命题v 定理iii

如果一个物体所受的阻碍按照速度的二次比，且仅以其固有的力在一种类似的介质中运动；若时间被取为从较小项到较大项前进的几何级数：我说，在每一段时间开始时物体的速度按照同一几何级数的反比；又，空间是相等的，它们在每一段时间被画出。

因为由于介质的阻力与速度的平方成比例，且速度的减量与阻力成比例；如果时间被分为无数相等的小部分，每一段时间开始时速度的平方与同样速度的差成比例。令那些时间的小部分为ak，kl，lm，等等，在直线cd上取得，且竖立垂线ab，kk，ll，mm，等等，交以中心c，直角渐近线cd，ch画出的双曲线bklmg于b，k，l，m，等等，又ab比kk如同ck比ca，由分比，ab-kk比kk如同ak比ca，由更比，ab-kk比ak如同kk比ca，且因此如同ab×kk比ab×ca。因此，由于ak和ab×ca被给定，则ab-kk如同ab×kk；且最终，当ab和kk重合，如同abq。再由类似的论证，kk-ll，ll-mm，等等，如同kkquad. ，llquad. ，等等。所以直线ab，kk，ll，mm的平方如同它们的差；于是，由于速度的平方也如同它们的差，两者的级数是类似的。由已证明的得出，这些线所画出的面积所成的级数也与速度所画出的空间所成的级数相似。所以，如果第一段时间ak开始时的速度由直线ab表示，第二段时间kl开始时的速度由直线kk表示，且第一段时间画出的长度由面积akkb表示；此后所有速度由此后的直线ll，mm，等等表示，且所画出的长度由面积kl，lm，等等表示。又由合比，如果整个时间由它的部分的和am表示，画出的整个长度就由它的部分的和ammb表示。现在想象时间am被如此分成部分ak，kl，lm等等，使得ca，ck，cl，cm，等等在一几何级数中；那些部分在相同的级数中，且速度ab，kk，ll，mm，等等，按照同一级数的反比，又画出的空间ak，kl，lm，等等，相等。此即所证 。

系理1 所以，显然，如果时间用渐近线的任意部分ad表示，且在时间一开始时的速度用纵标线ab表示；在时间结束时的速度用纵标线dg表示，则被画出的整个空间用双曲线之下的面积abgd表示；一个空间，它能由另一物体在相同的时间ad，以初始速度ab，在没有阻力介质中画出，用矩形ab×ad表示。

系理2 因此，在阻力介质中所画出的空间被给定，取那个空间比以均匀的速度ab能在无阻力介质中同时画出的空间，如同双曲线的面积abgd比矩形ab×ad。

系理3 介质的阻力亦被给定，在运动刚开始时使它等于一均匀的向心力，它能在一落体通过无阻力介质时，经时间ac，生成速度ab。因为如果引bt，它切双曲线于b，且交渐近线于t；直线at等于ac，并表示时间，在此期间初始阻力均匀地持续能抵消掉整个速度ab。

系理4 且因此这个阻力比重力，或者任意其他给定的向心力之比亦被给定。

系理5 且反之亦然，如果阻力比任意给定的向心力之比被给定；时间ac被给定，在此期间等于阻力的一个向心力能产生任意速度ab：且因此点b被给定，经过它，以ch，cd为渐近线的双曲线被画出；以及空间abgd，物体以那个速度ab开始它的运动，在阻力类似的介质中，经任意时间ad能画出它。

命题vi 定理iv

同质且相等的诸球形物体，所受到的阻碍按照速度的二次比，且仅由其固有的力推进，在与初始速度成反比的时间，总画出相等的空间，且速度失去的部分与整个速度成比例。

依直角渐近线cd，ch画任意双曲线bbee截垂线ab，ab，de，de于b，b，e，e，初始速度由垂线ab，de，且时间由直线aa，dd表示。所以，使aa比dd如同（由假设）de比ab，且因此如同（由双曲线的性质）ca比cd；又由合比，如同ca 比cd。所以面积abba，deed，这就是，所画出的空间，彼此相等，且初始速度ab，de与末速度ab，de成比例，所以由分比亦与它们失去的部分ab-ab，de-de成比例。此即所证 。

命题vii 定理v

如果诸球形物体所受的阻碍按照速度的二次比，在与初始运动成正比且与初始阻力成反比的时间，运动失去的部分与整个运动成比例，且所画出的空间与那些时间及初始速度的联合成比例。

因为运动失去的部分如同阻力和时间的联合。所以那些部分与整体成比例，阻力与时间的联合应如同运动。因此时间与运动成正比且与阻力成反比。由此，如果时间的小部分按照此比取得，物体总失去与整体成比例的运动的小部分。又由于速度之比被给定，它们所画出的空间总如同初始速度和时间的联合。此即所证 。

系理1 所以，如果等速物体所受的阻碍按照直径的二次比：同质球以任意速度无论以何种方式运动，所画出的空间与它们的直径成比例，运动失去的部分与整体成比例。因为每个球的运动如同它的速度和质量的联合，亦即，如同速度和直径的立方的联合；阻力（由假设）如同直径的平方和速度的平方的联合；且时间（由本命题）按照前一个比的正比和后一个比的反比，亦即，与直径成正比且与速度成反比；且因此，空间，它与时间和速度成比例，如同直径。

系理2 如果等速物体所受的阻碍按照直径的二分之三次比：同质球以任意速度无论以何种方式运动，所画出的空间按照直径的二分之三次比，运动失去的部分与整体成比例。

系理3 且一般地，如果等速物体所受的阻碍按照直径的任意次比：空间，同质球以任意速度无论以何种方式在其中运动，运动失去的部分与整体成比例，如同直径的立方除以那个幂。令［球的］直径为d和e，且如果阻力，当假定速度相等时，如同dn 和en 。空间，球以任意速度无论以何种方式在其中运动，运动失去的部分与整体成比例，如同d3-n 和e3-n 。且所以同质球画出的空间与d3-n 和e3-n 成比例，并按照与在开始时彼此之比相同的比保持速度。

系理4 但是，如果球不是同质的，由较密的球画出的空间应按照密度之比被增加。因为运动，对于相同的速度，其大小按照密度之比，且时间（由本命题）按照运动的正比被增大，而所画出的空间按照时间之比。

系理5 又，如果球在不同的介质中运动；在介质中的空间，其他情况相同，对阻力大的［介质］，按照较大的阻力之比被减小。因时间（由本命题）按照阻力增加的比被减小，且空间按照时间之比。

引理 ii

一个生成量（gentium）的瞬（momentum）等于每个生成边的瞬乘以那些边的幂指数且连乘以它们的系数。

我称每一个量为生成量，不用加法或减法，它由任意的边或者项在算术中由乘法、除法或求根生成；在几何中由求容积和边，或者比例的外项和内项生成。此类量是乘积、商、根、矩形、平方、立方、平方根、立方根，以及诸如此类。这里我考虑的这些量，是不确定的和变化的，且好像被一连续的运动或者流（fluxus）增加或减小；且我用瞬这一名称意指它们的瞬时增量或减量：使得增量为被加上的或正的瞬，且减量为被减去的或负的瞬。但是要防备把瞬理解为有限的小部分。有限的小部分不是瞬，而正是由瞬生成的量。它们应被理解为有有限大小的刚生成的成分。因为这个引理的目的不在于瞬的大小，而在于它们生成时的初始比。如果瞬被增量或者减量的速度（也可能被称为量的运动，变化和流数（fluxiones））或者与这些速度成比例的任何有限量代替，情形是一样的。但每个生成边的系数是一个量，它来自生成量除以这个边。

情形2 假设ab总等于g，则容量abc或者gc的瞬（由情形1）为gc+cg，亦即（如果g和g被ab和ab+ba代替）abc+bac+cab。此理适于任意数目的边之下的容量。此即所证 。

情形6 所以任意的生成量am bn 的瞬是am 的瞬乘以bn ，同时bn 的瞬乘以am ，亦即maam-1 bn +nbbn-1 am ；指数m和n或者为整数，或者为分数，或者为正，或者为负。且此理适于多个幂之下的容量。此即所证 。

系理1 因此成连比的量，如果一项被给定，其余项的瞬如同那些项乘以它们和给定项间隔的数目。令a，b，c，d，e，f成连比；且如果项c被给定，其余项的瞬彼此如同-2a，-b，d，2e，3f。

系理2 且如果在四个成比例的项中两个内项被给定，外项的瞬如同相同的外项。同样可以理解任意给定的矩形的边。

系理3 且如果两个平方的和或差被给定，边的瞬与边成反比。

解释

在1672年12月10日致我们的同国人j.科林斯先生的一封信中，当描述一种切线方法时，我猜测它与在那时向未公开的斯吕塞的方法相同；我附加上：这是一个一般方法的特例，或更好些，是一个系理，不用任何麻烦的计算，它本身不仅扩展到画任意曲线的切线，无论它是几何的或是机械的或以任何方式涉及直线或曲线，而且扩展到解决其他关于曲线的曲率，面积，长度，重力的中心等难解的问题，且不限于（像许德的关于最大和最小的方法那样）那些没有无理量的方程。我把这个方法和其他的相结合，通过把方程化为无穷级数求解。信就至此。且这些最后的话关系到在1671年我关于此问题写的论文。这个普遍方法的原理已包含在上一引理中。

命题viii 定理vi

如果一个物体在均匀的介质中，由于重力均匀的作用，直线上升或者下降，且画出的整个空间被分成相等的部分，在每一部分开始时（当物体上升时，加上介质的阻力；或者在物体下降时，减去它）的绝对力被导出；我说，那些绝对力成一几何级数。

设重力由给定的直线ac表示；阻力由不定的直线ak，在物体的下降中绝对力由差kc，物体的速度由直线ap表示，它是ak和ac之间的比例中项，且因此按照阻力的二分之一次比；在给定的时间的小部分所成的阻力的增量由短线kl，同时的速度的增量由短线pq表示；又以c为中心，成直角的ca，ch为渐近线画任意双曲线bns，交竖立的垂线ab，kn，lo于b，n，o。因为ak如同apq ，它的瞬kl如同那个apq 的瞬2apq，亦即，如同ap乘以kc；然而速度的增量pq（由运动的第ii定律）与生成力kc成比例。复合kl的比和kn的比，则矩形kl×kn如同ap×kc×kn；这就是，由于矩形kc×kn被给定，如同ap。但双曲线的面积knol比矩形kl×kn的最终比，当点k和l会合时，为等量之比。所以那个消失的双曲线的面积如同ap。因此，双曲线abol的总面积由总与速度ap成比例的小部分knol构成，且所以与这个速度画出的空间成比例。现在那个面积被分为相等的部分abmi，imnk，knol，等等，则绝对力ac，ic，kc，lc，等等成一几何级数。此即所证 。由类似的论证，在物体上升时，向点a的另一侧取相等的面积abmi，imnk，knol，等等，显然，绝对力ac，ic，kc，lc，等等，为一连比。且因此，如果上升和下降的所有空间被取成相等，所有的绝对力lc，kc，ic，ac，ic，kc，lc，等等，为一连比。此即所证 。

系理1 因此，如果所画出的空间由双曲线的面积abnk表示；重力，物体的速度和介质的阻力能分别由直线ac，ap和ak表示；且反之亦然。

系理2 且最大的速度，物体在无限的下降中曾经获得过它，由直线ac表示。

系理3 所以如果对某一给定的速度，介质的阻力已知，最大的速度由取它比那个给定的速度，按照重力比那个已知的介质的阻力所具有的比的二分之一次比而被发现。

命题ix 定理vii

在刚才的证明的假定下，我说，如果一个圆扇形的和一个双曲线扇形的角的正切被取得与速度成比例，存在适当大小的半径：上升到最高位置的总时间如同圆扇形，且从最高位置下降的总时间如同双曲线扇形。

直线ac，它表示重力，引ad垂直且等于它。以d为中心，ad为半直径画四分之一圆ate；又画直角双曲线avz，它有轴ax，主顶点a和渐近线dc。引dp，dp，则圆扇形atd如同上升到最高位置的总时间；且双曲线扇形atd如同自最高位置下降的总时间：只要扇形的切线ap，ap如同速度。

情形1 引直线dvq割下扇形的adt和三角形adp的瞬，或者极小的小部分tdv和qdp，它们被同时画出。因为那些小部分，由于公共的角d，按照边的二次比，小部分tdv如同（qdp×tdquad. ）/（pdquad. ），亦即，由于td被给定，如同（qdp）/（pdquad. ）。但pdquad. 等于adquad. +apquad. ，亦即，adquad. +ad×ak，或者ad×ck；又qdp等于 ad×pq。所以扇形的小部分tdv如同（pq）/（ck），亦即，与速度的极小的减量pq成正比，且与那个使速度减小的力ck成反比；且因此如同对应于速度的减量的时间的小部分。又由合比，在扇形adt中所有的小部分tdv的和，如同对应所减小的速度ap每次失去的小部分pq的时间的小部分的和，直到那个速度减小为零并消失；这就是，整个扇形adt如同从最高位置下降的总时间。此即所证 。

情形2 引dqv既割下扇形dav的，又割下三角形daq的极小的小部分tdv和pdq；则这些小部分彼此之比如同dtq 比dpq ，亦即（如果tx和ap平行）如同dxq 比daq 或者txq 比apq ，且由分比，如同dxq -txq 比daq -apq 。但由双曲线的性质dxq -txq 等于adq ，且由双曲线，apq 等于ad×ak。所以小部分彼此之比如同adq 比adq －ad×ak；亦即，如同ad比ad-ak或者ac比ck：且因此扇形的小部分tdv等于（pdq×ac）/（ck）；由是，由于ac和ad被给定，如同（pq）/（ck），亦即，与速度的减量成正比，且与生成减量的力成反比；且因此，如同对应于减量的时间的小部分。再由合比，时间的小部分的和，在此期间，速度ap的所有的小部分pq被生成，如同扇形atd的小部分的和，亦即，总的时间如同整个扇形。此即所证 。

系理1 因此，如果ab等于ac的四分之一，空间，它由下落物体在任意时间画出，比一个空间，它能由物体以最大的速度ac，在相同的时间均匀地前进所画出，如同面积abnk，它表示下落所画出的空间，比面积atd，它表示时间。因为，由于ac比ap如同ap比ak，则（由本卷引理ii系理1）lk比pq如同2ak比ap，这就是，如同2ap比ac，且因此lk比 pq如同ap比 ac或者ab，又kn比ac或者ad如同ab比ck；由此由错比，lkno比dpq如同ap比ck。但是，dpq比dtv如同ck比ac。所以，再由错比，lkno比dtv如同ap比ac；这就是，如同下降物体的速度比物体在下降中能获得的最大的速度。所以，由于面积abnk和atd的瞬lkno和dtv如同速度，同时生成的那些面积的所有部分如同所画出的空间，且因此从开始生成的总面积abnk和atd如同从开始下降画出的整个空间。此即所证 。

系理2 对上升时所画出的空间有同样的结论。即是，那整个空间比一个空间，它在相同的时间以速度ac画出，如同面积abnk比扇形adt。

系理3 物体在下落时经时间atd的速度比一个速度，它在相同的时间在无阻力的空间所获得，如同三角形apt比双曲线扇形atd。因为在无阻力介质中速度如同时间atd，且在阻力介质中如同ap，亦即，如同三角形apd。又在开始下降时那些速度彼此相等，一如那些面积atd，apd。

系理4 由同样的论证，上升时的速度比物体在相同的时间在无阻力的空间中能完全失去其整个上升的运动的速度，如同三角形apd比圆扇形atd；或如同直线ap比弧at。

系理5 所以时间，在此期间物体在阻力介质中下落获得速度ap，比一段时间，在此期间［物体］在无阻力空间中下落能获得最大的速度ac，如同扇形adt比三角形adc。且时间，在此期间速度ap能在阻力介质上升中失去，比一段时间，在此期间相同的速度能在无阻力的空间上升中失去，如同弧at比它的切线ap。

系理6 因此，由给定的时间，上升或下降所画出的空间被给定。因为，物体在无限的下降中最大的速度被给定（由第ii卷定理vi系理2和系理3），且因此时间，在此期间物体在无阻力空间下落能获得那个速度，被给定。又按照给定的时间比刚发现的时间之比取扇形adt或者adt比三角形adc；则速度ap或者ap，以及面积abnk或者abnk被给定，它比扇形adt或者adt如同要求的空间比一个空间，它能在给定的时间由刚才发现的那个最大的速度均匀地画出。

系理7 且向后返回，由已给的上升或下降空间abnk或者abnk，时间adt或者adt被给定。

命题x 问题iii

均匀的重力直接地趋向水平面，并设阻力如同介质的密度和速度的平方的联合：既要求在各个位置的介质的密度，它使得物体能在任意给定的曲线上运动；又要求在各个位置上物体的速度及介质的阻力。

解释