第xiv部分 论极小物体的运动，它受到趋向任何大物体的各个部分的向心力的推动

命题xciv 定理xlviii

如果两种相似的介质被终止于两个平行平面的空间彼此分开，且一个物体在穿过这个空间时垂直地向着任一介质被吸引或者推动，而不受其他任何力的推动或者阻碍；在平面同侧与平面等距离的各处的吸引相同：我说，在两者之中的一个平面上入射的正弦比从另一个平面上出射的正弦按照给定的比。

情形1 令aa，bb为两个平行平面。物体沿直线gh进入第一个平面aa，且在经过中间的空间的整个路径中向着入射的介质被吸引或者推动，且由这个作用它画出曲线hi，再沿直线ik出射。向出射平面bb竖立垂线im，它与入射直线gh的延长交于m，又与入射平面aa交于r；再者出射直线ki的延长交hm于l。以l为中心，li为间隔画圆，既截hm于p，和q，又截mi的延长于n；且首先，如果吸引或者推动被假定为均匀的，曲线hi（由伽利略的证明）为抛物线，它的给定的通径和直线im之下的矩形等于正方形hm是抛物线的一个性质；且直线hm又平分于l。因此，如果向mi落下垂线lo；mo，or是相等的；再加上相等的on，oi，总和mn，ir相等。因为由于ir被给定，mn亦被给定；矩形nmi比通径和直线im之下的矩形，这就是，比hmq ，按照给定的比。但矩形nmi等于矩形pmq，亦即正方形mlq 与plq 或者liq 的差；又hmq 比其四分之一的部分mlq 有给定的比；所以mlq －liq 比mlq 之比被给定，且由换比（convertendo），liq 比mlq 之比，以及其二分之一次比li比ml［亦被给定］。但在每个三角形lmi中，角的正弦与对边成比例。所以入射角lmr的正弦比出射角lir的正弦之比被给定。此即所证 。

情形2 现在物体相继穿过终止于平行平面的一些空间，aabb，bbcc等等，且在单独一个空间作用的力是均匀的，并随空间的不同而不同；由刚才的证明，在第一个平面aa入射的正弦比从第二个平面bb出射的正弦，按照给定的比；且这个正弦，它是在第二个平面bb入射的正弦，比从第三个平面cc出射的正弦，按照给定的比；且这个正弦比从第四个平面dd出射的正弦，按照给定的比；且如此以至无穷：又由错比，在最初一个平面入射的正弦比从最后一个平面出射的正弦按照给定的比。现在，减小平面的间隔并且它们的数目增加以至无穷，使吸引或者推动作用，遵照任意设定的定律，成为连续的；则在最初一个平面入射的正弦比从最后一个平面出射的正弦之比，总被给定，因而现在仍被给定。此即所证 。

命题xcv 定理xlix

假定同样的情形；我说，物体在入射前的速度比它出射后的速度，如同出射的正弦比入射的正弦。

取ah，id相等，且竖立垂线ag，dk交入射线和出射线gh，ik于g和k。在gh上取th等于ik，并向平面aa落下成直角的线tv。且（由诸定律的系理ii）设物体的运动被分解为二，其一与平面aa，bb，cc等等垂直，另一个与同样的平面平行。吸引力或者推动力沿垂线作用，一点也不改变沿平行线的运动，且所以物体的这个运动在相等的时间沿平行线方向，在直线ag和点h之间，以及点i和直线dk之间完成相等的间隔；这就是，在相等的时间画出直线gh，ik。因为入射前的速度比出射后的速度如同gh比ik或者th，亦即，如同ah或者id比vh，这就是（相对于半径th或者ik）如同出射的正弦比入射的正弦。此即所证 。

命题xcvi 定理l

假定同样的情形，且入射前的运动较入射后的运动更迅速：我说，物体，由于入射线的弯折，最终被反射，且反射角等于入射角。

因为想象物体在平行的平面aa，bb，cc等等之间画出抛物线形的弧，如同前面；且设那些弧为hp，pq，qr等等。再设入射直线gh向第一个平面aa如此倾斜，使得入射的正弦比它的圆的半径，按照与入射的正弦比在空间ddee中离开平面dd出射的正弦同样的比：且因为出射的正弦现在等于半径，出射角为直角，由此出射线与平面dd重合。物体到达这个平面的点r；又因为出射线与同一个平面重合，很明显物体不能再向着平面ee前进得更远。然而，它也不能在出射直线rd上前进，因为它持续受到向着入射介质的吸引或者推动。所以它返回到平面cc，dd之间，画出抛物线弧qrq，其主顶点（正如伽利略曾证明过的）在r；与平面cc在q与先前在q以相同的角相截；然后在抛物线弧qp，ph等等上前进，它们与前面的抛物线弧qp，ph相似且相等，与其余平面在p，h等等与在p，h等等以相同的角相截，且最终在h以与在h进入时同样的倾斜离开。现在想象平面aa，bb，cc，dd，ee等等的间隔减小且数目增加至无穷，使吸引或者推动作用，遵照任意设定的定律，成为连续的；则出射角总等于入射角，因而现在仍然保持相等。此即所证。

解释

这些吸引与按照给定的正割之比的反射和折射非常相似，正如斯涅耳所发现的，又由逻辑推理，按照给定的正弦之比，正如笛卡儿 所展示的。因为由木星的卫星的天象，目前已确定无疑，不同天文学家的观测已证实，光线连续传播，且自太阳到达地球大约要七或者八分钟时间。此外，光线在空气中（近来格里马尔迪发现，他让光线通过小孔进入黑暗的房间，这我自己也曾实验过）经过不透明或者透明物体的棱角（诸如由金、银或者铜铸造的钱币的圆形或者方形边缘，以及刀子、石头和碎玻璃的锐利边缘）围绕物体弯曲，好像被吸向物体；且这些光线中，其路径愈靠近物体，弯曲愈甚，好像它们受到的吸引愈大，正如我自己所做过的辛勤观察。且那些在较远距离经过的弯曲较小，再者，距离更远的略微弯向正对着的方向，并形成三个色带。在图中，指定s为刀或者任意楔asb的锋；且gowog，fnunf，emtme，dlsld为光线，弧owo，nun，mtm，lsl向刀弯曲；弯曲的大小按照它们离刀的距离。此外，由于光线如此的弯曲发生在刀之外的空气中，遇到刀的光线，在它碰到刀之前在空气中弯曲。且光线进入玻璃的情况一样。所以折射，不在入射点发生，而是逐步地由光线连续弯曲，一部分在碰到玻璃之前，一部分（如果我没有弄错的话）在玻璃中，在它们进入之后：正如所画的光线ckzc，biyb，ahxa，它们在r，q，p进入玻璃，且在k和z，i和y，h和x之间弯曲。所以，由于光线传播和物体前进之间的类似，依我之见在下面附加上用于光学的命题；同时对于光的本性（无论它们是否是物体）全然不争论，而仅确定物体的轨道，它们与光线的轨道非常相似。

命题xcvii 问题xlvii

假定在某一表面上入射的正弦比出射的正弦之比按照给定的比；物体的路径在邻近那个表面的弯折发生在一个极短的空间，可以认为是一个点：需确定一个曲面，由它从给定的一个位置连续发射的小物体全都汇聚到另一个给定的位置。

设a为一个位置，小物体由此发散；b为它们应会聚的位置；cde为曲线，它围绕轴ab旋转画出要求的曲面；d，e为那条曲线上的任意两点；且ef，eg垂直落在物体的路径ad，db上。设点d靠近点e；且直线df，由它ad被增加，比直线dg，由它db被减小，它们的最终比与入射的正弦比出射的正弦相同。所以直线ad的增量比直线db的减量之比被给定；且所以，如果在轴ab上取任意一点c，曲线cde应经过它，再按那个给定的比取ac的增量cm比bc的减量cn，又以a，b为中心，以间隔am，bn画两个圆相互截于d；那个点d接触所求的曲线cde，由任意与它接触的点，曲线被确定。此即所求 。

系理1 但是，在一种情形使点a 或者b 离开以至无穷，在另一种情形移至点c 的另一侧，可得到所有那些笛卡儿 在关于折射的光学和几何学中所展示的图形。由于笛卡儿 隐瞒了发现它们的方法，依我之见在本命题中揭示之。

系理2 如果一个物体沿按照任何定律所引的直线ad入射任意的表面cd，沿另一任意的直线dk出射，并假设从点c引曲线cp，cq，它们总与ad，dk垂直：直线pd和qd增量，且所以由那些增量生成的直线pd和qd本身，彼此如同入射的和出射的正弦；且反之亦然。

命题xcviii 问题xlviii

假定同样的情形，又围绕轴ab画出任意一个规则的或者不规则的吸引表面cd，从一个给定的位置a发出的物体应经过它：需求第二个吸引表面ef，由它所有那些物体汇聚到一个给定的位置b。

连结ab截第一个表面于c且截第二个表面于e，任意选取点d。并假设在第一个表面入射的正弦比从同一个表面出射的正弦，和从第二个表面出射的正弦比在同一个表面入射的正弦，如同给定的某个量m比另一个给定的量n：延长ab至g，使得bg比ce如同m－n比n；又延长ad至h，使得ah等于ag；再延长df至k，使得dk比dh如同n比m。连结kb，且以d为中心，dh为间隔画圆交kb的延长于l，引bf平行于dl：则点f接触［曲］线ef，它围绕轴ab旋转画出要求的面。此即所作 。

因为想象线cp，cq分别与线ad，df，且线er，es分别与线fb，fd处处垂直，且因此qs和ce总相等；又（由命题xcvii系理2）pd比qd如同m比n，且因此如同dl比dk或者fb比fk；再由分比如同dl－fb或者ph－pd－fb比fd或者fq－qd；又由合比，如同ph－fb比fq，亦即（由于ph与cg，qs与ce相等）ce+bg－fr比ce－fs。事实上（由于bg比ce和m－n比n成比例）ce+bg比ce也如同m比n；且因此由分比fr比fs如同m比n；且所以（由命题xcvii系理2）面ef逼迫沿直线df入射的物体，沿直线fr前往位置b。此即所证 。

解释

按同样的方法可继续到三个或者更多的表面。但对于光学的应用，球形最为适宜。如果望远镜的物镜由中间封闭着水的两块玻璃构成；则发生在最外面的玻璃表面的折射，可能由水的折射而很精确地加以校正，这些物镜优于椭圆形或者双曲线形透镜。不仅因为它们能更容易且更准确地制造，也因为它们能更准确地曲折位于透镜轴之外的光锥（penicillus radii）。然而，不同光线的不同折射能力是通过或者球形或者其他任意图形的完善的光学的阻碍。除非产生于这个根源的那些误差能被校正，用在校正其他误差的一切辛劳均为浪费。