命题xliii 问题xxx

使得一个物体能在围绕力的中心转动的任意轨道上运动，一如另一物体在相同的静止的轨道上的运动。

在位置给定的轨道vpk上，设运行的物体p由v向k前进。自中心c总引cp，它等于cp，作角vcp与角vcp成比例；且面积，它由线cp画出，比面积vcp，它由线cp同时画出，如同画出线cp的速度比画出线cp的速度；这就是，如同角vcp比角vcp，且因此按照给定的比，所以与时间成比例。因为面积，它由线cp在不动平面上画出，与时间成比例，显然一个物体，在适量向心力的作用下，能与点p一起在那条曲线上运行，曲线由同一点p以刚才说明的方式在不动平面上画出。使角vcu与角pcp，直线cu与直线cv，且图形ucp与图形vcp相等，则总在p的物体在转动的图形ucp的边缘上运动，在它画于弧up的相同时间，另一个在静止的图形vpk上的物体p能画出相似且相等的弧vp。所以，由命题vi的系理五，向心力被找到，由它物体能在那条曲线上运行，曲线由点p在不动的平面上画出，问题得解。此即所作 。

命题xliiv 定理xiv

力之差，由它们一个物体能在静止的轨道上，且另一物体能在相同的转动着的轨道上做相等的运动，按照它们的公共的高度的三次反比。

令静止的轨道的部分vp，pk与转动着的轨道的部分up，pk相似且相等；且点p，k［之间］的距离被假设为极小。自点k在直线pc上落下垂线kr，且延长它至m，使得mr比kr如同角vcp比角vcp。因为物体的高度pc和pc，kc和kc总相等，显然，直线pc和pc的增量或者减量总相等，且因此，如果在位置p和p的物体中的每个运动被分解为（由诸定律的系理ii）两个运动，其中之一朝向［力的］中心，或者沿直线pc，pc确定，且另一横过前者，并沿与直线pc，pc垂直的方向；向着中心的运动总相等，又物体p的横向运动（motus transversus）比物体p的横向运动，如同直线pc的角运动比直线pc的角运动，亦即，如同角vcp比角vcp。所以在相同的时间，在此期间物体p由它自己的两个运动到达点k，物体p由向着中心的相等的运动同等地由p向c运动，且因此在那段时间结束时它在直线mkr上的某处被发现，它经过点k与直线pc垂直；［物体p］由横向运动获得的一段离开直线pc的距离，比另一个物体p获得的离开直线pc的距离，如同物体p的横向运动比另一个物体p的横向运动。由是，因kr等于物体p获得的离开直线pc的距离，mr比kr如同角vcp比角vcp，这就是，如同物体p的横向运动比物体p的横向运动，当那段时间结束时物体p在位置m被发现是显然的。这些事情会是如此，当物体p和p沿直线pc和pc做相等的运动，因此沿那些线推动它们的力相等。再取角pcn比角pck如同角vcp比角vcp，又设nc等于kc，当那段时间结束时，物体p在n被发现；且因此它被推动的力大于物体p被推动的力，只要角ncp大于角kcp，亦即，如果轨道upk或者前行，或者以大于二倍直线cp被携带着前行的速度退行；如果轨道较慢地退行，则此力较小。且力之差如同位置的间隔mn，在给定的那段时间，那个物体p由力之差的作用移动应经过它。假设以c为中心，间隔cn或者ck画圆截直线mr，mn的延长于s和t，则矩形mn×mt等于矩形mk×ms，且因此mn等于（mk×ms）/（mt）。但是，因时间给定，三角形pck，pcn的大小被给定，kr和mr，同样它们的差mk及和ms与高度pc成反比，且因此矩形mk×ms与高度pc的平方成反比。又mt与 mt成正比，亦即，如同高pc。这些是初生成的线的初始比；且因此（mk×ms）/（mt），亦即初生成的短线mn，以及与它成比例的力之差与高度pc的立方成反比。此即所证 。

系理1 因此，在位置p和p，或者k和k的力的差，比一个力，由它在物体p在不动的轨道上画出弧pk的相同时间能使一个物体以圆周运动从r运行到k，如同初生成的短线mn比初生成的弧rk的正矢，亦即如同（mk×ms）/（mt）比（rkq ）/（2kc），或者如同mk×ms比rk的平方；这就是，如果按照角vcp比角vcp所具有的比取给定的量f，g，如同gg－ff比ff （26） 。且所以，如果以c为中心，任意的间隔cp或者cp画出的圆扇形等于总面积vpc，它由在不动的轨道上运行的物体p向中心引的半径在任意时间画出：力之差，由于它们物体p在一不动的轨道上运行且物体p在一运动的轨道上运行，比向心力，由它另一物体向中心引的半径在面积vpc被画出的相同时间，能均匀地画出那个扇形，如同gg－ff比ff。因为那个扇形和面积pck的彼此之比如同它们被画出的时间。

系理2 如果轨道vpk是一个椭圆，它有焦点c和最高的拱点v；并且设椭圆upk与它相似且相等，于是pc总等于pc，且角vcp比角vcp按照g比f的给定之比；把高度pc或者pc写作a，又设椭圆的通径为2r：则力，由它一个物体能在运动的椭圆上运行，如同（ff/aa）+（rgg-rff）/（acub. ），且反之亦然。因为力，由它一个物体在不动的椭圆上运行，用量（ff）/（aa）表示，则在v的力是（ff）/（cvquad.） 。但是力，由它能使一个物体以在椭圆上运行的物体在v点的速度在距离为cv的圆上运行，比一个力，由它在椭圆上运行的物体在拱点v被推动，如同椭圆的通径之半比圆的半直径cv，且因此值为（rff）/（cvcub. ）；则力，它比这个值如同gg－ff比ff，其值为（rgg-rff）/（cvcub. ）：这个力（由本命题的系理1）是在v的力之差，由它们物体p在不动的椭圆vpk上运行，且物体p在运动的椭圆upk上运行。因为（由本命题）那个差在其他任一高度a比它自身在高度cv如同1/（acub. ）比1/（cvcub. ），同样的差在每一高度a的值为（rgg-rff）/（acub. ）。所以对力（ff）/（aa），由它物体能在不动的椭圆vpk上运行，加上超出的（rgg-rff）/（acub. ）；则合成的总力是ff/aa+（rgg-rff）/（acub. ），由它物体能在相同的时间在运动的椭圆upk上运行。

系理3 由同样的方式得出，如果不动的轨道vpk是中心在力的中心c的椭圆；假设运动的椭圆upk与它相似，相等且同中心；又设2r为这个椭圆的主通径，且2t为横截径或者长轴，角vcp比角vcp总如同g比f；力，由它们物体能在相等的时间在不动的和运动的椭圆上运行，分别如同（ffa）/（tcub. ）和（ffa）/（tcub. ）+（rgg-rff）/（acub. ）。

系理4 并且一般地，如果物体的最大高度cv被称为t，且轨道vpk在v所具有的曲率半径，亦即同等弯曲的圆的半径，被称为r，且向心力，由它一个物体能在任意不动的轨道vpk上运行，在位置v被说成是（vff）/（tt），在另一位置p被说成是不定的x，高度cp被称为a，并按照角vcp比角vcp的给定之比取g比f：则向心力，由它同一个物体能在相同的时间在有旋转运动的相同的轨道upk上完成相同的运动，如同力的和x+（vrgg-vrff）/（acub. ）。

系理5 所以，给定在任意不动的轨道上物体的运动，它的围绕力的中心的角运动（motus angularis）能按照给定的比增大或者减小，且因此可以找到新的不动的轨道，物体以新的向心力在其上运行。

系理6 所以，如果向位置给定的直线cv竖立长度不确定的垂线vp，且连结cp，又引cp等于它，作角vcp，它比角vcp按照给定的比；力，由它物体能在那条曲线vpk上运行，点p持续与曲线接触，与高度cp的立方成反比。因为物体p，由惰性力，在没有其他力推动时，能在直线vp上均匀地前进。被加上的力趋向中心c，与高度cp或者cp的立方成反比，且（由刚才证明过的）物体从那个直线运动被偏离为在曲线vpk上的运动。但是这条曲线vpk与在命题xli系理3中所发现的那条曲线vpq是一样的，在那里我们说物体在这种类型的力的吸引下倾斜上升。

命题xlv 问题xxxi

轨道与圆相差甚小，需求拱点的运动。

这一问题被算术地解决，作轨道，它由在运动着的椭圆（如同在上面命题中的系理2或者系理3）上运行的物体在不动的平面上画出，接近要求的拱点的轨道的形状，并寻找那个物体在不动的平面上所画轨道的拱点。但轨道获得同样的形状，如果它们被画出的向心力相互比较，在相同的高度成比例。设点v为最高的拱点，且把最大高度cv写为t，其他任意高度cp或者cp写为a，高度差cv－cp写为x；而且力，由它一个物体在围绕自己的焦点转动的椭圆上运动（正如在系理2中），在系理2中所求的如同（ff/aa）+（rgg-rff）/（acub. ），亦即如同（ffa+rgg-rff）/（acub. ），用t－x代替a，则如同（rgg-rff+tff-ffx）/（acub. ）。其他任意的向心力类似地约化为一个分数，其分母为acub .，且其分子通过归并同类项做成类似。此事由例子说明。

例1.我们假设向心力是均匀的，因此如同（acub. ）/（acub. ），或者（在分子中a写作t－x）如同（tcub. -3ttx+3txx-xcub. ）/（acub. ）；再归并分子中对应的项，即已给定的与已给定的一起且未给定的与未给定的一起，成为rgg－rff+tff比tcub .如同－ffx比－3ttx+3txx－xcub. ，或者如同－ff比－3tt+3tx－xx。现在由于轨道被假设与圆极为近似；让轨道与圆重合，则由于r，t成为相等，因此x无限减小，最终比为rgg比tcub. 如同－ff比－3tt，或者gg比tt如同ff比3tt，又由更比gg比ff如同tt比3tt，亦即，如同1比3；因此，g比f，这就是角vcp比角vcp，如同1比√3。所以，因为在不动的椭圆上的物体，自上拱点下降到下拱点走完180度的角（据我如此说）vcp；在运动的椭圆上的另一个物体，在我们所处理的不动的轨道［面］上，自上拱点下降到下拱点走完180/（√3）度的角vcp：它如此是由于这个轨道，它由物体在均匀向心力的推动下画出，与那个轨道的接近，它由另一物体在转动的椭圆上运行时在静止的平面上画出。由上面项的归并导出这些轨道的相似性，不是普遍的，而仅在它们与圆的形状极为接近的时候。所以物体由均匀的向心力在很接近圆形的轨道上运行，在上拱点和下拱点之间总走完180/（√3）度，或者103度55分23秒的中心角；当它一次走完这个角时，它从上拱点到达下拱点，且当它再一次走完相同的角时，它由此地返回到上拱点；并如此继续以至无穷。

例2.我们假设向心力如同高度a的任意次幂an－3 或者（an ）/（a3 ）；这里n－3和n表示任意的幂指数：整数或者分数，有理数或者无理数，正数或者负数。那个分子an 或者 由我们的收敛级数方法化为不定级数，成为tn －nxtn-1 +[（nn-n）/2]（xxtn-2 &c）。并用它的项与另一个分子的项rgg－rff+tff－ffx比较，成为rgg－rff+tff比tn 如同－ff比－ntn-1 +[（nn-n）/2]（xtn-2 &c）。并取当轨道接近圆的形状时的最后比，得rgg比tn 如同－ff比－ntn-1 ，或者gg比tn-1 如同ff比ntn-1 ，又由更比，gg比ff如同tn-1 比ntn-1 ，亦即1比n；且因此g比f，亦即角vcp比角vcp，如同1比√n。因为角vcp，在椭圆上的物体从上拱点下降到下拱点走完它，为180度；被走完的角vcp，当物体在由任意与an－3 成比例的向心力画出的很接近圆形的轨道上，由上拱点下降到下拱点时，等于180/（√n）度的角；且这个角重复时，物体由下拱点返回到上拱点，并如此继续以至无穷。如是，如果向心力如同物体离中心的距离，亦即，如同a或者a4 /a3 ，n等于4且√n等于2；且因此上拱点和下拱点之间的角等于 度或者90度。所以，物体走完一次环绕的四分之一部分，它到达下拱点，再走完另一个四分之一部分，到达上拱点，且如此交替以至无穷。它亦由命题x所证明。因为这一向心力推动物体在不动的椭圆上运行，它的中心在力的中心上。但如果向心力与距离成反比，亦即与1/a或者a2 /a3 成正比，n等于2，且因此上拱点和下拱点之间的角为180/（√2）度或者127度16分45秒，所以物体以如此的力运行，这个角持续重复，它从上拱点到达下拱点再由下拱点到达上拱点，轮流交替永无穷期。再者，如果向心力与高度的十一次幂的平方根的平方根成反比，亦即与 成反比，且因此与 成正比，或者与 成正比，n等于14且 度等于360度，所以物体自上拱点离去，并由此持续下降，当它完成整个环绕时到达下拱点，然后持续下降完成另一个完整的环绕，又返回到上拱点：且如此交替永无穷期。

至此我们论及物体在轨道上的运动，它的平面从力的中心穿过。其余的我们亦需确定物体在偏心的平面上的运动。因为从事重物运动著述的作者们，惯常考虑重物的上升与下降，既在任意给定的倾斜平面上，又在垂直方向上；且由同样的理由，在这里我们考虑在任意力的作用下，在偏心的平面上物体趋向中心的运动。但我们假设平面极为平顺且完全润滑，不迟滞物体。此外，在这些证明中，代替物体位于其上并与之相切的平面，我们利用平行于它们的平面，物体的中心在平面上运动并由运动画出轨道。且由同样的定律，我们随后确定物体在曲面上完成的运动。