新译几何原本序代曾文正公

张文虎

几何原本前六卷明徐文定公受之西洋利玛窦氏同时李凉庵汇入天学初函而圜容较义测量法义诸书其引几何颇有出六卷外者学者因以不见全书为憾咸丰闲海甯李壬叔始与西士伟烈亚力续译其后九卷复为之订其舛误此书遂为完帙松江韩绿卿尝刻之印行无几而板毁于寇壬叔从余安庆军中以是书予曰此算学家不可少之书失今不刻行复绝矣会余移驻金陵因属壬叔取后九卷重校付刊继思无前六卷则初学无由得其蹊径而乱后书籍荡泯天学初函世亦稀觏近时广东海山仙馆刻本纰缪实多不足贵重因并取六卷者属校刊之盖我中国算书以九章分目皆因事立名各为一法学者泥其而求之往往毕生习算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而视为绝学者无他徒眩其法而不知求其理也传曰物生而后有象象而后有滋滋而后有数然则数出于象观其象而通其理然后立法以求其数则虽未前人已成之法刱而设之若合符契至于探赜索隐推广古法之所未备则益远而无穷也几何原本不言法而言理括一切有形而概之曰点线面体点线面体者象也点相引而成线线相遇而成面面相叠而成体而线与线面与面体与体其形有相兼有相似其数有和有较有有等有无等有有比例有无比例洞悉乎点线面体而御之以加减乘除譬诸闭门造车出门而合辙也奚敝敝然逐物而求之哉然则九章可废乎非也学者通乎声音训诂之端而后古书之奥衍者可读也明乎点线面体之理而后数之繁难者可通也九章之法各适其用几何原本则彻乎九章立法之源而凡九章所未及者无不赅也致其知于此而验其用于彼其如肆力小学而收效于籍者欤

象数一原序一

项名达

方圜率古不相通也径求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必资六宗三要二简法非可径求所以然者方有尽圜无穷势难强合也自杜氏术出而方圜之率始通其术用连比例一率半径二率通弦三率倍矢由是递求诸率有径即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其数亦最真顾是术也梅氏赤水遗珍载焉而未释明静庵先生捷法解释焉而未抉其原当自为一书非正释也自董氏术出而方圜率相通之理始显术凡四曰求倍分弦矢求析分弦矢审定乘除法以明率数倍分率圜所以通方也析分率方所以通圜也其释倍分率以方锥堆而方锥堆实出于三角堆弦之二率即两堆根相并数四率即两立积相并数矢之三率即两平积相并数五率即两三乘积相并数四五率以下多乘积以还莫不如是故递次乘除皆求堆积法也而即以之求弦矢弦之分有奇无偶矢之分奇偶俱全至析分率则三角堆无其数即假倍分之率较量而反释之可为独具只眼矣所疑者堆积既与率数合何以有倍分无析分倍分中弦率又何以有奇分无偶分且弦矢联于圜中于三角堆何与蓄是疑有年丁酉归自苕南舟中偶念此恍然曰三角堆数起于一递加一得堆根递加根得平积递加平积得立积盖递加数也弦矢率由圜中两等边三角挨次比例而生亦起于半径之一半径即一率递加一率得二率递加二率得三率递加三率得四率亦递加数也数有整必有零起整分者曰整数递加祗一式即三角堆相连两根积相并与倍分矢率倍分中奇分弦率等数起零分者曰零数递加有无量式不可以三角堆名依式推衍倍分中偶分弦率及析分弦矢率实参列其间不惟若是倍分者一分弧之几常以一为分母析分者几分弧之一常以一为分子今得零分则分子母不必定一任设几分弧之几无不可求因立此弧求他弧两术以补所未备又不惟若是分子母既可任设则六十度通弦倍矢与半径等诸率齐同取为分母任设某度为分子并诸率本数可省去不求但求递加差数即得逐度分秒之通弦倍矢亦即得逐度分秒之正弦正矢因更立半径求弦矢两术以备制表之用似便于用弧约言之弦矢诸率其比例生于两等边三角其数本于递加两等边三角尖象也递加数尖数也通方圜必以尖故自来割圜术不离勾股而得其象未得其数取数不无繁重自有零整分递加而后象与数会分于是定率亦于是通分即递加数之根率即递加数之积分以子母管乎外圜涵方也率以奇偶应乎内方就圜也割圜术至此始无余蕴爰乘数月暇着为图说二卷友人王子琴逸嗜算术遍涉中西见是术爱之欲与杜董术合刊为一册嘱余序其大意余因详术所由不嫌辞费者亦以此通贯方圜之率非董氏理无自彰非杜氏法无自立非勾股割圜等法以为导亦无自察象稽数以底于至精然则古人创始之难其可忽哉

象数一原序二

项名达

向玩弦矢诸率会得递加数复析圜得两等边三角其象适与数会因草成图解一册聊自达意而脱甚多丙午冬谢去紫阳讲席笔墨就闲渐编定整分半分起度两种弦矢率而梁楚香中丞复以紫阳大小课艺嘱选辞不获遂又见阻杨缃芸农部在京见旧刻割圜捷术序中言及图解亟思一见丁未冬来杭见访因示以所编缃芸谓书未半而君年垂迈是书断不可不成且不可缓成克期以一载临别尚谆切致嘱余感其意为之定书名曰象数一原卷一曰整分起度弦矢率论卷二曰半分起度弦矢率论卷三卷四曰零分起度弦矢率论卷五曰诸术通诠卷六曰诸术明变随将卷三编定选课毕复阻于病今夏始将卷四着有六纸不料病躯重感湿热兼肝乘脾几不可救医治两月无起色乃又重感燥火致脏腑无不病者遍体血脉不行医尽束手自知残灯微焰断难久延而是书从此搁笔矣缺而不完世间事大都如是何必恋恋所歉者负缃芸谆嘱之心耳然书虽未完而零分各腰率零分递加数卷三中已衍成其式惟义赜绪繁拟分条详论于卷四业论至易率法之相当率寄分毕则论用率寄分论定率寄分皆宜分别奇偶论之而易率法毕次论衍递加数法亦论寄分论子母论正负论奇行偶行积子母互异论直行并行积子母互异而递加数毕次论递加数即各形腰率而正负不同论心角形腰与腰较率正负相反论并积即弦矢率易正负有定法论矢率弦率子母全半之不同而弦矢率毕末乃依半分起度式分六术以明其算特彼论全半此论子母异同处略一分别可也至卷五卷六皆有旧稿且经编定只须照式录之今将各卷总为一束设有本鄙意而续成者惟条论稍难六术则易于从事无续成者卷四作未完之书亦无不可

对数简法跋

项名达

求对数旧法言之綦详而数重绪多初学恒未易了鄂士先生揭其精要而变通之着为对数简法首论开方自浅入深而约以七术继复立累除法省数十次开方用表已备极能事尤妙者舍开而求假设数夫对数折半真数开方开至单一下空多位之零数于是真数对数遂得其会通此开方所由重也顾必累开不已始得会通何如迳就会通处假一数以通之迨展转相通而七十二对数之等差已备具于假设诸数中一比例而定准之数出矣以是知数之为用带零求整难设整御零易凭所知课所求顺推而入难借所求通所知逆转而出易苟悟此可以得用数之方岂惟是对数一门有裨后学耶

对数简法识

戴煦

对数以加减代乘除用之甚便而求之甚难旧法求诸对数皆先求自一至九递至单一下九空位零一至九之九十九数而求之之法大略有三先定十百千万之对数而其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两真数相乘开方得中率之真数以首率末率两假数相加折半得中率之假数渐求渐近以至适合如旧法求九之假数用中比例求至二十六次而得八位之对数此一法也凡假数之首位因真数之位数而递加以真数递次自乘至多位而其位数即假数首位以前之数然后以自乘第几率除之即得真数第一率之假数如旧法求二之对数自乘至一千三百余亿率除自乘之位数四百十余亿位而得十二位之假数又一法也既定十之对数为一乃以真数十开方五十四次三十三位以假数折半五十四次为逐次假数列为开方表乃以第五十四次真假两数比例得单一下十五空位零一之假数为率于是以应求对数之真数开方四五十次求得十五空位与为比例然后以开方第几次之率数乘之而得二十二位之假数或真数开方二十余次求得九空位与表内九空位开方数为比例亦以率数乘之而得十三四位之假数如旧法求二与六之对数又一法也顾此数法布算极繁甚至经旬累月而不能竟求一数故言算者鲜不望之而生畏夫立法太繁则较算不易深虑寖久而失其真也因复详加探索始悟求十一二位之对数开方表祗须二十一次一十四位已属敷用而既有开方表则求诸对数可不必更开方较之旧法省算数倍且不特此也凡诸对数皆定于十之对数而实生于单一下五六空位零一之对数今欲以十之对数求单一下五六空位零一之对数势不得不屡次开方若借一算为单一下五六空位零一之对数转求十之借数即可得其比例之率知累除之法可代开方而用二十一次之开方表犹属舍易求难然是术也立法殊简用意非深西士若往讷白尔之徒既能刱立对数虑无有不知此者意者彼时欧逻巴人故匿其易而衒其难以夸中土欤兹为揭出俾求对数者有取焉

续对数简法

戴煦

前岁之秋予以对数简法呈梅侣项先生翼日谓予曰递求数可开平方亦可开诸乘方会得二术属稿未定予归而思之亦得二术以呈先生而先生亦以定稿见示其逐数皆正一术与予正负相闲者不同其第一数正而以下皆负一术则若合符节焉于是开诸乘方遂有三术予思既有三术必更有一术因补衍之将呈先生而先生适以补衍一术见示又若合符节焉惟先生以乘数加一为廉率谓诸乘方第一廉与末一廉之数也而予以连比例率推之复一一合因以其法用代累乘求积亦无不可通乃知廉率本生于连比例率也夫对数开平方多次以开方旧法至十二乘已属繁重断难开至亿兆乘故以平方代开耳今开诸乘方既通为一法可不必代开由是因繁得简复推得开极多位九乘方之法而对数之简法出矣盖前术用假设对数乃立天元一术即西人之借根方但天元一可乘而不受除常寄除法为母今须累除数百次则寄母极繁不可算不得不径用除法既用除法则数百次之畸零累积其差甚大故难求至多位不如连比例递求数之所差极微也至对数还原即代累乘求积之法而变通之因亦类焉

对数生于连比例率如设一数为本数第一率命为方根则其自乘之积为倍大第二率再自乘之积为倍大第三率三自乘之积为倍大第四率故以本数之对数二乘之即自乘积之对数三乘之即再乘积之对数四乘之即三乘积之对数若反言之则设一数为本数第一率命为方积而其开平方之根为折小第二率开立方之根为折小第三率三乘方之根为折小第四率故以本数之对数二除之即平方根之对数三除之即立方根之对数四除之即三乘方根之对数推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率与连比例率相应而折小各率不相应者谓二率平方积自乘一率方根除之得三率立方积二三率平方立方二积相乘一率方根除之得四率三乘方积推之各率皆然折小各率则不然盖倍大之率率数也故求对数用乘法折小之率率分也故求对数用除法倍大不仅率数亦有率分如以二率之二除一率之一得五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得三三三零即倍大第三率之率分折小不仅率分亦有率数如五即折小第二率之率数三三三零即折小第三率之率数其倍大折小同率之率分率数恒两两反对其每率之率分率数恒与第一率之一为三率连比例而必以一为中率故以率分除之或以率数乘之得数必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分为整数即率数为整数零率者如有一数较本数开平方根则不足较本数开立方根则有余其率分必为二而下带畸零小余或较本数自乘积则有余较本数再乘积则不足其率数亦必为二而下带畸零小余而以此种带畸零之率分或率数为首率一为中率求其末率必仍带畸零是此种倍大折小之率分率数皆带畸零而成零率矣若今所用之对数正真数之率数也非率分而其本数第一率为一故一之对数为一即一率之一而一为本数倍大第二率其对数亦为二一为本数倍大第三率其对数亦为三若一以上一以下自二至九则不满一率故对数首位为而下带畸零一以上一以下自十一至九十九则不满二率故对数首位为一而下带畸零此即所谓零率也知对数之为连比例率数而求对数之法可得而言矣

倍大率

率数

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

一率

方根

二率

平方积

三率

立方积

四率

三乘方积

五率

四乘方积

六率

五乘方积

七率

六乘方积

八率

七乘方积

九率

八乘方积

十率

九乘方积

率分

一

五

三三三

二五

二

一六六

一四二

一二五

一一一

一

折小率

率数

一

五

三三三

二五

二

一六六

一四二

一二五

一一一

一

一率

方积

二率

平方根

三率

立方根

四率

三乘方根

五率

四乘方根

六率

五乘方根

七率

六乘方根

八率

七乘方根

九率

八乘方根

十率

九乘方根

率分

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

以本数为积求折小各率

第一术

法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正　次以本数为除法以初商实减本数其减余数为乘法其所求第几率名为率分乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正以乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正　如是递求至应求位数乃诸正数得所求

按此术项氏所定

第二术

法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正　次以初商实为除法以初商实减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正　乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负　乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负　如是递求至应求位数乃诸正数又诸负数减之得所求

按此术予所定

第三术

法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正　次以初商实为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数负　乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负　乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负　如是递求至应求位数乃诸负数减第一正数得所求

按前开平方七术即此法

第四术

法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正　次以本数为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数负　乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正　如是递求至应求位数乃诸正数又诸负数减之得所求

按前二术予所定与项氏所定暗合

以本数为根求倍大各率

第一术

法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正　次以本数为除法本数内减截去数为乘法其所求第几率名为率数乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正　乘法乘第二数除法除之又以率数加一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正　如是递求至单位下乃诸正数得所求

第二术

法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正　次以截去数为除法本数内减截去数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正　乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正　如是递求至率数减尽而止乃诸正数得所求

第三术

法任截本数几位于末位加一依本率乘数累乘之为第一数正　次以截去数加一为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负　乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数负乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正　如是递求至率数减尽而止乃诸正数又诸负数减之得所求

第四术

法任截本数几位依前术加一依本率乘数累乘之为第一数正　次之本数为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负　乘法乘第二数除法除之率数加一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正　如是递求至单位下乃诸正数又诸负数减之得所求

按有本数求倍大折小各率本通为一法非有二义其第二数倍大用率数乘者缘率分率数与单一为三率连比例率分为首率则单一为中率率数为末率故以率分除之之数即同于率数乘之之数而折小各率率分整而率数零故用率分为便倍大各率率数整而率分零故用率数为便也其第三数以率数加减一乘之二除之者缘连比例首率与中率之比同于中率与末率之比前四术首率内加减中率乘之倍首率除之后四术中率内加减末率乘之倍中率除之其得数必同也以下各数义仿此其第二三术与前第二三术正负各异者缘乘法虽云率数内减一实一内减率数其减余为负算故乘为负乘既为负乘则乘后之正负必变故能变逐数皆负者为正负相闲变正负相间者为逐数皆正也其率数减尽而止者凡算例以适足为实任以正数负数乘除之必仍为适足或正负数为实以适足数乘除之亦为适足故率数减尽则以下无数也

又按前四术可为开方捷法后四术所求止须以本数累乘即得而挨次递求似乎较烦然开方与累乘但能求倍大折小各整率若前八术则凡第一数可知者虽零率亦可求用之对数为尤要也又按每数通用之乘法除法若先以除法除乘法用为递次乘法则一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用为递次除法则一次除可代一乘一除

论对数根

戴煦

对数根者诸对数之所生即单一下无数空位零一之对数也旧法以一为积开方五十四次以其方根单一下空位后所带之零数为一率单一折半五十四次即一兆八千余亿除单一之数为二率单一下十五空位零一之一为三率求得四率为对数根夫以一为积开方五十四次即以一为本数第一率求折小第一兆八千零一十四万三千九百八十五亿零九百八十四万一千九百八十四率也今有本数即可求折小各率则是第五十四次开方数可以径求矣既可径求则求第一兆八千余亿率不如求第一无量数率一无量数犹云一千或一万何也盖一兆八千余亿率为第五十四次开方数之率分其位数甚多用连比例求得率数亦有多位即第五十四次开方数之对数而布算甚繁一无量数数虽极大而仍为一不过一下有无数空位耳以为首率用连比例求末率必为单位下无数空位零一此即求对数根四率之二率数既为一可省多位乘法一次且一无量数较一兆有零为尤密也

今定一之对数为单一求对数根

法先以一开平方五次或开平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一七四六七八二八三二一三一七四九七为对数根之用数用数见后第三十二率以前各率为用数则降位稍难若三十二率以后皆可为用数不必定用三十二率也置用数减去首位单一以除用数得一四四三四一九二一八八六八六五三九为递次除法用数为通田除法用数减首位为通用乘法此即前所云以乘法除除法为递次除法则一次除可代一乘一除也乃以除法除单一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九二四九六三二六六为第一数正　除法除第一数一乘之二除之得七七一二三八六四一六七八三为第二数正　除法除第二数二乘之三除之得三五六九七一六四九二五一二二为第三数正　除法除第三数三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八五为第四数正　除法除第四数四乘之五除之得一三二四九四四二八三为第五数正　如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正　三五五四六一六三一三为第七数正　二一五九四一四六为第八数正　一三三二六五三为第九数正　八三二七一为第十数正　五二五五七为第十一数正　三三四五为第十二数正　二一四为第十三数正　一四为第十四数正　一为第十五数正　乃诸正数得二三二五八五九二九九四四五七七为首率单一为中率求得末率四三四二九四四八一九三二五一八一一即对数根也

用数　　一七四六七八二八三二一三一七四九七

除法　　一四四三四一九二一八八六八六五三九

第一数　　二二二一六九四六九二四九六三二六六　除法除之一乘二除得

二　　　　　七七一二三八六四一六七八三　同　　　二　三

三　　　　　　三五六九七一六四九二五一二二　同　　　三　四

四　　　　　　　一八五八七七八二四九九八五　同　　　四　五

五　　　　　　　　一三二四九四四二八三　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　五九七三一七三三七四一　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　三五五四六一六三一三　同　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　二一五九四一四六　同　　　八　九

九　　　　　　　　　　　　　一三三二六五三　同　　　九　十

十　　　　　　　　　　　　　　　八三二七一　同　　　十　十一

十一　　　　　　　　　　　　　　　五二五五七　同　　　十一十二

十二　　　　　　　　　　　　　　　　三三四五　同　　　十二十三

十三　　　　　　　　　　　　　　　　　二一四　同　　　十三十四

十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一四　同　　　十四十五

十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

得数　首率　二三二五八五九二九九四四五七七

中率　一

末率　四三四二九四四八一九三二五一八一一

按此即以一为本数第一率依第一术求折小第一无量数率也其第一数本为单一凡求极多率者初商恒为单一依对数例以单一下之零数为比例而截去首位故置第一数不用而竟以第二数为第一数也其以三十二乘之者缘用数系本数之折小第三十二率当于求得数后以三十二乘之为所求数而以三十二乘第一数其得数亦同也所异者求法既依第一术则第二数应以一无量数加一乘之二无量数除之而何以用一乘二除不知求极多率者无加一之差也今试以九乘方言之其率分为十其乘法十一与除法二十之比较一与二之比所差尚大若两位九乘方谓九十九乘方其率分为百而一百零一与二百之比较一与二之比所差较微若三位九乘方谓九百九十九乘方其率分为千而一千零一与二千之比较一与二之比其差更微由是推之多位九乘方则其差必极微而可以不计矣且非特不计已也譬之割圆有大弧弦求析分小弧弦每数乘法有分子之减差析之愈小减差愈微若求弧则有分母无分子此减差而无之盖稍有减差则亦稍有觚棱而非真弧矣求对数根亦然必须开无穷无尽极多位九乘方此加差而无之然后求至数百千位而无不合若稍有加差则必滞于第几率而求至多位反不合矣即如开平方五十四次而所求之对数根不过十五六位若欲增求一位必须再开三四次不能如前法之求几位即得几位者以其滞于一兆八千余亿率也然则一乘二除二乘三除正开无穷无尽极多位九乘方之法无以名之姑名为折小第一无量数率耳

论用数

戴煦

前言有本数求折小第一无量数率可以径求此立法也而法有所穷必须先求三十二率何也盖多率之开方初商表其数极繁惟初商单一则任折小至多率而初商实亦必仍为单一幸而求折小多率者其首位必为单一故用第一第二两术其第一数必为单一而初商实犹可知若用第三四术则初商必为二而初商实即极繁而不可求矣然即用第一二术而其中又有窒今试以一为本数依第一术求之则以一为除法初商实一减一得九为乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能递求依第二术则一除九乘位不惟不降而反升尤不能递求是窒也夫求折小多率者其本数必须单一下有空位空位后带零数则减余数小而可求今本数一既非单一又无零数则必假一单一下有空位带零数之数以求之此用数之所由来也而求用数约有四法以本数先求折小第几率为用数其第一数以折小率若干乘之然后递求此一法也以本数首位降为单位以自二至九自一一至一九诸数累除之为用数求得数后以除法对数加之视降几位再首位加几又一法也以本数先求倍大第几率以首位降为单位为用数求得数后视降几位则首位加几然后以倍大率若干除之又一法也置本数以自二至九累乘之以首位降为单位为用数求得数后视降几位首位加几然后以乘法之对数减之又一法也然第一法取数不易而有畸零惟求对数根不得已而用之第二法亦有畸零第三法虽无畸零而不可必得盖诸数之倍大率不能辄得首位为一而下有空位也惟第四法既无畸零且可必得故求用数可以倍大率求者则用倍大率其不可用倍大率者则用借数累乘法为便也

假如以倍大率求二之用数

法以二自乘九次得一千零二十四为二之倍大第十率降三位得一二四为二之用数

假如以累乘法求七之用数

法以七用二乘之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一八为七之用数

假如兼用倍大率及累乘法求三之用数

法以三自乘再乘得二十七为三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一八为三之用数

论借数

戴煦

借数者自二至九共八数借为累乘之数也凡诸数择八数内之数乘之皆可得首位为一而下有空位故借数不必广求即八数而已足但由用数求得之对数必以乘法之对数加之则必先求借数之对数而借数虽有八数实止三数何也二五四八本通为一数三六九亦通为一数惟七则自为一数故有三数之对数而八数之对数已备有八数之对数而诸数之用数亦无不备矣

假如有对数根求二与四与五与八之对数

法依前求得二之用数一二四减去单一得二四为递次乘法乃以乘法乘对数根得一四二三六七五六五六七八四三凡乘法在单位下则乘得数小于原数为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一二五七六八一七八八一三七为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得二一二二八九七二六一为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得三六二二一二一五七为第四数负　如是递求得六九一六二四七三三为第五数正　一三八三二四九五为第六数负　二八四五五四为第七数正　五九七六为第八数负　一二七为第九数正　三为第十数负　乃诸正数得一四二五六九四八六五六六七又诸负数得一二五一一二八四六七四八一一八以负减正得一二九九九五六六三九八一一九四九为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三一二九九九五六六三九八一一九四九为一千零二十四之对数以一千零二十四系二之倍大第十率乃以十除之得三一二九九九五六六三九八一一九小余四九为二之对数也

求四之对数者以四即二之倍大第二率乃以二之对数二乘之得六二五九九九一三二七九六二三八九八即四之对数

求五之对数者以二与五相乘即十乃以十之对数单一内减二之对数得六九八九七四三三六一八八五一即五之对数

求八之对数者以八即二之倍大第三率乃以二之对数三乘之得九三八九九八六九九一九四三五八四七即八之对数

用数　　一二四

乘法　　二四

第一数　一四二三六七五六五六七八四三　乘法乘之一乘二除得

二　　　　　　一二五七六八一七八八一三七　同　　　二　三

三　　　　　　　　二一二二八九七二六一　同　　　三　四

四　　　　　　　　　　三六二二一二一五七　同　　　四　五

五　　　　　　　　　　　　六九一六二四七三三　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　　　　一三八三二四九五　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　　　　　二八四五五四　同　　　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　　　　　　五九七六　同　　　八　九

九　　　　　　　　　　　　　　　　　　一二七　同　　　九　十

十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三

正数　一四二五六九四八六五六六七

负数　一二五一一二八四六七四八一一八

减得　　一二九九九五六六三九八一一九四九

首位　　三一二九九九五六六三九八一一九四九

加三

十除之　三一二九九九五六六三九八一一九四九　二之对数

二乘之　六二五九九九一三二七九六二三八九八　四之对数

以减　　六九八九七四三三六一八八五一　五之对数

单一

三乘之　九三八九九八六九九一九四三五八四七　八之对数

假如求三与六与九之对数

法依前求得三之用数一八减去单一得八为递次乘法乃以乘法乘对数根得三四七四三五五八五五二二六一四四九为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二九四五八为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三为第四数负　如是递求得二八四六一九二三一六六一为第五数正　一八九七四六一五四四四为第六数负　一三一一一六四八七六为第七数正　九一七八一五四一为第八数负　六四七六六六八七为第九数正　四六六三二一为第十数负　三三九一四二为第十一数正　二四八七为第十二数负　一八三七为第十三数正　一三六为第十四数负　一为第十五数正　一为第十六数负乃　诸正数得三四八一七九六四七六九七二一五二又诸负数得一三九四二八五八三七四七五一四以负减正得三三四二三七五五四八六九四九七一二为用数之对数以用数系降二位于乃首位加二得二三三四二三七五五四八六九四九七一二为一百零八之对数以系借四乘再减四之对数得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四为二十七之对数以二十七系三之倍大第三率乃以三除之得四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之对数也

求六之对数者以二三相乘即六乃以二之对数加三之对数得七七八一五一二五三八三六四三六三二即六之对数

九之对数者以九系三之倍大第二率乃以三之对数二乘之得九五四二四二五九四三九三二四八七四二即九之对数

用数　　一八

乘法　　八

第一数　三四七四三五九八五五二二六一四四九　乘法乘之一乘二除得

二　　　　　一三八九七四二三四二九四五八　同　　　二　三

三　　　　　　　七四一一九五九一五七八一五五　同　　　三　四

四　　　　　　　　四四四七一七五四九四六八九三　同　　　四　五

五　　　　　　　　　二八四六一五二三一六六一　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　一八九七四六一五四四四　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　一三一一一六四八七六　同　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　　九一七八一五四一　同　　　八　九

九　　　　　　　　　　　　　　六四七六六六八七　同　　　九　十

十　　　　　　　　　　　　　　　四六六三二一　同　　　十　十一

十一　　　　　　　　　　　　　　　三三九一四二　同　　　十一十二

十二　　　　　　　　　　　　　　　　二四八七　同　　　十二十三

十三　　　　　　　　　　　　　　　　　一八三七　同　　　十三十四

十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三六　同　　　十四十五

十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一　同　　　十五十六

十六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

正数　三四八一七九六四七六九七二一五二

负数　一三九四二八五八三七四七五一四

减得　　三三四二三七五五四八六九四九七一二

首位　　二三三四二三七五五四八六九四九七一二

加二

内减四　　　　一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四

之对数

三除之　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一　三之对数

内加二　七七八一五一二五三八三六四三六三二　六之对数

之对数

二乘三　九五四二四二五九四三九三二四八七四二　九之对数

之对数

假如求七之对数

法依前求得七之用数一八减去单一得八为递次乘法乃以乘法乘对数根得三四七四三五五八五五二二六一四五为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二九四一为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九五为第四数负　如是递求得二八四六一九二三为第五数正　一八九七四六为第六数负　一三一为第七数正　九为第八数负　乃诸正数得三四七四四二九九七七六六三九一五一又诸负数得一三八九七八六八一五七四二九一以负减正得三四六五三二一九五六四八六为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三三四六五三二一九五六四八六为一千零八之对数以系二与八与九叠乘所得乃二八九之三对数得二一五八三六二四九二九五二四九六五三八减之得八四五九八四一四二五六八三二二即七之对数也

用数　　一八

乘法　　八

第一数　三四七四三五五八五五二二六一四五　乘法乘之一乘二除得

二　　　　　　　一三八九七四二三四二九四一　同　　　二　三

三　　　　　　　　　　七四一一九五九一五七八二　同　　　三　四

四　　　　　　　　　　　　四四四七一七五四九五　同　　　四　五

五　　　　　　　　　　　　　　二八四六一九二三　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　　　　　　　一八九七四六　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三一　同　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　九

正数　　　三四七四四二五九七七六六三九一五一

负数　　　一三八九七八六八一五七四二九一

减得　　　　三四六五三二一九五六四八六

首位加三　　三三四六五三二一九五六四八六

三对数　　二一五八三六二四九二九五二四九六五三八

减得　　　　八四五九八四一四二五六八三二二　七之对数

按此用第二术开极多位九乘方法也旧法求二之对数亦以一二四为用数而以单一下十五空位零一之一为一率单一下十五空位零一之对数即今所用之对数根为二率用数开平方四十七次以其单一下之零数为三率求得四率然后以平方四十七次折小率一百四十余万亿乘之得用数之对数夫一率之一本可省除今既开极多位九乘方其折小之率分为一无量数而一无量数之一亦可省乘开方既用零数则第一数亦可置不用而竟以第二数为第一数止须求得开方零数以对数根乘之即得用数之对数而递求数之例干求得数后乘之与乘第一数得数必同故竟以乘法乘对数根为第一数也本应以对数根乘不用之第一数然后以乘法乘之而不用之第一数系单一故可省乘其求对数根用第一术而此用第二术者盖对数根之用数系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法则用第一术与第二术同一畸零除法不如第一术之降位稍易矣若今所求之用数均位少而无畸零不惟乘法止一二位抑且用第二术则除法即单一可以省除故虽降位稍难而终以第二术为便也

假如有借数求二十三之对数

法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一三五为二十三之用数减去首位单一得三五为递次乘法乃以乘法乘对数根得一五二三六八六六六一三八一三四为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得二六六五三七一六五七四一七为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得六二六七九一九七五三四为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五为第四数负　如是递求得四五六一九九二九八三为第五数正　一三三五八一二九为第六数负　三九九一七四三一为第七数正　一二二二四七一为第八数负　三八三二为第九数正　一一九八为第十数负　三八为第十一数正　一为第十二数负　乃并诸正数得一五二六五一八二二四五七一九九五八又并诸负数得二六六一六八四三一六三五四三八一以负减正得一四九四三四九七九二九三六五五七七为用数之对数以系降三位乃于首位加三得三一四九四三四九七九二九三六五五七七为一千零三十五之对数以系五与九叠乘所得乃以五与九两对数相得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三减之得一三六一七二七八三六一七五九二八七八四即二十三之对数也

用数　　一三五

乘法　　三五

第一数　一五二三六八六六六一三八一三四　乘法乘之一乘二除得

二　　　　　　二六六五三七一六五七四一七　同　　　二　三

三　　　　　　　　六二六七九一九七五三四　同　　　三　四

四　　　　　　　　　一六二九二八二八九二二六五　同　　　四　五

五　　　　　　　　　　　四五六一九九二九八三　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　　　一三三五八一二九　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　　　　三九九一七四三一　同　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　　　　一二二二四七一　同　　　八　九

九　　　　　　　　　　　　　　　　　三八三二　同　　　九　十

十　　　　　　　　　　　　　　　　　　一一九八　同　　　十　十一

十一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二八　同　　　十一十二

十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

正数　一五二六五一八二二四五七一九九五八

负数　二六六一六八四三一六三五四三八一

减得　　一四九四三四九七九二九三六五五七七

首位　　三一四九四三四九七九二九三六五五七七

加三

二与九　一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三

对数共

减得　　一三六一七二七八三六一七五九二八七八四　二十三之对数

按求十万对数前法为便以真数无畸零也若求八对数则真数本属畸零当依求对数根之法为便矣大要求对数之法难于起始以后偏求各数审择用之可耳又今所求之对数系十八位小除二位故须递求多数若求十一二位更不必递求多数也

附对数还原

论借用本数

对数为真数之率数而恒以一为本数第一率既有本数第一率又有率数则依以本数为根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一不可用为本数何也整率之第一数可截本数依本率乘数累乘而得若零率之第一数则累乘中无其数对数之为率数皆零率也故其第一数不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位单一者则任倍大若干率而累乘所得之第一数必仍为单一而不变整率遇单一而不变则零率遇单一其第一数必仍为单一而不变无疑矣故凡零率而第一数可用单一者则可知而亦可递求也第一数既必须用单一则以一为第一率内减单一其减余数大而不能递求矣此借用本数之所由来也而借用之本数莫善于一一何以言之盖用第二术则其首位之单一为通用除法既可省除而减去单一得一为通用乘法只须降六位亦可省乘而降位又易故以一一为便也惟诸对数系以一为第一率之率数今用一一为第一率则率数不合矣法先求得一一之对数用为除法凡诸对数以除法除之其所得数即以一一为本数第一率之率数也

假如以一一为借用本数求其对数为除法

法以对数根降六位得四三四二九四四八一九三三为第一数正　以第一数降六位一乘之二除之得二一七一四七二为第二数负　以第二数降六位二乘之三除之得一为第三数正　乃以第一第三两数相内减第二数得四三四二九四二六四七五六二为借用本数之对数即求率数之除法也

本数　　一一

乘法　　一

第一数　四三四二九四四八一九三三　乘法乘之一乘二除

二　　　　　　　　　　　　　　　二一七一四七二　同　　　二　三

三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

得数　四三四二九四四八一九三四

减得　　四三四二九四二六四七五六二　一一之对数

论借用率数

前言以一一之对数除所设对数为率数而一一之对数单位下有七空位诸对数至小者止一空位今以借用本数之对数除之其率数必甚大率数既大则每次通用乘法虽降六位而每次用率数之乘法且不止升六位则位仍不降而不可求矣故须参用旧法先求得自二至九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九各对数列为表视所设对数有首位者先去首位其余足减何数之对数递次减之减至有六七空位然后以借用本数之对数除之为借用率数则率数小而可求矣求得数后再以递减对数之真数累乘之复视首位所减何数依数升若干位即得所求之真数也

求备减表

自二至九各对数依前所求列之自一一至一九各对数内其一二与一四与一五与一六与一八均可加减而得惟一一与一三与一七与一九须仍前求得用数然后递求若一一至一九则原数即可递求不必再求用数至一一至一九则递求各数与一一至一九相同止须逐数递降一位减之即得若一一至一九则再降一位减之以后各数并同此法

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

二　　　　　　　　三一二九九九五六六三九八一一九四九

三　　　　　　　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一

四　　　　　　　　六二五九九九一三二七九六二三八九八

五　　　　　　　　六九八九七四三三六一八八五一

六　　　　　　　　七七八一五一二五三八三六四三六三二

七　　　　　　　　八四五九八四一四二五六八三二二

八　　　　　　　　九三八九九八六九九一九四三五八四七

九　　　　　　　　九五四二四二五九四三九三二四八七四二

一一　　　　　　　四一三九二六八五一五八二二五四一七

一二　　　　　　　七九一八一二四六四七六二四八二六九

一三　　　　　　　一一三九四三三五二三六八三六七六九六

一四　　　　　　　一四六一二八三五六七八二四八二七一

一五　　　　　　　一七六九一二五九五五六八一二四二二

一六　　　　　　　二四一一九九八二六五五九二四七七九六

一七　　　　　　　二三四四八九二一三七八二七三九二七八

一八　　　　　　　二五五二七二五五一三三六六九一

一九　　　　　　　二七八七五三六九五二八二八九六一九

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　　　　　四三二一三七三七八二六四二五六六五

一二　　　　　　八六一七一七六一九一七五五九八

一三　　　　　　一二八三七二二四七五一七二二四六

一四　　　　　　一七三三三三九二九八七八三五四三

一五　　　　　　二一一八九二九九六九九三八七四四

一六　　　　　　二五三五八六五二六六六八四一二六四

一七　　　　　　二九三八三七七七六八五一九六四二

一八　　　　　　三三四二三七五五四八六九四九七一二

一九　　　　　　三七四二六四九七九四六二三六三三八

一一　　　　　四三四七七四七九三一八六四七

一二　　　　　八六七七二一五三一二二六九一二五

一三　　　　　一三九三三一四一八一一四六

一四　　　　　一七三三七一二八九五二九七

一五　　　　　二一六六六一七五六五七六七六二

一六　　　　　二五九七九八七一九九八六一二二

一七　　　　　三二九四七五五三六一八七

一八　　　　　三四六五三二一九五六四八六

一九　　　　　三八九一一六六二三六九一五二一六

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　　　四三四二七二七六八六二六六九六

一二　　　　八六八五二一一六四八九五七二

一三　　　　一三二六八八五二二七六九

一四　　　　一七三六八三五八四六四九一八七

一五　　　　二一七九二九七二二三二八二

一六　　　　二六四九八五四七三九三四六九

一七　　　　三三八九九七八四八一二四九一九

一八　　　　三四七二九六六八五三六三五四八

一九　　　　三九八六九二四九九一一三一

一一　　　四三四二九二三一四三八四

一二　　　八六八五八二七八六二六三

一三　　　一三二八六三九二八四八九三

一四　　　一七三七一四三一八四九八九二

一五　　　二一七一四一八一二四五一五五一

一六　　　二六五六八八七二一五三九六九

一七　　　三三九九五四九七六一三九八六

一八　　　三四七四二一六八八八四三三三

一九　　　三九八四七四四五八四一六七五

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　四三四二九四二六四七五六二

一二　　八六八五八八九五二一八七

一三　　一三二八八一四九一三八八五

一四　　一七三七一七四四五三二六六四

一五　　二一七一四六六九八八五三三

一六　　二六五七五九七四一五一

一七　　三四五七三三一五七七

一八　　三四七四三四一九五六八七六七

一九　　三九八六三二七四八三八三

假如有对数一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求借用率数

法置所设对数去首位一得三六一七二七八三六一七五九二八七八四检备减表足减二之对数乃以二之对数减之得六六九七八四三五三六一一六八三五又检表足减一一之对数减得二九三五一五五一九五三八六六四一八又足减一四之对数减得二二七一八一五八九六六六二八七五又足减一五之对数减得一五七五四一四九八六一一三又足减一二之对数减得一八九三九二八四四九六五四一又足减一四之对数减得一五三二四九六五九九八四四九又足减一三之对数减得二二九六一五一八四五六四前已得七空位乃以借用本数之对数四三四二九四二六四七五六二除之得五二八七八五九二一二为借用率数也

一三六一七二七八三六一七五九二八七八四　首位减一得

三六一七二七八三六一七五九二八七八四　内减二之对数

三一二九九九五六六三九八一一九四九　减得

六六九七八四三五三六一一六八三五　内减一一之对数

四一二九二六八五一五八二二五四一七　减得

一九三五一五五一九五三八六六四一八　内减一四之对数

一七三三三三九二九八七八三五四三　减得

二二七一八一五八九六六六二八七五　内减一五之对数

二一六八六一七五六五七六七六二　减得

一五七五四一四九八六一一三　内减一二之对数

八六八五二一一六四八九五七二　减得

一八九三九二八四四九六五四一　内减一四之对数

一七三七一四三一八四九八九二　减得

一五三二四九六五九九八四四九　内减一三之对数

一三二八八一四九一三八八五　减得

二二九六一五一八四五六四　以借用本数之对数

四三四二九四二六四七五六二　除之得

五二八七八五九二一二　　　　　　　借用率数

假如有对数一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求其真数

法依前求得借用率数五二八七八五九二一二乃以借用本数首位单一下加十九空位得一为第一数正　次以借用本数减去单一得一为乘法以乘法乘第一数又以率数乘之得五二八七八五九二一二为第二数正　乘法乘第二数又以率数反减一得四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九为第三数负　乘法乘第三数又以率数反减二得一四七截用三位乘之三除之得一为第四数正　乃诸正数得一五二八七八五九二一二一内减第三负数得一五二八七八四六五六一九二乃以前求借用率数时递减各对数之真数一三与一四与一二与一五与一四与一一与二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八弃零进一得二三又以前求率数时曾减首位之一应升一位得二十三即所求之真数也

本数　　一一

乘法　　一一

第一数　一　降六位率数乘之得

二　　　　　　　　　五二八七八五九二一二　降六位率数减一乘之二除之得

三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率数减二乘之三除之得

四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

本数　一五二八七八五九二一二一

减得　　一五二八七八四六五六一九二　以一三乘之得

一三五二八七一五一七四四六　以一四乘之得

一四三五二八八五一二一四六七　以一二乘之得

一二四三五三七五五六九七三八六七　以一五乘之得

一五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一四乘之得

一四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得

一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得

二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　弃零进一升一位

二三

按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大于单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣

割圜连比例术图解序

董佑诚

元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示盖海甯张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反覆寻绎究其立法之原盖即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢亘求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉

割圜连比例后序

董佑诚

割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于钟祥李氏盖干隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通钓隐探赜杂而不越盖师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元玉监菱草形段果垛叠藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰记之

少广缒凿

夏鸾翔

开平方捷术一

小初商为一借根　以一借根除本积得二借根　一二借根半之为三借根　以三借根除本积得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止

此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根

算例

假如平积一百二十一求方根

小初商一□○为一借根　一借根除本积得一□二一为二借根　一二借根半之得一□一五为三借根　三借根除本积得一□○九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根　三四借根半之得一□一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根

开平方捷术二

大初商为一借根　以一借根除本积得二借根　一二借根半之得三借根　以三借根除本积得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根

算例

假如平积九十九求方根

大初商一□○为一借根　一借根除本积得□九九为二借根　一二借根半之得□九九五为三借根　三借根除本积得□九九四九七四为四借根　三四借根半之得□九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根

开诸乘方捷术一

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷

算例

假如平积五十求方根

以□七一之平积五□○四一为外积□七一为外根求得一□四二为递次除法　小初商□七为一借根　一借积四□九减本积余以除法除之得□○七四以加一借根得□七七四为二借根　二借积四□九九九五五六减本积余以除法除之得□○六六五以加二借根得□七七一六五为三借根截去末二位得□七七一即方根

开诸乘方捷术二

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与方根密合而止

算例

假如平积八八求方根

以□三之平积□九为外积□三为外根求得□六为递次除法　大初商□三为一借根　一借积□九内减本积余以除法除之得□○三三三三三以减一借根余□二九六六六为二借根　二借积□八八七一五五内减本积余以除法除之得□○一一九以减二借根余□二九六六四八一为三借根截去末二位得□二九六六四即方根

开诸乘方捷术三

小初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根以下逐数皆一加一减相间为三借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止

算例

假如平积五十求方根

以□七之平积四□九为内积□七为内根求得一□四为递次除法　小初商□七为一借根　一借积四九减本积余以除法除之得□○七一四以加一借根得□七七一四为二借根　二借积五□○四六九七内减本积余以除法除之得□○三三五以减二借根得□七七一六为三借根截去末一位得□七七一即方根

开诸乘方捷术四

大初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根以下逐数皆一减一加相间　下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

算例

假如平积八八求方根

以□二九之平积□八四一为内积□二九为内根求得□五八为除法　大初商□三为一借根　一借积□九内减本积余以除法除之得□○三四四八二七以减一借根余□二九六五五为二借根　二借积□八七九四一九减本积余以除法除之得□○一一七二以加二借根得□二九六六五为三借根　三借积□八八一二二二内减本积余以除法除之得□○二一以减三借根得□二九六六四七为四借根截去末一位得□二九六六四即方根

天元开诸乘方捷术一较数余积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积凡天元借根求借积法以借根乘隅加减长廉以借根乘之加减平廉又以借根乘之加减立廉又以借根乘之至加减方后又以借根乘之即借积也外根之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与元数密合而止

算例

假如平方负积十六正方二正隅一求元数

以□三二之积一□六六四为外积□三二为外根求得□八四为递次除法　小初商□三为一借根　一借积一五□五减本积余以除法除之得□○一一九以加一借根得□三一一九为二借根　二借积一□五九六六一六一减本积余以除法除之得□○四二八以加二借根得□三一二三为三借根　三借积一□五九九九一二九减本积余以除法除之得□○一三以加三借根得□三一二三一三为四借根截去末三位得□三一二三即元数

天元开诸乘方捷术二和数余积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又加一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止

算例

假如平方负积二九正方四负隅一求小元数

以□一之积□三为外积□一为外根求得□二为递次除法　小初商□○九为一借根　一借积□二七九减本积余以除法除之得□○五五以加一借根得□○九五五为二借根　二借积□二九七九七五内减本积余以除法除之得□○三九八七以减二借根余□○九五一一为三借根　三借积□二八九九六一九九减本积余以除法除之得□○一九五以加三借根得□○九五一二为四借根　四借积□二九一八五六内减本积余以除法除之得□○九二八以减四借根得□○九五一一九为五借根截去末一位得□○九五一一九即小元数

天元开诸乘方捷术三益积用此术

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与元数密合而止

算例

假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数

以三□○之积二四□○为外积三□○为外根求得三□八为递次除法　大初商三□○为一借根　一借积二四□○内减本积余以除法除之得□一八九四七三以减一借根余二□八一五为二借根　二借积一七□一五八一内减本积余以除法除之得□○九四二三以减二借根余二□八一为三借根　三借积一六□八三四内减本积余以除法除　之得□○八九四以减三借根余二□八一为四借根　四借积一六□八三内减本积余以除法除之得□○七八九以减四借根余二□八一为五借根弃零得二□八即元数

天元开诸乘方捷术四翻积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一之积相减又加一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止

算例

假如平方负积二九正方四负隅一求大元数

以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法　小初商□三为一借根　一借积□三内减本积余以除法除之得□○五以加一借根得□三五为二借根　二借积□二八九七五减本积余以除法除之得□○一二五以减二借根得□三四八七五为三借根　三借积□二九一二三四三内减本积余以除法除之得□○六一七一以加三借根得□三四八八一一七一为四借根截去末三位得□三四八八一为大元数

天元开诸乘方捷术五

如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法　乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求虽求至数十位亦非难事

算例

假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之

先用前除法□八四增求一位得□三一二三一仍为借根以借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□○四六三九　乃用前得元数□三一二三一又为外根如前求得除法□八二四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得□八二四六三为除法　除法除余积得□○五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一五六二五为元数　如再欲增求则以现得十位元数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位元数之积减本积之余也得数又可消得九位矣

按正诸乘方亦可用右术

天元开诸乘方捷术六

方廉隅相减以除本积得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根　二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止

算例

假如平方负积十八正方二十□○九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□○九四五二为一借根　一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□○九二为二借根　二借根步至方法得一□九九九九八以除本积得□○九九弃零得□○九即小元数

凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣

若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后

又算例

假如立负方积一亿正方一亿十万一千负廉十万一千一正隅一求元数

方廉隅正负减得一亿以除本积得□一即元数也

右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此

天元开诸乘方捷术七

以方为递次除法　除法除本积得一借根　一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同名相加异名相减以除法除之得二借根　二借根诸数加减本积以除法除之得三借根　下皆如是求至借根与元数密合而止

右术亦方大者用之为便

算例

假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数

以方除本积得□一九五一二为一借根　一借根廾乘隅得□三八七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根　二借根廾乘隅得□三九九四加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数

又算例

假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数

以方除本积得三三三三□三为一借根　一借根立积乘隅得三十兆七三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根　二借根立积乘隅得四十兆一三三三三一加本积以方除之得三四七一□○为三借根　三借根立积乘隅得四十兆一八一八五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根　四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数

又算例

假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数

以方除本积得五万为一借根　一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五□○为二借根　二借根平积乘廉得一百兆九一四六二五以减本积二借根立积乘隅得八十兆三七四二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根　三借根平积乘廉得一百兆九九五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根　四借根平积乘廉得一百兆九七九九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八四三九一以加本积减余数以方除之得四四五□六为五借根　五借根平积乘廉得一百兆九八七八四以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五□三为六借根　六借根平积乘廉得一百兆九八五一七以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五□四为七借根即元数

右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也

天元开诸乘方捷术八

如前诸术先求得元数数位为一借根　前得元数数位又为外根又求得递次除法　一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根　次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根　三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根　下皆如是求至借根与元数密合而止

按正诸乘方亦可用右术

天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截段求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也

算例

假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八□三欲增求之

以六一八□三为外根如前又求得二二三六□六为递次除法　六一八□三为一借根　一借积九九九九九一八□九减本积余八九一九□一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六□六为初变方正一为正隅　置初变积以除法除之得□○三九八八七有奇截用四位得□○三九八八为次小根以加前得五位得六一八□三三九八八为二借根　次小根借积八九一七□四二三一八四一四四减初变积余一□六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六□六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得□○七四九八九有奇截用四位得□○七四九八为三小根以加前得九位得六一八□三三九八八七四九八为三借根　三小根借积一□六七六六三七六八九六七四减次变积余□○二一二八七三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六□六七九七七四九九六为三变方正一为正隅　置三变积以除法除之得□○九四八四八有奇截用四位得□○九四八四为四小根以加前得十三位得六一八□三三九八八七五七四八四为四借根即元数

按右例所得十六位元数即理分中末之大分数也

截球解义

徐有壬

几何原本谓球与同径同高之圆囷其外面皮积等截球与截圆囷同高则其外面皮积亦等而不直抉其所以然检梅氏诸书亦未能明释之也蓄疑于心久矣近读李风九章注乃得其解因释之以告同志虽然以戴东原之善读古书而犹谓风此注当有脱误甚矣索解人之难也今释几何原本而风之注因是以明盖风用方今用圆其理则无二也述截球解义

设如径与高等之圆囷内容同径之圆球此球必居圆囷三之二何以明之试将圆囷横切为二则为扁圆囷内容半圆球又将扁圆囷十字直切为四则为圆囷八分之一内亦容圆球八分之一此圆囷上下两平面俱为圆之一象限其外之圆立面为囷外面皮八分之一其凑心两直立面本属囷之半径乘半高即球之半径自乘幂因球在囷内球壳因直切处切成一象限是为球半径幂内容一象限为此体之凑心立面各一

图略于此立面任意横截则皆有正弦有余弦有矢有半径

图略于此体横切之去其上截则高为余弦

图略下半截上面截成两象限一大一小

图略

此下半截上下两平行面仍为圆之一象限而上面一象限因有球壳在内界成一小象限其半径即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半径者弦也以句为半径作一象限以股为半径作一象限两象限相并作一大象限必以弦为半径　句方股方并为弦方句圆股圆亦并为弦圆句象限股象限亦并为弦象限以方圆比例推之其理易见

然则截体上面之大象限球半径弦为半径内减球壳所界之小象限正弦句为半径所余环积必与余弦股所作小象限余弦股为半径等矣

立面一象限自高而下所截余弦至不齐也上面大象限减小象限之环积亦至不齐也而余弦为半径作象限必与此环积等此环积总为弦上象限句上象限之较此无高无下无小无大无适不然者也

又试依圆囷之底为底即球中腰大圆面以囷之半高为高即球之半径作一圆锥体而十字切之为象限锥积以象限为底此锥之底两旁之边即圆囷半径亦即球半径也

底边之半径为句锥高之半径为股是为句股相等

于此锥体任意横截为各小锥莫不为底边与高相等之锥苟以小锥高为半径作象限面莫不与小锥底相等此亦无高无下无小无大无适不然者也

小锥之高犹余弦也小锥之底犹大象限减小象限之环积也小锥之高为半径作象限必与小锥底等犹余弦为半径之象限必与环积等也

余弦之自大而递小也截高则余弦大截下则余弦小极高则几与半径等极下则几于无余弦其长短有序不乱今各以为半径作各象限层累叠积必成一象限锥与上锥等而余弦各象限即球内各象限减圆囷各象限之余也圆囷横薄切之皆相等之象限面圆球横薄切之各成正弦为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣

是故一锥一球相并必与圆囷等而锥居囷三分之一球必居囷三分之二矣

是故三倍圆珠两倍圆囷其积必等

夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两立方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣

是故球之外面皮积与囷之外面皮积必等

是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积

再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥

再依前法将截球壳外圆囷所多之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半径小象限截球正弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣

圆囷既剜去内锥割去外锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二

求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣

是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等

是故截球余弦高乘球之中周大圈即截球之外面皮截积

全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即半径乘周也截球之外面皮积即余弦乘周也上截球盖之外面皮积即矢乘周也

球径求积术

径自乘再乘半之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数　四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数　诸数相并即球积

球径求球壳积术

径自乘三之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并即球外面皮积

截球余弦求截球积术

识别得余弦乘周又乘半径为截球积之三倍　半径自乘内减余弦自乘余为正弦自乘求其圆面又乘余弦为截求内锥之三倍　两积相并为截球积

半径自乘三之内减余弦自乘又以余弦乘之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并为截球积

截球矢求截球上盖积

识别得矢乘周又乘半径为锥积之三倍　矢乘矢径差为正弦幂求其圆面乘余弦为内锥之三倍两锥相减余为盖积

矢减半径又加全径以矢自乘乘之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并为截球上盖积

附录椭圜求周术

椭圜求周无法可驭借平圜周求之则有三术以袤为径求大圜周及周较相减此项梅侣氏之术也以广为径求小圜周及周较相加此戴鄂士氏之术也余亦悟得一术以椭周为圜周求其径以求周即为椭圜之周术更直捷兼可贯三术为一术如后方

堆垛术曰一为第一数　一乘三乘第一数四除之为第二数　三乘五乘第二数九除之为第三数　五乘七乘第三数十六除之为第四数　七乘九乘第四数二十五除之为第五数　九乘十一乘第五数三十六除之为第六数　依次列之为初表

招差术曰广袤各自乘相减四而一为乘法一次乘初表第一数二次乘第二数三次乘第三数四次乘第四数五次乘第五数六次乘第六数仍依次列之为表根

招差又术曰以袤为除法一次除表根第一数三次除第二数五次除第三数七次除第四数九次除第五数十一次除第六数相并为袤径较以减袤为借圜径

堆垛又术曰三因借圜径为第一数　四分第一数之一二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一四分去一五分去二为第三数　四分第三数之一六分去一七分去二为第四数　四分第四数之一八分去一九分去二为第五数　四分第五数之一十分去一十一分去二为第六数　递求至若干位相并为椭圜周

右术分四层即用项氏术变通得之其图说之详已见项氏书中兹不复赘若用戴氏术通之前后三层均如旧惟第三层不同如下

招差又术曰以广为除法一次除表根第一数正三次除第二数负五次除第三数正七次除第四数负九次除第五数正十一次除第六数负递求至若干位正数相并内减负数余为广径较以加广亦为借圜径

此即戴氏术变通得之余三层皆同前

若移第四层为第一层先以求大圜周或以广求小圜周后依初表表根及招差又术各得周较加减所得并同即项戴二君术也

四元解序

顾观光

四元之术至明而失其传近得徐钧卿罗茗香诸公相继阐发始有蹊径可寻然按法求之恒苦其难而不适于用约其大端盖有三焉天物相乘与地人相乘并用寄位则幂与幂乘推而上之几有无方位置之处一也剔消之法以一式截分为二左右斜正初无一定之规非熟于法者安能无误二也次式副式通式及上中下诸式之名任意作记易滋学者之疑三也繙阅之暇每欲改易算式而其道无由乙已冬海甯李君秋纫以所着四元解示余余受而读之见其以面体释四元以面体之自乘再乘定算式而相消所得直命为初消次消三消则向所难之三事均已无之作而叹曰心之神明固若是之日出而不穷乎非四元无以尽天元之变非天元无以尽少广之变而非少广之面体则亦无以定四元之位而直　发明其所以然窃为一言以蔽之曰析堆垛成广隅而已古法置太极于中心而环之以八又环之以十六其递增也皆以八堆垛之式也新法置太极于一隅而附之以三又附之以五其递增也皆以二廉隅之象也置太极于中心则上下左右动有牵制置太极于一隅则升降进退无往不宜由是四元相乘皆有位无寄位也四元为法皆可除无剔消也且其定位之图既化诸乘方为平方相乘相消之图又化诸乘方为立方反覆辨论均能假象以达难显之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢启秘对数探原诸书皆本天元之术而引而伸之实发前人所未发余冀其悉合而传之以为言算者一大快也

对数探原序

顾观光

对数探原者海甯李君秋纫所着也西人对数之表以加减代乘除用之甚易而造之甚难李君巧借诸乘尖堆以定其数又化诸乘尖堆为同高同底之平尖堆以图其形由是递加递除而诸对数指顾可得精思所到生面独开矣究其立法之原不越乎天元以虚求实之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正数也平分其高为若干分依分各作横以截其积而对数之法由之以生何也对数之首位自一至九止矣一之对数为而百亿之对数亦为故尖堆下段之积不可求而总积亦不可求非无积也正以其大之极而一至九之数不足以名故反命为此盈虚消息如环无端之妙也二至十之共积为一十一至一百之共积为一一百一至一千之共积亦为一推之至于万亿无不如是此尖堆渐上渐狭渐下渐阔之理也以加倍代自乘则二段之积不得不同于三四两段之积以三因代再乘则二段之积不得不又同于五六七八四段之积此尖堆二段以上积数相等之理也尖堆之底无尽积亦与为无尽而求两对数较则所得皆为最上一段之积故二十尖堆已足当亿万尖堆之用西人不达乎此乃用正数屡次开方对数屡次折半以求之亦识流而昧其原矣易不云乎易则易知简则易从李君渺虑凝思无幽不启盖实有以通易简之原而体神明之撰者西人见之应亦自悔其徒劳也

数学跋

顾观光

江氏数学继梅氏历书而作者也其于七政运行之故岁实消长之原曲畅旁通实足补梅氏之未备自钱竹汀谓宣城能用西学江氏则为西人所用且极诋其冬至权度如公孙龙之言臧三耳甚难而实非无识者往往惑之平心而论江氏之囿于西法固矣钱氏之说则又囿于中法而非实事求是之学也七政盈缩迟疾之原或曰小轮或曰不同心天世无陵云御风之人谁为正之然使小轮所用止在盈缩迟疾之间则谓其巧算而非真象无不可也无如日月在小轮之上半周则距地远而视之亦小在小轮之下半周则距地近而视之亦大视径有大小即地半径差有损益而影径分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈缩迟疾而后信也有高卑则舍小轮与不同心天固更无他法矣两心差之有大小西人早已言之日躔历指偁意罢阁于汉景帝时测两心差为十万分之四千一百五十一九执历推定日法分一象限为六段计其积差凡二度十四分以正切求两心差得十万分之三千九百江氏推刘宋大明时两心差四三五与意罢阁所测正相近唐开元时冬至减时大于今四刻有奇则较九执历为稍赢耳钱氏谓两心差古大今小仍是杨郭百年消长之法不知消长以定冬至为根而两心差之加减则以平冬至为根根既不同算何由合元明以来岁实由消而渐长议者纷纷江氏妙解算理因授时历议所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖违而知其刻下小余有三十分断为长极而消之大界证佐甚明恐善辨者亦难为郭氏解也西法行之已久不能无差江氏之书诚有主持太过之弊然元嘉十三年甲戌冬至诸历皆得癸酉大明五年乙酉冬至诸历皆得甲申而江氏所推独与古人吻合元嘉十八年己亥冬至则据隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至则据太建四年丁卯冬至而疑其测验之非真此皆由古籍中参稽而得非徒立异同钱氏考之不审乃以为辞穷而遁是算术不足信而史文必无一字之舛也有是理乎两心差古大今小江氏未有定率而改最卑每岁东行为一分三秒则精思所到遂与噶西尼之新法不约而同可见考诸古而无疑者质诸今而自合若合于古而不合于今则其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道贞观者也天有常行不以古今而异谓西人之术必不可以考古是古之天行异于今也谓古之天行异于今是古与今当各有一天也而岂其然哉江氏书世无善本七政小轮诸纷如乱丝恐其久而失传无以为治历者先路之导今特详为校正书中精确不磨之处读者当自知之惟无以是古非今之见先横于中此则余所旦暮遇之也夫

岁实消长其故有二一由两心差有大小一由黄赤距有远近吴江王氏青州薛氏并尝言之今薛氏天学会通未见足本晓庵新法又脱去补遗不知其说云何江氏之说得其一而失其一盖考之未审矣夫黄极环赤极二万五千八百六十八年而一周即岁差也黄道既退行于赤道则岁实必渐消惟是西人旧说皆以岁差为恒星东行遂与最高行两数混淆无从分析中法知岁差为岁不及天矣而又不知最高之有行分宜乎岁实消长历千余年而未有定论也近日西人新测春秋分点每岁西行五十一秒最高每岁东行十一秒八两心差古大今小约百年差二万五千分之一黄赤道古远今近约百年差四十八秒咸丰庚申最卑过冬至十度二十八分五十三秒三黄赤大距二十三度二十七分二十七秒三八