引理 xv
如果由椭圆或双曲线的两个焦点s，h，两直线sv，hv向任意第三个点v倾斜，它们中的一条直线hv等于图形的主轴，亦即焦点所位于的轴；另一条［直线］sv被垂直落在它上面的tr平分于t；那条垂线tr 与圆锥截线在某处相切；并且反之亦然，如果相切，则hv 等于图形的主轴。
因垂线tr截hv，若需要就延长之，于r；并连结sr。由于ts，tv相等，直线sr，vr且角trs，trv也相等。因此点r在圆锥截线上，而垂线tr与此圆锥截线相切；且反之亦然。此即所证 。
命题xviii 问题x
给定一个焦点和主轴，画出椭圆形或双曲线形轨道，它通过给定的点并与位置给定的直线相切。
设s为图形的公共焦点，ab为任意轨道的主轴的长度；p为一点，轨道应经过它；且tr为一直线，轨道应与它相切。以p为中心，若轨道为椭圆时，以ab－sp为间隔；若轨道为双曲线时，以ab+sp为间隔，画圆hg。往切线tr上落下垂线st，且它被延长至v，使得tv等于st；又以v为中心，ab为间隔画圆fh。由这一方法，或者两个点p，p，或者两条切线tr，tr，或者点p和切线tr被给定，两个圆可画出。设它们的公共部分是h，且由焦点s，h，那个给定的轴，轨道被画出。我说图已做出。因所画轨道（由在椭圆时ph+sp，且在双曲线时ph－sp，等于轴）经过点p，且（由上面的引理）与直线tr相切。由同样的论证，此轨道或者经过两点p，p，或者与两直线tr，tr相切。此即所作 。
命题xix 问题xi
对于给定的一个焦点，画出抛物线形轨道，它经过给定的点并与位置给定的直线相切。
设s为焦点，p为一个点，且tr为所画轨道的切线。以中心p，间隔ps画圆fg。由焦点往切线上落下垂线st，并延长它至v，使得tv等于st。按同样的方式画另一圆fg，如果另一个点p被给定；或者求得另一个点v，如果另一切线tr被给定；然后引直线if，它与两圆fg，fg相切，如果两个点p，p被给定；它经过两点v，v，如果两条切线tr，tr被给定；它与圆fg相切并经过点v，如果p和切线tr被给定。往fi上落下垂线si，且它平分于k；则由轴sk，主顶点k，抛物线被画出。我说图已做出。因为抛物线，由于sk和ik，sp和fp相等，它经过点p；且（由引理xiv的系理3）因st和tv相等及str为直角，它与直线tr相切。此即所作 。
命题xx 问题xii
对于给定的一个焦点，画出类型给定的任意轨道，它通过给定的点，且与位置给定的直线相切。
情形1 给定焦点s，设要画的轨道abc经过两点b，c。因为轨道的种类已给定，则主轴比焦点之间距离的比亦被给定。按照那个比取kb比bs，以及lc比cs。以中心b，c，间隔bk，cl画两个圆，且在直线lk上，它切这些圆于k和l，落下垂线sg，同一垂线在a和a被截，使得ga比as和ga比as如同kb比bs，并由轴aa，顶点a，a，轨道被画出。我说图已做出。因为若h为所画图形的另一个焦点，又由于ga比as如同ga比as，由分比ga－ga或aa比as－as或sh按照相同的比，且因此按照要画的图形的主轴比其焦点之间的距离所具有的比；所以画出的图形与要画的图形的种类相同。又因kb比bs和lc比cs按照相同的比，这个图形经过点b，c，由《圆锥截线 》这是显然的。
情形2 给定焦点s，要画出一条轨道，它与两直线tr，tr在某处相切。由焦点向切线上落下垂线st，st，并延长它们至v，v，使得tv，tv［分别］等于ts，ts，vv平分于o，并竖立无限的垂线oh，无限延长的直线vs在k和k被截，使得vk比ks和vk比ks如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离。在直径kk上画圆截oh于h；并由焦点s，h，等于vh的主轴，轨道被画出。我说图已做出。因为平分kk于x，并连结hx，hs，hv，hv。因为vk比ks如同vk比ks；并由合比，如同vk+vk比ks+ks；再由分比，如同vk－vk比ks－ks，亦即，如同2vx比2kx和2kx比2sx，因此，如同vx比hx和hx比sx，于是三角形vxh和hxs相似，且所以vh比sh如同vx比xh，因此，如同vk比ks。所以画出的轨道的主轴vh比其焦点之间的距离sh的比，与所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离所具有的比是相同的，因此是相同的种类。此外，由于vh，vh等于主轴，且vs，vs被直线tr，tr垂直平分，显然（由引理xv）那些直线与所画出的轨道相切。此即所作 。
情形3 给定焦点s，要画出一条轨道，它与直线tr在给定的点r相切。在直线tr上落下垂线st，延长它至v，使得tv等于st。连接vr，无限延长的直线vs在k和k被截，使得vk比sk和vk比sk如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离；且在直径kk上画圆截延长的直线vr于h，并由焦点s，h，等于直线vh的主轴，轨道被画出。我说图已做出。因vh比sh如同vk比sk，因此如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离，由第二种情形的证明，这是显然的，所以所画出的轨道与所要画的轨道的种类是相同的，由于角vrs被直线tr平分，它与轨道在点r相切，由《圆锥截线 》这是显然的。此即所作 。
情形4 对于焦点s，现在要画出轨道apb，它与直线tr相切，且经过切线外任意给定的点p，相似于以主轴ab和焦点s，h所画的图形apb。在切线tr上落下垂线st，并延长它至v，使得tv等于st。再作角hsq，shq等于角vsp，svp；且以q为中心，以比ab如同sp比vs的间隔画圆，截图形apb于p。连结sp并引sh，它比sh如同sp比sp，构作角psh等于角psh以及角vsh等于角psq。此后，由焦点s，h，和等于距离vh的主轴ab，圆锥截线被画出。我说图已做出。因为，如果引sv，它比sp如同sh比sq，构作角vsp等于角hsq以及角vsh等于角psq，三角形svh，spq是相似的，且所以vh比pq如同sh比sq，亦即（因三角形vsp与bsq相似）如同vs比sp或ab比pq。所以vh和ab相等。此外，由于三角形vsh与vsh相似，vh比sh如同vh比sh，亦即，现在所画出的圆锥截线的轴比其焦点之间的间隔，如同轴ab比焦点之间的间隔sh；所以现在画出的图形与图形apb相似。然而，这一图形经过点p，因为三角形psh相似于三角形psh；且因vh等于图形的轴，又vs被直线tr垂直平分，此图形与直线tr相切。此即所作 。
引理 xvi
从三个给定的点向第四个未被给定的点引三条斜直线，它们的差或者被给定或者为零。
情形1 令那些给定的点为a，b，c，且第四点为z，它是应当求的；因为直线az，bz的差给定，点z位于一双曲线上，其焦点为a和b，且其主轴是那个给定的差。设那个轴为mn。取pm比ma如同mn比ab，并竖立pr垂直于ab，又落下zr垂直于pr；由这条双曲线的性质，zr比az如同mn比ab。由类似的讨论，点z位于另一双曲线上，其焦点为a，c，且其主轴为az和cz之间的差，可以引qs，它自身与ac垂直，如果由这条双曲线上的任意点z往qs上落下成直角的线zs，这一垂线zs比az如同az和cz之间的差比ac。所以zr和zs比az的比被给定，并且由此zr和zs的相互之比被给定；且因此，如果直线rp，sq交于t，再引tz和ta，则图形trzs的种类被给定，又直线tz的位置被给定，点z位于其上某处。直线ta，以及角atz亦被给定；又因为az和tz比zs的比被给定，它们的相互之比亦被给定；因此三角形atz被给定，它的一个顶点是点z。此即所求 。
情形2 如果三条线中的两条，设为az和bz，是相等的，因此引直线tz，使得它平分直线ab；此后如上寻求三角形atz。此即所求 。
情形3 如果所有三条线相等，点z位于过点a，b，c的圆的中心。此即所求。
这个引理中的问题亦在由维埃特编订的阿波罗尼奥斯的书《论切触 》中被解决。
命题xxi 问题xiii
对于给定的一个焦点画一条轨道，它通过给定的点并与位置给定的直线相切。
设焦点s，点p和切线tr被给定，需求另一焦点h。往切线上落下垂线st，并延长它至y，使得ty等于st，则yh等于主轴。连结sp，hp，且sp是hp和主轴之间的差。按照这种方式，如果给定更多的切线tr，或更多的点p，总能找到由所说的点y或p到焦点所引的同样数目的线yh或ph，它们或者等于轴，或者它们以给定的长度sp不同于轴；于是它们或者相等，或者有给定的差，且由此，由上面的引理，另外一个焦点h被给定。同时拥有了两个焦点和轴的长度（它或者为yh，或者，如果轨道为椭圆，为ph+sp；若不然，轨道为双曲线，为ph－sp）也就有了轨道。此即所求 。
解释
当轨道为双曲线时，在这个轨道的名下我没有包括相对的双曲线［分支］。因为物体在自己的持续运动时不可能迁移到相对的双曲线［分支］上。
在给定三个点的情形可如此便捷地求解。设b，c，d为给定的点。连结bc，cd，并延长至e，f，使得eb比ec如同sb比sc，且fc比fd如同sc比sd。在画出的ef及其延长上落下成直角的直线sg，bh，又在无限延长的gs上取ga比as和ga比as如同hb比bs；则a为轨道的顶点，且aa为其主轴：轨道，依照ga大于、等于、或者小于as，而为椭圆，抛物线或者双曲线；点a在第一种情形与点a落在线gf的同一侧；在第二种情形它远离以至无穷；在第三种情形它落在线gf的另一侧。因为如果向gf上落下垂线ci，dk；则ic比hb如同ec比eb，这就是，如同sc比sb；又由更比，ic比sc如同hb比sb或者如同ga比sa。且由类似的论证可证kd比sd是按照相同的比。所以点b，c，d在关于焦点s如此画出的圆锥截线上，使得由焦点s到截线上每个点所引的直线比由相同的点落到直线gf上的垂线按照那个给定的比。
最杰出的几何学家拉伊尔 ，在他的《圆锥截线 》卷viii，命题xxv中给出此问题的解法，方法上与此没有大的差异。
