命题lxx 定理xxx

如果趋向一个球面上的每一点的同等的（æqualis）向心力按照离点的距离的二次比减小：我说，处于球面内的一个小物体在任何方向上都不被这些力吸引。

设hikl为那个球面，且小物体p放置在其中。过p往这个球面引两条直线hk，il，截取极小的弧hi，kl；则由于三角形hpi，lpk（由引理vii系理3）相似，那些弧与距离hp，lp成比例；球面的在hi和kl的任意的小部分，由穿过p的直线界定，按照那些距离的二次比。所以那些小部分施加于物体p的力彼此相等。因为它们与小部分成正比，且与距离的平方成反比。又这两个比的复合得出等量之比。所以在相反的方向施加相等的吸引，彼此被抵消。由类似的论证，整个球面的所有吸引被相反的吸引所抵消。因此物体p在所有的方向上不被这些吸引推动。此即所证 。

命题lxxi 定理xxxi

假定同样的情形，我说，处于球面外的一个小物体被吸向球的中心，力与它离同一中心的距离的平方成反比。

设ahkb，ahkb为以s，s为中心，ab，ab为直径画出的两个相等的球面，且位于球外的小物体p，p在那些直径的延长上。由小物体引直线phk，pil，phk，pil，从最大圆ahb，ahb截下相等的弧hk，hk和il，il；又往它们落下垂线sd，sd；se，se；ir，ir；其中sd，sd截pl，pl于f和f。再往直径上落下垂线iq，iq。设角dpe和dpe消失，又由于ds和ds，es和es相等，直线pe，pf和pe，pf以及短线df，df可认为是相等的；因为它们的最终比，当那些角dpe，dpe同时消失时，是等量之比。这些既已确定，则pi比pf如同ri比df，且pf比pi如同df或者df比ri；又由错比，pi×pf比pf×pi如同ri比ri，这就是（由引理vii系理3）如同弧ih比弧ih。再者，pi比ps如同iq比se，且ps比pi如同se或者se比iq；又由错比，pi×ps比ps×pi如同iq比iq。由比的联合，piquad. ×pf×ps比piquad. ×pf×ps如同ih×iq比ih×iq；这就是，如同圆形面，它由弧ih当半圆akb围绕直径ab转动时画出，比一个圆形面，它由弧ih当半圆akb围绕直径ab转动时画出。且力，由它们这些面沿直线向着自己牵引小物体p和p，与（由假设）这些面成正比，且与面离物体的距离的平方成反比，这就是，如同pf×ps比pf×ps。又，这些力比它们的倾斜部分，即那些（由诸定律的系理2，力被分解）沿直线ps，ps趋向中心的力，如同pi比pq，和pi比pq；亦即，（由于三角形piq和psf，piq和psf相似）如同ps比pf和ps比pf。因此，由错比，这个小物体p向着s的吸引比小物体p向着s的吸引，如同（pf×pf×ps）/（ps）比（pf×pf×ps）/（ps），这就是，如同psquad. 比psquad. 。且由类似的论证，力，由它们弧kl，kl转动所画出的面牵引小物体，如同psquad. 比psquad. ，且两个球面通过总是取sd等于sd和se等于se能被划分为圆形面，所有圆形面的力按照相同的比。又由合比，整个球面施加在小物体上的力，按照相同的比。此即所证 。

命题lxxii 定理xxxii

如果趋向任意球的每个点的同等的向心力按照离点的距离的二次比减小；并且既给定球的密度，又给定球的直径比小物体离它的中心的距离之比：我说，力，由它小物体被吸引，与球的半直径成比例。

因想象两个小物体分别被两个球吸引，一个小物体被一个球且另一个小物体被另一个球，又它们离球的中心的距离分别与球的直径成比例，两个球被分解为相似的小部分且相对于小物体处于相似的位置。一个小物体向着一个球的每个小部分的吸引比另一个小物体向着另一个球的同样数目的类似的小部分的吸引，按照来自小部分的正比和距离的二次反比的复合比。但是小部分如同球，这就是，按照直径的三次比，又距离如同直径；则前一个正比与后一个二次反比是直径比直径之比。此即所证 。

系理1 因此，如果诸小物体围绕由同等的吸引物质构成的诸球在圆上运行；且离球的中心的距离与球的直径成比例：循环时间是相等的。

系理2 且反之亦然，如果循环时间是相等的；距离与直径成比例。这两条系理由定理iv的系理3是显然的。

系理3 如果趋向两个任意的，相似的且密度相等的物体的每个点的同等的向心力，按照离点的距离的二次比减小；力，由它们相对于那两个立体处于相似位置的小物体被这两个物体吸引，相互之比如同立体的直径之比。

命题lxxiii 定理xxxiii

如果趋向任意给定的球的每一点的同等的向心力按照离点的距离的二次比减小：我说，处于球内的小物体被吸引的力与它自己离球的中心的距离成比例。

设小物体p位于以s为中心画出的球abcd中；想象以同一个s为中心，以间隔sp画出内球peqf。显然，（由命题lxx）同心球面，由它们构成球的差aebf，它们的吸引被相反的吸引抵消，对p一点也不影响。只余下内球peqf的吸引。且（由命题lxxii）这如同距离ps。此即所证 。

解释

面，由它们构成立体，在这里不是纯数学上的，而是特别薄的球面（orbes），以至其厚如同没有；即是消失的球面，当那些球面的数目增加，厚度减小以至无穷时，由它们最终构成球。类似地，当说线、面和立体由点构成时，点被理解为相等的小部分，其大小可忽略。

命题lxxiv 定理xxxiv

假定同样的情形，我说，处于球外的小物体被吸引的力与它自己离同一个球的中心的距离的平方成反比。

因为球被分解为无数同心的球面，且小物体被来自每个面的吸引与小物体离中心的距离的平方成反比（由命题lxxi）。再由复合，吸引的和，这就是小物体向着整个球的吸引，按照同样的比。此即所证 。

系理1 因此在离同质的（homogeneus）球的中心相等的距离，吸引如同球。因为（由命题lxxii）如果距离与球的直径成比例，则力如同直径。如果较大的距离按照那个比被减小，且现在距离成为相等，吸引按照二次那个比被增大；且因此比另一吸引按照三次那个比，这就是，按照球的比。

系理2 在任意的距离吸引如同球除以距离的平方。

系理3 如果一个小物体放在同质的球的外面，它被牵引的力与它离球的中心的距离的平方成反比，且球由吸引的小部分构成；每个小部分的力按照离小部分的距离的二次比减小。

命题lxxxv 定理xxxv

如果趋向给定的球的每一点的同等的向心力按照离点的距离的二次比减小；我说，另外任意一个类似的球被它吸引的力与中心间的距离的平方成反比。

因为任意小部分的吸引与它自己离牵引球的中心的距离的平方成反比（由命题lxxiv），且所以与好像整个吸引力从单独一个位于这个球的中心的小物体发出的一样。但另一方面，这个吸引与同样的小物体的吸引一样大，只要被牵引的球的每个小部分以小物体吸引它们同样的力吸引那个小物体。小物体的那个吸引（由命题lxxiv）与它自己离球的中心的距离的平方成反比；且因此球的吸引，它等于小物体的吸引，按照相同的比。此即所证 。

系理1 对其他同质的球，球的吸引如同牵引球除以它们自己的中心离它们所牵引的球的中心的距离的平方。

系理2 当被吸引的球也吸引时，结论同样成立。因为这个球的每个点牵引另一个球的每个点的力，与反过来它被牵引的力相同；且因此，由于在所有的吸引中（由定律三）吸引的点与被吸引的点所受到的推动相等，力由相互的吸引被加倍，比保持不变。

系理3 以上关于物体围绕圆锥截线的焦点运动的证明，当一个吸引的球被放在焦点，并且物体在球外运动时，全都保持一样。

系理4 且无论如何，已证明的关于物体围绕圆锥截线的中心的运动，当运动在球内进行时发生。

命题lxxvi 定理xxxvi

如果在诸球中，从中心向边界前进（对物质的密度和吸引力）无论如何是不相似的，但前进到离中心给定的距离的各处是相似的；且每个点的吸引力按照被吸引物体的距离的二次比减小：我说，整个力，由它这些球中的一个吸引另一个，与中心间的距离的平方成反比。

令任意个同心的相似的球ab，cd，ef，等等，它们中的里面的加上外面的构成向着中心更稠密的物质，或者减去里面的，剩余的物质更稀薄；则这些球（由命题lxxv）吸引其他任意个相似的同心球gh，ik，lm，等等的力，一个对一个，与距离sp的平方成反比。又，由合比或者分比，所有这些力的和，或者其中任一个对其他的超出；这就是，力，由它任意同心球或者同心球的差构成的整个球ab，吸引整个球gh，它由任意同心球或者同心球的差构成，按照同样的比。同心球的数目如此增加以至无穷，使得物质的密度与吸引力一起，在由周界往中心前进时，按照任意的定律增加或者减小；且增加不吸引的物质，使缺失的密度被补充，如此球获得任意适宜的形状；则力，由它这些球中的一个吸引另一个，由上面的论证，仍然是按照距离的平方的同一反比。此即所证 。

系理1 因此，如果此种类型的许多球，在各方面相似，彼此牵引；它们中的任何一个对另一个的加速吸引，在中心间的任何相等的距离，如同吸引球。

系理2 且在不等的距离，如同吸引球除以中心之间的距离的平方。

系理3 至于引起运动的吸引，或者一些球向着其他球的重量，在中心间的相等的距离，如同吸引球和被吸引的球联合起来，亦即，如同球通过乘法所得的容量。

系理4 且在任何不等的距离，力与那些容量成正比且与球的中心之间的距离的平方成反比。

系理5 当起源于每个球的吸引能力（virtus）相互施加于其他的球时，结论同样成立。力的联合使吸引加倍，比保持不变。

系理6 如果此种类型的一些球环绕其他静止的球运行，一个环绕一个；且环绕的球和静止的球的中心之间的距离与静止的球的直径成比例，则循环时间相等。

系理7 且反之，如果循环时间相等，则距离与直径成比例。

系理8 以上关于物体围绕圆锥截线的焦点运动的证明，当已描述过的任何形式和条件的吸引球被放在焦点时，全都同样适用。

系理9 而且当在轨道上运行的物体是已描述过的任何条件的吸引球时亦然。

命题lxxvii 定理xxxvii

如果趋向球的每一点的向心力与点离被吸引物体的距离成比例：我说，合成的力，由它两个球相互牵引，如同球的中心之间的距离。

情形1 设aebf为一个球，s为它的中心；p为被吸引的小物体；球的轴pasb穿过小物体的中心；两个平面ef，ef截球面并垂直于这个轴，且一个平面在一侧，另一个平面在另一侧，离球的中心的距离相等；g，g是平面和轴的公共部分；又h是平面ef上的任意一点。点h的沿直线ph施加于小物体p上向心力，如同距离ph；且它的（由诸定律的系理ii）沿直线pg，或者向着中心s［的向心力］，如同长度pg。所以在平面ef的所有点的力，这就是整个平面的力，由它小物体被向着中心s吸引，如同距离pg乘以点的数目，亦即，如同包含于那个平面ef自身和那个距离pg之下的立体。且类似地，平面ef的力，由它小物体p被向着中心s吸引，如同那个平面乘以它自己的距离pg，或者如同与此相等的平面ef乘以那个距离pg；则那两个平面的力之和如同平面ef乘以距离之和pg+pg，亦即，如同那个平面乘以二倍的中心和小物体的距离ps，这就是，如同二倍的平面ef乘以距离ps，或者如同相等的平面之和ef+ef乘以同一距离。由类似的论证，在整个球中所有平面的力，在离球的中心距离相等的两侧，如同平面之和乘以距离ps，这就是，如同整个球和距离ps的联合。此即所证 。

情形2 现在小物体p牵引球aebf。由相同的论证可以证明，力，由它那个球被牵引，如同距离ps。此即所证 。

情形3 现在另一个球由无数小物体p组成；且因为力，由它任意小物体被牵引，如同小物体离第一个球的中心的距离与同一个球的联合，因此犹如所有的力来自在球的中心的单独一个小物体那样；整个力，由它在第二个球中的所有小物体被牵引，这就是，由它那个球的整体被牵引，犹如那个球被牵引的力来自第一个球的中心的单独一个小物体那样，且所以与球的中心之间的距离成比例。此即所证 。

情形4 设球彼此相互牵引，则被加倍的力保持以前的比例。此即所证 。

情形5 现在设小物体p位于球aebf的里面；则因为对于小物体平面ef的力如同包含于那个平面和距离pg之下的立体；且平面ef的相反的力如同包含于那个平面和距离pg之下的立体；两者合成的力如同立体的差，这就是，如同相等的平面的和乘以距离的差的一半，亦即，如同那个和乘以小物体离球的中心的距离ps。又由类似的论证，在整个球中，所有平面ef，ef的吸引，这就是，整个球的吸引，如同所有平面的和，或者整个球，与小物体离球的中心的距离ps的联合。此即所证 。

情形6 且如果由无数个小物体p组成一个新球，位于原先的球aebf内；如同前面可以证明，吸引，或者一个球对于另一个球的单纯吸引，或者两者彼此相互吸引，如同中心间的距离ps。此即所证 。

命题lxxviii 定理xxxviii

如果在诸球中从中心前进到边界，无论如何是不相似的和不等的，但是前进到环绕离中心给定的任何距离在各个方向上是相似的；并且每个点的吸引力如同被吸引物体的距离：我说，整个力，由它这类球中的两个相互牵引，与球的中心之间的距离成比例。

这由上面的命题，按照与由命题lxxv证明命题lxxvi同样的方式可证。

系理 在前面关于物体围绕圆锥截线的中心运动的命题x和lxiv的证明中，当所有的吸引是上述条件的球体的力，并且被吸引物体是同样条件的球时，仍然成立。

解释

现在我已给出了对吸引的两种主要情形的说明：即当向心力按照距离的二次比减小时，或者按照距离的简单比增加时；使两种情形下物体在圆锥截线上运行，并结合成球形物体，其向心力在从中心退离时，与小部分按照同样的定律减少或者增加：这是值得惊奇的。其余的情形，结论不甚优雅，逐一处理势必冗长。我宁愿用一个普遍的方法同时包括并处理它们全体如下。

引理xxix

如果以中心s画任意圆aeb，且以中心p画两个圆ef，ef，它们截前一个圆于e，e，又截直线ps于f，f；再向ps上落下垂线ed，ed：我说，如果假使弧ef，ef之间的距离减小以至无穷，消失的直线dd比消失的直线ff的最终比与直线pe比直线ps是相同的。

因为，如果直线pe截弧ef于q；又直线ee，它与消失的弧ee重合，被延长交直线ps于t；再由s向pe落下成直角的线sg：由于三角形dte，dte，des相似；dd比ee，如同dt比te，或者de比es；又因为三角形eeq，esg（由引理viii和引理vii系理3）相似，ee比eq或者ff如同es比sg；再由错比，dd比ff如同de比sg；这就是（由于三角形pde，pgs相似）如同pe比ps。此即所证 。

命题lxxix 定理xxxix

如果厚度无限减小的正消失的面effe围绕轴ps旋转，画出既凹且凸的球形立体，趋向它的每个相等的小部分有同等的向心力：我说，力，由它那个立体牵引位于p的小物体，按照来自立体deq ×ff的比，和在位置ff的给定的小部分牵引同一个小物体的力的比的复合比。

因为，如果我们首先考虑球面fe的力，它由弧fe旋转产生，且被直线de截于任意处r；这个面的环形部分，它由弧re旋转产生，如同短线dd，球的半径pe被保持（如阿基米德 在书《论球与圆柱 》（de sphœra & cylindro）中的证明）。且这个面的力，沿遍布于锥面的直线pe或者pr施加，如同这个环形部分自身；这就是，如同短线dd，或者，同样，如同给定的球半径和那条短线dd之下的矩形；沿直线ps趋向中心s，［这个力］按照pd比pe之比减小，且因此如同pd×dd。现在假设直线df被分成无数相等的小部分，每一小部分被称为dd；且球面fe被分成相同数目的等环，它的力如同pd×dd的总和，这就是，如同 pfq － pdq ，因此如同dequad. 。现在，面fe乘以高度ff，则立体effe施加于小物体p上的力如同deq ×ff：假定某个给定的小部分ff在距离pf对小物体p施加的力被给定，且如果那个力没有被给定。立体effe的力变得如同立体deq ×ff和那个没有被给定的力的联合。此即所证 。

命题lxxx 定理xl

如果趋向以中心s画出的任意球abe的每个小部分有同等的向心力，且向球的轴ab，某小物体p位于该轴上，由每个点d竖立垂线de，交球于e，且在那些垂线上取长度dn，它如同量（deq ×ps）/（pe）以及一个力的联合，位于轴上的球的小部分在距离pe以这个力施加于小物体p：我说，整个力，由它小物体p被向着球牵引，如同球的轴ab在下面与曲线anb所围的面积，点n与曲线持续接触。

保持在上面的引理和定理中相同的作图，想象球的轴ab被分成无数等于dd的小部分，且整个球被分为相同数目的既凹且凸的球形薄片（lamina sphærica）effe；并竖立垂线dn。由上面的定理，力，由它的薄片effe牵引小物体p，如同deq ×ff和一个小部分在距离pe或者pf施加的力的联合。但是（由上面的引理）dd比ff如同pe比ps，且因此ff等于（ps×dd）/（pe）；又deq ×ff等于dd乘以（deq ×ps）/（pe），且所以薄片effe的力如同dd乘以（deq ×ps）/（pe）和一个小部分在距离pf施加的力的联合，这就是（由假设）如同dn×dd，或者消失的面积dnnd。所以所有薄片施加于物体p的力，如同所有dnnd的面积，这就是，球的整个力如同整个anb的面积。此即所证 。

系理1 因此，如果趋向每个小部分的向心力在所有的距离总保持相同，且dn被取得如同（deq ×ps）/（pe）：则整个力，由它小物体被球牵引，如同面积anb。

系理2 如果小部分的向心力与被它吸引的小物体的距离成反比，且dn被取得如同（deq ×ps）/（peq ）：则力，由它小物体被整个球牵引，如同面积anb。

系理3 如果小部分的向心力与被它吸引的小物体的距离的立方成反比，且dn被取得如同（deq ×ps）/（peqq ）：则力，由它小物体被整个球牵引，如同面积anb。

系理4 并且一般地，如果往球的每个小部分的向心力被设为与量v成反比，又dn被取得如同（deq ×ps）/（pe×v）：则力，由它小物体被整个球牵引，如同面积anb。

命题lxxxi 问题xli

在与前面相同的条件下，需测量面积anb。

命题lxxxii 定理xli

在以中心s、间隔sa所画出的球中，如果取si，sa，sp成连比例：我说，在球内任意位置i的小物体的吸引比它在球外位置p的吸引，按照来自离中心的距离is，ps的二分之一次比和在那些位置p及i趋向中心的向心力的二分之一次比的复合比。

正如，若球的小部分的向心力与被它们吸引的小物体的距离成反比；力，由它位于i的小物体被整个球牵引，比一个力，由它在p的小物体被球牵引，按照来自距离si比距离sp的二分之一次比，和在位置i起源于在中心的另一小部分的向心力比在位置p起源于同一个在中心的小部分的向心力的二分之一次比，亦即，距离si，sp相互之比的二分之一次反比的复合比。这两个二分之一次比复合出等量之比，且所以在i和p由整个球产生的吸引相等。由类似的计算，如果球的小部分的力按照距离的二次反比，得出在i的吸引比在p的吸引，如同距离sp比球的半直径sa；如果那些力按照距离的三次反比，在i和p的吸引的彼此之比如同spquad. 比saquad. ；如果那些力按照距离的四次反比，在i和p的吸引的彼此之比如同spcub. 比sacub. 。在这个最后的情形，由于在p的吸引曾被发现为与pscub. ×pi成反比，在i的吸引与sacub. ×pi成反比，亦即（由于sacub. 给定）与pi成反比。同样的进程以至无穷。定理的证明如下。

现在保持上面的作图，且存在一个小物体在任意的位置p，纵标线dn被发现如同（deq ×ps）/（pe×v）。所以，如果引ie，对小物体在其他任意位置i的那条纵标线，经过必要的变化（mutatis mutandis），得出它如同（deq ×is）/（ie×v）。假设向心力，它由球面的任意点e流出，在距离ie，pe的彼此之比，如同pen 比ien （这里数n指明pe和ie的幂指数）且那些纵标线变得如同（deq ×ps）/（pe×pen ）和（deq ×is）/（ie×ien ），它们的彼此之比如同ps×ie×ien 比is×pe×pen 。因为，由于si，se，sp构成连比，三角形spe，sei相似，且由此，ie比pe如同is比se或者sa；把ie比pe之比写成is比sa之比，则得出纵标线之比如同ps×ien 比sa×pen 。但ps比sa是距离ps和si的二分之一次比，且ien 比pen （由于比例ie比pe如同is比sa）是在距离ps，is的力的二分之一次比。所以纵标线，且因此面积，它们由纵标线画出，与它们成比例的吸引，按照来自那些二分之一次比的复合比。此即所证 。

命题lxxxiii 问题xlii

求力，由它位于一个球的中心的小物体被任意的球截形吸引。

设物体p在球的中心，且它的球截形rbsd由平面rds和球面rbs围成。以中心p画出的球面efg截db于f，球截形被分为部分brefgs，fedg。但是那些球面不是纯数学的，而是物理的，有极小的厚度。称那个厚度为o，则这些面（由阿基米德 的证明）如同pf×df×o。此外，我们设球的小部分的吸引力与距离的那个幂成反比，其指数为n；且力，由它面efg牵引物体p，（由命题lxxix）如同（deq ×o）/（pfn ），亦即如同（2df×o）/（pfn-1 ）－（dfq ×o）/（pfn ）。垂线fn乘以o与此量成比例；则曲线bdi的面积，纵标线fn在长度db上以连续运动画出曲线，如同整个力，由它整个球截形rbsd牵引物体p。此即所求 。

命题lxxxiv 问题xliii

求力，由它位于球的中心之外且在球截形的轴上的小物体被同一个球截形所吸引。

设球截形ebk牵引位于它的轴adb上的物体p。以中心p和间隔pe画球面efk，球截形被它分为ebkfe和efkde两个部分。前一部分的力由命题lxxxi，且后一部分的力由命题lxxxiii求出；则力之和是整个球截形ebkde的力。此即所求 。

解释

现在已解释了球形物体的吸引，接下来可以继续其他物体的吸引定律，它们类似地由吸引的小部分构成；但特别地处理它们对于我的计划不是必须的。增补关于此类物体的力的一些更一般的命题以及由此引起的运动就足够了，由于它们在哲学中有一些用处。