命题xlvi 问题xxxii

假设一种任意种类的向心力，且既给定力的中心又给定一个平面，物体在其上任意地运行，再者许可曲线图形的求积：需求从给定的一个点，以给定的一个速度，沿在那个平面上的一条给定的直线离去的物体的运动。

设s为力的中心，sc为这个中心离给定的平面的最小距离，物体p从位置p沿直线pz离去，同一物体q在自己的轨道上运行，且那个轨道pqr为应求的在给定平面上画出的轨道。连结cq，qs，且如果在qs上取sv与向心力成比例，由它物体被拉向中心s，并引vt平行于cq且交sc于t：力sv被分解（由诸定律的系理ii）为力st，tv；它们中的st沿垂直于平面的直线拉物体，一点也不改变在这个平面上它的运动。但另一个力tv，沿位置给定的平面作用，物体在给定的平面上直接地被拉向点c，使得那个物体在这个平面上如此运动，好像力st被除去，且物体仅由力vt在自由空间中围绕中心c运行。但向心力tv给定，由它物体q在自由空间中围绕给定的中心c运行，不但轨道pqr（由命题xlii）被给定，它由物体画出，而且位置q被给定，在那里物体在任意给定的时间将被发现，最后在那个位置q物体的速度被给定；且反之亦然。此即所求 。

命题xlvii 定理xl

假设向心力与物体离一个中心的距离成比例；则在任意平面上无论怎样运行的所有物体都将画出椭圆，且完成运行的时间相等；又，在直线上运动的那些物体来回奔跑，各自往复的循环在相同的时间完成。

因为，保持上一命题的所有情形，力sv，由它在任意平面pqr上运行的物体q被拉向中心s，如同距离sq；且因此，由于sv和sq，tv和cq成比例，力tv，由它在给定轨道平面上的物体被拉向点c，如同距离cq。所以力，由它位于平面pqr上的物体被拉向点c，按照距离的比等于一个力，由它物体从各个方向被拉向中心s；所以在相同的时间，物体在相同的图形，在任意平面pqr围绕点c运动，一如它们在自由空间中围绕中心s运动；且因此（由命题x系理2和命题xxxviii系理2）总在相等的时间，无论它们在那个平面上围绕中心c画出椭圆，或者在那个平面上在过中心c所引的直线上完成循环的往复运动。此即所证 。

解释

物体在曲面上的上升和下降与这些［我们刚讨论过的运动］密切相关。设想在一个平面上画出的曲线，然后它们围绕任意穿过力的中心的给定轴转动，且由这一转动画出曲面；物体如此运动，使得它们的中心总在这些曲面上被发现。如果那些物体倾斜地上升和下降，往返奔跑；它们的运动在穿过轴的平面上进行，因此在曲线上进行，由曲线的转动产生了那些曲面。所以在这些情形，考虑在那些曲线上的运动就够了。

命题xlviii 定理xvi

如果一只轮子立于一个球的外表面并与此面成直角，且它在［球面的］一个最大圆上如轮子滚动那样前进；曲线的长度，它由轮子边缘上任意给定的一点从该点与球接触时起做出（可称之为旋轮线或者圆外旋轮线），比一段弧的一半的正矢的二倍，球在轮子前进的时间接触它，如同球的和轮子的直径之和比球的半直径。

命题xlix 定理xvii

如果一只轮子立于一个凹球的内表面并与此面成直角，且它在［球面的］一个最大圆上滚动着前进；曲线的长度，它由轮子边缘上任意给定的一点从该点与球接触时起做出，比一段弧的一半的正矢的二倍，球在轮子前进的整个时间接触它，如同球的和轮子的直径之差比球的半直径。

设abl为球，c为它的中心，轮子bpv站立在它之上，e为轮子的中心，b为切点，且给定点p在轮子的边缘。想象这只轮子在最大圆abl上自a经b向l前进，在它的前进期间滚动使得弧ab，pb彼此总相等，且那个在轮子边缘给定的点p在此期间画出曲线路径ap。设ap是自轮子在a接触球之后画出的整个曲线路径，则这条路径ap的长度比弧 pb的正矢的二倍，如同2ce比cb。因直线ce（如果需要就延长之）交轮子于v，又连结cp，bp，ep，vp，且在cp的延长上落下成直角的vf。设切圆于p和v的ph，vh交于h，又ph截vf于g，再往vp上落下成直角的gi，hk。以同样的中心c和任意间隔画圆nom截直线cp于n，轮子的边缘bp于o，又截曲线路径ap于m；又以中心v和间隔vo画圆截vp的延长于q。

因为轮子在前进中总围绕切点b滚动，显然直线bp垂直于那条曲线ap，它由轮子上的点p画出，因此直线vp与这条曲线在点p相切。逐渐地增大或者减小圆nom的半径并最终使它等于距离cp；由于正消失的图形pnomq与图形pfgvi相似，正消失的短线pm，pn，po，pq的最终比，亦即，曲线ap，直线cp，圆弧bp，以及直线vp瞬时变化率，分别与直线pv，pf，pg，pi的相同。但由于vf与cf且vh与 cv垂直，所以角hvg，vcf相等；又角vhg（由于四边形hved在v和p是直角）等于角cep，三角形vhg，cep相似；且由此得出ep比ce如同hg比hv或者hp且如同ki比kp，又由合比或者分比，cb比ce如同pi比pk，后项加倍得cb比2ce如同pi比pv，且如同pq比pm。所以直线vp的减量，亦即，直线bv－vp的增量比曲线ap的增量按照给定的比cb比2ce，且所以（由引理iv的系理）长度bv－vp和ap，它们被那些增量生成，按照相同的比。但是，以bv作为半径，vp为角bvp或者 bep的余弦，且因此bv－vp是同一个角的正矢：所以在这个轮子上，它的半径为 bv，bv－vp是弧 bp的正矢的二倍。所以，ap比弧 bp的正矢的二倍如同2ce比cb。此即所证 。

为了区别起见，我们称前一个命题中的线ap为球外旋轮线，后一命题中的另一线为球内旋轮线。

系理1 因此，如果整个旋轮线asl被画出且在s被平分，则部分ps的长度比长度vp（它是角vbp的正弦的两倍，以eb作为半径）如同2ce比cb，因此按照给定的比。

系理2 且旋轮线的半周长as等于一条直线，它比轮子的直径bv如同2ce比cb。

命题l 问题xxxiii

使一个摆的物体在一条给定的旋轮线上振动。

在以c为中心画出的球qvs内，设被给定的旋轮线qrs平分于r且它的端点q和s在两侧与球面相交。引cr平分弧qs于o，且延长它至a，使得ca比co如同co比cr。以c为中心，ca为间隔画外球daf，且在这个球内由一只轮子，它的直径为ao，画出两条半旋轮线aq，as，它们与内球在q和s相切并与外球在a相交。由那个点a，以长度等于ar的细线apt悬挂物体t，且它如此在半旋轮线aq，as之间振动，每次摆离开垂线ar，细线的上面部分ap贴附在运动朝向的那条半旋轮线aps上，且围绕着它弯曲如绕阻碍，又细线的其余部分pt没有被半旋轮线阻碍伸展成直线；则重物t在给定的旋轮线qrs上振动。此即所作 。

因为设细线pt既与旋轮线qrs交于t，又与圆qos交于v，再引［直线］cv；且对细线的直线部分pt，自端点p和t竖立垂线bp，tw，交直线cv于b和w。显然，从作图和相似图形as，sr的生成，那些垂线pb，tw从cv上截下的长度vb，vw等于轮子的直径oa，or。所以tp比vp（它是角vbp的正弦的二倍，以 bv作为半径）如同bw比bv，或者ao+or比ao，亦即（因ca比co，co比cr，由分比，与ao比or成比例）如同ca+co比ca，或者，如果bv被平分于e，如同2ce比cb。因此（由命题xlix系理1）细线的直线部分pt的长度总等于旋轮线的弧ps，且整条细线apt总等于旋轮线的半弧aps，这就是（由命题xlix系理2）长度ar。且所以，反之，如果细线之长总保持与长度ar相等，点t在给定的旋轮线qrs上运动。此即所证 。

系理 细线ar等于半旋轮线as，且因此比外球的半直径ac所具有的比与相似的那条半旋轮线sr比内球的半直径co所具有的比相同。

命题li 定理xviii

如果向心力从各个方向趋向一个球的中心c，在每个位置如同这个位置离中心的距离，且只有这个力推动物体t在旋轮线qrs的边缘上振动（按刚才所描述的方式）：我说无论振动如何不等，［振动］时间是相等的。

因为设在旋轮线的无限延长的切线tw上落下垂线cx，并连结ct。因为向心力，由它物体t被推向c，如同距离ct，设这个力（由诸定律的系理ii）被分解为分量cx，tx，其中的cx通过自p直接地推动物体而伸展细线pt，由于线的抵抗而完全中止，不产生其他效果；但另一分量tx，横向或者向x推动物体，物体在旋轮线上的运动直接被加速；显然物体的加速度，它与加速力成比例，在每一时刻如同长度tx，亦即，由于cv，wv给定，且tx，tw与它们成比例，如同长度tw，这就是（由命题xlix系理1）如同旋轮线的弧tr的长度。所以，两个摆apt，apt被不等地引离垂线ar并同时放开，它们的加速度总如同待要画出的弧tr，tr。但在运动开始时所画出的部分如同加速度，这就是，如同在开始时待要画出的总的弧，且所以等候画出的部分以及尾随的加速度，与这些部分成比例，因此同样如同整个的弧；且如此继续。所以，加速度，因此产生的速度和以这些速度画出的部分，以及待要画出的部分，总如同整个弧；且所以待要画出的弧保持彼此之间的给定的比，并同时消失，亦即，两个振动物体同时到达垂线ar。又因为，另一方面，摆从最低点r上升，由同样的旋轮线弧做后退的运动，在每个位置被同样的力所迟滞，由它们物体在下降时被加速，显然，它们通过同样的弧上升和下降的速度是相等的，且因此在相等的时间发生；所以，由于位于垂线两侧的两个旋轮线的部分rs，rq相似且相等，两个摆总在相等的时间完成全振动以及半振动。此即所证 。

系理 力，由它物体t在旋转线上任意的位置t被加速或者迟滞，比在最高位置s或者q处同一物体的整个重量，如同旋轮线的弧tr比它的弧sr或者qr。

命题lii 问题xxxiv

确定摆在各个位置的速度，和时间，在此期间整个振动以及各个振动部分被完成。

以任意的中心g，等于旋轮线的弧rs的间隔画被半直径gk平分的半圆hkm。且如果向心力，它与位置离中心的距离成比例，趋向中心g，在圆周hik上的向心力等于在球qos的圆周上趋向它自己的中心的向心力；又在摆从最高位置s离去的同时，另一物体l自h向g坠落。因为力，它们在开始时推动物体，是相等的，且与将要画出的空间总成比例，由此，如果tr和lg相等，在位置t和l的力相等；显然那些物体在开始时画出相等的空间st，hl，于是此后受到相等的推动，并画出相等的空间。所以（由命题xxxviii）时间，在此期间物体画出弧st，比一次振动的时间，如同弧hi，物体h前进到l的时间，比半圆周hkm，物体h前进到m的时间。又摆的物体在位置t的速度比它自己在最低位置r的速度，（这就是，物体h在位置l的速度比它自己在位置g的速度，或者线hl的瞬时增量比线hg的瞬时增量。而弧hi，hk以均匀的流 （27） （fluxus）增加）如同纵标线li比半径gk，或者如同 比sr。由此，因为在不等的振动中，相等时间所画出的弧与振动的整个弧成比例，从给定的时间，可普遍地得到在振动中的速度和所画出的弧。这就是首先要找的。

现在设摆的物体在不同的球内所画出的不同的旋轮线上振动，它们的绝对力也不相同。又，如果任意球qos的绝对力被称为v，加速力，由它在这个球的圆周上的摆被推动，当它开始直接朝向球的中心运动时，如同摆的物体离那个中心的距离和球的绝对力的联合，这就是，如同co×v。因此短线hy，它如同这个加速力，在给定的时间被画出；而且，如果竖立成直角的yz交圆周于z，初生成的弧hz表示那个给定的时间。但是这条初生成的弧hz按照矩形ghy的二分之一次比，且因此如同 。所以在旋轮线qrs上一次完整振动的时间（因为它与半圆周hkm成正比，半圆周hkm表示那个完整的振动，且与弧hz成反比，弧hz类似地表示给定的时间）与gh成正比且与 成反比，这就是，由于gh与sr相等，如同√ ，或者（由命题l的系理）如同√ 。所以，在所有球和旋轮线的振动中，无论什么绝对力使然，它们按照来自细线的长度的二分之一次正比，和悬挂点与球的中心之间的距离的平方根的反比，以及球的绝对力的二分之一次反比的复合比。此即所求 。

系理1 因此也可以相互比较物体振动、下落和环绕的时间。因为，如果轮子，由它球内旋轮线被画出，其直径被指定等于球的半直径，旋轮线变成穿过球的中心的直线，且现在振动是在这条直线上的下降和接着的上升。因此不仅从任意位置下降到中心的时间被给定，而且等于它的时间亦被给定，在此期间物体以任意距离围绕球的中心均匀地运行，画出四分之一圆的弧。因为这段时间（由第二种情形）比在任意旋轮线qrs上的半振动的时间，如同1比√ 。

系理2 因此也可获得雷恩 和惠更斯 关于普通旋轮线的发现。因为如果球的直径被增大以至无穷，它的球面变为平面，向心力沿垂直于这个平面的直线均匀地推动物体，且我们的旋轮线变为普通的旋轮线。在这种情形，旋轮线的弧的长度，它在那个平面和正画出的点之间，等于四倍的轮子在同一平面和正画出的点之间的弧的一半的正矢；正如雷恩 所发现的。且在两条此类的旋轮线之间的摆在相似且相等的旋轮线上等时地振动，正如惠更斯 所证明的。而且重物在一次振动时间的下落是惠更斯 曾指出的。

但是，由我们证明的命题适合地球的真实情况，因为轮子在她的最大圆上行进，插入轮子边缘的钉子的运动画出球外旋轮线；摆悬挂在地下的矿井和洞中，它必须在球内旋轮线上振动，使得所有的振动成为等时的。因为重力（正如将要在第三卷中证明的）在离开地球的表面前进时的减小，事实上向上时按照离地球的中心的距离的二次比，但是向下时按照［离地球的中心的距离的］简单比。

命题liii 问题xxxv

许可曲线图形的求积，需求力，由它们物体在给定的曲线上所做的振动总是等时的。

设物体t在任意［曲］线strq上振动，它的轴是从力的中心c穿过的ar。引tx，它与那条曲线相切于物体所在的任意位置t，且在这条切线tx上取ty等于弧tr。因为那条弧的长度从图形的求积，由通常的方法可以知道。由点y引直线yz垂直于切线。引ct交那条垂线于z，则向心力与直线tz成比例。此即所求 。

因为如果力，物体被它从t向c牵引，由取得与它成比例的直线tz表示，这个力被分解为力ty，yz；它们中的yz沿细线pt的长度［方向］牵引物体，丝毫不改变它的运动，但另一个力ty直接地加速或者直接地迟滞在曲线strq上的它的运动。所以，由于这个力如同要画出的路径tr，在画出两个成比例的［一个较大的和一个较小的］部分的振动中的加速或者迟滞，总如同那些部分，且所以使得那些部分同时被画出。但物体，它们同时画出总与整体成比例的部分，也将同时画出整体。此即所证 。

系理1 因此，如果物体t，它悬挂在始自中心a的笔直的细线at上，画出圆弧strq，且在此期间沿向下的平行线它受某个力的推动，这个力比均匀的重力，如同弧tr比它的正弦tn：则每一振动的时间相等。因为，由于tz，ar平行，三角形atn，zty是相似的；且所以tz比at如同ty比tn；这就是，如果均匀的重力由给定的长度at表示；力tz，由它振动成为等时的，比重力at，如同等于ty的弧tr比那个弧的正弦tn。

系理2 且所以在时钟中，如果力由机械施加于摆以维持运动，它与重力如此复合使得向下的整个力总如同一条直线，它由弧tr和半径ar之下的矩形除以正弦tn产生，则所有的振动是等时的。

命题liv 问题xxxvi

许可曲线图形的求积，需求时间，在此期间物体由于任意的向心力在任意曲线上上升和下降，曲线画在穿过力的中心的平面上。

设物体自任意的位置s下落，经过在从力的中心c穿过的一个平面上给定的任意的曲线sttr。连结cs并把它分成无数相等的部分，且设dd为那些部分中的一个。以c为中心，以间隔cd，cd画圆dt，dt，交曲线sttr于t和t。既给定向心力的定律，又给定物体从那里落下的高度cs；（由命题xxxix）物体在其他任意高度ct的速度被给定。然而，时间，在此期间物体画出短线tt，如同这条短线的长度，亦即，与角ttc的正割成正比，且与速度成反比。设与这段时间成比例的纵标线dn过点d垂直于直线cs，又由于dd给定，矩形dd×dn，这就是面积dnnd，与同一时间成比例。所以，如果pnn是点n持续接触的那条曲线，且它的渐近线是垂直立于直线cs上的直线sq：面积sqpnd与物体下落画出［曲］线st的时间成比例；且所以由那个面积的求得，时间被给定。此即所求。

命题lv 定理xix

如果物体在任意的曲面上运动，它的轴穿过力的中心，并从物体向轴上落下垂线，再从轴上任意给定的点引等于垂线的平行线：我说那条平行线画出的面积与时间成比例。

设bkl为一曲面，物体t在它上面运行，str为一条轨道，它由物体在同一曲面上画出，轨道始于s，omk为曲面的轴，直线nt自物体垂直于轴，自点o所引的［直线］op平行且等于它，点o在轴上被给定；轨道的射影（vestigium）ap由旋转的线op上的点p在平面aop上画出；射影的开端a对应于点s；tc是自物体向中心引的直线；它的部分tg与向心力成比例，由这一向心力物体被推向中心c；直线tm垂直于曲面；它的部分ti与压力成比例，物体以它推这曲面，物体亦被曲面推向m；直线ptf平行于轴且穿过物体，再自点g和i落下垂直于那条平行线phtf的直线gf，ih。现在，我说，面积aop，它由半径op自运动开始起画出，与时间成比例。因为力tg（由诸定律的系理2）被分解为力tf，fg；且力ti分解为力th，hi；但是力tf，th沿垂直于平面aop的直线pf作用于物体，对物体运动的改变仅在与这个平面垂直的方向上。因此，它的运动只限于沿平面的位置发生时；这就是，点p的运动，由它轨道在这个平面上的射影被画出，与如同力tf，th被除去一样，且物体只受力fg，hi的推动，这就是，与如同物体在平面aop上，向心力趋向中心o且等于力fg和hi的合力，画出曲线ap一样。但被这样的力画出的面积aop（由命题i）与时间成比例。此即所证 。

系理 由同样的论证，如果一个物体，由趋向在任意给定的同一直线co上的两个或者多个中心的力推动，在自由空间画出任意的曲线st；面积aop总与时间成比例。

命题lvi 问题xxxvii

许可曲线图形的求积，且既给定趋向给定中心的向心力的定律，又给定它的轴穿过那个中心的曲面；需求轨道，当物体在那个曲面上从给定的位置，以给定的速度沿给定的方向离去时，在同一曲面上画出。

保持上一命题的作图，设物体t从给定的位置s沿在需求的轨道str上位置给定的直线离去，在平面blo上它的射影是ap。且由物体在高度sc上的给定的速度，在任意其他高度tc上它的速度被给定。以此速度物体在给定的极短时间画出轨道自身的一个小部分tt，设它的射影pp在平面aop上被画出。连结op，且以t为中心，tt为间隔在曲面上所画的小圆在平面aop上的射影为椭圆pq。又由于小圆的大小tt给定，它离轴co的距离tn或者po亦给定，那个椭圆的种类和大小亦被给定，正如它相对于直线po的位置。又因为面积pop与时间成比例，因此由给定的时间而被给定，角pop亦被给定。且因此椭圆和直线op的公共的相交部分p被给定，同时轨道的射影app截直线op的角opp被给定。由此（比较命题xli与它的系理2）确定曲线app的方式显然可见。然后由每个射影点p，往平面aop竖立垂线pt交曲面于t，轨道上的每个点t被给定。此即所求 。