命题xxx 问题xxii

一个物体在一条给定的抛物线轨道上运动，在指定的时间求位置。

系理1 因此gh比as，如同时间，在此期间物体画出弧ap，比一段时间，在此期间物体画出顶点a和在轴上由焦点s竖立的垂线之间的弧。

系理2 且如果圆asp持续通过运动的物体p，点h的速度比物体在顶点a所具有的速度如同3比8；且因此直线gh比一条直线，物体以它在顶点a的速度由自己从a到p的运动时间能画出它，也按照同样的比。

系理3 因此，反过来，能求时间，在此期间物体画出任意指定的弧ap。连结ap，并在它的中点竖立一条垂线，交直线gh于h。

引理 xxviii

不存在卵形，它的被任意直线割下的面积能一般地由项数和维数（dimensio）有限的方程加以确定 （21） 。

设在卵形内任意给定一点，围绕此作为极的点一条直线以均匀的运动持续旋转，且在此期间，在那条直线上一个动点离开极，它总以一个速度前进，速度如同那条直线在卵形内 ［的长度］的平方。那个点的这一运动画出旋转数无穷的螺线。现在，如果卵形由那条直线割下的部分能由有限方程找到，由同样的方程点到极的距离亦被找到，距离与这个面积成比例，且因此螺线的所有点能由有限方程找到：所以任意位置给定的直线与螺线的交点亦能由有限方程找到。但任一无穷延长的直线截螺线于数目无穷的点，且方程，由它两［曲］线的某个相交部分被发现，其同样数目的所有根显示了所有的相交部分，因此升至与交点一样多的维数。因为两个圆相互截于两点，除非用一个二维的方程不能找到一个交点，通过它另一相交部分亦被找到。因为两个圆锥截线可能有四个相交部分，一般地不可能找不到其中一个相交部分，除非通过四维的一个方程，由它所有的相交部分一起被找到。因为如果那些相交部分分别地被找到，因为所有的定律和条件是相同的，计算在每一种情形是相同的，且所以结论总是相同的，因此它必须同时包括且无差别地显示所有的相交部分。由是圆锥截线和三次曲线的相交部分，它可能有六个相交部分，由一个六维方程同时得出，且两条三次曲线的相交部分，它能可有九个相交部分，由一个九维方程同时得出。如果这不必然发生，则我们可以把所有的立体问题约化为平面问题，以及高于立体的问题约化为立体问题。但这里我所说的曲线是在次数上是不可约的。因为，如果方程，由它曲线被定义，能约化成一个较低的次数，则曲线不是单一的，而是由两条，或者更多条曲线的复合，它的相交部分能由不同的计算分别找到。按照同样的方式，直线与圆锥截线的两个相交部分总由一个二维的方程得出，直线与此不可约的三次曲线的三个相交部分由一个三维的方程得出，直线与不可约的四次曲线的四个相交部分由一个四维的方程得出，且如此以至无穷。所以直线和螺线有无数相交部分，由于这条曲线是单纯的且不能约化为多条曲线，这要求方程的维的数目和根的数目无穷，由它所有的交点能同时被显示。因为它们所有的定律和计算是相同的。因为如果自极向那条交线落下一条垂线，且那条垂线与交线同时围绕极旋转，螺线的相交部分相互变换，第一个或者最近的交点，经过一周旋转后成为第二个，经过两周旋转后成为第三个，且如此下去；在此期间方程没有被变化，但那些量的大小的变化除外，由它们交线的位置被确定。所以，由于那些量在每一次旋转后返回到它们的初始的大小，方程返回到初始的形式，且因此一个且同一个方程显示所有的相交部分，且所以它有数目无穷的根，且由方程它们能都被显示。所以，一般地，直线和螺线的相交部分不能通过有限的方程求出，且因此不存在卵形，它被任意的直线割下的面积一般地能由这样的方程显示。

由同样的论证，如果极和点的间隔，螺旋线由点画出，被取作与割下的卵形的周线成比例，能证明周线的长度一般地不能通过一个有限的方程显示。但这里所论及的卵形不是被延伸至无穷的共轭图形相切的图形。

系理

因此，椭圆的面积，它由从焦点向运动的物体所引的半径画出，不能由所给定的时间通过有限的方程得出；且因此，也不能由画出几何上有理的曲线确定。我所说的几何上有理的曲线是所有这样的曲线，它们的所有点由长度的方程定义，亦即，能通过复杂的长度之比确定；且其余的曲线（如螺线，割圆曲线，次摆线）我称之为几何上无理的。由于长度如同或者不如同整数之比（按照《几何原本 》的第十卷）是算术上有理的或者无理的。所以我通过一条几何上无理的曲线割下与时间成比例的椭圆的面积如下。

命题xxxi 问题xxiii

一个物体在一条给定的椭圆轨道上运动，对指定的时间求位置。

设椭圆apb的主顶点为a，焦点为s，且o为中心，又设p为要发现的物体的位置。延长oa至g，使得og比oa如同oa比os。竖立垂线gh，且以中心o和间隔og画一圆gef，它在作为底的尺子gh上方，轮子gef围绕自身的轴滚动前进，且在此期间它的点a画出次摆线ali。既成之后，取gk，按照它比轮子的周长gefg，如同一段时间，在此期间自a前进的物体画出弧ap，比物体在椭圆上运行一周的时间之比。竖立垂线kl交次摆线于l，又引lp平行于kg交椭圆于需求的物体的位置p。

因为以中心o，间隔oa画半圆aqb，且弧aq交lp，如果需要则延长之，于q，又连结sq，oq。设oq交弧efg于f，且向同一条oq上落下垂线sr。面积aps如同面积aqs，亦即，如同扇形oqa和三角形oqs之间的差，或者如同矩形 oq×aq和 oq×sr之间的差，这就是，由于 oq被给定，如同弧aq和直线sr之间的差，且因此（由于给定的比sr比弧aq的正弦，os比oa，oa比og，aq比gf是相同的，且由分比，aq－sr比gf－弧aq的正弦［亦是相同的］）如同弧gf和弧aq的正弦之间的差gk。此即所证 。

解释

但是，由于这一曲线难于画出，应用逼近的方法求解较好。一方面发现某个角b，它比57.29573度的一个角，此角对着等于半径的一条弧，如同焦点之间的距离sh比椭圆的直径ab；另一方面亦发现某一长度l，它比半径按照同一个比的反比。一旦这些被发现，问题可由如下的分析解决。由任意的作图，或者由甚至是猜测，得知物体的位置p，它非常靠近物体的真实位置p。然后，向椭圆的轴上落下纵标线pr，由椭圆的直径的比，外接的圆aqb的纵标线rq被给定，它是以ao为半径的角aoq的正弦，并截椭圆于p。由质朴的数值计算近似地发现那个角就足够了。与时间成比例的角亦被知道，亦即，它比四个直角，如同一段时间，在此期间物体画出弧ap，比物体在椭圆上运行一周的时间。设那个角为n。既取一个角d，它比角b如同角aoq的正弦比半径；又取一个角e，它比角n－aoq+d如同长度l比同一长度l减小角aoq的余弦，当那个角小于直角时；但当它大于直角时，增加那个角的余弦。其次取一个角f，它比角b，如同角aoq+e的正弦比半径，又取一角g比角n－aoq－e+f如同长度l比同一长度减小角aoq+e的余弦，当那个角小于直角时；但当它大于直角时，增加那个角的余弦。再次取一个角h比角b，如同角aoq+e+g的正弦比半径；又取角i比角n－aoq－e－g+h，如同长度l比同一长度减小角aoq+e+g的余弦，当那个角小于直角时；但当它大于直角时，加上那个角的余弦。且如此进行以至无穷。最终取角aoq等于角aoq+e+g+i+…。再由它的余弦or和纵标线pr，它比其正弦qr如同椭圆的短轴比长轴，得到物体的修正过的位置p。如果角n－aoq+d为负的，在各处的e的“+”号必须变为“－”，且“－”号变为“+”。当角n－aoq－e+f，和n－aoq－e－g+h得出为负时，角g和i的符号应作同样的理解。但无穷级数aoq+e+g+i+…收敛得如此迅速，以致很少需要进行到超过第二项e。且计算基于这一定理：面积aps如同弧aq和自焦点s点到半径oq上落下的垂线之间的差。

且由没有什么不同的计算，双曲线的问题被解决。设它的中心为o，顶点为a，焦点为s且渐近线为ok。设被割下的面积的量已知，它与时间成比例。设它为a，且猜测直线sp的位置，它割下的面积aps接近真实的面积。连结op，且自a和p向渐近线［ok］引ai，pk平行于另一条渐近线，且由对数表，面积aikp被给定，它等于面积opa，从三角形ops中减去它，剩下割下的面积aps。应割下的面积a和割下的面积aps的差的二倍2aps－2a或者2a－2aps除以直线sn，它自焦点s垂直于切线tp，得到弦pq的长度。在a和p之间内接那条弦pq，如果割下的面积aps大于应割下的面积a，否则朝向点p的相反方向：点q为物体的更精确的位置。又由持续的重复计算，愈来愈精确的位置被发现。

且由这些计算，我们得到此问题的一个一般的分析解法。但是如下的特别的计算更适合天文学的目的。设ao，ob，od为椭圆的半轴，且l为其通径，又d为短半轴od和通径之半 l之间的差；寻找一个角y，其正弦比半径如同那个差d和轴的半和ao+qd之下的矩形比长轴ab的正方形，又寻找一个角z，其正弦比半径如同焦点间的距离sh和那个差d之下的矩形的二倍比半长轴ao的正方形的三倍。一旦这些角被发现；物体的位置也由此被确定。取一个角t与时间成比例，在那段时间弧bp被画出，或者等于（正如它被称为）平均的运动；和一个角v，平均运动的第一差，比一个角y，第一最大差，如同二倍角t的正弦比半径；又一个角x，第二差，比一个角z，第二最大差，如同角t的正弦的立方比半径的立方。如果角t小于一个直角，取角bhp，它等于平均的运动，等于角t，v，x的和t+x+v；如果角t大于一个直角小于两个直角，取角bhp等于角t，v，x的差t+x－v；且如果hp交椭圆于p，作sp割下与时间近似地成比例的面积。这一实践似乎足够便捷，因为对非常小的角v和x，按照秒，如果令人满意的话，求到两，三个数字就足够了。这一实践对于行星的理论看起来也足够精确。因为甚至在火星自己的轨道上，它的最大的中心差是十度，误差很少超过一秒。但当等于平均运动的角bhp发现之后，真实运动的角bsp和距离sp易于由习知的方法求得。

到目前为止论及在曲线上物体的运动。但是，会发生运动的物体在直线上下降或者上升，且现在我转而阐明属于此类的运动。