命题xl 问题xiii

如果一个物体，它在任意向心力的作用下，无论怎样运动，且另一物体直线上升或者下降，又若在某一高度相等的情形它们的速度相等，则在所有相等的高度它们的速度相等。

设某一物体自a经d，e向中心c下落，且另一物体自v沿曲线vikk运动。以c为中心，任意间隔画同心圆di，ek，交直线ac于d和e，且交曲线vik于i和k。连结ic交ke于n，又在ik上落下垂线nt；再设圆周的间隔de或者in极小，且物体在d和i有相等的速度。因为距离cd，ci相等，在d和i的向心力相等。这些力用相等的短线de，in表示；且如果单个力in（由诸定律的系理ii）被分解为两个力nt和it，力nt沿与物体的路径itk垂直的直线nt作用，绝不改变物体在那个路径上的速度，但是只把物体拉离直线路径，使物体持续从轨道的切线偏转，并沿曲线路径itkk前进。那个力完全用于产生这种作用；另一个力it沿物体的路径作用，完全用于加速，在给定的极短时间内产生的加速度与自身成比例。因此在相等的时间物体在d和i所引起的加速度（如果取初生成的直线de，in，ik，it，nt的最初比）如同de，it；但在不相等的时间它们如同那些线和时间的联合。但是时间，在此期间de和ik被画出，由于速度相等，如同画出的路径de和ik，且因此加速度，当物体经过线de和ik时，如同de和it，de和ik的联合，亦即如同dequad. 和矩形it×tk。但矩形it×tk等于in的正方形，这就是，等于dequad. ，所以物体在由d和i到e和k的路径上产生的加速度相等。因此物体在e和k的速度相等。又由同样的论证，在其后相等的距离总遇到相等的［速度］。此即所证 。

但是又由同样的论证，物体离中心的距离相等且等速，在升高到相同的距离时受到相等的迟滞。此即所证 。

系理1 因此，如果一个物体无论是悬在线上做振动或者被极为平顺和完美润滑的阻碍保持在曲线上运动，另一个物体直线上升或者下降，且如果它们的速度在某相同的高度相等：则它们的速度在其他任意相等的高度相等。因为悬挂物体的线或者极润滑的容器的阻碍产生与横向力nt相同的作用。物体既不被它们迟滞也不被它们加速，而只是被迫离开直线路径。

系理2 因此，如果量p为离中心的最大距离，对于它无论振动或者在任意轨道上运行的物体，在轨道上的任意一点以它所具有的速度向上抛射时能上升到［这个距离］；且量a为轨道上另外任意一点离中心的距离，向心力总如同a的任意次幂an－1 ，其指数n－1是任意数n减小1；则物体在每一高度a的速度如同 ，因此被给定。因为（由命题xxxix）［物体］直线上升和下降的速度按照这个比。

命题xli 问题xxviii

假设一种任意类型的向心力并且许可曲线图形的求积，既要求物体在其上运动的轨道，又要求在找到的轨道上的运动时间。

设任意的向心力趋向中心c，且要求的轨道为vikk。以中心c，任意间隔ca所画的圆vr被给定，以相同的中心画另外的任意圆id，ke截轨道于i和k，直线cv于d和e。作直线cinx截圆ke，vr于n和x，又引直线cky交圆vr于y。设点i和k彼此非常靠近，且物体自v经i和k向k前进；又设点a为那个位置，另一物体应从那里下落，使得它在位置d获得前一物体在位置i的速度。保持在命题xxxix中的内容，短线ik，它在给定的极短的时间被画出，如同速度，因此如同能作成面积abfd的直线，再者与时间成比例的三角形ick被给定，由是kn与高度ic成反比，亦即，如果另一个量q被给定，高度ic被称为a，如同q/a。我们称这个量q/a为z，且假设q的大小使得在某一情形√ abfd比z如同ik比kn，则在所有情形√ abfd比z如同ik比kn，而abfd比zz如同ikq 比knq ，由分比abfd－zz比zz如同inquad. 比knquad. ，且因此 -zz比z或者q/a如同in比kn，且所以a×kn等于 。因此，由于yx×xc比a×kn如同cxq 比aa，矩形xy×xc等于 。所以，如果 在垂线df上总取db，dc分别等于 ， ，并画出曲线ac，ac，点b，c持续触及曲线；自点v向直线ac竖立垂线va割下曲线形的面积vdba，vdca，又竖立纵标线ez，ex；因为矩形db×in或者dbze等于矩形a×kn的一半或者三角形ick；又矩形dc×in或者dcxe等于矩形yx×xc的一半或者三角形xcy；这就是，因为面积vdba，vic的初生成的小部分dbze，ick总相等；面积vdca，vcx的初生成的小部分dcxe，xcy总相等，生成的面积vdba等于生成的面积vic，且因此与时间成比例，又，生成的面积vdca等于生成的扇形vcx。所以给定物体自离开位置v的任意时间，与它成比例的面积vdba被给定，且因此物体的高度cd或者ci被给定；再者，面积vdca，以及等于它的扇形vcx连同它的角vci被给定。但是给定角vci和高度ci，位置i被给定，在那段时间结束时物体在那里被发现。此即所求 。

系理1 因此，物体的最大及最小高度，亦即轨道的拱点可便捷地找到。因为拱点是那些落在过中心所引的垂直于轨道vik的直线ic上的点；这发生在直线ik和nk相等时，因此发生在当面积abfd等于zz时。

系理2 且角kin，轨道在任意地方以它与直线ic相截，由物体的给定高度ic可便捷地找到；即是取它的正弦比半径如同kn比ik，亦即，如同z比面积abfd的平方根。

系理3 如果以中心c和主顶点v画出任意的圆锥截线vrs，且由它的任意一点r引切线rt交无限延长的轴cv于点t；然后连结cr，引直线cp，它等于横标线ct，作与扇形vcr成比例的角vcp；如果趋向中心c的向心力与位置离中心的距离的立方成反比，物体以适当的速度沿垂直于cv的直线离开位置v，那个物体将在轨道vpq上前进，点p持续触及轨道；且因此如果圆锥截线vrs是双曲线，物体向中心下降；若不然，它为椭圆，那个物体持续不断上升并远离以至无穷。且反之，如果物体以任意速度离开位置v，一如它开始时或者倾斜地落向中心或者离开中心倾斜上升，图形vrs或者为双曲线，或者为椭圆，轨道可通过按照某一给定的比增大或者减小角vcp得到。但是，当向心力变为离心力，物体将在轨道vpq上倾斜地上升，它可由取角vcp与椭圆扇形vrc成比例，以及长度cp等于长度ct得到，如同上面。所有这些，由前述命题，可通过特定曲线的求积得到，其求甚易，为简明计，我省略了。

命题xlii 问题xxix

给定向心力的定律，需求物体从给定的位置，以给定的速度，沿给定的直线离去时的运动。

保持前三个命题的内容，设物体从位置i沿短线ik，以一个速度离去，它能由另一个物体在某一均匀的向心力之下，从位置p下落在d获得。设这个均匀的力比一个力，由它第一个物体在i被推动，如同中dr比df。且物体前往k；又以c为中心，ck为间隔画圆ke交直线pd于e，并竖立曲线bfg，abv，acw的纵标线eg，ev，ew。由给定的矩形pdrq，及给定的向心力的定律，由它第一个物体被推动，由问题xxvii的作图及其系理1，曲线bfg被给定。然后，由给定的角cik，初生成的ik，kn的比被给定，从此，由问题xxxviii的作图，量q与曲线abv，acw一起被给定：且因此，在任意时间dbve结束时，物体的高度ce或者ck，以及面积dcwe，与它相等的扇形xcy，角ick被给定，又有位置k，在那里物体在那时被发现。此即所求 。

在这些命题中我们假设自中心退离时向心力按照任何能想象到的规律变化，但在离中心相等的距离的各个地方是一样的。且至此，我们已考虑了物体在不动的轨道上的运动。剩下论及物体在轨道上的运动，轨道围绕力的中心转动，我们增加少许。