命题xi 问题vi

一个物体在一椭圆上运行；需求趋向椭圆的一个焦点的向心力的定律。

令s为椭圆的一个焦点。引sp截椭圆的直径dk于e，又截纵标线qv于x，再补足平行四边形qxpr。显然ep等于半长轴ac，如此是因为，由椭圆的另一焦点h作平行于ec自身的线hi，因cs，ch相等，es，ei也相等，至此ep是ps，pi，亦即（因hi与pr平行，且角ipr与hpz相等）ps，ph的和之半，它们连结起来等于整个轴2ac。向sp上落下垂线qt，称l为椭圆的主通径 （13） （latus rectum principale）（或 ，则l×qr比l×pv如同qr比pv，亦即，如同pe或ac比pc；且l×pv比gvp如同l比gv；又gvp比qvquad. 如同pcquad. 比cdquad. 及（由引理vii系理2），qvquad. 比qxquad. 在q和p重合时成为等量之比；再者qxquad. 或qvquad. 比qtquad. 如同epquad. 比pfquad. ，亦即，如同caquad. 比pfquad. ，或者（由引理xii），如同cdquad. 比cbquad. ，并连结所有这些比，l×qr比qtquad. 如同ac×l×pcq ×cdq ，或2cbq ×pcq ×cdq 比pc×gv×cdq ×cbq ，或如同2pc比gv。然而点q和p重合时2pc和gv相等。所以与此成比例的l×qr和qtquad. 相等。这些等量乘以 ，则l×spq 等于 。所以（由命题vi系理1和系理6）向心力与l×spq 成反比，亦即，按照距离sp的二次反比。此即所求 。

另解

由于趋向椭圆的中心的力，由它物体p能在那个椭圆上运行，如同（由命题x系理1）物体离椭圆的中心c的距离cp；引ce平行于椭圆的切线pr；且力，由它同一物体能环绕椭圆的另外任意点s运行，如果ce和ps交于e，如同（pecub. ）/（spq ）（由命题vii 系理3），这就是，如果点s为椭圆的一个焦点，且因此pe被给定，与psq 成反比。此即所求 。

这里可以一样简短地如问题五那样推至抛物线和双曲线。实在因为问题的重要性及在其后它们的应用，由证明证实另外的情形，当不会令人生厌。

命题xii 问题vii

一个物体在一支双曲线上运动；需求趋向图形的一个焦点的向心力的定律。

令ca，cb为双曲线的半轴；pg，kd为另外的共轭直径，pf垂直于直径kd；qv为附属于直径gp的纵标线。引sp截直径dk于e，又截纵标线qv于x，并补足平行四边形qrpx。显然ep等于横截半轴ac，如此是因为，由双曲线另一焦点h作平行于ec自身的线hi，因为cs，ch相等，es，ei也相等；至此ep是ps，pi，亦即（因ih，pr平行且角irp，hpz相等）ps，ph的差的一半，因为差等于整个轴2ac。向sp落下垂线qt。且称l为双曲线的主通径（或 ），则l×qr比l×pv如同qr比pv，或px比pv，亦即（因相似三角形pxv，pec）如同pe比pc，或ac比pc。l×pv比gv×pv也如同l比gv；而（由圆锥截线的性质）矩形 （14） （rectangulum）gvp比qvquad. 如同pcquad. 比cdquad.；又（由引理vii系理2）qvquad. 比qxquad. 当点q和p重合时，成为等量之比；则qxquad. 或qvquad. 比qtq 如同epq 比pfq ，亦即，如同caq 比pfq ，或（由引理xii）如同cdq 比cbq ：联合所有这些比，l×qr比qtq 如同ac×l×pcq ×cdq ，或2cbq ×pcq ×cdq 比pc×gv×cdq ×cbq ，或如同2pc比gv。但当点p和q重合时，2pc和gv相等。所以与此成比例的l×qr和qtq 相等。这些等量乘以（spq ）/（qr），则l×spq 等于（spq ×qtq ）/（qr）。所以（由命题vi系理1和系理5）向心力与l×spq 成反比，亦即，按照距离sp的二次反比。此即所求 。

另解

所求的力，它趋向双曲线中心。这已得出，它与距离sp成比例。由此（由命题vii系理3）趋向焦点s的向心力如同（pecub. ）/（spq ），因pe给定，即与spq 成反比。此即所求 。

按同样的方式可以证明，当这一向心力变为离心力，物体将沿相对的双曲线［分支］运动。

引理 xiii

属于任意顶点的抛物线的通径是那个顶点离图形的焦点的距离的四倍。

这由《圆锥截线 》是显然的。

引理 xiv

垂线，它从一条抛物线的焦点落到其切线上，是焦点离切点的距离和离主顶点的距离的比例中项。

因设ap为抛物线，s为其焦点，a为主顶点，p为切点，po为附属于主直径 （15） （diametros principalis）的纵标线，切线pm交主直径于m，且sn为由焦点到切线的垂线。连结an，又因为ms和sp，mn和np，ma和ao相等，直线an和op是平行的；并由三角形san在a为直角且相似于相等的三角形snm，snp：所以ps比sn如同sn比sa。此即所证 。

系理1 psq 比snq 如同ps比sa。

系理2 且由于sa给定，snq 如同ps。

系理3 且任意切线pm与直线sn的会合处，sn自焦点垂直于pm，落在直线an上，an与抛物线在主顶点相切。

命题xiii 问题viii

使一个物体在一抛物线的周界上运动；需求趋向这个图形的焦点的向心力的定律。

保留引理的作图，且设p是在抛物线的周线上的物体，并由它移动到下一处的位置q，引qr平行于且qt垂直于sp，又qv平行于切线，交直径pg于v，又交距离sp于x。现在，由于相似三角形pxv，spm，一个［三角形］的边sm，sp相等，另一个的边px或qr和pv相等。但由《圆锥截线 》，纵标线qv的平方等于通径和直径的截段pv之下的矩形，亦即（由引理xiii）矩形4ps×pv，或4ps×qr；又当点p和q重合时，qv比qx之比（由引理vii系理2）将成为等量之比。所以在这一情形qxquad. 等于4ps×qr。但（由相似三角形qxt，spn）qxq 比qtq 如同psq比snq ，这就是（由引理xiv系理1）如同ps比sa，亦即，如同4ps×qr比4sa×qr，且由此（由《几何原本 》第v卷命题ix）qtq 和4sa×qr相等。对这些等量乘以（spq ）/（qr），则（spq ×qtq ）/（qr）等于spq ×4sa：所以（由命题vi系理1和系理5）向心力与spq ×4sa成反比，亦即，由于4sa给定，按照距离sp的二次反比。此即所求 。

系理1 由以上的三个命题得出，如果任意物体p沿任意直线pr，以任意速度离开位置p，并且同时受到与位置离中心的距离的平方成反比的向心力推动，这个物体在焦点在力的中心的某一圆锥截线上运动；且反之亦然。因给定焦点，切点和切线的位置能画出一条圆锥截线，它在那个点有给定的曲率。但由给定的向心力和物体的速度，曲率被给定：两个彼此相切的轨道不可能由相同的向心力和相同的速度画出。

系理2 如果速度，物体以它离开位置p，使得能在极短的时间小段画出短线 （16） （lineola）pr；同时向心力在同一时间能使这个物体的运动通过空间qr：则这个物体在某一圆锥截线上运动，其主通径是那个量（qtq ）/（qr）当短线pr，qr减小以至无穷时的最后结果。在这些引理中我将圆归之于椭圆，但我排除物体一直下降到中心的情形。

命题xiv 定理vi

如果多个物体围绕一个公共的中心运行，且向心力按照位置离中心的距离的二次反比；我说，轨道的主通径按照面积的二次比，它们由物体向中心所引的半径在相同的时间画出。

因为（由命题xiii系理2）通径l等于当点p和q重合时量qtq qr的最终值。但极短的线qr在给定的时间如同产生的向心力，这就是（由假设）与spq 成反比。所以（qtq ）/（qr）如同qtq ×spq ，即是通径l按照面积qt×sp的二次比。此即所证 。

系理 因此，椭圆的整个面积，两轴之下的矩形与它成比例，按照来自通径的二分之一次比和循环时间的比的复合比。因为总面积如同在给定的时间所画出的面积qt×sp，乘以循环时间。

命题xv 定理vii

对同样的题设，我说物体在椭圆上的循环时间按照长轴的二分之三次比。

又因短轴是长轴和通径之间的比例中顶，且由此两轴之下的矩形按照来自通径的二分之一次比和长轴的二分之三次比的复合比。但此矩形（由命题xiv的系理）按照来自通径的二分之一次比和循环时间之比的复合比。两边除去通径的二分之一次比，并保留长轴的二分之三次比与循环时间之比相同。此即所证 。

系理 所以在椭圆上［运动的物体］的循环时间与在圆上的循环时间相同，圆的直径等于椭圆的长轴。

命题xvi 定理viii

对同样的题设，再向物体作直线，它们与轨道相切，由公共的焦点向这些切线落下垂线，我说物体的速度按照来自垂线的反比和主通径的二分之一次正比的复合比。

由焦点s往切线pr上落下垂线sy，且物体p的速度按照量（syq ）/l的二分之三次反比。因为那个速度如同在给定的一小段时间它所画出的极小的一段弧pq，也就是（由引理vii）如同切线pr，亦即，因pr比qt 和sp比sy成比例，如同（sp×qt）/（sy），或者与sy成反比且与sp×qt成正比；又sp×qt如同在给定时间所画出的面积，亦即（由命题xiv）按照通径的二分之一次比。此即所证 。

系理1 主通径按照来自垂线的二次比和速度的二次比的复合比。

系理2 物体的速度，在离公共的焦点的最大的和最小的距离上，按照来自距离的反比和主通径的二分之一次正比的复合比。因为垂线现在即是距离。

系理3 因此，［物体］在圆锥截线上的速度，在离焦点的最大的或者最小的距离上比［物体］在离中心同样距离的圆周上的速度，按照主通径比二倍的那个距离的二分之一次比。

系理4 物体在椭圆轨道上运行，在离公共的焦点平均距离处的速度与物体在同样距离的圆形轨道上运行的速度是相同的，这就是（由命题iv引理6）按照距离的二分之一次反比。因现在垂线即是短半轴，且这些［短半轴］如同距离与通径之间的比例中项。这个反比与通径的二分之一次正比的复合，成为距离的二分之一次反比。

系理5 在相同的图形，或甚至不相同而主通径相等的图形中，物体的速度与从焦点落到切线上的垂线成反比。

系理6 在抛物线上，速度按照物体离图形的焦点的距离的二分之一次反比；在椭圆上速度按较此比大的比，在双曲线上按较此比小的比变化。因为（由引理xiv系理2）自焦点到抛物线的切线落下的垂线按照距离的二分之一次比。在双曲线上垂线按较此比小的比，在椭圆上按较此比大的比变化。

系理7 在抛物线上，一个物体在离开焦点任意距离处的速度比离中心同样距离的一个物体在圆周上运行的速度按照数值二比一的二分之一次比；在椭圆上按照小于这个比的比，在双曲线上按照大于这个比的比。因为由本命题的系理2，在一条抛物线的顶点的速度按照这个比，又由本命题的系理6和命题iv，相同的比在所有的距离被保持。因此，在一条抛物线上任意一个地方的速度等于一个物体以一半的距离在圆周上运行的速度；在椭圆上较小，在双曲线上较大。

系理8 ［一个物体］在任意圆锥截线轨道上运行的速度比［一个物体］在距离为该圆锥截线的主通径之半的圆形轨道上运行的速度，如同那个距离比从焦点到圆锥截线的切线上落下的垂线。由系理5这是显然的。

系理9 因此，由于（由命题iv 系理6）［一个物体］在这个圆形轨道上运行的速度比［一个物体］在其他任意的圆形轨道上的速度，按照距离的二分之一次反比；从错比 （17） （ex æquo）导出，［一个物体］在圆锥截线轨道上运行的速度比［一个物体］以同样的距离在圆形轨道上运行的速度，如同那个公共距离和圆锥截线的主通径之半的比例中项比从公共的焦点到圆锥截线的切线上落下的垂线。

命题xvii 问题ix

假设向心力与位置离中心的距离的平方成反比，且那个力的绝对量已知；需求［曲］线，物体从给定的位置，以给定的速度，沿给定的直线离去时画出它。

设趋向点s的向心力使物体p在任意给定的轨道pq上运行，并设这个［物体］在位置p的速度已知。设物体p从位置p沿［直］线pr以给定速度离去，此刻之后，向心力使它从那条线折入圆锥截线pq，所以直线pr与这条圆锥截线切于p。另一条直线pr同样与轨道pq切于p，且如果想象着由s落到这些切线上垂线，则（由命题xvi系理1）圆锥截线的主通径比轨道的主通径按照来自垂线的二次比和速度的二次比的复合比，由此亦被给定。设圆锥截线的通径为l。圆锥截线的一个焦点s亦被给定。角rps对两个直角的补是角rph；另一个焦点h所在的直线ph的位置给定。向ph落下垂线sk，设想竖立共轭半轴bc，又spq －2kph+phq =shq =4chq =4bhq －4bcq = :quad －l× =spq +2sph+phq －l× 。两边加上2kph－spq －phq +l× ，则l× =2sph+2kph或sp+ph比ph如同2sp+2kp比l。所以ph的长度及位置给定。如果物体在p的速度使通径l小于2sp+2kp，ph与直线ps位于切线pr的同侧，因此图形为椭圆，再由给定的焦点s，h，主轴sp+ph被给定。但如果物体的速度如此之大，使得通径l等于2sp+2kp，ph的长度为无穷；且所以图形为具有轴sh平行于直线pk的抛物线，因而被给定。如果物体从位置p前进的速度更大，长度ph需取在切线的另一侧；因此切线在焦点之间穿过，图形为具有主轴等于直线sp和ph之差的双曲线，因而被给定。因为在这些情形如果物体在如此求得的圆锥截线上运行，在命题xi，xii和xiii中已经证明，向心力与物体到力的中心s的距离的平方成反比；且因此［曲］线pq正确地显示了物体从给定的位置p，以给定的速度沿位置给定的直线pr出发，由于这种力所画的曲线。此即所作 。

系理1 因此在每一条给定主顶点d，通径l，及焦点s的圆锥截线中，当dh比ds取得如同通径比通径和4ds之间的差时，另一个焦点h也被给定。因为在这一系理的情形，sp+ph比ph之比如同2sp+2kp比l成为ds+dh比dh如同4ds比l，且由分比，ds比dh如同4ds－l比l。

系理2 因此，如果给定一个物体在主顶点d的速度，轨道可便捷地被发现，即是，按照这个给定的速度比一个物体在距离为ds的圆形轨道上运行的速度（由命题xvi系理3）的二次比，取其通径比二倍的距离ds，然后取dh比ds如同通径比通径和4ds之间的差。

系理3 因此，如果一个物体在任意的圆锥截线上运动，并被无论什么样的冲击逐出它自己的轨道；能知道一条轨道，此后它在其上继续自己的路程。因为由物体自身的运动和那个运动的复合，那个运动由冲击单独生成，就有了物体从所给定的受冲击的位置沿位置给定的直线离去的运动。

系理4 并且，如果那个物体受到外部某个压迫力的持续扰动，通过收集一些点在引入那个力时的变化，由序列的一致性估计［物体］在中间位置的连续变化，可相当接近地知道其路径。

解释

如果物体p由于趋向任意给定的点r的向心力在任意给定的圆锥截线的周线上运动，圆锥截线的中心为c，需求向心力的定律；引cg平行于半径rp，并与轨道的切线pg交于g；则那个力（由命题x的系理1和解释，以及命题vii的系理3）如同（cgcub. ）/（rpquad. ）。