命题i 定理i

一个物体，它所受的阻碍按照速度之比，由于阻碍失去的运动如同在运动中所走完的空间。

因为由于在每一相等的时间的小部分失去的运动如同速度，这就是，如同完成的路程的一个小部分：由合比，整个时间失去的运动如同整个路程。此即所证 。

系理 所以，如果一个物体，在完全隔绝重力的自由的空间中仅由其固有的力运动；既给定开始时的整个运动，又给定此后走完一个空间所剩下的运动：整个空间被给定，它能由物体在无限的时间画出。因为那个空间比已画出的空间，如同在开始时的整个运动比那个运动已失去的部分。

引理 i

与它们自己的差成比例的量构成连比。

设a比a-b如同b比b-c和c比c-d，等等，由换比（convertendo）a比b如同b比c以及如同c比d，等等。此即所证 。

命题ii 定理ii

如果一个物体所受的阻碍按照速度之比，且仅由其固有的力在类似的介质（medium simile）中运动，时间被取作相等：在每一段时间开始时的速度成一几何所级数，且在每一段时间画出的空间如同速度。

情形1 设时间被分成相等的小部分；且如果在每一小部分的开始，物体受到阻力的一次冲击（impulsus），它如同速度；在每一时间的小部分中速度的减量如同同一速度。所以速度与它们的差成比例，且所以（由第ii卷引理i）成连比。因此，如果由相等数目的小部分构成任意相等的时间，在那些时间开始时的速度，如同在一连续级数中的项，在其中通过跳跃，略去各处相等数目的中间项而被取得。但这些项的比由同等重复的中间项的等比构成，且因此这些复合的比彼此相同。所以速度，它们与这些项成比例，成一几何级数。现在减小那些相等的时间的小部分，且它们的数目增加以至无穷，使得阻力的冲击成为连续的；在相等的时间开始时的速度，总成连比，在这种情形亦成连比。此即所证 。

情形2 且由分比，速度的差，这就是，在每一段时间［速度］失去的部分，如同整个的速度；但是在每一段时间画出的空间如同速度失去的部分（由第ii卷命题i），且所以也如同整个的速度。此即所证 。

系理 因此，如果以直角渐近线ac，ch画出双曲线bg，且ab， dg垂直于渐近线ac，又在运动开始时，任意给定的直线ac既表示物体的速度又表示介质的阻力，但时间流逝后由不定的直线dc表示：时间能由面积abgd表示，且在那段时间画出的空间能由直线ad表示。因为，如果那个面积按照与时间相同的方式由点d的运动均匀地增加，直线dc以与速度相同的方式按照一几何比减小，且在相同的时间直线ac被画出的部分按照相同的比减小。

命题iii 问题i

一个物体，当它在类似的介质中直线上升或下降时，所受阻碍按照速度的比，且被均匀的重力推动，确定它的运动。

物体上升时，由任意给定的矩形bach表示重力，且在开始上升时，介质的阻力由直线ab另一侧的矩形bade表示。对成直角的渐近线ac，ch，过点b画双曲线截垂线de，de于g，g；则上升的物体在时间dggd画出空间egge，在时间dgba画出整个上升的空间egb；在时间abki画出下降的空间bfk，且在时间ikki画出下降的空间kffk；且物体的速度（与介质的阻力成比例）在这些时期分别是abed，abed，零，abfi，abfi；再者，最大的速度，它能由物体在下降中获得，为bach。

因为把矩形bach分解为无数矩形ak，kl，lm，mn，等等，它们如同同样数目的相等时间所成的速度增量；零，ak，al，am，an，等等，如同整个速度，且因此（由假设）如同每一段相等的时间开始时介质的阻力。使ac比ak或者abhc比abkk如同重力比第二段时间开始时的阻力，再从重力减去阻力，则留下的abhc，kkhc，llhc，mmhc，等等，如同绝对力，由它们在每一段时间开始时物体被推动，且因此（由运动定律ii）如同速度的增量，亦即，如同矩形ak，kl，lm，mn，等等，且所以（由第ii卷引理i）成一几何级数。所以，如果延长直线kk，ll，mm，nn，等等交双曲线于q，r，s，t，等等，则面积abqk，kqrl，lrsm，mstn，等等，相等，且因此既与总是相等的时间又与总是相等的重力类似。但是面积abqk（由第i卷引理vii系理3和引理viii）比面积bkq如同kq比 kq或者ac比12ak，这就是，如同重力比在第一段时间中间的介质中的阻力。由类似的论证，面积qklr，rlms，smnt等等，比面积qklr，rlms，smnt，等等，如同重力比在第二段时间中间的，第三段时间中间的，第四段时间中间的，等等的阻力。因为相等的面积bakq，qklr，rlms，smnt，等等与重力类似，面积bkq，qklr，rlms，smnt，等等与在每一段时间中间的阻力类似，这就是（由假设）与速度类似，因此与画出的空间类似。对类似的量求和，面积bkq，blr，bms，bnt，等等，与所画出的整个空间类似；且面积abqk， abrl，absm，abtn，等等，与时间类似。所以物体在下降期间，在任意的时间abrl，画出空间blr，且在时间lrtn，画出空间rlnt。此即所证 。对上升运动有类似的证明。此即所证 。

系理1 所以，最大的速度，物体在下落中能获得这一速度，比任意给定的时间它所获得的速度，如同给定的重力，由它那个物体持续被推动，比阻碍力，由它在那段时间的最后物体被施加。

系理2 然而，时间按照算术级数增长，那个最大的速度与上升时速度的和，及同一速度与下降时速度的差，按照几何级数减小。

系理3 但是空间的差，它们在相等的时间差被物体画出，按照相同的几何级数减小。

系理4 被物体所画出的空间是两个空间的差，其中一个空间如同从下落开始所用的时间，另一个空间如同速度，这些空间在下落开始时彼此相等。

命题iv 问题ii

假设重力在某种类似的介质中是均匀的，且垂直趋向水平面；确定在同一介质中抛射体的运动，它所受阻碍与其速度成比例。

设抛射体从任意位置d沿任意直线dp离去，且由长度dp表示运动开始时它的速度。由点p向水平线dc落下垂线pc，并截dc于a，使得da比ac如同来自向上运动开始时介质的阻力比重力；或者（同样）使得da和dp之下的矩形比ac和cp之下的矩形，如同运动开始时总的阻力比重力。以渐近线dc，cp画任意双曲线gtbs截垂线dg，ab于g和b；再补足平行四边形dgkc，它的边gk截ab于q。取直线n，按照它比qb如同dc比cp；且从直线dc上的任意点r竖立垂线rt，它交双曲线于t，且交直线eh，gk，dp于i，t和v；在rt上取vr等于（tgt）/n，或者同样，取rr等于（gtie）/n；则在时刻drtg抛射体前进到点r，画出曲线draf，点r总与它接触，又［抛射体］在垂线ab上到达最大的高度a，且此后总向渐近线pc靠近。又在任意点r，它的速度如同曲线的切线rl。此即所求 。

因为n比qb如同dc比cp或者dr比rv，且由此rv等于（dr×qb）/n，又rr（亦即rv-vr或者 ）等于dr×ab-rdgtn。现在时间由面积rdgt表示，且（由诸定律的系理ii）物体的运动被分解为二，一个上升，另一个横向（ad latus）。又由于阻力如同运动，它亦被分解成与运动的部分成比例且相反的两部分；且因此长度，它由横向运动画出，（由本卷命题ii）如同直线dr，高度（由本卷命题iii）如同面积dr×ab-rdgt，这就是，如同直线rr。但在运动开始时面积rdgt等于矩形dr×aq，且因此那条直线rr（或 ）在那时比dr如同ab-aq或者qb比n，亦即，如同cp比dc；因此如同在开始时在高度上的运动比在长度上的运动。所以，由于rr总如同高度，且dr总如同长度，又在开始时rr比dr如同高度比长度：由此rr比dr总如同高度比长度，且所以物体在［曲］线draf上运动，点r与它持续接触。此即所证 。

系理1 所以rr等于（dr×ab）/n-（rdgt）/n；且因此，若延长rt至x使得rx等于（dr×ab）/n；亦即，若补足平行四边形acpy，连结dy截cp于z，且延长rt直至它交dy于x；则xr等于（rdgt）/n，且因此与时间成比例。

系理2 因此，如果在一几何级数中取无数的cr，或者无数的zx，亦达到同样的目的；则同样数目的xr在一算术级数中。因此借助对数表，曲线draf容易被画出。

系理3 如果以顶点d，直径de向下延长，且通径比2dp如同运动开始时的总阻力比重力，构作抛物线：速度，物体应以它沿直线dp离开位置d，在阻力均匀的介质中画出曲线draf，与它应离开同一位置d，沿同一直线dp，在没有阻力的空间画出一条抛物线的速度是相同的。因为这条抛物线的通径，在运动刚开始时，是（dvquad. ）/（vr）；且vr等于（tgt）/n或（dr×tt）/（2n）。但如果引一条平行于dk的直线，它将与双曲线gts切于g，因此tt等于（ck×dr）/（dc），且n等于（qb×dc）/（cp）。且所以vr等于（drq ×ck×cp）/（2dcq ×qb），亦即（由于dr和dc，dv和dp成比例）（dvq ×ck×cp）/（2dpq ×qb），又得出通径（dvquad. ）/（vr）为（2dpq ×qb）/（ck×cp），亦即（由于qb和ck，da和ac成比例）（2dpq ×da）/（ac×cp），且因此比2dp，如同dp×da比cp×ac；这就是，如同阻力比重力。此即所证 。

系理4 因此，如果物体从任意位置d，沿任意位置给定的直线dp，以给定的速度被抛射；且介质的阻力在运动一开始即被给定，能发现曲线draf，它由同一物体画出。因由所给定的速度，抛物线的通径亦被给定，这是习知的。又取2dp比那条通径如同重力比阻力，dp被给定。其次，在a分割dc，使得cp×ac比dp×da按照重力比阻力的那个相同的比，点a被给定。且由此曲线draf被给定。

系理5 且反之，如果曲线draf被给定，则物体的速度和介质的阻力在每个位置r被给定。因为由给定的cp×ac比dp×da之比，运动开始时介质的阻力及抛物线的通径都被给定；且因此运动开始时的速度亦被给定。然后在任意位置r，由切线rl的长度，与它成比例的速度，以及与速度成比例的阻力被给定。

系理6 但是由于长度2dp比抛物线的通径如同重力比在d的阻力；且增加速度，阻力按照相同的比被增加，抛物线的通径按照那个比的二次方增加：显然长度2dp按照那个简单的比增加，且因此它总与速度成比例，由角cdp的改变，它既不增加，亦不减小，除非速度被改变。

系理7 因此，从现象近似地确定曲线draf的方法是明显的，并因此推知阻力和物体被抛射的速度。设两个相似且相等的物体以相同的速度从位置d以不同的角cdp，cdp被抛射，且已知它们落在水平面dc上的位置f，f。然后，假设取任意长度代表dp或dp，设想在d的阻力比重力按照任意的比，且那个比由任意的长度sm表示。此后，经过计算，从那个假设的长度dp，求得长度df，df，并从经计算发现的比（ff）/（df）减去经实验发现的同样的比，且差由垂线mn表示。在直线sm的一侧画正的差，并在另一侧画负的差，经过点n，n，n画一条规则的曲线 （33） nnn截直线smmm于x，则sx为阻力比重力的真实比，它就是所要求的。由这个比经计算求得长度df；则长度，它比假设的长度dp，如同由实验得知的长度比刚才发现的长度df，是真实长度dp。这一旦求得，就既有了物体所画出的曲线draf，又有了在每个位置物体的速度和阻力。

解释

然而，物体的阻力按照速度之比，这一假设作为数学上的更甚于它作为自然界的。在介质中，它们完全缺乏刚性（rigor），物体的阻力按照速度的二次比。因为由更迅速的物体的作用，按照更大的速度之比的更大的运动在更短的时间被传播给相同量的介质；且因此在相等的时间，由于更大量的介质被扰动，更大的运动按照［速度的］二次比被传播；且阻力（由运动的定律ii和定律iii）如同被传播的运动。所以，我们来看看，由这个阻力定律能发生何种运动。