命题xi 定理viii
如果一个物体所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比，且只由其固有的力在类似的介质中运动；而且时间被取作一算术级数，与速度成反比的量增加一给定的量成一几何级数。
以中心c，直角渐近线cadd和ch画双曲线bee，且ab，de，de平行于渐近线ch。在渐近线cd上点a，g被给定。且如果时间用均匀地增加的双曲线的面积abed表示；我说，速度能用长度df表示，它的倒数gd与给定的cg一起构成按几何级数增长的长度cd。
因为设小面积deed是给定的极小的时间增量，则dd与de成反比且因此与cd成正比。所以1/（gd）的减量，它（由本卷引理ii）是（dd）/（gdq ），如同（cd）/（gdq ）或者（cg+gd）/（gdq ），亦即，如同1/（gd）+（cg）/（gdq ）。所以，当时间abed由给定的小部分eded相加均匀地增长，1/（gd）按照与速度相同的比减小。因为速度的减量如同阻力，这就是（由假设）如同两个量的和，其中的一个如同速度，另一个如同速度的平方；又1/（gd）的减量如同量1/（gd）及量（cg）/（gdq ）的和，其中前者是1/（gd）自己，且后者（cg）/（gdq ）如同1/（gd）q ：因此1/（gd），由于减量的相似（analogus），如同速度。且如果量gd，它与1/（gd）成反比，增加给定的量cg；它们的和cd，在时间abed均匀地增加时，按几何级数增大。此即所证 。
系理1 所以，如果点a和g给定，时间由双曲线的面积abed表示，则速度能用gd的倒数1/（gd）表示。
系理2 且取ga比gd如同在开始时速度的倒数比在任意时间abed结束时速度的倒数，点g将被发现。当它被发现，由其他任意给定的时间能发现速度。
命题xii 定理ix
对同样的假设，我说，如果［物体］所画出的空间被取作一算术级数，速度增加一给定的量成为一几何级数。
设在渐近线cd上点r被给定，且竖立垂线rs，它交双曲线于s，画出的空间用双曲线的面积rsed表示；又速度如同长度gd，它与给定的cg一起构成的长度按照几何级数减小，在此期间空间rsed按照算术级数增大。
因为，由于空间的减量edde被给定，短线dd，它是gd自身的减量，与ed成反比，且因此与cd成正比，这就是，如同同一个gd和给定的长度cg的和。但是速度的减量，在与它成反比的时间，且在此期间给定的空间的小部分ddee被画出，如同阻力和时间的联合，亦即，与两个量的和成正比，其中一个如同速度，另一个如同速度的平方，且与速度成反比；且因此与两个量的和成正比，其中一个被给定，另一个如同速度。所以速度的减量以及直线gd的减量，如同一个给定量和一个减小的量的联合；且因为减量相似，减小的量总相似；即是速度和［直］线gd相似。此即所证 。
系理1 如果速度由长度gd表示，物体画出的空间如同双曲线的面积desr。
系理2 且如果任意假设点r，通过取gr比gd，如同开始时的速度比画出任意的空间rsed后的速度，发现点g。发现点g后，由给定的速度空间被给定，且反之亦然。
系理3 因此，由于（命题xi）由给定的时间速度被给定，又由本命题由给定的速度空间被给定；从给定的时间，空间将被给定。且反之亦然。
命题xiii 定理x
假设一个物体由向下的均匀的重力吸引而直线上升或下降；并且它所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比：我说，如果过共轭直径的端点引一个圆的和一条双曲线的直径的平行直线，又速度如同自一个给定的点所引的那些平行线的截段；则时间如同扇形的面积，它被自中心向截段的端点所引的直线割下；且反之亦然。
情形1 首先我们假设物体上升，且以中心d和任意的半直径db画四分之一圆betf，又过半直径db的端点作无穷的［直线］bap平行于半直径df。在其上点a被给定，且截段ap被取得与速度成比例。又由于阻力的一部分如同速度且另一部分如同速度的平方；总的阻力如同apquad. +2bap。连结da，dp截圆于e和t，且重力由daquad. 表示，这样重力比阻力如同daq 比apq +2bap：则上升的总时间如同圆扇形edt。
因为引dvq，割下速度ap的瞬pq，和扇形det的瞬dtv，它对应于时间的一个给定的瞬；又速度的那个减量pq如同重力daq 以及阻力apq +2bap的和，亦即（由《几何原本 》卷2命题12）如同dpquad. 。所以面积dpq，它与pq成比例，如同dpquad. ，且面积dtv，它比面积dpq如同dtq 比dpq ，如同给定的dtq 。所以通过减去给定的小部分dtv，面积随着将来的时间的瞬均匀地减小，且所以与上升的整个时间成比例。此即所证 。
情形2 如果速度在物体上升中用长度ap表示，如同上面，且阻力被假设为如同apq +2bap，且如果重力小于能由daq 表示的，取bd，它的长度使得abq -bdq 与重力成比例，又df垂直且等于db，且过顶点f画双曲线ftve，它的共轭半直径为db和df，且它截da于e，又截dp，dq于t和v；则上升的总时间如同双曲线扇形tde。
因为在给定的时间的小部分产生的速度的减量pq，如同阻力apq +2bap以及重力abq -bdq 的和，亦即，如同bpq -bdq 。但是面积dtv比面积dpq如同dtq 比dpq ；且因此，如果向df落下垂线gt，如同gtq 或者gdq -dfq 比bdq ，且如同gdq 比bpq ，又由分比，如同dfq 比bpq -bdq 。所以，由于面积dpq如同pq，亦即，如同bpq -bdq ；面积dtv如同给定的dfq 。所以在每一相等的时间的小部分，由减去相同数目的给定的小部分dtv，面积edt均匀地减小，且所以与时间成比例。此即所证 。
情形3 设ap为物体在下落时的速度，且apq +2bap为阻力，又bdq -abq 为重力，角dba为一个直角。且如果以中心d，主顶点b，画直角双曲线betv截延长的da，dp和dq于e，t和v；则这个双曲线扇形det如同下落的整个时间。
由于速度的增量pq，且与它成比例面积的dpq，如同重力对阻力的超出，亦即，如同bdq -abq -2bap-apq 或者bdq -bpq 。又面积dtv比面积dpq如同dtq 比dpq ，且因此如同gtq 或者gdq -bdq 比bpq ，又如同gdq 比bdq ，再由分比，如同bdq 比bdq -bpq 。所以，由于面积dpq如同bdq -bpq ，面积dtv将如同给定的bdq 。所以在每一相等的时间的小部分，由加上数目相同的给定的小部分dtv，面积det均匀地增加，且所以与下落的时间成比例。此即所证 。
系理 如果以中心d和半直径da，过顶点a画相似于弧et的弧at，且类似地对着角adt：速度ap比一个速度，物体经时间edt在无阻力的空间能在上升中失去它或者在下落中获得它，如同三角形dap的面积比扇形dat的面积；且因此由给定的时间而被给定。因为速度，在无阻力介质中与时间，且因此与这个扇形成比例；在阻力介质中［速度］如同三角形；且在两种介质中，当速度极小，它接近等量之比，正如扇形和三角形的表现。
解释
在物体上升时，此种情形亦被证明：当重力小于能由daq 或者abq +bdq 所表示的，以及大于能由abq -bdq 所表示的，因而必须用abq 表示。但是我急于转向其他问题。
命题xiv 定理xi
对同样的假设，我说，上升或者下降所画出的空间，如同表示时间的面积与另一以算术级数增加或者减小的面积的差；如果由阻力和重力合成的力被取作几何级数。
解释
球形物体在流体中的阻力部分来源于黏性，部分来源于摩擦，且部分来源于介质的密度。且阻力的那个部分，它来源于流体的密度，我们说它按照速度的二次比；另一部分，它来源于流体的黏性，是均匀的，或者如同时间的瞬；且因此现在可以进而论及物体的运动，它所受阻碍部分地为均匀的力或者按照时间的瞬的比，且部分地按照速度的二次比。在前面的命题viii和ix，以及它们的系理中，对打开这一主题的探究之路已很充分。因在那些命题中，对上升物体的均匀阻力，它来源于它的重力，能用来源于介质的黏性的均匀阻力代替，当物体仅由其自身固有的力（vis insita）运动时；在物体直线上升时，可能重力要加上这个均匀阻力；在物体直线下落时，减去它。而且可以进而论及物体的运动，其所受的阻碍部分是均匀的力，部分按照速度之比，且部分按照速度的二次比。且我已在前面的命题xiii和xiv中开辟了道路，其中来源于介质的黏性的均匀阻力能代替重力，或者如上面那样与它复合。但我急于其它问题。
