命题xxiv 定理xix
摆的物体的物质的量，它们的振动的中心离悬挂点的中心等距，按照来自重量之比和在真空中振动的时间的二次比的一个复合比。
因为速度，它能由给定的力在给定的时间在给定的物质上产生，与力和时间成正比，且与物质成反比。较大的力或者较长的时间或者较少的物质，产生的速度较大。这由运动的第二定律是显然的。现在如果摆的长度相同，运动的力在离垂线等距的位置如同重量；且因此，如果两个振动物体画出的弧相等，又那些弧被分成相等的部分；由于时间，在此期间物体画出弧的每个对应部分，如同整个振动的时间，在对应的振动部分的速度彼此与引起运动的力和整个振动的时间成正比，且与物质的量成反比；于是，物质的量与力和振动的时间成正比且与速度成反比。但速度与时间成反比，由此时间的正比和速度的反比如同时间的平方，且所以物质的量如同运动的力和时间的平方，亦即，如同重量和时间的平方。此即所证 。
系理1 且因此，如果时间相等，在每个物体中的物质的量如同重量。
系理2 如果重量相等，物质的量如同时间的平方。
系理3 如果物质的量被取作相等，重量与时间的平方成反比。
系理4 因此，由于时间的平方，其他情况相同，如同摆的长度；如果时间和物质的量是相等的，重量如同摆的长度。
系理5 且一般地，摆的物质的量与重量和时间的平方成正比，且与摆的长度成反比。
系理6 但在无阻力介质中，摆的物质的量与相对的重量（pondus comparativum）和时间的平方成正比，且与摆的长度成反比。因为在任意重的介质中，相对的重量是物体的引起运动的力，如我在上面所解释的；且因此，在这样一种没有阻力的介质中它被赋予与在真空中绝对的重量（pondus absolutum）同样的作用。
系理7 由此，一个方法是显然的，它既用于物体的彼此比较，对在每个［物体］中的物质的量；又用来比较同一物体在不同位置的重量，以知道重力的变化。通过以最大的精确性所做的实验，我总是发现在每个物体中的物质的量与它们的重量成比例。
命题xxv 定理xx
诸摆的物体，在任意的介质中，它们按照时间的瞬之比被阻碍，且摆的物体，它们在同比重的无阻力介质中运动，在相同的时间完成在旋轮线上的振动，又同时画出成比例的弧段。
设ab为一条旋轮线的弧，它由在无阻力介质中振动的物体d在任意时间画出。那条弧在c被平分，于是c为其最低点；且加速的力，由它物体在任意位置d或者d或者e被推动，如同弧cd或者cd或者ce的长度。那些力由同一弧表示；又由于阻力如同时间的瞬，且因此被给定，用旋轮线的给定的弧段co表示它，且取弧od，按照它比弧cd与弧ob比弧cb有相同的比；则力，由它在阻力介质中的物体在d被推动，是力cd对阻力co的超出，由弧od表示，且因此比一个力，由它在无阻力介质中物体d在位置d被推动，如同弧od比弧cd；且所以在位置b亦如同弧ob比弧cb。因此，如果两个物体d，d离开位置b且被那些力推动：由于力在一开始时如同弧cb和ob，初始的速度和初始画出的弧按照相同的比。令那些弧bd和bd，以及余下的弧cd，od按照相同的比。因此力，它们与那些弧cd，od成比例，保持与开始时同样的比，且所以物体继续同时按相同的比画出弧。所以力和速度以及余下的弧cd，od总如同整个弧cb，ob，且因此那些余下的弧同时被画出。由是两个物体d，d将同时到达位置c和o，在无阻力介质中的那个在位置c，且在阻力介质中的那个在位置o。现在，由于在c和o的速度如同弧cb，ob；弧，它们由物体再进一步前进时同时画出，按照相同的比。令那些弧为ce和oe。力，由它在无阻力介质中的物体d在e被迟滞，如同ce；且力，由它在阻力介质中的物体d在e被迟滞，如同力ce与阻力co的和，亦即，如同oe；且因此力，由它们物体被迟滞，如同与弧ce，oe成比例的弧cb，ob；且所以，速度，按照那个给定的比被迟滞，保持那个相同的给定的比。所以速度和以这些速度画出的弧彼此总按照弧cb和ob的那个给定的比；且所以，如果整个弧ab，ab按照相同的比被取得，物体d，d同时画出这些弧，且在位置a和a同时失去所有的运动。所以，整个振动是等时的，且被同时画出的任意弧段bd，bd或者be，be，与整个弧ba， ba成比例。此即所证 。
系理 所以在阻力介质中最快速的运动不发生在最低点c，而在那个点o被发现，在此整个画出的弧ab被平分。且物体此后前进到a，被迟滞的程度与此前在它自b向o下降时被加速的程度相同。
命题xxvi 定理xxi
诸摆的物体，它们按照速度之比被阻碍，在旋轮线上的振动是等时的。
因为，如果两个物体，离悬挂中心等距，振动画出不等的弧，且在弧的对应部分的速度彼此之间如同整个弧；阻力与速度成比例，彼此之间亦如同相同的弧。所以如果从起源于重力的引起运动的力，它们如同同样的弧，被除去或者被加上这些阻力，差或者和彼此之比按照与弧相同的比，又由于速度的增量或减量如同这些差或者和，速度总如同整个弧：所以速度，如果在某一情形如同整个弧，它们将总保持相同的比。但在运动的开端，当物体开始下降并画出那些弧，力，由于与弧成比例，生成的速度与弧成比例。所以速度总如同被画出的整个弧，且因此那些弧总被同时画出。此即所证 。
命题xxvii 定理xxii
如果摆的物体所受的阻碍按照速度的二次比，在阻力介质中的振动的时间与在同比重的无阻力介质中的振动的时间之差，很接近地与振动所画出的弧成比例。
因为设相等的摆在阻力介质中画出不等的弧a，b；且物体在弧a上的阻力，比物体在弧b上的对应部分的阻力，按照速度的二次比，亦即，很接近地如同aa比bb。如果在弧b上的阻力比在弧a上的阻力如同ab比aa；由上面的命题，在弧a和b上的时间就相等。且因此在弧a上的阻力aa，或者在弧b上的ab，在弧a上产生对在无阻力介质中的时间的超出；且阻力bb在弧b上产生对在无阻力介质中的时间的超出。但那些超出很近似地如同产生它们的力ab和bb，亦即，如同弧a和b。此即所证 。
系理1 因此，由在阻力介质中不相等的弧上所成的振动的时间，可以知道在同比重的无阻力介质中的振动的时间。因为时间的差比在较短弧上对在无阻力介质中的时间的超出，如同弧的差比较短的弧。
系理2 愈短的振动愈等时，且极短的振动与在无阻力介质中的振动非常接近地在相同的时间完成。事实上，在较大的弧上完成的时间略长，因为在物体下降时由于阻力时间被延长，［阻力］按下降时画出的长度的大小，大于随后上升时的阻力，由于阻力［上升的］时间被缩短。但短的和长的振动的时间似乎由于介质运动而有些延长。因为被迟滞的较物体按速度之比所受阻碍略小，且被加速的物体比均匀前进的物体所受阻碍略大；因为介质，由于从物体接受的运动沿［与物体］同样的方向前进，在前一种情形受到的较大的推动，在后一种情形受到较小的推动，且由此或大或小地随物体一起运动。所以较按照速度之比，摆在下降时受到较大的阻碍，在上升时受到较小的阻碍，且由于这两种原因，时间被延长。
命题xxviii 定理xxiii
如果在旋轮线上振动的一个摆的物体所受的阻碍按照时间的瞬之比，它的阻力比重力如同在整个下降中所画出的弧对随后上升所画出的弧的超出，比二倍的摆的长度。
指定bc为下降画出的弧，ca为上升画出的弧，且aa为弧的差；又保持在命题xxv中的作图和证明，力，由它振动物体在任意位置d被推动，比阻力，如同弧cd比弧co，它［co］是那个差aa的一半。且因此，力，由它振动物体在旋轮线的开端或者最高点被推动，亦即，重力，比阻力，如同那个最高点和最低点c之间的弧比弧co；亦即（如果弧被加倍）如同整个旋轮线的弧，或者二倍的摆的长度，比弧aa。此即所证 。
命题xxix 问题vi
假设一个物体在旋轮线上振动，所受的阻碍按照速度的二次比：需求它在各个位置的阻力。
设ba为一次完整振动画出的弧，且c为旋轮线的最低点，又cz是整个旋轮线弧的一半，它等于摆的长度；且需求物体在任意位置d的阻力。无穷直线oq被截于点o，s，p，q，使得（如果竖立垂线ok，st，pi，qe，且以o为中心，ok，oq为渐近线画双曲线tige截垂线st，pi，qe于t，i和e，再过点i引kf平行于渐近线oq交渐近线ok于k，且交垂线st和qe于l和f）双曲线的面积pieq比双曲线的面积pits如同物体下降画出的弧bc比上升画出的弧ca，且面积ief比面积ilt如同oq比os。然后被垂线mn割下的双曲线的面积pinm，它比双曲线的面积pieq如同弧cz比下降画出的弧bc。且如果被垂线rg割下的双曲线的面积pigr，它比面积pieq如同任意的弧cd比下降画出的整个弧bc；则在位置d的阻力比重力，如同面积[（or）/（oq）]ief-igh比面积pinm。
因为，由于来源于重力的力，由它物体在位置z，b，d，a被推动，如同弧cz，cb，cd，ca，且那些弧如同面积pinm，pieq，pigr，pits；不仅弧而且力分别由这些面积表示。此外，设dd为物体在下降时画出的极小的一个空间，且它由平行线rg，rg围成的极小的面积rggr表示；又延长rg至h，使得ghhg和rggr同时为面积igh，pigr的减量。则面积[（or）/（oq）]ief-igh的增量ghhg-[（rr）/（oq）]ief，或者rr×hg-[（rr）/（oq）]ief，比面积pigr的减量rggr，或者rr×rg，如同hg-[（ief）/（oq）]比rg；且因此如同or×hg-[（or）/（oq）]ief比or×gr或者op×pi，这就是（由于or×hg，or×hr-or×gr，orhk-opik，pihr和pigr+igh相等）如同pigr+igh-[（or）/（oq）]ief比opik。所以，如果面积[（or）/（oq）]ief-igh被称为y，且如果面积pigr的减量rggr被给定，面积y的增量如同pigr-y。
如果v指定来源于重力的力，它与将要被画出的弧cd成比例，由它物体在d被推动，且阻力被设为r；总的力为v-r，由它物体在d被推动。且由此速度的增量如同v-r和在其间增量生成的那个时间的小部分的联合。但是速度自身与同时被划出的空间的增量成正比且与相同的时间的小部分成反比。因此，由于由假设阻力如同速度的平方，阻力的增量（由引理ii）如同速度和速度的增量的联合，亦即，如同空间的瞬和v-r的联合；于是，如果空间的瞬被给定，如同v-r；亦即，如果把力v写作其表示pigr，且阻力用另外某个面积z表示，如同pigr-z。
所以面积pigr通过减去给定的瞬而均匀地减小，面积y按照pigr－y之比增加，且面积z按照pigr-z之比增加。且所以，如果面积y和z同时开始且在开始时相等，它们通过加上相等的瞬继续相等，且同样减去相等的瞬继续相等并同时消失。且反之，如果它们同时开始且同时消失，它们会有相等的瞬且总是相等；如此情形是由于如果阻力z被增加，速度与那个弧ca，它在物体上升时被画出，一起减小；且在靠近点c的点，整个运动与阻力一起停止，阻力消失得较面积y更为迅速。且当阻力被减小时，得出相反的结果。
现在面积z当阻力为零时开始并结束，这就是，当弧cd等于弧cb且直线rg遇到直线qe时运动开始，且当弧cd等于弧ca且rg遇到直线st时运动结束。又面积y或者[（or）/（oq）]ief-igh当阻力为零时，且因此当[（or）/（oq）]ief和igh相等时开始和结束：这就是（由作图）当直线rg相继遇到直线qe和st时。且所以那些面积同时开始并同时消失，又由此它们总相等。所以面积[（or）/（oq）]ief-igh等于面积z，阻力由z表示，且所以比表示重力的面积pinm，如同阻力比重力。此即所证 。
系理1 所以，在最低位置c的阻力比重力，如同面积（op）/（oq）ief比面积pinm。
系理2 它［阻力］当面积pihr比面积ief如同or比oq时，成为最大。因为在那一情形，它的瞬（即pigr-y）为零。
系理3 因此在每个位置的速度也可以知道：实际上它按照阻力的二分之一次比，且在运动开始时等于在相同的旋轮线上无阻力振动物体的速度。
但由于由这一命题发现阻力和速度在计算上的困难性，附加如下命题是适宜的。
命题xxx 定理xxiv
如果直线ab等于由振动物体所画出的旋轮线的弧，且向它的每个点d竖立垂线dk，它比摆的长度如同在弧上对应点的物体的阻力比重力：我说，整个下降所画出的弧与随后整个上升所画出的弧之间的差，乘以那些弧的和的一半，等于由所有垂线dk所占据的面积bka。
由于一次完整振动画出的旋轮线的弧由那条等于它的直线ab表示，且在真空中画出的弧由长度ab表示。ab在c被平分，且点c表示旋轮线的最低点，又cd如同来源于重力的力，由它在d的物体沿旋轮线的切线被推动，且它比摆的长度所具有的比正如在d的力比重力所具有的比。所以那个力可由长度cd表示，且重力由摆的长度表示，再者，如果在de上按照dk比摆的长度正如阻力比重力所具有的比取dk，则dk表示阻力。以c为中心，以及ca或者cb为间隔作半圆beea。此外，设物体在极短时间画出空间dd，并竖立垂线de，de交圆周于e和e，这些垂线如同物体在真空中自点b下降，在位置d和d获得的速度。（由第i卷命题lii）这是显然的。于是这些速度由那些垂线de，de表示；又设df是［物体］在阻力介质中自b下落在d获得的速度。且如果以中心c和间隔cf画圆ffm交直线de和ab于f和m，则m为此后没有进一步的阻力时［物体］上升到的位置，且df为它在d获得的速度。因此，如果fg指明速度的瞬，物体d画出极短的空间dd，由于介质的阻力而失去它；又取cn等于cg：则n为此后没有进一步的阻力物体上升到的位置，且mn为上升的减量，它来源于那个速度的失去。往df上落下垂直线fm，则由阻力dk生成的速度df的减量fg，比由力cd生成的同一速度的减量fm，如同生成力dk比生成力cd。但是，又由于三角形fmf，fhg，fdc相似，fm比fm或者dd如同cd比df；又由错比，fg比dd如同dk比df。同样，fh比fg如同df比cf；再由并比，fh或者mn比dd如同dk比cf或者cm；且因此所有mn×cm的和等于所有dd×dk的和。往动点m竖立成直角且总等于不定量cm的纵标线，它在连续运动中走过总的长度aa；由那个运动画出的四边形或与它相等的矩形aa× ab，等于所有mn×cm的和，且因此等于所有dd×dk的和，亦即，等于面积bkvta。此即所证 。
系理 因此从阻力的定律和弧ca，cb的差aa，能很接近地推知阻力比重力之比。
因为如果阻力dk是均匀的，图形bkta是ba和dk之下的矩形；且因此 ba和aa之下的矩形等于ba和dk之下的矩形，则dk等于 aa。所以，由于dk表示阻力，且摆的长度表示重力，阻力比重力如同 aa比摆的长度；所有这些正如在命题xxviii中所证明的。
如果阻力如同速度，图形bkta很接近一个［半］椭圆。因为如果物体在没有阻力的介质中，一次完整的振动画出长度ba，在任意位置d的速度如同以直径ab所画的圆的纵标线de。因此，由于ba在阻力介质中，且ba在无阻力介质中，在近于相等的时间被画出；且因此在ba上每个点的速度，比在长度ba上对应点的速度，很接近地如同ba比ba；在阻力介质中在点d的速度很接近地如同画在直径ba上的圆的或者椭圆的纵标线；且因此图形bkvta很接近一个［半］椭圆。由于阻力被假设为与速度成比例，设ov表示在中点o的介质阻力；又以中心o，半轴ob，ov画［半］椭圆brvsa，它与等于矩形aa×bo的图形bkvta，很接近地相等。所以aa×bo比ov×bo如同这个椭圆的面积比ov×bo，亦即，aa比ov如同半圆的面积比半径的正方形，或者近似地如同11比7；且因此 aa比摆的长度如同振动物体在o的阻力比其重力。
但是，如果阻力dk按照速度的二次比，图形bkvta几乎是一个顶点为v且轴为ov的抛物线，且因此很接近地等于 ba和ov之下的矩形。所以 ba和aa之下的矩形等于 ba和ov之下的矩形，且因此ov等于 aa；于是振动物体在o的阻力比它的重力如同 aa比摆的长度。
且我认为这些结论对实用目的已足够精确。因为，由于椭圆或者抛物线brvsa与图形bkvta在中点v相合，如果在brv或者vsa的一边大于那个图形，在另一边要小于它，且因此很接近地等于它。
命题xxxi 定理xxv
如果振动物体的阻力在每一画出的成比例的弧的部分按给定的比增大或者减小；则在下降所画的弧和随后上升所画的弧之间的差，按相同的比被增大或者减小。
因为那个差由于介质的阻力来源于摆的迟滞，且因此如同总的迟滞以及与它成比例的迟滞阻力。在上一命题中直线 ab和那些弧cb，ca的差aa之下的矩形等于面积bkta。且那个面积，如果保持长度 ab，它按横标线dk之比增大或者减小；这就是，按照阻力之比，且因此如同长度ab和阻力的联合。所以aa和 ab之下的矩形，如同ab和阻力的联合，且因此aa如同阻力。此即所证 。
系理1 因此，如果阻力如同速度，在同一介质中的弧之差如同画出的整个弧；且反之亦然。
系理2 如果阻力按照速度的二次比，那个差按照整个弧的二次比；且反之亦然。
系理3 且一般地，如果阻力按照速度的三次或任意其他比，差按照整个弧的相同的比；且反之亦然。
系理4 且如果阻力部分地按照速度的简单比，部分地按照速度的二次比，差部分地按照整个弧的比且部分地按照它的二次比；且反之亦然。对速度的阻力的定律和比，与那个差对弧的长度的定律和比相同。
系理5 且因此，如果摆相继画出不等的弧，能对所画出的弧发现这个差的增量或者减量的比；亦有对较大或较小阻力的增量或者减量的比。
总释
由这些命题，通过在任意介质中的振动摆，我们能发现介质的阻力。事实上，我曾由如下实验探究空气的阻力。一只木球重 罗马 盎司，直径为 伦敦 吋 （36） ，被我用细线悬挂在一个很牢固的钩上，使得钩和球的振动中心之间的距离为 呎。在线上距离悬挂中心10呎又1吋处，我标记一点；且对着那个点我放置一把按吋划分的尺子，借助于它我能标记由摆画出的弧的长度。然后我对振动计数，在此期间球失去其运动的八分之一。如果摆被引至离垂线二吋的距离，并由此使它落下，于是在其整个下落中画出二吋的弧，且第一次全振动，由下落及随后上升构成，画出约四吋的弧，然后它经164次振动失去其八分之一的运动，以致其最后一次上升画出一又四分之三吋的弧。如果初次下降画出四吋的弧，它经121次振动失去其八分之一的运动，以致其最后的上升画出了 吋的弧。如果初次上升画出八吋，十六吋，三十二吋或六十四吋的弧，它分别经69， ， ， 次振动失去其八分之一的运动。所以初次下降和最后一次上升画出的弧的差，在第一，第二，第三，第四，第五和第六种情形分别为 ， ，1，2，4，8吋。在每一种情形这些差除以振动数，则在一次平均振动中，在此期间［球］画出 ， ，15，30，60，120吋的弧，下降和随后上升的弧的差分别为 ， ， ， ， ， 吋。但这些差在较大的振动中近似地按照所画弧的二次比，在较小的振动中按照较那个比略大的比；且所以（由本卷命题xxxi系理2）球的阻力，当运动较为迅速时，很近似地按照速度的二次比；当较为迟缓时，按照略大于那个比的比。
最后，因为有些人的看法是存在一种特定的以太介质，它极为细微，能很自由地渗透到所有物体的细孔和通道，这种介质通过物体的细孔流动应产生一种阻力；为检验是否我们在运动物体上所经验的阻力全在它们的外表面，或者内部部分是否遇到作用于其表面的显著阻力，我设计了如下实验。我用一根十一呎长的线把一个圆枞木小盒通过一个钢环悬挂在一只很牢固的钢钩上，在钩上向上有一锋利的凹口，使靠在凹口上的环的靠上的弧能更自由地运动。线系在环的靠下的弧上。我拉它离开垂线至约六呎的距离，并沿垂直于钩上凹口的平面，使摆振动时，环不在钩的凹口上前后滑动。因为悬挂点，环在此接触钩，应保持静止。我精确地标出摆被拉到的位置，并放下摆，标记另外三个位置，摆经第一次，第二次和第三次振动后返回到此处。我曾相当频繁地重复；使得我尽可能精确地发现那些位置。然后我在小盒中装入铅和其他在手边的更重的金属。但首先我称出空盒连同绕在盒上的细线的部分以及其余延伸于钩和悬挂的小盒之间的线的一半的重量。因为拉直的线当摆拉离垂线，它总以其一半的重量作用于摆上。在这个重量上我加上小盒容纳的空气的重量。且总重量约为盒中填满金属时重量的七十九分之一。然后，由于当盒子填满金属时，线被其重量拉伸，增加了摆的长度，我缩短线使目前振动的摆与以前的长度相同。然后，再拉摆至第一个标记的位置并放下，我数了约七十七次振动，直到小盒返回到第二个标记的位置，之后同样多的次数，直到小盒返回到第三个标记的位置，且又经过同样多的次数直到小盒返回到第四个位置。由此我得出结论，填满盒子的整个阻力比空盒的阻力所具有的比不大于78比77。因为如果两者的阻力相等，填满的小盒子，由于其固有的力是空盒的七十八倍，应该保持其振动运动如此长久，使得完成78次振动总返回到那些地方。但它在完成77次振动返回到同样的地方。
所以，设a表示在小盒外表面的阻力，且b表示在空小盒内部的阻力；如果等速物体在内部的阻力如同物质，或者被阻碍的小部分的数目，78b是填满的小盒在其内部的阻力，且因此空小盒的总阻力a+b比填满的小盒的总阻力a+78b如同77比78，且由分比，a+b比77b如同77比1，且由此a+b比b如同77×77比1，又由分比a比b如同5928比1。所以空小盒在其内部的阻力小于在其外表面的阻力超过五千倍。这个论证依赖假设填满的小盒的阻力较大不是来源于其他原因，而只来源于某种流体对被包围的金属的作用。
我对这个实验的叙述出于记忆。因为一张纸，在它上面我曾写下描述，丢失了。因此我被迫略去了从记忆中被遗忘的某些分数。
而且我没有时间一一重试。第一次，由于我用的钩不牢固，填满的盒子被迟滞得更快。在寻找原因时，我发现钩如此不牢固以致不能承担小盒的重量，且向这个方向或者那个方向弯曲以服从摆的振动。所以，我得到一牢固的钩，使悬挂点保持不动，且此后得到的一切如以上所描述的。
