流体是任一物体，它的部分退离所受的任意力，且由于退离彼此之间易于运动。

命题 xix 定理xiv

同质且不运动的流体，它被封闭在任意不运动的容器中且在各个方向上被压缩，它的所有部分（摒弃考虑浓缩，重力以及所有的向心力）在各个方向受到相等的压迫，且没有任何起源于那个压力的运动而是停留在它们自己的位置上。

情形1 设流体被封闭在球形容器abc中且在各个方向上受到均匀的压缩：我说，没有流体的部分由于那个压力（pressio）而运动。因为，如果某个部分d运动，所有在各个方向上位于离中心相同距离的所有此类部分必须同时做类似的运动；事情如此是因为它们的压力全部相似且相等，且每一运动假定被排除，除非来源于那个压力的运动。但流体的部分不能都靠近中心，除非流体在中心被浓缩，这与假设矛盾。它们不能退离它，除非流体在边界被浓缩，这亦与假设矛盾。它们不能保持离中心的距离在一个方向上运动，因为由同样的理由它们沿相反方向运动；但同一部分不可能同时在两个方向上运动，所以没有流体的部分离开自己的位置运动。此即所证 。

情形2 现在我说，这一流体的所有的球形部分在各个方向所受的压迫相等。因为设ef为流体的一个球形部分，且如果它在各个方向上所受的压迫不相等，较小的压力被增大直至在各个方向上的压迫相等；且它的部分，由情形1，将停留在自己的位置。但在压力增加之前，同样由情形1，它们停留在自己的位置，又由流体的定义，增加的新的压力使它们离开自己的位置运动。这两者矛盾。所以，说球ef在各个方向受的压迫不相等是虚假的。此即所证 。

情形3 此外，我说不同球的部分的压力相等。因为由运动的定律iii，接触的球部分在接触点相等地相互挤压。但是，由情形2，它们被相同的力在各个方向压迫。所以任意两个不相接触球的部分受同样力的压迫，因为位于两者之间的球的部分能与两者相切。此即所证 。

情形4 现在，我说，流体的所有部分在各个方向受到同等的压迫。因为任意两部分能被球形部分在任意点相切，且由情形3，在那里它们相等地压迫那些球形部分，且由运动的第三定律，反过来它们受到相等的压迫。此即所证 。

情形5 所以，由于流体中任意的部分ghi在流体中被其余流体包围如同在一容器中，且在各个方向受到相等的压迫，又它的部分彼此相等地压迫，且相互静止；显然任意的流体ghi的所有部分在各个方向受到相等的压迫，它们彼此相等地压迫，且相互静止。此即所证 。

情形6 所以，如果那一流体被封闭的容器不是坚硬的，且各个方向所受的压迫不相等；由流体的定义它将屈服于较强的压力。

情形7 且所以在一坚硬的容器中的流体，不会受一侧的压力较另一侧强大，而将退让它，且这发生在一瞬间，因为坚硬容器的壁不追随退让的液体。退让将压迫相对的一侧，且因此压力趋向各个方向相等。且因为，当流体努力从较大压力的部分退离，它被容器相对一侧的阻力阻止；压力向各个方向归于相等，在一瞬间，没有局部的运动；且由此由情形5，流体的部分彼此相等地压迫，且相互静止。此即所证 。

系理 因此流体的部分彼此间的运动，不能由在那一流体的外表面上的任意地方施加压力而改变，除非或者表面的形状在某处被改变，或者流体的所有部分由于彼此压迫得更强烈或更缓和，它们之间的滑动更困难或者更容易。

命题xx 定理xv

如果球形流体的每一部分，在离中心等距处是均质的，压在同心的球形底部，重力趋向于全体的中心；底部承受一个圆柱的重量，它的底等于底部的表面，且高度与压在上面的流体的高度相同。

设dhm为底部的表面，且aei为流体的外表面。流体被无数球面bfk，cgl分成厚度相等的球壳（orbis）；并想象重力只作用于每个球壳的上表面，且在所有表面的相等部分作用相等，所以最高的球面ae受到自身固有的单纯重力的压迫，且由它最高的球面的所有部分受到压迫，又第二个表面bfk（由命题xix）按其大小（mensura）受到相等的压迫。此外，第二个表面bfk受到自身固有的重力的压迫，它加到前一个力上，使压力加倍。第三个面cgl受到这个压力的作用，按照其大小，并加上自身固有的重力，亦即，受到三倍的压力。且类似地，第四个表面受到四倍压力的压迫，第五个表面受到五倍压力的压迫，且如此继续。所以压迫一个表面的压力，并不如同压在其上的流体的立体的量，而如同直到流体最高处的球壳数；且等于最低的球壳的重力乘以球壳的数目，这就是，等于一个立体的重力，它比指定的圆柱的最终比（只要球壳的数目增加，且厚度减小以至无穷，使得重力的作用自最低的表面到最高的表面变为连续的）成为等量之比。所以最低的表面承受指定圆柱的重量。此即所证 。由类似的论证，当重力按照离中心的距离的任意次幂之比减小时，这个命题是显然的，且当流体向上稀薄，向下稠密时也一样。此即所证 。

系理1 所以底部不受整个压在上面的流体的重量的压迫，而只承受本命题所描述的部分重量；其余的重量被流体的穹隆形（figura fornicata）所承担。

系理2 而且，在离中心等距处压力的量总相等，无论受压的表面与地平线平行，或者垂直，或者倾斜；无论自受压的表面连续向上的流体，沿一直线垂直上升，或者通过弯曲的腔和槽倾斜地爬动，且无论通道是规则的或极不规则的，宽阔的或极狭窄的。通过应用本定理的证明于流体的各种情形，推知这些环境一点也不改变压力。

系理3 由同样的证明亦推知（由命题xix），重流体的部分从压在上面重量的压力没有获得相互间的运动；只要排除起源于浓缩的运动。

系理4 且所以，如果另一具有相同比重的物体，它不能被浓缩，浸没在此流体中，它不从来自压在上面的重量的压力获得运动；既不下沉，也不上浮，也不受迫改变自己的形状。如果它是球形的就保持球形，尽管有压力，如果它是正方形就保持正方形：而且无论它是柔软的，还是非常容易流动的；无论它自由地漂浮在流体中，或者贴着底部。因为任意流体的内部与浸没物体的情形一样，且对所有大小，形状和比重相同的浸没物体情形一样。如果浸没物体的重量被保持，它液化并被赋予流体的形态；这个物体，如果先前上浮或下沉，或者由于压力被赋予新的形状，则现在它也上浮，或下沉，或者被赋予新的形状，它如此是由于其重力和它的运动的其他原因保持不变。但（由命题xix的情形5）现在它将静止并保持其形状。所以也在原先的条件下。

系理5 因此，比重较邻近流体自身的比重大的物体下沉，且比重较邻近流体自身的比重小的物体上浮，且得到的运动和形状的变化和重力能引起的那个超出和缺失一样多。由于那个超出或缺失的作用像冲击，由它那个物体按与流体平衡不同的方式被推动；且能在天平的任一个托盘里比较超出或者缺失的重量。

系理6 所以，处于流体中的物体的重力是双重的：其一是真正的和绝对的，另一是表面上的，通常的和相对的。绝对的重力是物体由于它趋向下方的整个力；相对的和通常的重力是重力的超出，由它物体较周围的流体更趋向下方。由前一种重力所有流体和物体的部分在它们的位置受到重力的作用，且因此它们的重量合在一起构成整个重量。因为整个一起是重的，正如能由盛满液体的容器检验；且总重量等于所有部分的重量，且因此由它们构成。由另一种重力物体没有在它们的位置受到重力的作用，亦即，彼此相互比较，它们并不较重，但阻止彼此下降的努力，保持在自己的位置，好像它们不是重的。在空气中的东西不比空气重，通常认定为不是重的。通常认定为重的东西，只要它们达到空气的重量不能支持的程度。通常的重量不是别的，正是真正的重量对空气的重量的超出。因此，通常所说的轻是不沉重，退让较重的空气向上升。它们只是相对的轻，而不是真正的，因为它们在真空中下落。且类似地，物体在水中由于它们较大或较小的重力下沉或者上浮，是相对的和表面上的重和轻，且它们的相对的和表面上的重和轻是超出或者缺失，由于它们的真正的重力或者超过水的重力或者被水的重力超过。且物体既不由于较重而下落，又不由于退让较重的水而上升，即使它们自身的真正的重量增加了总重量。然而相对地且按通常所理解的，它们在水中不受重力作用。因为这些情形的证明是类似的。

系理7 所有关于重力的证明，对其他任意的向心力成立。

系理8 因此，如果介质，某一物体在其中运动，受到自身的重力或其他任意向心力的推动，且物体受到同样力的推动较强；力的差是那个引起运动的力，它在前面的命题中被我们作为向心力考虑。但如果物体受到那个力的推动较弱，力的差应作为离心力考虑。

系理9 但是，由于流体通过压迫被包围的物体不改变其外形，而且显然（由命题xix的诸系理）它不改变内部的部分相互间的位置；且因此，如果动物被浸没，且所有的感觉来自部分的运动，流体既不损害浸入的身体，又不唤起任何感觉，除非这些身体由于压力而达到收缩的程度。且对被有压力的流体包围的物体的系统，情况是一样的。系统的所有部分被激起同样的运动，如同它们在真空中那样，且被它们相对的重力所维持，除了流体有些阻碍它们的运动，或者需要压力结合它们。

命题xxi 定理xvi

设某一流体的密度与压力成比例，且它的部分被与离中心的距离成反比的向心力向下牵引：我说，如果那些距离被取作连比，流体的密度在相同的距离上亦成连比。

指定atv为流体压在其上的球形底面，设s为中心，距离sa，sb，sc，sd，se，sf，等等成连比。竖立垂线ah，bi，ck，dl，em，fn，等等，它们如同在位置a，b，c，d，e，f［等等］上的介质的密度；则在那些位置的比重如同（ah）/（as），（bi）/（bs），（ck）/（cs）等等，或者同样，如同（ah）/（ab），（bi）/（bc），（ck）/（cd），等等。首先假设这些重力自a到b，自b到c，自c到d，等等，均匀地持续，减量阶梯式地在点b，c，d，等等发生。且这些重力乘以高度ab，bc，cd，等等得出压力ah，bi，ck，等等，由于它们底部atv（按照定理xv）被压迫。所以小部分a承担了全部的压力ah，bi，ck，dl，如此以至无穷；且小部分b承担了除第一个ah之外的全部压力；又小部分c承担了除前两个ah，bi之外的全部压力；且如此继续下去；且因此第一个小部分a的密度ah比第二个小部分b<267.tif>，+58.4mm。35.2mm，y#的密度bi如同总和ah+bi+ck+dl，以至无穷，比总和bi+ck+dl，［+］等等。且第二个小部分b的密度bi比第三个小部分c的密度，如同总和bi+ck+dl，［+］等等，比总和ck+dl，［+］等等。所以那些和与它们的差ah，bi，ck，等等，成比例，且因此［那些和］成连比（由本卷引理i），且所以差ah，bi，ck，等等，与和成比例，［差］亦成连比。所以，由于在位置a，b，c，等等的密度如同ah，bi，ck，等等，它们亦成连比。跳跃地进行，且由错比，在成连比的距离sa，sc，se，密度ah，ck，em成连比。且由同样的论证，在任意成连比的距离sa，sd，sg，密度ah，dl，go成连比。现在点a，b，c，d，e，等等会合，使得比重的级数自底部a至流体的顶端成为连续的，则在任意成连比的距离sa，sd，sg，总构成连比的密度ah，dl，go，将仍保持连比。此即所证 。

系理 因此，如果在两个位置上流体的密度被给定，置为a和e，能推知它在其他任一位置q的密度。以s为中心，sq，sx为直角渐近线画双曲线截垂线ah，em，qt于a，e，q，且截向渐近线sx落下的垂线hx，my，tz于h，m和t。使面积ymtz比给定的面积ymhx如同给定的面积eeqq比给定的面积eeaa；则延长的直线zt割下的直线qt与密度成比例。因为，如果直线sa，se，sq成连比，则面积eeqq，eeaa相等，且因此与这些成比例的面积ymtz，xhmy亦相等，又直线sx，sy，sz，亦即，ah，em，qt成连比，正如它们应当的。且如果直线sa，se，sq作为在连比级数中的任意排列（ordo）而得到，直线ah，em，qt，由于双曲线的面积成比例，将在另一连比量的级数中得到相同的排列。

命题xxii 定理xvii

设某一流体的密度与压力成比例，且它的部分被与离中心的距离的平方成反比的重力向下牵引：我说，如果距离被取作一音乐级数 （35） （progressio musica），在这些距离上的流体的密度成一几何级数。

指定s为中心，且距离sa，sb，sc，sd，se成一几何级数。竖立垂线ah，bi，ck，等等，它们如同在位置a，b，c，d，e，等等上的流体的密度，则在相同位置的比重是（ah）/（saq ），（bi）/（sbq ），（ck）/（scq ），等等。假设这些重力，首先从a到b，其次从b到c，再次从c到d，等等，均匀地持续。且这些［比重］乘以高度ab，bc，cd，de，等等，或者同样，乘以距离sa，sb，sc，等等，它们与那些高度成比例，得到压力的表示（ah）/（sa），（bi）/（sb），（ck）/（sc），等等。所以，由于密度如同这些压力的和，密度的差ah-bi，bi-ck，等等，如同和的差（ah）/（saq ），（bi）/（sbq ），（ck）/（scq ），等等。以s为中心，sa，sx为渐近线画任意双曲线，它截垂线ah，bi，ck，等等于a，b，c，等等，又截向渐近线sx落下的垂线ht，iu，kw于h，i，k；且密度的差tu，uw，等等，如同（ah）/（sa），（bi）/（sb），等等。又矩形tu×th，uw×ui，等等，或者［矩形］tp，uq，等等，如同（ah×th）/（sa），（bi×ui）/（sb），等等，亦即，如同aa，bb，等等。因为，由双曲线的性质，sa比ah或者st，如同th比aa，且因此（ah×th）/（sa）等于aa。再由类似的论证（bi×ui）/（sb）等于bb，等等。但是aa，bb，cc，等等，成连比，且所以与它们的差aa-bb，bb-cc，等等，成比例；且因此矩形tp，uq，等等，与这些差成比例，又矩形的和tp+uq或者tp+uq+wr与差的和aa-cc或者aa-dd成比例。令此类项如此之多，则所有差的和，设为aa-ff，与所有矩形的和，设为zthn，成比例。增加项的数目并减小点a，b，c，等等的距离以至无穷，则那些矩形变成等于双曲线的面积zthn，且因此差aa-ff与这块面积成比例。现在取任意距离，设sa，sd，sf成一音乐级数，则差aa-dd，dd-ff相等；且所以与这些差成比例的面积thlx，xlnz彼此相等，又距离st，sx，sz，亦即，ah，dl，fn，成连比。此即所证 。

系理 因此，如果流体的任意两个密度被给定，置为ah和bi，则它们的差tu对应的面积thiu将被给定；且因此在任意高度sf的密度fn通过取面积thnz比那个给定的面积thiu如同差aa-ff比aa-bb而被发现。

解释

由类似的论证可以证明，如果流体的小部分的重力按照小部分离中心的距离的三次比减小，且距离sa，sb，sc，等等的平方的倒数（即sacub. /saq ，sacub. /sbq ，sacub. /scq ）被取作一算术级数；密度ah，bi，ck，等等，将成一几何级数。且如果重力按照距离的四次比减小，且距离的立方的倒数（设为saqq /sacub. ，saqq /sbcub. ，saqq /sccub. ，等等）被取作一算术级数；密度ah，bi，ck，等等，将成一几何级数。且如此以至无穷。再者，如果流体的小部分的重力在所有距离是相同的，且距离成一算术级数，则密度将成一几何级数，正如杰出人士埃德蒙·哈雷 所发现的。如果重力如同距离，且距离的平方成一算术级数，密度将成一几何级数。且如此以至无穷。这些事情如此，当被压力压缩的流体的密度如同压力，或者，同样地，由流体占据的空间与这个力成反比。可以设想其他的压缩定律，如压力的立方如同密度的平方的平方，或者力的三次比与密度的四次比相同。在这种情况，如果重力与离中心的距离的平方成反比，密度将与距离的立方成反比。设想压力的立方如同密度的平方的立方，且如果重力与距离的平方成反比，密度将按照距离的二分之三次反比。设想压力按照密度的二次比，且重力按照距离的二次反比，则密度与距离成反比。历述所有的情形将是冗长的。但由实验确定空气的密度或者很精确地，或者相当接近地如同压力：且所以在地球的大气中空气的密度如同压在上面的所有空气的重量，亦即，如同在气压计中水银的高度。

293

命题xxiii 定理xviii

如果流体由相互逃避的小部分构成，密度如同压力，则小部分的离心力与它们的中心之间的距离成反比。且反之亦然，以与它们的中心之间的距离成反比的力彼此相互逃避的小部分构成的弹性流体，它的密度与压力成正比。

设流体被封闭在立方体的空间ace中，然后由于压力缩小为较小的立方体的空间ace；且小部分在两个空间中保持彼此之间的相似位置，距离如同立方体的边ab，ab；且介质的密度与abcub. 和abcub. 包含的空间成反比。在大立方体边的平面abcd上取正方形dp等于小立方体边的平面db；且由假设，压力，由它正方形dp压迫被封闭的流体，比一个压力，由它那个正方形db压迫被封闭的流体，如同彼此的介质的密度，这就是，如同abcub. 比abcub. 。但是，压力，由它正方形db压迫被封闭的流体，比一个压力，由它正方形dp压迫同一流体，如同正方形db比正方形dp。

所以，由错比，压力，由它正方形db压迫流体，比一个压力，由它正方形db压迫流体，如同ab比ab。过立方体的中间引平面fgh，fgh，分流体为两部分，且这些部分以与它们受平面ac和ac压迫相同的力彼此压迫，这就是，按照ab比ab的比例；且因此离心力，由于它们这些压力被保持，按照相同的比。因为在两个立方体中小部分的数目相同且它们的位置相似，所有小部分沿平面fgh和fgh施加于整体的力，如同力，以它每个小部分施加于每个其他的小部分。所以力，以它在较大的立方体中沿平面fgh每个作用于另一个，比一个力，以它在较小的立方体中沿平面fgh每个作用于另一个，如同ab比ab，这就是，与小部分彼此之间的距离成反比。此即所证 。

且反之亦然，如果每个小部分的力与距离成反比，亦即，与立方体的边ab，ab成反比；力的和按照相同的比，且边db，db的压力如同力的和；又正方形dp的压力比边db的压力，如同abquad. 比abquad. 。再由错比，正方形dp的压力比边db的压力如同abcub. 比abcub. ，亦即，一个的压力比另一个的压力如同前一个的密度比后一个的密度。此即所证 。

解释

由类似的论证，如果小部分的离心力按照中心之间距离的二次反比，则压力的立方如同密度的平方的平方。如果离心力按照距离的三或四次反比，压力的立方与如同密度的平方的立方或者立方的立方。且一般地，如果假设d为距离，且e为被压缩的流体的密度，又离心力与距离的任意次幂dn 成反比，其指数为n；压力如同幂en+2 的立方根，其指数为n+2；且反之亦然。所有这些事情应理解为小部分的离心力终止在邻近它们的小部分，或者不能延伸到超出它们太远。关于磁体我们有这样一个例子。它们的吸引特性几乎被终止在靠近它们的它们自身的那一类物体上。磁的力量（virtus）被置于中间的薄铁片减弱，且几乎终止于它。因为更远的物体与其说被磁体吸引，不如说被薄片吸引。按同样的方式，如果小部分排斥其他靠近它们自身的那一类小部分，但对更遥远的小部分不施加任何力量，在本命题中处理了由此类的小部分构成的流体。但如果每个小部分的力量传播至无穷，对更大的量的流体，相等的压缩需要更大的力。但弹性流体是否真的由如此相互逃避的小部分构成，是一个物理学问题。我们已从数学上证明了由此类小部分构成的流体的性质，因此给哲学家提供了讨论那个问题的机会。