命题xxxii 问题xxiv
假设向心力与位置离中心的距离的平方成反比,确定空间,它由直线下落的一个物体在给定的时间画出。
情形1 如果物体不竖直下落,此物体(由命题xiii系理1)画出其焦点与力的中心重合的圆锥截线。设那条圆锥截线为arpb,其焦点为s。首先,如果图形为一个椭圆;在它的长轴ab上画半圆adb,又直线dpc经过下落物体垂直于轴;再作ds,ps,面积asd与面积asp成比例,且因此亦与时间成比例。保持轴ab持续减小椭圆的宽度,则面积asd总保持与时间成比例。那个宽度被减小以至无穷:现在轨道apb与轴ab,且焦点s与轴的端点b重合,物体在直线ac上下落,面积abd变得与时间成比例。且因此空间ac被给定,物体由位置a竖直下落,在给定的时间画出这一空间,只要面积abd取得与时间成比例,且由点d往直线ab上落下垂线dc。此即所求 。
情形2 如果那个图形rpb为双曲线,对同样的主直径ab画直角双曲线 (22) (hyperbola rectangula)bed;且因为面积csp,cbfp,spfb比面积csd,cbed,sdeb,一个对一个,按照高度cp,cd的给定的比;又面积spfb与时间成比例,在此期间物体p的运动经过弧pfb;面积sdeb亦与同样的时间成比例。减小双曲线rpb的通径以至无穷并保持横截径,则弧pb与直线cb,且焦点s与顶点b,以及直线sd与直线bd重合。因此,面积bdeb与时间成比例,在此期间物体c竖直下落画出直线cb。此即所求 。
情形3 由类似的论证,如果图形rpb为一条抛物线,且由同样的主顶点b画出另一条抛物线bed,它在前一抛物线,即物体p在其周线上运动的抛物线的通径减小并缩为零,曲线变为直线cb期间,总它保持给定;抛物弓形bdeb与时间成比例,在此期间那个物体p或者c落向中心s或者b。此即所求 。
命题xxxiii 定理ix
假设[以上的结果]今已求得,我说下落物体在任意位置c的速度比物体画出中心为b,间隔为bc的圆的速度,按照ac,物体离圆或者直角双曲线的那边的顶点a的距离,比图形的主半直径12ab的二分之一次比。
设两个图形rpb,deb的公共直径ab被平分于o;并引直线pt,它切图形rpb于p,又截那条公共直径ab(必要时延长之)于t,sy与这条切线,又bq与这条直径垂直,图形rpb的通径假设为l。由命题xvi的系理9,显然,物体在围绕中心s的曲线rpb上任意位置p的运动速度比物体围绕同一中心,画出间隔为sp的圆的速度按照矩形 l×sp比sy的正方形的二分之一次比。但由《圆锥截线 》,acb比cpq 如同2ao比l,且因此(2cpq ×ao)/(acb)等于l。所以那些速度彼此之比按照(cpq ×ao×sp)/(acb)比syquad. 的二分之一次比。再者,由《圆锥截线 》,co比bo如同bo比to,由合比或者分比,如同cb比bt。或者由分比,或者由合比,bo-或者+co比bo如同ct比bt,亦即,ac比ao如同cp比bq;且因此(cpq ×ao×sp)/(acb)等于(bqq ×ac×sp)/(ao×bc)。现在图形rpb的宽度cp被减小以至无穷,使点p与点c,点s与点b,且直线sp与直线bc,直线sy与直线bq重合;现在物体在直线cb上竖直下落的速度比物体画出中心为b,间隔为bc的圆的速度,按照(bqq ×ac×sp)/(ao×bc)比syq 的二分之一次比,这就是(忽略等量之比sp比bc和bqq 比syq )按照ac比ao或者 ab的二分之一次比。此即所证 。
系理1 点b与s重合时,tc比ts变成如同ac比ao。
系理2 一个物体在离中心的距离给定的任意圆上运行,当它自身的运动转化为向上的运动时,将上升到两倍于它自己离中心的距离。
命题xxxiv 定理x
如果图形bed为抛物线,我说下落物体在任意位置c的速度等于一个速度,由它一个物体能均匀地画出中心为b,间隔为bc之半的圆。
因为围绕中心s画出一条抛物线rpb的一个物体在任意位置p的速度(由命题xvi系理7)等于物体围绕同一中心以间隔sp之半均匀地画出圆的速度。抛物线的宽度cp被减小以至无穷,使得抛物线弧pfb与直线cb,中心s与顶点b,以及隔sp与间隔bc重合,则命题是显然的。此即所证 。
命题xxxv 定理xi
对同样的假设,我说图形des的面积,它由不定的半径sd画出,等于一个面积,它能由一个物体围绕中心s,在半径等于图形des的通径之半的轨道上均匀地运行,在相同的时间画出。
因为设想一个物体c在下落中在极短的时间段画出短线cc,且在此期间另一个物体k围绕中心s运行,在圆okk上均匀地画出弧kk。竖立垂线cd,cd交图形des于d,d。连结sd,sd,sk,sk,并引dd交轴as于t,又向它[dd]落下垂线sy。
情形1 现在如果图形des为圆或直角双曲线,它的横截直径 (23) (transversa diameter)as被平分于o,则so为通径之半,又因为tc比td如同cc比dd,且td比ts如同cd比sy,由错比,tc比ts如同cd×cc比sy×dd。但是(由命题xxxiii系理1)tc比ts如同ac比ao,如果依点d,d会合时线段所取的最终比计算。所以ac比ao或者sk如同cd×cc比sy×dd。再者,下落物体在c的速度比物体以间隔sc围绕中心s画出一个圆的速度,按照ac比ao或者sk的二分之一次比(由命题xxxiii)。且这个速度比物体画出圆okk的速度按照sk比sc的二分之一次比(由命题iv系理6),再由错比,第一个速度比最后一个速度,这就是,短线cs比弧kk,按照ac比sc的二分之一次比,亦即按照ac比cd之比。所以cd×cc等于ac×kk,且因此ac比sk如同ac×kk比sy×dd,由是sk×kk等于sy×dd,则 sk×kk等于 sy×dd,亦即,面积ksk等于面积sdd。所以在生成两小块面积的小部分ksk和sdd的每一时间的小部分,如果它们的大小减小且数目增加以至无穷,得到等量之比,且所以(由引理iv系理)同时生成的总面积总相等。此即所证 。
情形2 但是,如果图形des为抛物线,如同上面发现cd×cc比sy×dd如同tc比ts,这就是,如同2比1,且因此 cd×cc等于 sy×dd。但下落物体在c的速度等于一个速度,(由命题xxxiv)以它[物体]能均匀地画出间隔为 sc的一个圆。且这个速度比一个速度,以它[物体]能画出半径为sk的一个圆,这就是,线段cc比弧kk(由命题iv系理6)按照sk比 sc的,亦即,按照sk比 cd的二分之一次比。所以 sk×kk等于 cd×cc,且因此等于 sy×dd,这就是,面积ksk等于面积sdd,如同上面。此即所证 。
命题xxxvi 问题xxv
一个物体从一给定的位置a下落,确定它下降的时间。
在直径as上画半圆ads,[as是]物体开始时离中心的距离,围绕中心s画与这个半圆相等的半圆okh。从物体的任意位置c竖立纵标线cd。连结sd,且作扇形osk等于面积asd。显然由命题xxxv,在物体下落画出空间ac的相同时间里,另一个物体围绕中心s均匀地运转,能画出弧ok。此即所作 。
命题xxxvii 问题xxvi
一个物体从一给定的位置向上或者向下抛掷,确定它上升或者下降的时间。
设物体沿直线gs以任意速度从给定位置g离去。按照这个速度比物体能围绕中心s,以给定的间隔sg在一个圆上均匀运行的速度的二次比,取ga比 as。如果那个比是数2比1,点a无限遥远,在这种情况应画出顶点为s,轴为sg,通径任意的抛物线。由命题xxxiv这是显然的。若不然那个比小于或者大于2比1,前一种情况应为画在直径sa之上的一个圆,后一种情况为画在直径sa之上的直角双曲线。这由命题xxxiii是显然的。然后以s为中心,以等于通径之半的间隔画圆hkk,并在物体下落或者上升的位置g,及另一个任意位置c,竖立垂线gi,cd交圆锥截线或者圆于i及d。再连结si,sd,使扇形hsk,hsk [分别]等于弓形seis,seds,则由命题xxxv,在物体g画出空间gc的相同时间内,物体k能画出弧kk。此即所作 。
命题xxxviii 定理xii
假设向心力与位置离中心的高度或者距离成比例,我说[物体]下落的时间,速度,以及画出的空间分别与弧,及弧的正弦和正矢成比例。
设物体由任意位置a沿直线as下落;且以力的中心s,间隔as画四分之一圆ae,且cd为任意弧ad的正弦;则物体a下落,在时间ad画出空间ac,又在位置c获得速度cd。
这由命题x所证明,模式正如命题xxxii由命题xi所证明。
系理1 因此时间是相等的,在此期间一个物体从位置a下落前进到中心s,且另一环绕物体画出四分之一圆周的弧ade。
系理2 因此所有的时间是相等的,在此期间物体无论从任何位置下落直达中心s。因为所有环绕物体的循环时间(由命题iv系理3)相等。
命题xxxix 问题xxvii
假设任意种类的向心力,并且许可曲线图形的求积 (24) (quadratura);需求直线上升或者下降的物体在每个位置的速度,以及时间,在此期间物体到达任意一个位置;并求逆问题。
设物体e由任意位置a在直线adec上下落,又由它的位置e总竖立垂线eg,与在那个位置与趋向中心c的向心力成比例:bfg为一条曲线,点g持续触及它。且在运动开始时eg与垂线ab重合,则物体在任意位置e的速度如同一条直线,它能作成曲线形的面积 (25) (quæ potest aream curvilineam)abge。此即所求 。
在eg上取直线em,它能作成与面积abge成反比的面积,vlm为一条曲线,点m持续触及它,且它的渐近线为ab的延长;则时间,在此期间下落物体画出直线ae,如同曲线形的面积abtvme。此即所求 。
因为在直线ae上取给定长度的极短的线de,且当物体曾经在d时,设dlf是直线emg的位置;然后,如果向心力,使能作成面积abge的直线如同下落速度:则面积自身按照速度的二次比,亦即,如果在d和e的速度被写作v和v+i,则面积abfd如同vv,且面积abge如同vv+2vi+ii,由分比(divisim),面积dfge如同2vi+ii,且因此(dfge)/(de)如同[(2vi)+(ii)]/(de),亦即,如果取初生成的量的最初比,则长度df如同量(2vi)/(de),因此亦如同此量之半(i×v)/(de)。但是时间,在此期间下落物体画出短线de,与那条短线成正比,且与速度v成反比,又,力与速度的增量i成正比且与时间成反比,且因此如果取初生成的量的最初比,如同i×vde,这就是,如同长度df。所以,与df或者eg成比例的一个力使物体的以一个速度下落,它如同能作成面积abge的直线。此即所证 。
此外,由于时间,在此期间任意给定长度的短线de被画出,与速度成反比,且因此反比于能作成面积abfd的直线;又dl,且因此初生成的面积dlme,与同一直线成反比:时间如同面积dlme,且所有时间的和如同所有面积的和,这就是,(由引理iv的系理)整个时间,在此期间直线ae被画出,如同整个面积atvme。此即所证 。
系理1 如果设p为一个位置,物体应由此下落,在某一均匀的已知的向心力(如通常假设的重力)推动下它在位置d获得的速度等于一个速度,它能由另一物体在同一位置d获得,无论它由何种力下落,且在垂线df上取dr,它比df如同那个均匀的力比在位置d的另一个力,再补足矩形pdrq,并割下面积abfd等于它;则a为另一物体下落的位置。因为补足矩形drse,由于面积abfd比面积dfge如同vv比2vi,且因此如同 v比i,亦即,如同整个速度的一半比物体由不等的力下落时速度的增量;并且类似地,面积pqrd比面积drse如同整个速度的一半比物体由均匀的力下落时速度的增量;且那些增量(由于在相等的时间生成)如同产生它们的力,亦即,如同纵标线df,dr,且因此如同初生成的面积dfge,drse;由错比,总面积abfd,pqrd彼此如同整个速度的一半,由于速度相等,所以面积相等。
系理2 因此,如果任意一个物体由任意的位置d以给定的速度向上或者向下被抛射,且向心力的定律被给定,在其他任意一个位置e它的速度被发现:竖立纵标线eg,并取那个速度比在位置d的速度,如同直线,或者由它能作成矩形pqrd增加了曲线形的面积dfge,如果位置e低于位置d;或者矩形pqrd减少了曲线形的面积dfge,如果位置e高于位置d;比一条直线,由它只能作成矩形pqrd。
系理3 时间亦可由竖立与pqrd+或者-dfge的平方根成反比的纵标线em得知,且取时间,在此期间物体画出直线de,比一段时间,在此期间另一物体由一均匀的力从p下落到达d,如同曲线形的面积dlme比矩形2pd×dl。因为时间,在此期间物体由均匀的力画出直线pd,比一段时间,在此期间同一物体画出直线pe,按照pd比pe的二分之一次比,亦即(短线de刚刚生成)按照pd比pd+ de或者2pd比2pd +de,则由分比,[物体画出直线pd的时间]比一段时间,在此期间同一物体画出短线de,如同2pd比de,且因此如同矩形2pd×dl比面积dlme;且时间,在此期间两物体画出短线de,比一段时间,在此期间其中一个物体以不等的运动画出直线de,如同面积dlme比面积dlme,又由错比,最初的时间比最后的时间如同矩形2pd×dl比面积dlme。