命题lxxxv 定理xlii
如果被吸引物体当它与吸引物体邻接时的吸引远强于当它们彼此分开即使极短的一段间隔时的吸引：吸引物体的小部分的力，在被吸引物体退离时，按照离小部分的距离的高于二次的比减小。
因为如果力按离小部分的距离的二次比减小；向着球形物体的吸引，因为它（由命题lxxiv）与被吸引物体离球的中心的距离的平方成反比，在接触时，不会显著增加；且接触时，它增加得更少，如果吸引在被吸引物体在退离时按更小的比减少。所以本命题对吸引球是明显的。凹球形壳吸引外面的物体，情形相同，且在壳吸引放置在它们中的物体时更是如此，因为通过壳的空腔的各个方向的吸引被相反的吸引（由命题lxx）抵消，因此即使在接触时，也没有吸引力。如果从远处取去这些球或者球壳的任意部分，且在任意地方增加新的部分，这些吸引物体的形状可随意改变，然而增加或者去掉的部分不显著增加来自接触的吸引的超出，因为它们远离接触位置。所以此命题对所有形状的物体成立。此即所证 。
命题lxxxvi 定理xliii
如果小部分，由它们构成吸引物体，它们的力当吸引物体退离时，按照离小部分的距离的三次比或者高于三次的比减小：在接触时的吸引远强于当吸引物体和被吸引物体相互分开即使极短的一段间隔时的吸引。
因为吸引当被吸引的小物体靠近这类牵引球时吸引增大以至无穷，这由问题xli中例二和例三所给出的解确立。通过把那些例子和定理xli相互比较，对向着凹凸球壳的吸引，容易得出同样的结论，无论被吸引物体被放置在壳外，或者放置在它们的腔中。然而，在接触位置之外的任何地方，通过增加或者去掉这些球或者壳的吸引物质，使吸引物体被赋予任意指派的形状，此命题对所有物体普遍成立。此即所证 。
命题lxxxvii 定理xliv
如果两个物体由彼此相似，且由同等的吸引物质构成，分别吸引与它们自身成比例的小物体，并且小物体相对于它们位于相似的位置：小物体向着整个物体的加速吸引如同小物体向着与整个物体成比例且在它们中位于相似位置的小部分的加速吸引。
因为如果物体被分成小部分，它们与整个物体成比例，且相似地位于整个物体中；向着一个物体的任意一个小部分的吸引比向着另一个物体的对应的一个小部分的吸引，如同向着第一个物体的每一个小部分的吸引比向着另一个物体的对应的每一个小部分的吸引；且由合比，如同向着第一个物体整体的吸引比对第二个物体整体的吸引。此即所证 。
系理1 所以，如果小部分的吸引力，随着被吸引的小物体的距离的增加，按照距离的任意次幂的比减小；向着整个物体的加速吸引与物体成正比且与距离的那个幂成反比。因为，如果小部分的力按照离被吸引的小物体的距离的二次比减小，且物体如同acub. 和bcub. ，因此物体的立方根，以及被吸引的小物体离物体的距离，如同a和b：向着物体的加速吸引如同（acub. ）/（aquad. ）和（bcub. ）/（bquad. ），亦即，如同物体的那些立方根a和b。如果小部分的力按照被吸引的小物体的距离的三次比减小；向着整个物体的加速吸引如同（acub. ）/（acub. ）和（bcub. ）/（bcub. ），亦即，相等。如果力按照四次比减小，向着物体的吸引如同（acub. ）/（aqq. ）和（bcub. ）/（bqq. ），亦即，与立方根a和b成反比。且对其余情况，亦是如此。
系理2 因此，另一方面，从力，由它们相似的物体牵引相对于这些物体处于相似位置的小物体，能推知在被吸引的小物体退离时，小部分的吸引力减小的比；只要那种减小按照距离的某个正比或者反比。
命题lxxxviii 定理xlv
如果任意物体的相等的小部分的吸引力如同位置离小部分的距离：整个物体的力趋向它的重力的中心；并且与由相似和相等的物质构成且其中心在那个重力的中心的球的力相同。
设牵引某一个小物体的物体rstv的小部分a，b的力，如果小部分彼此相等，如同距离az，bz；若不然，假定小部分不相等，力如同这些小部分与它们的距离az，bz的联合；或者（如果可以这样说的话）如同这些小部分分别乘以它们的距离az，bz。且这些力由那些容量a×az和b×bz表示。连结ab，且它被截于g，使得ag比bg如同小部分b比小部分a；则g是小部分a和b的重力的公共的中心。力a×az（由诸定律的系理ii）被分解为力a×gz和a×ag，且力b×bz被分解为力b×gz和b×bg。但是力a×ag和b×bg，由于a比b和bg比ag成比例，它们相等；且由此由于指向相反的方向，相互被抵消。剩余的力是a×gz和b×gz。这些力从z趋向中心g，并合成力 ×gz；这就是，与假如吸引的小部分a和b被放在它们的重力的公共的中心g，并在那里构成一个球时的力相同。
由同样的论证，如果加入第三个小部分c，且它的力与趋向中心g的力 ×gz合成，产生趋向那个在g的球和小部分c的重力的公共的中心的力；这就是，趋向三个小部分a，b，c的重力的公共的中心；且与假如球和小部分c被放在那个重力的公共的中心，并在那里构成一个更大的球时的力相同。且如此进行以至无穷。所以，任意物体rstv的所有小部分的总的力，与假如那个物体保持重力的中心，被赋予球的形状时的力相同。此即所证 。
系理 因此，被吸引物体z的运动与假如吸引物体rstv为球时是相同的；且所以，如果那个吸引物体或者静止，或者均匀地一直前进；被吸引物体在中心在吸引物体的重力的中心的椭圆上运动。
命题lxxxix 定理xlvi
如果多个由相等的小部分构成的物体，小部分的力如同位置离每个［小部分］的距离：由任意的小物体被牵引的所有的力合成的力，趋向物体的重力的公共的中心；且这与假如那些牵引物体保持它们重力的公共的中心，并在那里结合，形成一个球时是一样的。
这一命题按照与上一命题相同的方式被证明。
系理 所以，被吸引物体的运动与假如牵引物体保持它们重力的公共的重心，并在那里结合形成一个球时是一样的。且因此，如果牵引物体的重力的公共的中心或者静止，或者在一条直线上均匀地前进；被吸引物体在中心在牵引物体的重力的公共的中心的椭圆上运动。
命题xc 问题xliv
如果趋向任意圆的每一个点有按照距离的任意比增加或者减小的同等的向心力：需求力，由它位于一条直线上任意位置的一个小物体被吸引，直线在圆的中心垂直立于圆的平面。
设以a为中心，任意ad为间隔，在与直线ap垂直的平面上想象着画一个圆；并需求力，由它任意小物体p被向着同一个圆牵引。从圆上任意的点e向被吸引的小物体引直线pe。在直线pa上取pf等于pe，并竖立成直角的线fk，它如同力，由这个力点e牵引小物体p。再设曲线ikl是点k持续接触的曲线。曲线交同一个圆的平面于l。在pa上截取ph等于pd，并立垂线hi交前述曲线于i；则小物体p向着圆的吸引如同面积ahil乘以高度ap。此即所求 。
因为在ae上取极短的线ee。连结pe，且在pe，pa上取pc，pf等于pe。又因为力，由它在前述平面上以a为中心，任意ae为间隔所画的环的任意点e被物体p吸向自身，被假定为如同fk，且因此力，由它那个点向着a牵引物体p，如同（ap×fk）/（pe），则力，由它整个环向着a牵引物体p，如同环和（ap×fk）/（pe）的联合；但是那个环如同半径ae和宽度ee之下的矩形，且这个矩形（由于pe和ae，ee和ce成比例）等于矩形pe×ce或者pe×ff；力，由它这个环向着a牵引物体p，如同pe×ff和（ap×fk）/（pe）的联合，亦即，如同容量ff×fk×ap，或者如同面积fkkf乘以ap。且所以力的和，由它们在以a为中心，ad为间隔所画的圆中的所有环，向着a牵引物体p，如同整个面积ahikl乘以ap。此即所证 。
系理1 因此，如果点的力按照距离的二次比减小，这就是，如果fk如同1/（pfquad. ），因此面积ahikl如同1/（pa）-1/（ph）；小物体p向着圆的吸引如同1－（pa）/（ph），亦即如同ah/ph。
系理2 并且一般地，如果在距离为d的点的力与该距离的任意次方dn 成反比，这就是，如果fk如同1/（dn ），且因此面积ahikl如同1/（pan-1 ）－1/（phn-1 ）；小物体p向着圆的吸引为如同1/（pan-2 ）－（pa）/（phn-1 ）。
系理3 并且如果圆的半径增大以至无穷，且数n大于1；小物体p向着整个无穷平面的吸引与pan-2 成反比，因为另一项（pa）/（phn-1 ）消失。
命题xci 问题xlv
求放在圆形立体的轴上的一个小物体的吸引，趋向立体的每个点的同等的向心力按照距离的任意的比减小。
设小物体p被向着立体decg牵引，小物体位于立体的轴ab上。垂直于这个轴的任意圆rfs与这个立体相截，且在它的半直径fs上，它在某个穿过轴的平面palkb内，取（由命题xc）长度fk，它与小物体p被吸向那个圆的力成比例。点k接触的曲线lki交最外面的圆的平面al和bi于l和i；则小物体p向着立体的吸引如同面积labi。此即所求 。
系理2 因此，也能知道一个力，由它一个扁球（sphærois）ag bc牵引任意的物体p，物体位于扁球外且在它的轴ab上。设nkrm为一条圆锥截线，它的纵标线er垂直于pe，总等于长度pd，它引向那个点d，在那个点这条纵标线与扁球相截。自扁球的顶点a，b竖立垂直于其轴ab分别等于ap，bp的垂线ak，bm，且所以交圆锥截线于k和m；又连结km从同一圆锥截线中割下弓形kmrk。设扁球的中心为s且最大的半直径为sc：力，由它扁球牵引物体p，比一个力，由它以直径ab画出的球牵引同一个物体，如同（as×csq -ps×kmrk）/（psq +csq -asq ）比（ascub. ）/（3psquad. ）。且由相同的计算原则可以发现扁球截形的力。
系理3 如果小物体被放在扁球内并在其轴上；吸引如同它离中心的距离。这容易由以下的论证推出，无论小部分在轴上，还是在任意其他给定的直径上。设agof为吸引扁球，s为它的中心，且p为被吸引物体。经那个物体p既引半直径spa，又引两条任意直线de，fg交扁球的这一侧于d，f，那一侧于e和g；且设pcm，hln为两个内扁球面，与外扁球面相似且同心，前一个扁球面穿过物体p，且截直线de和fg于b和c，后一个扁球面截相同的直线于h，i和k，l。所有的扁球有一个公共的轴，则直线在两侧被截取的部分dp和be，fp和cg，dh和ie，fk和lg彼此相等；因为直线de，pb，和hi在同一点被平分，如同直线fg，pc和kl。现在想象dpf，epg表示对顶圆锥，它们由无限小的顶点角dpf，epg画出，且直线dh，ei也无限地短；又圆锥被扁球面割下的小部分dhkf，glie，由于直线dh，ei相等，彼此之比如同它们离小物体p的距离的平方，且所以那个小物体受到相等的牵引。由同样的理由，如果空间dpf和egcb被无数相似的同心的且有一公共轴的扁球面分成小部分，所有这些小部分在相反的方向从两边牵引物体p。所以圆锥dpf的力与圆锥截形egcb的力相等，且由于相反而彼此抵消。且对最里边的扁球pcbm外的所有物质的力，情形相同。所以物体p只受最里边的扁球pcbm的牵引，且因此（由命题lxxii系理3）它的吸引比一个力，由这个力物体a被整个扁球agod吸引，如同距离ps比距离as。此即所证 。
命题xcii 定理xlvi
给定一个吸引物体，求趋向它的每个点的向心力减小的比。
被给定的物体应构成一个球，或者一个圆柱或者其他规则图形，它的吸引定律，对应任意减小的比（由命题lxxx，lxxxi以及xci）能被发现。然后，通过做实验发现在不同距离的吸引力，以及由此揭示向着整体的吸引定律，将给出每个部分的力减小之比，这正是要寻找的。
命题xciii 定理xlvii
如果一个立体的一侧是一平面，其余侧面是无限的，由同等吸引的相等的小部分构成，它们的力在从立体退离时按照大于距离的平方的任意次幂的比减小，且放在平面的任一侧的小物体被整个立体的力所牵引：我说，立体的那个吸引力在退离立体的平面时按照一个幂的比减小，它的底为小物体离平面的距离，且其指数比距离的幂指数小三。
情形1 设lgl为一个平面，立体终止于它。立体位于这个平面向着i的一侧，且被无数与gl平行的平面mhm，nin，oko等等分解。首先设被吸引物体c安放在立体之外。引cghi垂直于那些无数的平面，且立体的点的吸引力按照距离的一个幂下降，它的指数为不小于三的数n。所以（由命题xc系理3）力，由它任意平面mhm牵引点c，与chn-2 成反比。在平面mhm上取长度hm与chn-2 成反比例，则那个力如同hm。类似地，在每个平面lgl，nin，oko等等上，取长度gl，in，ko等等，与cgn-2 ，cin-2 ，ckn-2 等等成反比例，则那些平面的力如同所取的长度，且因此力的和如同长度的和，这就是，整个立体的力如同向着ok无限延长的面积glok。但是那个面积（由熟知的求积法）与cgn-3 成反比，且所以整个立体的力与cgn-3 成反比。此即所证 。
情形2 现在设小物体c被安放在立体lgl之内，且取距离ck等于距离cg。立体的部分lgloko，终止于平行平面lgl，oko，位于中间的小物体c在任何方向上不被牵引，相对点的相反作用由于相等而彼此抵消。因此小物体c只是被平面ok之外的立体牵引。但是这个力（由第一种情形）与ckn-3 成反比，这就是（由于cg，ck相等）与cgn-3 成反比。此即所证 。
系理1 因此，如果立体lgin在两侧终止于两平行的无穷平面ig，in；它的吸引力能通过从整个无穷立体lgko的吸引力减去较远的部分niko的吸引力而得知，niko向着ko无限伸展。
系理2 如果这个立体的较远的无穷部分，它的吸引与较近部分的吸引相比是几乎为零的瞬（momentum），而被抛弃：那个较近的部分的吸引随着距离的增加很接近地按照幂cgn-3 的比减小。
系理3 且因此，如果任意有限且一侧为平面的物体吸引正对着那个平面的中间的小物体，且小物体和平面之间的距离与吸引物体的宽广相比甚小，而吸引物体由相同的小部分构成，它们的吸引力按照距离的大于四次的一个幂的比减小；整个物体的吸引力很接近地按照一个幂的减小，它的底是那个甚小的距离，且指数比前一个指数小三。对由吸引力按照距离的三次比减小的小部分构成的物体，断言不成立；因为在这种情形，系理2中无限物体的那个较远的部分的吸引，总是无限地大于较近的部分的吸引。
解释
如果某一物体被垂直地向着一个给定的平面牵引，且从所给的吸引定律需求物体的运动：通过求（由命题xxxix）物体向这个平面的直线降落运动，和（由诸定律的系理ii）这个运动与一个均匀运动的复合，它沿平行于同一平面的直线进行，使问题得以解决。且反之，如果需求沿垂直于平面的直线向着平面的吸引定律，这个条件使被吸引物体在任意给定的曲线上运动，此问题按照处理问题三的方式被解决。
