命题i 定理i

面积，它由在轨道上运动的物体往不动的力的中心所引的半径画出，停留在不动的平面上，且与时间成比例。

时间被分为相等的段，且在第一个时间段物体由于其固有的力画出直线ab。在第二个时间段，同一物体如果没有阻碍，它将一直前进到c，（由定律i）画出等于ab的线bc；因此往中心引半径as，bs，cs，画出的面积asb，bsc相等。然而当物体到达b时，假设向心力以一次但有力的冲击，致使物体由直线bc倾斜并在直线bc上前进。引cc与bs平行，交bc于c；则第二个时间段完成时，物体（由诸定律的系理i）在c被发现；它在与三角形asb相同的平面。连结sc，因sb，cc平行，三角形sbc等于三角形sbc，因此也等于三角形sab。由类似的论证，如果向心力相继作用在c，d，e，等等，使物体在各自的时间片段各自画出直线cd，de，ef，等等，它们全都位于同一个平面；且三角形scd等于三角形sbc，［三角形］sde等于［三角形］scd，［三角形］sef等于［三角形］sde。所以在相等的时间，相等的面积在不动的平面上被画出：且通过复合，任意的面积和sads，safs彼此之间，如同画出它们的时间。现在三角形的数目无限增加且其宽度减小以至无穷，且最终它们的周线adf（由引理三的系理四）为曲线：因此向心力，由它物体持续从这条曲线的切线上被拉回，此作用从不间断；且画出任意的面积sads，safs总与所画的时间成比例，面积在此情形与那些时间成比例。此即所证 。

系理1 在没有阻力的空间，被一个不动中心吸引的物体的速度与从那个中心到轨道的切线所落下的垂线成反比。因为在那些位置a，b，c，d，e的速度如同相等的三角形的底ab，bc，cd，de，ef；且这些底与落在它们之上的垂线成反比。

系理2 如果ab和bc是由同一个物体在无阻力的空间中在相等的时间所画出的两段相继的弧的弦，补足平行四边形abcv，则这条对角线bv当那些弧减小以至无穷时所处的位置，沿两个方向延伸，通过力的中心。

系理3 如果弦ab，bc和de，ef是［物体在］无阻力的空间中在相等的时间所画出的弧的弦，并补足平行四边形abcv和defz；在b和e的力彼此之比，当那些弧减小以至无穷时，按照对角线bv和ez的最终比。因为物体的运动bc和ef（由诸定律的系理i）由运动bc，bv和ef，ez合成，然而bv和ez［分别与］cc和ff相等。在此命题的证明中它们由向心力在b和e的冲击产生，且因此与这些冲击成比例。

系理4 任意物体在没有阻力的空间中被拉离直线运动并被弯折到曲线轨道的诸力的相互之比，如同在相等的时间内所画出的弧的矢的比。当那些弧减小以至无穷时，弧的矢汇聚于力的中心，并平分弦。由于这些矢是我们在系理三中所提到的对角线的一半。

系理5 所以这些力比重力，如同这些矢比那些垂直于地平线的抛物线的弧的矢，它们［抛物线］由抛射体在相同的时间画出。

系理6 由诸定律的系理v，当平面，物体在其上运动，连同力的中心，它们位于这些平面上，不是静止的而是均匀地一直运动，所有结论同样成立。

命题ii 定理ii

每一个物体，它在一个平面上画出的某一曲线上运动，且向或者不动的或者均匀地一直向前运动的点引半径，［半径］围绕那个点画出的面积与时间成比例，则物体被趋向同一个点的向心力所推动。

情形1 因每个在曲线上运动的物体，由作用在自身上的某个力使物体从直线路径弯折（由定律i）。且那个力，它使物体从直线路径弯折，围绕不动的中心s在相等的时间画出极小的相等的三角形sab，sbc，scd，等等，在位置b［力的］作用沿与cc平行的直线（由《几何原本 》第i卷命题xl，以及定律ii），这就是，沿直线bs；在位置c沿与dd平行的直线，这就是，沿直线sc，等等。所以，作用总沿着趋向那个不动的点s的直线。此即所证 。

情形2 且由诸定律的系理5，无论物体在其上画出曲线图形的表面静止，或者它与物体，画出的图形及点s一起均匀地向前运动，并无差别。

系理1 在没有阻力的空间或介质中，如果面积不与时间成比例，则力不趋向半径的交点；而从那里向前（in consequentia）偏离，或者朝向运动发生的方向，只要画出的面积被加速；但如果它被迟滞，则从那里向后（in antecedentia）偏离。

系理2 在有阻力的介质中，如果所画出的面积被加速，力的方向从半径的交点朝向运动发生的方向偏离。

解释

物体可能由多个力合成的向心力推动。在这种情形命题的意义是那个由所有力合成的力趋向点s。而且如果其他力沿垂直于所画出的表面的直线持续作用，这引起物体离开它运动的平面，但画出的表面既不增加亦不减小，且所以［此力］在合力中被忽略。

命题iii 定理iii

每一个物体，向另一无论怎样运动的物体的中心引半径，围绕那个中心画出的面积与时间成比例，它被由来自趋向另一个物体的向心力及来自另一个物体被推动的总的加速力的合力所推动。

设第一个物体为l，另一个物体为t：且（由诸定律的系理6）如果两个物体沿平行线被一个新力推动，它等于且与那个力相反，由那个力另一个物体t被推动；第一个物体l继续围绕另一个物体t画出与以前相同的面积，但力，由它另一个物体t被推动，现在被等于且与此力相反的力所抵消；且所以（由定律i）现在留给另一个物体t自身或者静止，或者均匀向前的运动：且第一个物体l由力的差推动，亦即，剩余力推动它围绕另一个物体t继续画出与时间成比例的面积。所以（由定理ii）力的差趋向作为中心的另一个物体t。此即所证 。

系理1 因此，如果一个物体l向另一个物体t所引半径画出的面积与时间成比例；则从整个力（无论是简单的力，或者根据诸定律的系理2由几个力合成的力），由它前一个物体l被推动，减去（由诸定律的同一个系理）整个加速力，由它后一个物体被推动的：剩余的整个力，由它前一个物体被推动，趋向作为中心的后一个物体t。

系理2 且如果那个面积与时间非常接近地成比例，则剩余力非常接近地趋向另一个物体t。

系理3 且反之亦然，如果剩余力非常接近地趋向另一个物体t，则那个面积与时间非常接近地成比例。

系理4 如果物体l向另一个物体t所引半径画出的面积，与时间相比非常不相称；且另一个物体t或者静止，或者均匀地向前运动：趋向那另一个物体t的向心力的作用或者没有，或者它混合并复合了其他很强的力的作用；如果有多个力，由所有的力合成的总力，指向另外一个（无论不动的或者运动的）中心。当另一个物体无论怎样运动时，得到同样的事情，只要向心力被取为减去作用于另一个物体t的整个力之后所余的力。

解释

既然画出相等的面积表示存在一个中心，那个使物体受到最大影响，由直线运动被拉回并被保持在自己的轨道上的力转向它；以后我们为何不用画出相等的面积作为一个中心的标志，在自由空间中围绕这一中心的所有环绕运动得以发生呢？

命题iv 定理iv

诸物体以相等的运动画出不同的圆，向心力趋向那些圆的中心；且相互之间如同在同一时间所画出的弧的平方除以圆的半径。

由命题ii和命题i的系理2这些力趋向圆的中心，且由命题i的系理4它们彼此之间如同在极短的相等的时间内所画出的弧的正矢 （11） （sinus versus），亦即，由引理vii如同那些弧的平方除以圆的直径；且所以，由于这些弧如同在任意的相等时间所画出的弧，且直径如同它们的半径，力如同在同一时间画出的任意弧的平方除以圆的半径。此即所证 。

系理1 因为那些弧如同物体的速度，向心力按照来自速度的二次正比和半径的简单反比的复合比。

系理2 又，因为循环时间按照来自半径的正比和速度的反比的复合比；向心力按照来自半径的正比和循环时间的二次反比的复合比。

系理3 因此，如果循环时间相等，则速度如同半径；向心力亦如同半径：且反之亦然。

系理4 且如果循环时间和速度都按照半径的二分之一次比；则向心力彼此相等：且反之亦然。

系理5 如果循环时间如同与半径，且所以速度相等；向心力与半径成反比：且反之亦然。

系理6 如果循环时间按照半径的二分之三次比，且所以速度按照半径的二分之一次反比；向心力与半径的平方成反比：且反之亦然。

系理7 一般地，如果循环时间如同半径r的任意次幂rn ，且所以速度与半径的幂rn-1 成反比；向心力与半径的幂r2n-1 成反比：且反之亦然。

系理8 当物体画出任意相似图形的相似部分，且［力的］中心在那些图形有相似的排列时，所有关于时间、速度和力的结论是同样的。这由前面的证明用于目前的情形得出。应用时由相等的面积代替相等的运动，物体离中心的距离代替所说的半径。

系理9 由同样的证明亦得出：弧，它由一个物体以给定的向心力均匀地在一圆上运行时在任意的时间画出，是圆的直径和同一个物体由同一给定的力，在相同的时间所完成的下落之间的比例中项。

解释

系理6的情形对于天体成立（正如我国的雷恩 、胡克 和哈雷 分别发现的）。所以针对按照离中心的距离的二次比减小的向心力，我准备在下面详细讨论。

而且得益于目前的命题及其系理，向心力比其他任意已知力，如重力的比例，可被断定。因为如果一个物体由自身的重力沿与地球同心的圆运行，此重力就是向心力。由这个命题的系理9，从重物的下落，物体运行一周的时间被给定，且它画出任意弧的时间亦被给定。又，按这种类型的命题，惠更斯 在他卓越的专著《论摆钟 》（de horologio oscillatorio）中把重力与环绕物体的离心力（vis contrifuga）一同做了比较。

当前这个命题亦能按如下方式证明。在任意圆内，想象任意边数的多边形被画出。且如果［物体］以给定速度沿多边形的边运动，并在每个角被圆反射，每次反射时撞击圆的力，如同其速度，因此在给定时间内的力之和如同那个速度和反射次数的联合；此即（如果多边形的种类被给定）如同在那段给定的时间所画出的长度，且按照同一长度比前面所说的圆的半径之比增大或减小；亦即，如同那个长度的平方除以半径。由是，如果多边形的边无限减小并与圆重合，如同在给定的时间所画出的弧的平方除以半径。这是离心力，由它物体推动圆；且相反的力等于这个力，由它圆持续把物体推向中心。

命题v 问题i

给定在任意位置的速度，由它一个物体以趋向某个公共的中心的力画出一个给定的图形，求那个中心。

设三条直线pt，tqv，vr与所画出的图形在同样数目的点p，q，r相切并交于t和v。在切线上竖直垂线pa，qb，rc，它们与在切线竖立起的那些点p，q，r［处物体］的速度成反比；亦即，pa比qb如同在q的速度比在p的速度，且qb比rc如同在r的速度比在q的速度。经垂线的端点a，b，c［与这些垂线］成直角地引ad，dbe，ec交于d和e：则作成的td，ve交于要求的中心s。

因为由中心s落到切线pt，qt上的垂线（由命题i系理1）与物体在点p和q的速度成反比；因此由作图与垂线ap，bq成正比，亦即如同由d点落到切线［pt］上的垂线。因此易于推断出点s，d，t在一条直线上。又由类似的论证，点s，e，v亦在一条直线上；且所以中心s位于直线td，ve的相交之处。此即所证 。

命题vi 定理v

如果一个物体在一无阻力的空间围绕一个不动的中心在任意的轨道上运行，并在极短的时间画出任意一条刚要消失的弧，并且如果所引的弧的矢被理解为它平分弦且延长时穿过力的中心：在弧中间的向心力与矢成正比且与二次时间成反比。

因为在一给定时间的矢如同力（由命题i系理4），且按任意的比增大时间，由于弧按同样的比增大，矢按照那个比的二次方被增大（由引理xi系理2和系理3），因此如同一次力和二次时间。从两边除去时间的二次比，力变为如同矢的正比和二次时间的反比，此即所证 。

此命题易于由引理x的系理4证明。

系理1 如果物体p围绕中心s运行画出曲线apq；直线zpr切那条曲线于任意点p，从曲线上另一任意点q引qr平行于距离sp，并向那个距离sp落下垂线qt：向心力与立体 成反比；只要那个立体总取作当点p与q重合时的最终的度量。因为qr等于中点在p二倍于弧qp的［一段弧的］矢，且三角形sqp的二倍或者sp×qt与一段时间成比例，在此期间二倍的那个弧被画出，且因此能代替时间。

系理2 由同样的论证，向心力与立体 成反比，只要sy是从力的中心落到轨道的切线pr上的垂线。因为矩形sy×qp与sp×qt相等。

系理3 如果轨道或者为圆形，或者与一圆同心相切，或者同心相截，亦即，［轨道］与圆所含的切角或者交角为最小，在点p有同样的曲率及同样的曲率半径；且如果pv为由物体过力的中心所作成的这个圆的弦：向心力与立体syq ×pv成反比。因为pv即是 。

系理4 对同样的题设，向心力与二次速度成正比，且与那条弦成反比。因为由命题i系理1，速度与垂线sy成反比。

系理5 因此，如果任意曲线图形apq被给定，且在其上也给

定一点s，向心力持续指向它，能发现向心力的定律，由它任意物体p不断地被拉离直线路径，并被保持在那个图形的周线上，且在运行时也画出它［作为轨道］。于是需计算与这个力成反比的立体 或者立体syq ×pv。在下面的问题中，我们给出这类例子。

命题vii 问题ii

使一个物体在一圆的圆周上运行，需求趋向任意给定点的向心力的定律。

令圆周为vqpa，s为给定的点，它作为力趋向的中心；物体p在圆周上转动，q为相邻的，它要运动到的位置；且圆在前一位置p的切线为prz。经点s引弦pv，并作圆的直径va，连结ap；且往sp上落下垂线qt，延长它交切线pr于z；然后又过点q引lr，它与sp平行，又交圆于l，切线pz于r。因三角形zqr，ztp，vpa相似，rpquad. ，这就是qrl比qtquad. 如同avquad. 比pvquad. 。因此 等于qtquad. 。这些相等的量乘以 ，且当点p和q重合时用pv代替rl。如上所言， 变为与 相等。所以（由命题vi系理1和系理5）向心力与 成反比；亦即（由于avquad. 给定）与距离或高度sp的平方及弦pv的立方（cubus）的联合成反比。此即所求 。

另解

往延长了的切线pr上落下垂线sy；又由相似三角形syp，vpa；av比pv如同sp比sy：因此 等于sy，且 等于syquad. ×pv。所以（由命题vi系理3和系理5）向心力与 成反比，这就是，因av给定，与syq ×pvcub. 成反比。此即所求 。

系理1 因此，如果给定点s，向心力总趋向它，它位于这个圆的圆周上，比如说在v，则向心力与高度sp的五次方成反比。

系理2 力，由它物体p在圆周aptv上围绕力的中心s运行，比一个力，由它同一个物体p能在同一个圆上以相同的循环时间围绕另外一个任意力的中心r运行，如同rpquad. ×sp比直线sg的立方，sg为从第一个力的中心s向轨道的切线pg所引的，并与物体离第二个力的中心的距离平行的直线。因为由这个命题的作图，前一个力比后一个力如同rpq ×ptcub. 比spq ×pvcub. ，亦即，如同sp×rpq 比 ，或者（由于相似三角形psg，tpv）比sgcub. 。

系理3 力，由它物体p在任意轨道上围绕力的中心s运行，比一个力，由它同一个物体p能在同一轨道上以相同的循环时间围绕另外一个任意的力的中心r运行，如同物体离第一个力的中心s的距离和它离第二个力的中心p的距离的平方所包含的［立体］ sp×rpq 比直线sg的立方，它［sg］从第一个力的中心s向轨道的切线pg所引，且平行于物体离力的第二个力的中心的距离rp。因为在这个轨道上任意点p的力与在同曲率的圆上的力是相同的。

命题viii 问题iii

使一个物体在半圆pqa上运动；需求有如此效果的向心力的定律，力趋向的点s是如此之远，以至所有向它引的直线ps和rs可以认为是平行的。

自半圆的中心c引半直径ca与那些平行线垂直截于m和n，并连结cp。因为三角形cpm，ptz和rzq相似，cpq 比pmq 如同rpq 比qtq ，又由圆的性质，rpq 等于矩形 ，或者当点p和q会合时，等于矩形qr×2pm。所以cpq 比pmquad. 如同qr×2pm比qtquad. ，且因此 等于 ，又 等于 。所以（由命题vi系理1和系理5）向心力与 成反比，此即（忽略定比 ）与pmcub. 成反比。此即所求 。

由前一命题容易导出同样的结论。

解释

且由［与此］没有多大差异的论证，一个物体被发现在椭圆，或者双曲线，或者抛物线上运动，向心力，它与趋向极为遥远的力的中心的纵标线的立方成反比。

命题ix 问题iv

使一个物体在与所有半径sp，sq，等等，以一定角相截的螺线pqs上运行：需求趋向螺线中心的向心力的定律。

设不确定的小角psq被给定，又由于所有的角已给定，图形sprqt的种类亦被给定。所以比 被给定，又 如同qt，这就是（由于那个图形的种类给定）如同sp。现在任意改变角psq，切角qpr所对的直线qr（由引理xi）按照pr或qt的二次比变化。所以 与前面保持一样，这就是，如同sp。于是 如同spcub. ，因此（由命题vi系理1和系理5）向心力与距离sp的立方成反比。此即所求 。

另解

在切线上落下垂线sy，又共心截螺线的圆的弦pv比高度sp按照给定的比；且因此spcub. 如同syq ×pv，这就是（由命题vi系理3和系理5）与向心力成反比。

引理xii

所有围绕一个给定的椭圆或双曲线的任意共轭直径所画出的平行四边形彼此相等。

这由《圆锥截线 》是显然的。

命题x 问题v

使一个物体在一椭圆上运行：需求趋向椭圆的中心的向心力的定律。

令ca，cb为椭圆的半轴；gp，dk为另外的共轭直径；pf，qt垂直于直径；qv为附属于直径gp的纵标线，且如果补足平行四边形qvpr，则（由《圆锥截线 》）矩形pvg比qvquad. 如同pcquad. 比cdquad. ，又（由于相似三角形qvt，pcf）qvquad. 比qtquad. 如同pcquad. 比pfquad. 。这些比相结合，矩形pvg比qtquad. 如同pcquad. 比cdquad. ，及pcquad. 比pfquad. ，亦即vg比（qtquad. ）/（pv）如同pcquad. 比（cdq ×pfq ）/（pcq ）。把pv写成qr，且（由引理xii）cd×pf写成bc×ca，以及（当点p和q重合时）把vg写作2pc，又未项和中项彼此相乘，（qtqund ×pcq ）/（qr）等于（2bcq ×cqq ）/（pc）。所以（由命题vi系理5）向心力与（2bcq ×caq ）/（pc）成反比；亦即（由于2bcq ×caq 给定）与1/（pc）成反比；这就是，与距离pc成正比。此即所求 。

另解

在直线pg上点t的另一侧按照tu等于tv取点u；然后取uv，它比vg如同dcquad. 比pcquad. 。又因为由《圆锥截线 》，qvquad. 比pvg如同dcquad. 比pcquad. ，qvquad. 等于pv×uv。两边加上矩形upv，出现弧pq的弦的平方等于矩形vpv；且因此圆，它与圆锥截线在p点相切，穿过点q，亦穿过点v。点p与q重合时，uv比vg之比，它与dcq 比pcq 之比相同，变成pv比pg或pv比2pc之比；因此pv等于（2dcq ）/（pc）。是以力，由它物体p在椭圆上运行，与（2dcq ）/（pc）乘以pfq 成反比（由命题vi系理3），这就是（由于2dcq 乘以pfq 给定）与pc成正比。此即所求 。

系理1 所以，力如同物体离椭圆的中心的距离；且反之，如果力如同距离，物体在其中心在力的中心的一个椭圆上运动，或者也许在圆上，椭圆能变化为圆。

系理2 且在围绕同一中心的所有椭圆上所做的运行的循环时间相等。因为那些时间在相似的椭圆上相等（由命题iv系理3和系理8），但是在具有公共长轴的椭圆上，它们的相互之比如同整个椭圆面积的正比和同时画出的小部分面积的反比；亦即，与短轴成正比，且与物体在主顶点 （12） （vertex principalis）的速度成反比；这就是，与那些短轴成正比，且与公共轴的同一点所属的纵标线成反比；且所以（由于正比和反比的相等性）按照等量之比。

解释

如果椭圆的中心跑至无穷远，椭圆变为抛物线，物体在此抛物线上运行；现在趋向在无穷远距离的中心的力最终相等。这是伽利略的定理。且如果圆锥的抛物线形截面（通过改变圆锥截面的倾斜）变为双曲线，在这个［截面］边缘运动的物体的向心力变为离心力。且正如在圆或椭圆中，如果力趋向的图形的中心位于横标线上，按照任意给定的比增加或减小纵横线，或者改变纵标线对横标线的倾斜角，这些力总按照到中心的距离的比增大或减小，只要循环时间保持相等；因此在一般的图形中，如果纵标线按任意给定的比增大或减小，或者纵标线的倾角任意变化，保持循环时间［不变］，趋向位于任意横标线上的中心的力，对每一条纵标线，按照离中心的距离之比增大或减小。