各自作为所求率，在旁边将它们相加作为所有率，现猎得的鹿数作为所有数，对之施用今有术，就得到答案。在旁边将它们相加作为法。以5只鹿乘未相加的列衰作为实。实除以法，得到每人的鹿数。假设牛、马、羊啃了人家的庄稼。庄稼的主人索要5斗粟作为赔偿。羊的主人说：“我的羊啃的是马的一半。”马的主人说：“我的马啃的是牛的一半。”现在想按照比例偿还，问：各出多少？

术：布置牛4、马2、羊1，各自作为列衰。在旁边将它们相加作为法。以5斗乘未相加的列衰各自作为实。实除以法，得每人赔偿的斗数。淳风等按：这一问题的意思是：羊啃的是马的一半，马啃的是牛的一半，这是说4只羊啃的相当于1头牛啃的，2只羊啃的相当于1匹马啃的。现在术中布置羊1，马2，牛4，这是使它们的率相通并以其作为列衰。

假设某甲带着560钱，某乙带着350钱，某丙带着180钱，3人一道出关，关防征税100钱。想按照所带钱数多少分配税额，问：各出多少？

术：分别布置所带的钱数作为列衰。在旁边将它们相加作为法。用100钱乘未相加的列衰，各自作为实。实除以法，得到每人出的税钱。淳风等按：此术中以甲、乙、丙所带的钱数作为列衰，在旁边将它们相加，作为所有率，未相加的列衰分别作为所求率，100钱作为所有数，应用今有术，就得到答案。

假设一女子善于纺织，每天都增加一倍，5天共织了5尺。问：每天织多少？

术：布置1，2，3，4，5作为列衰。在旁边将它们相加作为法。以5尺乘未相加的列衰，各自作为实。实除以法，得到每天织的尺数。

假设北乡的算赋是8 758，西乡的算赋是7 236，南乡的算赋是8 356。三乡总共要派遣徭役378人。想按照各乡算赋数的多少分配，问：各乡派遣多少人？

术：分别布置各乡的算赋数作为列衰。淳风等按：三乡的算赋数，可约简，或可取其一半的，就约简或取其一半，作为列衰。在旁边将它们相加作为法。以所要派遣的徭役人数乘未相加的列衰，分别作为实。实除以法，得每乡派遣的徭役人数。按：此术有今有术的意义。

假设要发放粟米，大夫、不更、簪、上造、公士共5人，发放15斗。如果有另一个大夫来晚了，也应当发给他5斗。可是粮仓中已经没有粟米，想让各人按爵位等级拿出粟给他，问：各人出多少？

术：分别布置所发放的粟米的斗数，以爵位等级调节之，作为列衰。在旁边将它们相加，又加晚来的大夫的爵位数也是5斗，得到20，作为法。以5斗乘未相加的列衰，各自作为实。实除以法，便得到每人拿出的斗数。重新发放粟米之前，5人共15斗，这是大夫得5斗，不更得4斗，簪得3斗，上造得2斗，公士得1斗。想使5人各按照所得到的粟的多少减损并给晚来的大夫，使他与先来的大夫相同。根据先来的大夫已得到5斗，所以说晚来的大夫“也是5斗”。各以所得的斗数作为列衰，相加得15，又加晚来的大夫也是5斗，总共是20斗，作为法。这就成为6人共出5斗——晚来的大夫也一道减损。对于今有术，在旁边相加列衰作为所有率，未相加的列衰各为所求率，5斗作为所有数，应用今有术，就得到答案。

假设发放粟米5斛，5个人分配。想使3个人每人得3份，2个人每人得2份，问：各得多少？

术：布置3个人，每人3；2个人，每人2，作为列衰。在旁边将它们相加，作为法。以5斛乘未相加的列衰，各自作为实。实除以法，得到每人得的斛数。

返衰〔1〕以爵次言之，大夫五、不更四……欲令高爵得多者，当使大夫一人受五分，不更一人受四分……人数为母，分数为子。母同则子齐，齐即衰也。故上衰分宜以五、四……为列焉。今此令高爵出少，则当使大夫五人共出一人分，不更四人共出一人分……故谓之返衰〔2〕。人数不同，则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子，则“动者为不动者衰”也〔3〕。亦可先同其母，各以分母约，其子为返衰〔4〕；副并为法；以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。术曰：列置衰而令相乘〔5〕，动者为不动者衰。

今有大夫、不更、簪、上造、公士凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问：各几何？

荅曰：

大夫出八钱一百三十七分钱之一百四，

不更出一十钱一百三十七分钱之一百三十，

簪出一十四钱一百三十七分钱之八十二，

上造出二十一钱一百三十七分钱之一百二十三，

公士出四十三钱一百三十七分钱之一百九。

术曰：置爵数，各自为衰，而返衰之。副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱〔6〕。

今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问：各几何？

荅曰：

甲二升一十分升之七，

乙四升一十分升之五，

丙一升一十分升之八。

术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰，而返衰之。副并为法。以九升乘未并者，各自为实。实如法得一升〔7〕。按：此术，三人所持升数虽等，论其本率，精粗不同。米率虽少，令最得多；饭率虽多，返使得少。故令返之，使精得多而粗得少。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，九升为所有数，而今有之，即得。

【注释】

〔1〕返衰：以列衰的倒数进行分配。

〔2〕使大夫五人共出一人分，不更四人共出一人分……：大夫1人出，不更1人出……大夫、不更、簪、上造、公士5人以，1为列衰分配，所以称为返衰。

〔3〕根据刘徽注，《九章算术》返衰术给出公式

显然，在求ai的时候，用不到以其衰ai乘所分a，所以说“动者为不动者衰”。

〔4〕其子：指以分母约“同”的结果。同即公分母。

〔5〕列置衰而令相乘：就是布置列衰，使分母互乘分子。即得到a1a2…ai-1ai+1…an，i=1，2，…，n为列衰。

【译文】

返衰以爵位等级表述之，大夫是5，不更是4……想使爵位高的得的多，应当使大夫1人接受5份，不更1人接受4份……人数作为分母，每人接受的份数作为分子。分母相同，则分子应该相齐，相齐就能作列衰。所以应用上面的衰分术应当以5，4……作为列衰。现在此处使爵位高的出的少，那么应当使大夫5个人共出1份，不更4个人共出1份……所以称之为返衰。人数不同，则份数不相齐。应当使分母互乘分子。分母互乘分子，就是变动了的为不变动的进行衰分。也可以先使它们的分母相同，以各自的分母除同，以它们的分子作为返衰术的列衰。在旁边将它们相加作为法。用所分的数量乘未相加的列衰，分别作为实。实除以法。术：布置列衰而使它们相乘，变动了的为不变动的进行衰分。

假设大夫、不更、簪、上造、公士5个人，共出100钱。想使爵位高的出的少，按顺序逐渐增加，问：各出多少？

术：布置爵位等级数，各自作为衰，而对之施行返衰术。在旁边将返衰相加作为法。用100钱乘未相加的返衰，各自作为实。实除以法，得每人出的钱数。

假设甲拿来3升粟，乙拿来3升粝米，丙拿来3升粝饭。想把它们混合起来重新分配，问：各得多少？

术：以粟率50，粝米率30，粝饭率75作为列衰，而对之施行返衰术。在旁边将返衰相加作为法。以9升乘未相加的返衰，各自作为实。实除以法，得每人分得的升数。按：此术中，三个人所拿来的粟米的升数虽然相等，但是论到它们各自的率，却有精粗的不同。粝米率虽然小，却使得到的多；粝饭率虽然大，反而使得到的少，所以对之施行返衰术，使精的得的多而粗的得的少。对今有术，在旁边将返衰相加作为所有率，未相加的返衰各自作为所求率，9升作为所有数，而应用今有术，即得到答案。

今有丝一斤〔1〕，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问：得丝几何？

荅曰：五斤八两一十二铢五分铢之四。

术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实，实如法得丝数。按：此术今有之义。以一斤价为所有率，一斤为所求率，今有钱为所有数，而今有之，即得。

今有丝一斤，价直三百四十五。今有丝七两一十二铢，问：得钱几何？

荅曰：一百六十一钱三十二分钱之二十三。

术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。臣淳风等谨按：此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率，价钱为所求率，今有丝为所有数，而今有之，即得。

今有缣一丈，价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问：得钱几何？

荅曰：六百三十三钱五分钱之三。

术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。臣淳风等谨按：此术亦今有之义。以缣一丈寸数为所有率，价钱为所求率，今有缣寸数为所有数，而今有之，即得。

今有布一匹，价直一百二十五。今有布二丈七尺，问：得钱几何？

荅曰：八十四钱八分钱之三。

术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实，实如法得钱数。臣淳风等谨按：此术亦今有之义。以一匹尺数为所有率，价钱为所求率，今有布为所有数，今有之，即得。

今有素一匹一丈〔2〕，价直六百二十五。今有钱五百，问：得素几何？

荅曰：得素一匹。

术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。臣淳风等谨按：此术亦今有之义。以价钱为所有率，五丈尺数为所求率，今有钱为所有数，今有之，即得。

今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问：得缣几何？

荅曰：三十二斤八两。

术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。臣淳风等谨按：此术亦今有之义。以一十四斤两数为所有率，一十斤为所求率，今有丝为所有数，今有之，即得。

今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问：耗几何？

荅曰：一百六十三两四铢半。

术曰：以一斤展十六两为法；以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。臣淳风等谨按：此术亦今有之义。以一斤为十六两为所有率，七两为所求率，今有丝为所有数，而今有之，即得。

今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问：生丝几何？

荅曰：一十三斤一十一两十铢七分铢之二。

术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。余四百二十两，即干丝率。三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。凡所得率知〔3〕，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已〔4〕。故品物不同，如上缣、丝之比，相与率焉。三十斤凡四百八十两，令生丝率四百八十两，令干丝率四百二十两，则其数相通。可俱为铢，可俱为两，可俱为斤，无所归滞也〔5〕。若然，宜以所有干丝斤数乘生丝两数为实。今以斤、两错互而亦同归者，使干丝以两数为率，生丝以斤数为率。譬之异类，亦各有一定之势〔6〕。　　臣淳风等谨按：此术，置生丝两数，除耗数，余即干丝之率，于今有术为所有率；三十斤为所求率，干丝两数为所有数。凡所谓率者，细则俱细，粗则俱粗。今以斤乘两知，干丝即以两数为率，生丝即以斤数为率，譬之异物，各有一定之率也。

今有田一亩，收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问：收粟几何？

荅曰：八斛四斗四升一十二分升之五。

术曰：以亩二百四十步为法，以六升太半升乘今有田积步为实，实如法得粟数。臣淳风等谨按：此术亦今有之义。以一亩步数为所有率，六升太半升为所求率，今有田积步为所有数，而今有之，即得。

今有取保一岁〔7〕，价钱二千五百。今先取一千二百，问：当作日几何？

荅曰：一百六十九日二十五分日之二十三。

术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。臣淳风等谨按：此术亦今有之义。以价为所有率，一岁日数为所求率，取钱为所有数，而今有之，即得。

今有贷人千钱〔8〕，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问：息几何？

荅曰：六钱四分钱之三。

术曰：以月三十日乘千钱为法；以三十日乘千钱为法者，得三万，是为贷人钱三万，一日息三十也。以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱〔9〕。以九日乘今所贷钱为今一日所有钱，于今有术为所有数；息三十为所求率；三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱，为十分一日，以乘今一日所有钱为实；千钱为法。为率者，当等之于一也〔10〕。故三十日或可乘本，或可约息，皆所以等之也。

【注释】

〔1〕自此问起至卷末，不是衰分类问题，其体例亦与前不合，系张苍或耿寿昌增补的内容。它们都可以直接用今有术求解，但是与卷二今有术的例题有所不同。卷二的例题中，所有率与所求率都根据粟米之法，所有数都是粟米的斛斗数。这些问题却不然。比如此问中，其解法是：“以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实，实如法得丝数。”刘徽将其归结到今有术，今有钱1 328为所有数，丝1斤为所求率，丝1斤价钱240为所有率。以所有率即1斤价钱为法，以所求率即1斤丝乘所有数即今有钱数为实。所有率与所求率，分别是由钱数与重量得到的，不是同类的，而且今有钱数与1斤丝相乘作为实，两者也不是同类的，作为法的所有率与所有数是同类的。所以宋代起将这一类问题归于“异乘同除”类。

〔2〕素：本色的生帛。《礼记·杂记下》：“纯以素，以五彩。”孔颖达疏：“素，谓生帛。”

〔3〕凡所得率知：与下文“生丝”问刘徽注“今以斤乘两知”中，两“知”字，训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔4〕相抱：互相转取也。抱，古通“捊”。许慎《说文解字》卷十二上：“抱：捊，或从包。”又：“‘捊’，引取也。”刘安《淮南子·原道训》：“扶摇抮抱，羊角而上。”高诱注：“‘扶’，攀也；‘摇’，动也；‘抮抱’，引戾也。扶摇直如羊角转如曲萦行而上也。”《文选·射雉赋》（潘岳）：“戾翳旋把，萦随所历。”李善注：“戾，转也。”因此，“抱”，转取也。刘徽在此提出了率的重要性质。

〔5〕这是将诸物化成同一单位，以导出诸物之率，是为率的一种最直观最常用的方式。

〔6〕譬之：谓把它比作。《论语·子张》：“子贡曰：‘譬之宫墙，赐之墙也及肩，窥见室家之好。’”此谓比方说是不同类的物品也可以形成率。

〔7〕保：佣工。《史记·季布栾布列传》：“穷困，赁佣于齐，为酒人保。”李籍云：“佣也。如所谓酒家保。”

〔8〕贷：李籍云：“以物假人也。”《算数书》亦有一“贷人千钱”的问题，但与此同类不同题。

〔9〕此即以今所贷钱×9日为所有数，1 000钱×30日为所有率，月息为所求率，则所求数即所得息

所得息=［（今所贷钱×9日）×月息］÷（1 000钱×30日）。

〔10〕这是刘徽提出的另一种使用率，应用今有术求解的方式：以月息30钱÷30日=10分/日为所求率，今所贷钱×9日为所有数，1 000钱为所有率。两者殊途同归。

【译文】

假设有1斤丝，价值是240钱。现有1 328钱，问：得到多少丝？

答：得5斤8两铢丝。

术：以1斤价钱作为法，以1斤乘现有钱数作为实，实除以法，得到丝数。此术具有今有术的意义。以1斤价钱作为所有率，1斤作为所求率，现有钱数作为所有数，应用今有术，即得到答案。

假设有1斤丝，价值是345钱。现有7两12铢丝，问：得到多少钱？

答：得钱。

术：以1斤的铢数作为法，以1斤的价钱乘7两12铢作为实。实除以法，得到钱数。淳风等按：此术也具有今有术的意义。以1斤的铢数作为所有率，1斤的价钱作为所求率，现有的丝数作为所有数，应用今有术，即得到答案。

假设有1丈缣，价值是128钱。现有1匹9尺5寸缣，问：得到多少钱？

答：得钱。

术：以1丈的寸数作为法，以1丈的价钱数乘现有缣的寸数作为实。实除以法，得到钱数。淳风等按：此术也具有今有术的意义：以1丈缣的寸数作为所有率，1丈的价钱作为所求率，现有缣的寸数作为所有数，应用今有术，即得到答案。

假设有1匹布，价值是125钱。现有2丈7尺布，问：得到多少钱？

答：得钱。

术：以1匹的尺数作为法，现有布的尺数乘价钱作为实。实除以法，得到钱数。淳风等按：此术也具有今有术的意义：以1匹的尺数作为所有率，1匹的价钱作为所求率，现有布的尺数作为所有数，应用今有术，即得到答案。

假设有1匹1丈素，价钱是625钱。现有500钱，问：得多少素？

答：得1匹素。

术：以价值作为法，以1匹1丈的尺数乘现有钱数作为实。实除以法，得到素数。淳风等按：此术也具有今有术的意义。以价钱作为所有率，5丈的尺数作为所求率，现有钱数作为所有数，应用今有术，即得到答案。

假设给人14斤丝，约定取得10斤缣。现给人45斤8两丝，问：得多少缣？

答：得32斤8两缣。

术：以14斤的两数作为法，以10斤乘现有丝的两数作为实。实除以法，得到缣数。淳风等按：此术也具有今有术的意义。以14斤的两数作为所有率，10斤作为所求率，现有丝数作为所有数，应用今有术，即得到答案。

假设有1斤丝，损耗7两。现有23斤5两丝，问：损耗多少？

答：损耗163两铢。

术：将1斤展开，成为16两，作为法。以7两乘现有丝的两数作为实。实除以法，得损耗数。淳风等按：此术也具有今有术的意义。把1斤变成16两作为所有率，7两作为所求率，现有丝数作为所有数，应用今有术，即得到答案。

假设30斤生丝，晒干之后，损耗3斤12两。现有干丝12斤，问：原来的生丝是多少？

答：原来的生丝是13斤11两铢。

术：布置生丝的两数，减去损耗数，以余数作为法。余数420两，就是干丝率。30斤乘干丝的两数作为实。实除以法，得到生丝数。凡是所得到的率，要细小则都细小，要粗大则都粗大。两个数互相转取罢了。因此，不同的物品，例如上面的缣与丝的比率，就是相与率。30斤共有480两。使生丝率为480两，使干丝率为420两，则它们的数相通。可以都用铢，可以都用两，可以都用斤，没有什么地方有窒碍。如果这样，应该用所有的干丝斤数乘生丝的两数作为实。现在将斤、两错互——使干丝以两数形成率，生丝以斤数形成率，也得到同一结果的原因在于，比方说是不同的类，也各有一定的态势。　　淳风等按：在此术中，布置生丝的两数，减去损耗的数，余数就是干丝率。对于今有术，这作为所有率，30斤作为所求率，干丝的两数作为所有数。凡是称为率的，要细小则都细小，要粗大则都粗大。现在以斤乘两，是因为干丝以两数形成率，生丝以斤数形成率，比方说是不同的物品，都各有一定的率。

假设1亩田收获升粟。现有1顷26亩159步田，问：收获多少粟？

答：收获8斛4斗升粟。

术：以1亩的步数240步2作为法，以升乘现有田的积步作为实。实除以法，得到粟数。淳风等按：此术也具有今有术的意义。以1亩的步数作为所有率，升作为所求率，现有田的积步作为所有数，应用今有术，即得答案。

假设雇工，一年的价钱是2 500钱。现在先领取1 200钱，问：应当工作多少天？

答：应当工作天。

术：以价钱作为法，以一年354天乘先领取的钱数作为实。实除以法，得到日数。淳风等按：此术也具有今有术的意义。以价钱作为所有率，一年的天数作为所求率，领取的钱数作为所有数，应用今有术，即得到答案。

假设向别人借贷1 000钱，每月的利息是30钱。现在向别人借贷了750钱，9天归还，问：利息是多少？

答：利息是钱。

术：以一月30天乘1 000钱作为法，以30天乘1 000钱作为法，得到30 000，这相当于向别人借贷30 000钱，一天的利息是30钱。以利息30钱乘现在所借贷的钱数，又以9天乘之，作为实。实除以法，便得到利息的钱数。以9天乘现在所借贷的钱数作为现在一日所有的钱，对于今有术，作为所有数，利息30钱作为所求率，30 000钱作为所有率。这又可以用一月30天除利息30钱，得到一天10分。以它乘现在一日所有钱作为实。1 000钱作为法。建立率，应当使它等于1。所以，30天有时可以用来乘本来的钱，有时可以用来除利息，都是用来使率等之于1的。