引理 iii

设pqr为与所有半径sp，sq，sr等等以等角相截的螺线。引直线pt，它切同一螺线于任意点p，且截半径sq于t；并向螺线竖立垂线po，qo，它们交于o，连结so。我说，如果点p和q彼此靠近并重合，角pso成为直角，又矩形tq×2ps比pq^ tquad.的最终比为等量之比。

的确从直角opq，oqr减去相等的角spq，sqr，相等的角ops，oqs被保持。所以，经过点o，s，p的圆也经过点q。当点p和q会合，则这个圆在pq会合的位置与螺线相切，这样圆垂直截直线op。所以op成为这个圆的直径，且在半圆上的角osp为直角。此即所证 。

向op上落下垂线qd，se，则直线的最终比是这样：tq比pd如同ts或者ps比pe，或者2po比2ps；同样pd比pq如同pq比2po；再经过并比，tq比pq如同pq比2ps。由此pqq 变成等于tq×2ps。此即所证 。

命题xv 定理xii

如果在每一位置的介质的密度与位置离一个不动的中心的距离成反比，且设向心力按照密度的二次比：我说，物体能在一条螺线上运行，它与从那个中心所引的所有半径以给定的角相截。

系理8 由此，可以很接近地推知物体在介质中的运动，它的密度或者均匀，或者服从任意其他设定的定律。以中心c和成连比的间隔sa，sb，sc等等，画任意数目的圆，并设在上面所说的介质中，在这些圆中的任意两个的圆周之间［物体的］环绕时间比在目前介质中的环绕时间之比非常接近地如同在目前介质中这些圆之间的平均密度比上面所说的介质中同样的圆之间的平均密度；并设上面所说的介质中的螺线截半径as的角的正割比目前介质中的新螺线截同样半径的角的正割按照相同的比：同样的两个圆之间的环绕数也非常接近这些角的正切。如果对每两个圆之间都这样做，运动将连续地通过所有的圆。由此，我们不难想象物体在任何规则的介质中的环绕方式和时间。

系理9 且对在接近卵形的螺线上进行的任意的偏心的运动；然而想象那些螺线在彼此间隔相同的每次环绕，其接近中心的程度如同上面所描述过的螺线，我们能理解在此类螺线上物体的运动以何种方式进行。

命题xvi 定理xiii

如果在每一个位置的介质的密度与位置离一个不动的中心的距离成反比，且若向心力与同一距离的任意次幂成反比：我说，物体能在一条螺线运行，它与从那个中心所引的所有半径以给定的角相截。

系理1 阻力比向心力如同1-12n×os比op。

系理2 如果向心力与spcub. 成反比，则1-12n=0；且因此阻力和介质的密度为零，正如第一卷中的命题九。

系理3 如果向心力与半径sp的某次幂成反比，它的指数大于3，则正阻力将变为负阻力。

解释

但是这个命题及上面的命题；它们针对介质的不相等的密度，应被理解为关于物体的运动，它们是如此之小，以致介质在物体的一侧大于其另一侧的密度不必考虑。我又假定阻力，在其他情形相同时，与密度成比例。因此，在介质中，它的阻力不与密度成比例时，密度应增加或者减小到这种程度，使或者阻力的超出被除去，或者缺失被补充。

命题xvii 问题iv

需求向心力和介质的阻力，由它们一个物体能在给定的螺线上，以给定的速度的定律运行。

设那条螺线为pqr。从速度，以它物体跑过极短的弧pq，时间被给定，又从高度tq，它如同向心力和时间的平方，力被给定。然后从在相等的时间的小部分完成的面积psq和qsr的差rsr，物体的迟滞被给定，再从迟滞发现阻力和介质的密度。

命题xviii 问题v

给定向心力的定律，需求在每个位置的介质的密度，由它一个物体画出给定的螺线。

从向心力发现［物体］在每个位置的速度，然后从速度的迟滞寻求介质的密度；如同上一命题。

但是我已经在本卷的命题十和引理二中揭示了处理这些问题的方法，并且我不愿读者再停留在此类复杂的探究中。现在我想加入关于物体向前运动的力，以及关于介质的密度和阻力的一些事项，迄今解释的运动以及与这些有关的运动在其中进行。